MATEMAATIKA ANALÜÜS 1 KT 1 vastused (0)

5 VÄGA HEA

Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt,pikkuühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita,et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks realarv ja vastupidi:igale realarvule vastab üks ja ainult üks avtelje punkt.
Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja
vastupidi: igale arvupaarile vastab üks ja ainult üks tasandi punkt. Matemaatikas tähistatakse tavaliselt ühel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy-teljestikuga ja me saame rääkiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest.
Reaalarvu absoluutväärtus. Reaalarvu a absoluutvaartuseks nimetatakse jargmist
mittenegatiivset reaalarvu:
Reaalarvu a absoluutvääartust võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel .
Loetleda absoluutväärtuse omadused.
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku , on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse ,siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui .
Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku , kus . Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse ] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui €, st , ja x ei asetse a-st paremal, st x 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a; a+€) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a vaiksem kui €, st , ja x ei asetse a-st vasakul, st x>= a.
Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M;∞), kus M > 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M;∞) siis ja ainult siis, kuix > M.
Suuruse miinus lpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-∞;-M), kus M > 0. Arv x kuulub miinus lõpmatuse ümbrusesse (-∞;-M) siis ja ainult siis, kui x -M.
Tõkestatud hulga definitsioon. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a; b) nii, et A C (a; b).Tõkkestatud hulgad on näiteks: vahemik (a,b), lõik
,poollõik .
2. Jääv ja muutuv suurus. Muutuv suurus on suurus mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi (aeg).Suuruse milline väärtus ei muutu nimetatakse jäävaks suuruseks (kiirus).
Suuruse muutumispiirkond . Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks.
Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja , määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused.
3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsioon on paaris kui iga
korral kehtib võrdsus kui aga
korral kehtib võrdsus siis funktsioon nimetatkse paaritu.
Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks kui leidub konstant C>0 nii et iga
korral kehtib võrdsus
Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks . Sin( x+2Пи)= sinx )c=2Пи)
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määaramispiirkonna alamhulk. Valime h ulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii et kehtib võrratus x1 2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) (x2), siis f on kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks st
f(x1) > f(x2), siis f on kahanev hulgas D.
Astmefunktsiooni mõiste (määramispiirkonda ei küsi). kus a on nullist erinev konstantne astendaja.
Eksponent - ja trigonomeetriliste funktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud . kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0 ja
Antud funktsiooni korral X = R ja Y = (0;1).
4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid . Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Funktsiooni f pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y € Y seab vastavusse kõigi selliste x € X hulga, mille korral kehtib võrdus f(x) = y. Logaritmfunktsioon . Eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus.
Määramispiirkond X = (0;∞)
Väärtuste hulk Y=R
Graafik
Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega.
Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid.
Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud.
y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-π/2; π/2] ;
y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; π] ;
y = arctan x : X = R; Y = (-π /2; π/2) ;
y = arccot x : X = R; Y = (0; π)
5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X.
Funktsioonide f ja g summa: y = (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Funktsioonide f ja g vahe: y = (f - g)(x) =f(x) - g(x)
Funktioonide f ja g korrutis: y = (fg)(x) = f(x)g(x)
Funktioonide f ja g jagatis: y = (f/g)(x) =f(x)/g(x)
Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise
määramispiirkond koosneb kõigist sellistest
Liitfunktsiooni mõiste (liitfunktsiooni määramispiirkonda ei küsi). Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defeneeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga.
Seega võime kirjutada võrduse z = ()(x) = g[f(x)].Näiteks annavad f(x) = sin x ja g(y) =
liitfunktsiooni.
Polünoom ja ratsionaalfunktsioon.
6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis , mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2-x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2-siny+y=0.
Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon.
7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik
öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu x ärjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu
korral saab näidata sellist
suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse , st rahuldavad võrratust
Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse
Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid.
Piirprotsesside x → ∞ ja x → −∞ definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon.
Koonduvad ja hajuvad jadad . Piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks ning piirväärtust mitteomavat jada hajuvaks. (Jada, millel on lõplik piirväärtus, nimetatakse koonduvaks jadaks .)
8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α= 0.
Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α|= ∞.
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Suurus α on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/α on lõpmatult kasvav.
Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust α nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud.
9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu.
Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x-> a, kus x ei võrdu a, läheneb
funktsiooni graafku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Teiste sõnadega: suvalises piirprotsessis x-> a, kus x ei üvõrdu a, läheneb funktsiooni graafku jooksev punkt P = (x; f(x)) uhele ja samale punktile A = (a; b). Seda on kujutatud joonisel 2.2.
Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a = ±∞ ja b = ±∞ .
Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid.
Geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on vasakpoolne piirvärtus b1 ja parempoolne piirväärtus b2 punktis a, siis suvalises piirprotsessis x->a-- kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graafku jooksev punkt P1 = (x; f(x)) punktile A1 = (a; b1) ja suvalises piirprotsessis x->a +, kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graafku jooksev punkt
P2 = (x; f(x)) punktile A2 = (a; b2) (joonis 2.5).
Kui b1 ei võrdu b2, siis funktsioonil puudub piirväärtus punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises piirprotsessis x->a--, xei võrdu a. Piirprotsessi x->a erijuhtudel x->a-- ja x->a + läheneb f(x) erinevatele arvudele.
10. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused).
11. Pideva funktsiooni definitsioon.
Pidevuse geomeetriline sisu. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a; f(a)) pidev joon (joonis 2.8).
12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks.
Katkevuspunktide liigitus.
13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks.
Kui leidub punkt x1 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) >= f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a; b].
Kui leidub punkt x2 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2)

.DOCX Laadi alla originaalfail 7 lk · .docx · 240 allalaadimist

10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.

~ 7 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2013-01-07 Kuupäev, millal dokument üles laeti

240 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

Vi4uha Õppematerjali autor

Jaan Janno, vähendatud programm

Sarnased õppematerjalid

doc

Matemaatiline analüüs KT1 vastused

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle

Matemaatiline analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs I - I teooria töö

1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist pooll?

Matemaatika analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs II teooria töö

Matemaatiline analüüs 2

doc

Matemaatiline analüüs

Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. V: Arvtelje mõiste: arvteljeks nim. sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus: reaalarvu a absoluutväärtuseks nim. järgmist mittenegatiivset reaalarvu. Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), kus on

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs (vähendatud programm)

Matemaatiline analüüs (vähendatud programm) KT nr. 1 Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon.  Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samast

Matemaatiline analüüs i

pdf

Matemaatiline analüüs 1, teooria, spikker, kontrolltöö 1, matan

Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa

Algebra ja analüütiline geomeetria

doc

MATEMAATILINE ANALÜÜS I TEOORIA KONTROLLTÖÖ Küsimused vastustega

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a ≥ 0 −a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrus

Matemaatiline analüüs 1

Rohkem sarnaseid