Eksam matemaatikas vastustega (0)

1.  Defineerige ühe  muutuja  funktsiooni ning tooge näited. 
Intuitiivselt  võib funktsiooni all mõista „eeskirja“, mis seab igale antud sisendile vastavusse üheselt määratud 
väljundi.  
  Ringi pindala sõltub ringjoone raadiusest, st        ( )        
  Ühtlase kiirusega liikuva keha poolt läbitu teepikkus sõltub ajast, st       ( )                     
  Tagasisaadav summa hoiustamisele antud rahasummast sõltub hoiustamise perioodist ehk ajast 
 
2.  Mida nimetatakse funktsiooni graafikuks? Kas  ringjoon  sobib mingi funktsiooni  graafikus ? 
Kui  reaalarvude  hulga X igale elemendile       on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud ainult üks  reaalarv  y, siis 
öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon f, ja  kirjutatakse       ( )         
Funktsiooni      ( )graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {(    )}        ( )         xy-tasandil. Funktsiooni 
graafik on joon võrrandiga      ( ). 
Ringjoon ei saa olla mingi funktsiooni graafik, kuna vertikaalne joon lõikab ringoone kahes punktis. 
3.  Millist hulka nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks, millist muutumispiirkonnaks? Millega 
tuleb arvestada määramispiirkonna leidmisel? 
Hulka     {         ( )} nim funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks ja hulka     {         ( )       } tema 
väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks. 
Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonna leidmiseks tuleb kindlaks äärata need argumendi x väärtused, mille korral on 
võimalik funktsiooni väärtust arvutada. Määramispiirkonna leidmisel arvestame: 
  Murru nimetja ei tohi võrduda nulliga 
  Paarisarvulise juurijaga juure all olev avaldis ei saa olla negatiivne 
  Logaritmitav peab olema positiivne 
  Logaritmi alus peab olema ühest erinev positiivne arv 
 
4.  Millisel tingimusel loeme kahte funktsiooni võrdseiks? Näited 
Kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) on võrdsed, kui neil on  
  Neil on ühine määramispiirkond X 
  f(x)=g(x) iga       korral 
 
5.  Milliseid funktsioone nimetatakse tükiti defineeritud funktsioonideks? Näited 
Funktsioonid, mis on defineeritud määramispiirkonna erinevatel osadel erinevate valemitega nim. tükiti defineeritud 
funktsioonideks Näiteks: 
a) 
  
 |
     
 |     {            
    (     )           ) 
 
 
 
   
     
b)    {                 
  
     
 (     )           ) 
 
6.  Milliseid funktsioone nimetatakse paarisfunktsioonideks, milliseid paaritufunktsioonideks? Näited. 
Nimetage paaris-ja paaritu funktsioonide graafikute omadusded. 
Kui iga       korral on f(-x) = f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks, ja kui on f(-x) = -f(x), siis 
paarituks funktsiooniks piirkonnas X. 
Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline 
koordinaatide alguspunkti suhtes. 
Trigonomeetrilised funktsioonid y= sinx , y=tanx, y=cot x, y=arcsinx ja y=arctanx on  paaritud  funktsioonid ning y=cos 
on  paarisfunktsioon .  
Paaritu funktsiooni y=x3 graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 
7.  Defineerige funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon. Millisel tingimusel funktsioonil eksisteerib 
pöördfunktsioon? Milline seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ääramispiirkondade vahel? Milline 
seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikute vahel? 
Funktsioon y=f(x) korraldab vastavuse hulkade X ja Y elementide vahel. Kui selline vastavus on üks-ühene, st kui 
kehtib tingimus            (  )    (  ) , siis öeldakse et funktsioonil y=f(x) eksisteerib pöördfunktsioon f -1: 
       ( )        
Pöördfunktsiooni f -1 määramispiirkonnaks on funktsiooni f  muutumispiirkond  Y ning uutumispiirkonnaks 
määramispiirkond X. Kehtivad seosed:  
     ( )]     ja      ( )]     
Näiteks y=x2 ja y=√  on üksteise pöördfunktsioonid ja nende  graafikud  on sümmeetrilised sirge y=x suhtes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.  Defineerige  liitfunktsioon . Kirjeldage näite  varal , kuidas on defineeritud liitfunktsiooni ahelakuju. 
Liitfunktsiooniks ehk funktsioonide kompositsiooniks nim. funktsiooni, mis saab kahe või enam funktsiooni järjesst 
rakendamisel. 
Kui y=f(u), kus u = g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] 
Liitfunktsiooni y=f[g(x)] ahela kuju: y=f(u) u=g(x) 
Liitfunktsiooni  ahela kuju: y=f(u) u=g(v) v=h(x) 
9.  Kirjeldage oma sõnadega sümbolite 1.         ( )     , 
 
