Funktsiooni tuletis - loeng 5 (0)

Funktsiooni tuletis Rühmatöö Sirgjoonelise liikumise teepikkus s (meetites) sõltub liikumise ajast t (sekundites) järgmiselt: s = 0,3t 2 + t Leida funktsiooni muut. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada ajavahemikul 3 t 5 läbitud teepikkus. Leida funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada keskmine kiirus lõigus 3 t 5 s Leida piirväärtus lim Mida võimaldab see valem arvutada? t 0 t Leitud valemi abil arvutada hetkeline kiirus momendil t = 5
2 Diferentsiaalarvutuse rajajad Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz
1643 -1727 1646 -1716
3 Liikumise kiirus Punkti liikumise seadus: s = f (t) 0 (t = 0) Ajamoment t: s = f (t) s1 (t = t1) s Ajamoment t + t : s = f (t + t) s2 (t = t2) Ajavahemikus t läbitud tee: M s s = f (t + t) ­ f (t)
vk = s Keskmine kiirus: t
v = lim s s Hetkeline kiirus: t 0 t 4 Tuletise mõiste y y = f (x)
y = f (x + x) - f (x) f (x+x) y f (x) x 0 x x+x x
Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust y f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim = lim , x 0 x x 0 x kui see piirväärtus eksisteerib. dy df ( x) Tuletise tähised: f ( x), y, y x , , 5 dx dx Tuletise leidmise skeem Vastavalt tuletise definitsioonile, koosneb funktsiooni tuletise leidmine järgmistest etappidest: 1. funktsiooni f (x) muudu y arvutamine vastavalt valemile y = f (x + x) - f (x)
y 2. jagatise x moodustamine
y 3. piirväärtuse lim leidmine x 0 x
6 Näide On antud funktsioon f (x) = x2. Leida definitsiooni järgi tuletis : a) suvalises punktis x; b) punktis x = 3. 1. Funktsiooni muut: y = f (x+ x) ­ f (x) =(x + x)2 - x2 = 2x x + (x)2 2. Jagatis : y 2 xx + (x) 2 = = 2 x + x x x 3. Piirväärtus: y f ' ( x) = lim = lim (2 x + x) = 2 x x 0 x x 0
4. Kui x = 3, siis saame f ' (3) = 2 3 = 6 7 Rühmatöö 5 Tuletise definitsioonist lähtudes leia funktsiooni y = - tuletis. x
8 Joone puutuja Joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja y Q PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P. y Täisnurksest kolmnurgast tan = P QP x 0 x x 0 y tan tan y f (x+x) Q lim tan = lim = tan x 0 x 0 x y P f(x) x Funktsiooni tuletis kohal x on võrdne 0 x x+x funktsiooni graafikule kohal x tõmmatud puutuja tõusuga. 9 Funktsiooni diferentseeruvus Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks.
Kui funktsioonil y = f (x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0.
Kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas.
Teoreem . Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal.
10 Näide Seega on pidevus funktsiooni diferentseeruvuse tarvilik tingimus. See tingimus ei ole aga piisav, sest leidub funktsioone, mis on küll pidevad , aga mõnedel x väärtustel neil tuletist pole.
Näide: Vaatleme funktsiooni y = 3 x,
mille graafik on määratud ja pidev muutuja x kõigi väärtuste korral.
11 Näide Selgitame, kas sellel funktsioonil leidub tuletis. Avaldame muudu y = f ( x + x) - f ( x) = 3 x + x - 3 x Kui x = 0, siis y = 3 0 + x - 3 0 = 3 x Piirväärtus y 3 x 1 lim = lim = lim = x 0 x x 0 x x 0 3 x 2 Seega läheneb funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe punktis x = 0 lõpmatusele, kui x 0 (seega piirväärtus puudub). Järelikult pole vaadeldav funktsioon punktis x = 0 diferentseeruv. 12