Kordamisküsimusi 3. teema kohta - Teooriatöö II (0)

Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1.   Defineerida   funktsiooni    tuletis .   Mis   on    diferentseeruv    funktsioon   ja diferentseerimine ? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ' (a)=lim x→ a f ( x )−f (a) x−a Kui   funktsioon   f   omab   punktis   a    lõplikku    tuletist,   siis   öeldakse   et   ta   on   selles   punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.

2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu.

Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi :  ∆x = x − a  → argumendi muut kohal a ,  ∆y = f(x) − f(a)  →funktsiooni muut kohal a . Siis   f ' (a )=lim x→ a f ( x )−f (a) x−a = lim x → a ∆ y ∆ x = lim x→ 0 ∆ y ∆ x 3.  Sõnastada ja tõestada  teoreem  diferentseeruva funktsiooni pidevusest. Kas  suvaline pidev funktsioon on diferentseeruv? Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev.  Tõestus.  Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse  definitsioonis toodud  1. tingimus  f on määratud argumendi väärtusel a, st a  ∈  X. Jääb veel näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb tõestada, et  lim x→ a f (x )  eksisteerib ja võrdub arvuga f(a). See järeldub järgmisest võrduste  reast : lim x→ a f (x )=lim x →a f (x )−f (a)+f ( a)=lim x →a f ( x)−f (a) x−a lim x→ a ( x−a)+f (a)=f ' (a)∙0+f (a)=f (a)

4. Milline on diferentseeruvuse  geomeetriline  sisu?

Diferentseeruvuse   geomeetriliseks    tähenduseks    on   pideva   joone   siledus.   Punktis,   kus funktsioon ei ole diferentseeruv, esineb tema graafikul  murdepunkt .

5. Defineerida hulgas diferentseeruv funktsioon.

Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel  reaalarv  f′(x). Seega on f′ funktsioon, mis on määratud hulgas D. 6.   Panna   kirja   põhiliste   elementaarfunktsioonide   ja   hüperboolsete    trigonomeetriliste funktsioonide  tuletised .  7. Defineerida funktsiooni n-järku tuletis. Milline funktsioon on n korda diferentseeruv? Milline funktsioon on  lõpmata arv kordi  diferentseeruv? Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n) . Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. 8.  Loetleda  funktsiooni tuletise arvutamise reeglid, mis on seotud  aritmeetiliste   tehetega . Tõestada korrutise reegel.

1. ( f +g ) ' = f ' + g ' 2. ( fg) ' = f ' g+fg ' 3.  ( f
g ) ' = f ' g−fg' g 2

4. (Cf ) ' = C ' f +C f '=0 f +C f '=C f ',C−konstant

5. ( f −g) ' = [ f +(−1) g ] ' = f ' + [(−1) g] ' = f ' + (−1 ) g ' = f ' − g '

Korrutise reegli tõestus: ( fg) ' ( x)=lim x→ 0 f ( x +∆ x ) g ( x +∆ x )−f ( x ) g(x ) ∆ x = lim x→ 0

1 ∆ x { [f ( x+∆ x )−f ( x )] g ( x +∆ x )+f (x) [ g (x +∆ x )−g (x)]}=¿ lim x→ 0

f ( x +∆ x )−f ( x ) ∆ x lim x→ 0 g ( x +∆ x )+f ( x ) lim x → 0 g ( x +∆ x )−g ( x ) ∆ x =¿ f ' ( x ) g( x)+f ( x ) g'( x )=(f ' g+f g')(x)

9. Defineerida joone y = f(x) puutuja .

Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel  punktile A mööda joont y = f(x).

10. Tuletada joone y = f(x) puutuja võrrand punktis A=(a, f(a)). 

Kõigepealt  märgime, et valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A(a, f(a)) kujul  y − f(a) = p(x − a), kus p on s tõus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Lõikaja AP   tõusunurk   tähistatakse   β-ga.   Seega   on   lõikaja   AP   tõus   ¯p   =   tan   β.   Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et p¯ = tan β = (f(x) − f(a))/(x – a) .  Vaatleme  nüüd piirprotsessi x →   a.   Kui   x   →   a,   siis   P   läheneb   punktile   A   mööda   joont   y   =   f(x).   Vastavalt   puutuja definitsioonile  läheneb  lõikaja  AP joone y = f(x) puutujale  punktis A. Seega läheneb  ka lõikaja tõus ¯p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal saame puutuja tõusu jaoks järgmise valemi:  p=lim x → a p=lim x → a f ( x )−f (a) x−a = f ' (a) Saame puutuja võrrandi y − f(a) = f′(a)(x − a). 11. Defineerida funktsiooni y = f(x)  diferentsiaal  dy punktis a. Tõestada, et funktsiooni muut on esitatav kujul Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxx suhtes protsessis Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxx → 0 ( eeldusel  f ’(a) ≠ 0) ja β on kõrgemat järku lõpmatult väike suurus Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxx suhtes protsessis Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxx → 0 .

