Kordamisküsimusi 3. teema kohta - Teooriatöö II (0)

Sarnased õppematerjalid

6

doc

Matemaatiline analüüs I, 2. kollokviumi spikker

Võttes funktsiooni jaoks rakendatav Rolle teoreem, st vahemikus (a,x), kui x>a, või vahemikus (x,a), kui x kohta ka nimetust üldistatud keskväärtusteoreem. 11. Tõestada L’Hospitali reegel määramatuse 0/0 korral . NB ! Nullid peaksid seal võrdusmärgi all ja üleval olema. = =1 = = jõuame tulemuseni:

Matemaatiline analüüs 1

25

doc

MATEMAATILINE ANALÜÜS I TEOORIA KONTROLLTÖÖ Küsimused vastustega

konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x− /cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ja y = cos x lõpliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega; elementaarfunktsioon y = arcsin (3x) on põhiliste elementaarfunktsioonide y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon; Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . .

Matemaatiline analüüs 1

36

pdf

Matemaatiline analüüs

ehk k = lim x→∞ f(x)/ x b = lim x→∞ [f(x) − kx]. Kokkuvõttes oleme tõestanud järgmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x → ∞, siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon . Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F’(x) = f(x) iga x ∈ D korral, siis [F(x) + C]’ = F’(x) + C’ = F’(x) = f(x) iga x ∈ D korral,

Matemaatiline analüüs 1

37

docx

Matemaatiline analüüs l.

x = arcosh y - areakosinus (funktsiooni y = cosh x pöördfunktsioon) , x = artanh y - areatangens (funktsiooni y = tanh x pöördfunktsioon) , x = arcoth y - areakotangens (funktsiooni y = coth x pöördfunktsioon) . 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ja x - definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon. Koonduvad ja hajuvad jadad. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik

Matemaatiline analüüs

18

docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

Selles avaldises b 0, kui x . Seega x lim [f(x)- k]= 0 ehk lim f(x)- k = 0 ehk k = lim f(x) (4.5) x x x x x x Võrdusest (4.4) saame veel b = lim[f(x) - kx] x (Vaadake lk 99) 33. Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F(x) = f(x) iga x kuulub D korral, siis [F(x) + C]= F(x) + C= F(x) = f(x) iga x D korral, mis näitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on

Matemaatiline analüüs i

3

docx

Matemaatiline analüüs 1

33. Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D Jagades suurusega ba dx saame m ba f(x)dxba dx M. korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Näeme, et arv ba f(x)dx ba dx paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. vahel. Kuna lõigul [a, b] pidev funktsioon f(x) saavutab sellel lõigul iga väärtuse Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad oma suurima ja vähima väärtuse vahel, siis leidub vähemalt üks punkt c [a, b] nii, et kujul F + C, kus C on suvaline konstant

Matemaatiline analüüs 1

32

doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

............................... 24 39. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. ............................................ 25 40. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist ristkülikvalemi abil. ...........................................25 41. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist trapetsvalemi abil. ............................................. 26 42. Kahe muutuja funktsioon, tema määramispiirkond ja muutumispiirkond. Tuua näiteid kahemuutuja funktsioonide kohta. .................................................................................................26 43. Kahe muutuja funktsiooni pidevus ja katkevus. ......................................................................27 44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. ....................................................... 27 45. Diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrandi lahend, üldlahend, erilahend, singulaarne lahend. ...................................................

Matemaatika

8

docx

Matemaatiline analüüs I 2. teooria KT vastused

Seega lim x(f(x)/ x- k)= 0 ehk lim x f(x)/ x- k = 0 ehk k = lim x f(x)/ x b = lim x [f(x) - kx]. Kokkuv~ottes oleme t~oestanud j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon . Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib v~ordus F'(x) = f(x). Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k~oik funk- tsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. T~oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K~oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on t~oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F'(x) = f(x) iga x D korral, siis [F(x) + C]' = F'(x) + C' = F'(x) = f(x) iga x D korral,

Matemaatika

Kommentaarid (0)