Vastavalt tuletise definitsioonile, f′(a) =   lim

∆ x→ 0 ∆ y /∆ x, kus ∆x = x − a ja ∆y = f(x) − f(a). Eeldame, et f′(a) ≠ 0. Tähistame ∆y/∆x ja f′(a) vahe järgmiselt: r(∆x) := ∆y/∆x − f′(a). lim ∆ x→ 0 r ( ∆ x )= lim ∆ x → 0 [ ∆ y ∆ x − f ' (a) ]= lim ∆ x → 0 ∆ y
∆ x −¿ f ' (a)=f ' (a)−f '( a)=0 ¿ Avaldame võrdusest  ∆ y ∆ x .   ∆ y ∆ x  = f ' (a )+r( ∆ x )∥∙∆ x ∆ y =f ' (a) ∆ x +β , kus β=r ( ∆ x) (∆ x ) Funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast: f′(a)∆x ja β. Esimene liidetav f′(a)∆x sõltub lineaarselt   argumendi    muudust    ∆x.   Suurust   f′(a)∆x   nimetatakse   funktsiooni   y   =   f(x) diferentsiaaliks punktis a ja tähistatakse dy või df.  Seega ∆y = dy + β .  

12. Mida nimetatakse funktsiooni argumendi diferentsiaaliks? Näidata, et argumendi x

korral kehtib valem Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxx = dx . Vastavalt   diferentsiaali   definitsioonile,   dy   =   f′(a)∆x   .   Tähistame   funktsiooni   y   =   x diferentsiaali sümboliga dx ja  nimetame  seda argumendi x diferentsiaaliks. Kui y = x, siis y′ =

1 ja rakendades valemit dy = f′(a)∆x saame dx = ∆x.

13. Esitada funktsiooni tuletis diferentsiaalide jagatisena. Olgu y = f(x) suvaline funktsioon. Asendame suuruse ∆x suurusega dx valemis   dy   =   f′(a)∆x.   Saame   võrduse   dy   =   f′(a)dx.   Siit   tuleneb   järgmine   valem   tuletise   jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: f′(a) = dy/dx.

14. Esitada ja tõestada liitfunktsiooni tuletise valem.

Liitfunktsiooni   tuletise   valemi   tõestus.   Olgu   y   =   f(x)   ja   z   =   g(y)   kaks   diferentseeruvat funktsiooni ning olgu  nendest  moodustatud  liitfunktsioon  z = g[f(x)]. Funktsiooni tuletise saab esitada  sõltuva  muutuja   ja argumendi  diferentsiaalide  jagatisena.  Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi f′(a) = dy/dx üles punktis x, saame f′ (x) = dy/dx. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g′(y) = dz/dy . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame {g[f(x)]}′ = dz/dx . Kasutades neid valemeid arvutame:< ' = dz dx = dz ∙ dy
dy ∙ dx = g ' ( y )∙ f ' ( x )=g ' [f ( x)] f '(x) Liitfunktsiooni arvutamise valem: {g[ f ( x)]} ' = g ' [ f (x) ]f ' (x)  

15. Loetleda diferentsiaali omadused.

16. Defineerida n-muutuja funktsiooni  osatuletis . Kuidas seda tähistatakse? Järgmist   piirväärtust  lim x i f (a 1, . .. , ai−1, xi ,ai+1, . .. , an)−f (a 1, . .. , ai−1, ai , ai+1,. . . , an) xi−ai nimetatakse   funktsiooni   f   osatuletiseks   muutuja   xi  suhtes   argumentide   väärtustel   a1,…an tähistatakse f ' xi ( a1 ,… . an ) või  ∂ f ∂ x i ( a

1 , …. an)  või  ∂ ∂ x i f (a 1 ,… . an )

17. Defineerida n-muutuja funktsiooni teist järku  osatuletised . Mis on  segatuletis ? Sõnastada lause  segatuletiste  võrdusest.   Kui  võtta   funktsioonist  f(x1,  . .  . ,  xn) kõigepealt   osatuletis  muutuja   xi  suhtes  ja  seejärel osatuletis muutuja xj suhtes, kus i ≠j, siis tekib selle funktsiooni teist järku segatuletis xi ja xj suhtes, mida tähistatakse   ∂

2 ∂xj ∂ˇxi f (xi… xn)  ehk  f ' ' xixj ( xi … xn )  .  Segatuletise   väärtus   ei   sõltu

üksikute  tuletiste  võtmise järjekorrast, st kehtib võrdus f ′′xixj = f ′′xjxi

18. Mis on  skalaarväli  ja vektorväli?

n-muutuja funktsiooni nimetatakse ka n-mõõtmeliseks skalaarväljaks. Mõiste tuleneb sellest, et taoline funktsioon seab etteantud vektorile vastavusse  reaalarvu  ehk skalaari. Olgu antud 2n muutuvat suurust x1, . . . , xn ja u1, . . . un. Kujutist, mis seab igale vektorile    x = (x1, . . . , xn) teatud hulgast X  ⊆  Rn  vastavusse ühe kindla vektori u = (u1, . . . , un) nimetatakse n- mõõtmeliseks vektorväljaks.

19. Defineerida skalaarvälja  gradient . Mis on nabla? 

Olgu antud skalaarväli u = F(x). Skalaarvälja F gradiendiks kohal x   nimetatakse   järgmist vektorit :    gradF ( ⃗x )=¿) Gradiendi  tähistamiseks kasutatakse ka sümbolit ⃗ ∇ (või ∇), mis kannab nime nabla.

20. Milline vektorväli on potentsiaalne? Mis on vektorvälja potentsiaal? 

Vektorvälja ⃗f nimetatakse potentsiaalseks ehk konservatiivseks, kui leidub skalaarväli F nii, et ⃗f = gradF. Seejuures nimetatakse skaalarvälja F vektorvälja ⃗fpotentsiaaliks.

21. Defineerida  skalaarkorrutis  ja vektorvälja divergents .

Vektorite ⃗x = (x1, . . . , xn) ja ⃗y = (y1, . . . , yn) skalaarkorrutiseks nimetatakse järgmist arvu:  ⃗x ·  ⃗y = x1y1 + . . . + xnyn. Vektorvälja ⃗f divergentsiks kohal ⃗x nimetatakse järgmist skalaari: ¿ ⃗ f ( ⃗x)=⃗ ∇∙ ⃗f (⃗x )= ∂ ∂ x 1 f

1 ( ⃗ x )+…+ ∂ ∂ xn f n ( ⃗ x )

22. Defineerida  vektorkorrutis  ja vektorvälja rootor . Kolmemõõtmeliste vektorite ⃗x = (x1, x2, x3) ja ⃗y = (y1, y2, y3) vektorkorrutiseks nimetatakse järgmist vektorit: ⃗x · ⃗y=(x2 y3−x3 y2, x3 y1−x1 y3 , x1 y2−x2 y1) Vektorvälja ⃗f rootoriks kohal ⃗x nimetatakse järgmist vektorit:
Kordamisküsimusi 4. teema kohta 1. Lineariseerida funktsioon y = f(x) punkti x = a ümbruses. Milline on lineaarse lähendi graafik ? ∆y = f′(a)∆x + β . Asendame siin ∆x = x − a ja ∆y = f(x) − f(a).  Saame f(x) − f(a) = f′(a)(x − a) + β . Avaldame f(x): f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + β Jättes   funktsiooni   f(x)   avaldisest   välja   jääkliikme   β,   saame   uue funktsiooni, mis on lineaarne: P1(x) = f(a) + f′(a)(x − a). f(x) ≈ P1(x)  Funktsioon P1(x) on funktsiooni f(x) lineaarne lähend. Jääkliikme β eemaldamisega   funktsiooni   avaldisest   me   lineaariseerisime   selle funktsiooni. 

2.  Tuletada funktsiooni y = f(x) Taylori  polünoom  punktis x = a. Millal nimetatakse

Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Pn(a) = C0 , P′n (a) = 1! C1 , P′′n (a) = 2! C2 ,  P′′′n (a) = 3! C3 , . . . , P(n)n(a) = n! Cn . Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks ehk n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui x ≈ a, siis kehtib  ligikaudne  valem f(x) ≈ Pn(x). Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 3.  Defineerida   funktsiooni    lokaalne    maksimum,   lokaalne   miinimum   ja   lokaalne ekstreemum .  Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 

1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 

2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib  võrratus  f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 

1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 

2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.

4. Sõnastada ja tõestada Fermat ’ teoreem. 

Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f′(x1) = 0.  Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1  lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse  maksimumi  definitsioonile, leidub punkti x1  ümbrus  nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) − f(x1) ≤ 0, Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt.  Asugu x punktist x1 vasakul.  Siis x − x1 Jagame  võrratuse negatiivse arvuga x − x1. Kuna negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk muutub vastupidiseks, saame  f ( x )−f (X 1) X− X 1 ≥0, See võrratus jääb kehtima ka siis, kui me võtame temast piirväärtuse protsessis x → x1. Seega tuletise definitsiooni põhjal f ' ( x1)= lim x → x 1 f (x )−f ( X 1) X−X 1 ≥ 0. Järgnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x− x1 > 0.  Jagades võrratuse positiivse arvuga x − x1 saame  f ( x )−f (X 1) X− X 1 ≤0, võtame piirväärtuse   f ' ( x1)= lim x → x 1 f (x )−f ( X 1) X−X 1 ≤ 0.  Võrratused   näitavad,   et   f′(x1)   ≥   0   ja   f   ′(x1)   ≤   0.   See   on võimalik vaid siis, kui f′(x1) = 0. Seega on teoreem tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne maksimum. 5. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem. Kirjeldada Rolle’i teoreemi geomeetrilist sisu.  Tõestus. Olgu M ja m vastavalt funktsiooni f suurim ja vähim väärtus lõigul [a, b]. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b]  konstantne , st kõigi x ∈ [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f tuletis nullfunktsioon, st f′(x) = 0 kõigi x ∈ [a, b] korral, ja teoreemi väide on täidetud suvalise c ∈ (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M > m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed  ekstreemumid   saavutatakse  lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M > m tuleneb, et f(x)   väärtused   lõigu   otspunktides   on   erinevad.   Järelikult   ei   olnud    oletus ,   et   mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt   ühe   oma   absoluutsetest   ekstreemumitest   (kas   suurima   või   vähima   väärtuse) saavutama  vahemikus (a, b)  asuvas  punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b)   asuv   absoluutne   ekstreemum   on   ühtlasi   ka   lokaalne   ekstreemum,   omab   funktsioon   f
lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi  eelduste  põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat’ teoreemi põhjal saame f ′(c) = 0. Rolle’i teoreemi geomeetriline sisu. Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A(a, f(a)) ja B(b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega . 6.  Sõnastada   ja   tõestada    Lagrange ’i   teoreem.   Kirjeldada   Lagrange’i   teoreemi geomeetrilist sisu.  Kui   funktsioon   f   on   lõigul   [a,   b]   pidev   ja   vahemikus   (a,   b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f ' (c )= f (b)−f (a) b−a   ehk f(b) − f(a) = f′(c)(b − a). Tõestus. Defineerime järgmise funktsiooni:  F(x) = f(x) −  f (b )−f (a) b−a  (x − a) Lagrange’i   teoreem   väidab,   et    sileda    joone   lõikaja   saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 7. Milline on funktsiooni  kasvamise  ja kahanemise seos tuletise märgiga? Sõnastada ja tõestada vastav teoreem.  Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised  väited : 

1. Kui f ′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 

2. Kui f′(x)  0 iga x ∈ (a, b) korral. Valime vahemikus (a, b) kaks suvalist  punkti x1 ja x2 nii et x1 valisime  punktid x1 ja x2  selliselt , et x1

0. Sellest järeldubki soovitud võrratus f(x1)

8. Defineerida funktsiooni  statsionaarne  punkt. Argumendi   väärtust,   kus   funktsiooni   tuletis   võrdub   nulliga,   nimetatakse   selle   funktsiooni statsionaarseks punktiks ehk kriitiliseks punktiks. 9.  Milline   on   funktsiooni   lokaalsete    ekstreemumite    seos   statsionaarsete   punktidega? Kuidas   selekteeritakse   statsionaarsete   punktide   hulgas   välja   punktid,   kus   esinevad lokaalsed  ekstreemumid?  Fermat’   teoreemi   põhjal   on   diferentseeruva   funktsiooni   lokaalses   ekstreemumis   selle funktsiooni   tuletis   võrdne   nulliga,   st   tegemist   on   statsionaarse     punktiga .   Lokaalsete ekstreemumite   väljaselekteerimiseks   tuleks   jälgida   tuletise   märki   statsionaarsest   punktist vasakul   ja   paremal.   Kui   statsionaarse   punkti   läbimisel   muutub   tuletise   märk   plussist miinuseks, siis esineb vaadeldavas punktis lokaalne maksimum. Kui aga statsionaarse punkti läbimisel muutub tuletise märk miinusest plussiks, siis esineb vaadeldavas punktis lokaalne miinimum. Kui tuletis statsionaarse punkti läbimisel märki ei muuda, siis vaadeldavas punktis lokaalset ekstreemumit ei ole.

10. Kuidas leitakse funktsiooni suurim ja vähim väärtus lõigul? 

Funktsiooni f suurima (vähima) väärtuse leidmiseks lõigul [a, b] tuleb  1) leida funktsiooni  statsionaarsed  punktid vahemikus (a, b) ja arvutada funktsiooni väärtused neis punktides;

2) arvutada f(a) ja f(b);  3) saadud arvudest valida suurim (vähim).