2.          ( )       ja 
 3. 
         ( )       tähendust 
Arv A on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks kohal a, kui selle funktsiooni väärtused f(x) erinevad arvust A kuitahes vähe 
kõigi nende x väärtuste korral kohale A. Lühemalt kirjutataksegi see 1. Kirje       tähendab seda, et punkt a peab 
olema ligipääsetav mõlemalt poolt.Funktsiooni piirväärtus iseloomustab väärtusi a ümbruses. 
10. Kirjeldage oma sõnadega sümbolite  1.         ( )     
2.          ( )                 ( )     
           ( )      tähendust 
1.Arvu A nim. funktsiooni f(x) piirväärtuseks argumendi x lähenemisel lõpmatusele, kui f(x) läheneb arvule A kuitahes 
suurte või argumendi x väärtuste korral.2.Arvu A nim. funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks arguendi x lähenemisel miinus 
lõpmatusele, kui f(x) läheneb arvule A kui tahes väikeste argumendi x väärtuste korral.3.Öeldakse et funktsiooni 
y=f(x) piirväärtuseks kohal a on lõpmatus, kui       korral kasvavad funktsiooni f(x) väärtused kuitahes 
suureks.4.Öeldakse, et funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks kohal a on    kui       korral kahanevad funktsiooni f(x) 
väärtused kui tahes väikseks. 
11. Defineerige funktsiooni y=f(x)  tuletis  argumendi x järgi 
  
 (      )    ( )
       ( )      
     
       
   
  
 
Nimetatakse funktsiooni y=f(x) tuletiseks arguendi x suhtes. Suurust     nimetatakse argumendi x muuduks. Suurust 
   nim. funktsiooni uuduks üleminekul punktist x punkti        Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse 
funktsiooni diferentseerimiseks. 
12. Milline on funktsiooni tuletise füüsikaline ja geomeetriline tähendus? 
f

f (x  x
 )  f (x)
Geomeetriline tähendus: Kui eksisteerib piirväärtus 

lim
, siis seda nimetatakse 
 0 

x
x
x
funktsiooni f(x) tuletiseks kohal x ning tähistatakse f’(x) (kui y = f(x), siis y’= f’(x)). Sõnades väljendatuna on tuletis 
funktsiooni muudu (Δy) ja argumendi muudu (Δx) suhe viimase lähenemisel nullile.  
df (x)
dy
Selline tähistus y’ on pärit prantsuse matemaatikult  Lagrange ’ilt, kasutatakse ka pikemat tähistust 

, 
dx
dx
viimast soovitas saksa  matemaatik  Leibniz. See esitusviis on küll ülevaatlikum, kuid lühiduse tõttu kasutame 
enamasti esimest tähistust. 
13. Nimetage diferentseerimise reeglid seoses aritmeetilise tehetega. 
Olgu y=f(x) ja y=g(x) diferentseeruvad funktsioonid, siis 
        ( )]          ( )                
    ( )    ( )]      ( )     ( ) 
    ( )    ( )]      ( )     ( ) 
    ( )    ( )]     ( )    ( )    ( )     ( ) 
  [ ( )]       ( )  ( )  ( )   ( )    ( )     
 ( )
  ( )] 
 
 
14.Defineerige funktsiooni y=f(x) teist ja kolmandat järku ning nulljärku tuletis arguendi x suhtes. 
Funktsiooni y=f(x) teist järku ehk teiseks tuletiseks nim. tema tuletist tema tuletisest ja tähistatakse sümboliga: 
      (  )  
Funktsiooni y=f(x) kolmandat järku tuletist ehk  kolmandaks  tuletiseks nim. tuletist tema teisest tuletisest ja 
tähistatakse sümbolitega        (   )  
Funktsiooni y=f(x) null-järku tuletise all mõeldakse funktsiooni endast so f(0)=f(x) 
15.Kirjeldage näite varal kuidas on defineeritud liitfunktsiooni tuletis. 
Olgu antud liitfunktsioon y=f[g(x)] ehk ahela kujul y=f(x), u=g(x) Siis  
         ( )]     ( )            ( )     ( ) 
Vahepealne muutuja u valitakse nii, et oleks võialik leida tuletis f`(u) põhivalmite abil. Siis jääb leida veel vaid tuletis 
g`(x), milleks võime vajaduse korral jälle kasutada valemit. Tegelikul arvutamisel vahepealne muutuja u eraldatakse 
mõttes. 
N: y=(3x2+1)2          y=f(u)=u2,              u=g(x)=3x2+1 
16.Joone  puutuja  võrrand antud punktis: 
Joone puutuja võrrand punktis   (       ) Antud juhul  
 ja  
 Funktsiooni tuletis y`=(x2)` = 2x ja f`(x
   
        
      
0) = 
 
2x
)     
0 = 2x0 = 2·(   
 Asendades viimast võrrandisse (1) saame otsitava puutuja võrrandit y=-x-  
 
 
 
17.Milliseid punkte nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks, kriitilisteks punktideks, 
maksimum ja miinimumpunktideks. 
Joonis:  Lokaalsed  maksimumid ja miinimumid. Kolm statsionaarset punkti (a) lokaalne  miinimum (b)lokaalne 
maksimum (c) lokaalne ekstreemum puudub  
 
Punkti a nim. funktsiooni y=f(x) statsionaarseks punktiks kui f`(a)=0 
Punkte kus ei eksisteeri funktsiooni nim. selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. 
 
18.Nimetage funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilik ja piisav tingimus. 
Funktsiooni ekstreemumid  on vaadeldava funktsiooni suurimad (vähimad) väärtused naaberväärtustega 
võrreldes.Funktsiooni y=f(x) on punktis a(lokaalne) maksium, kui selle punkti ümbruses kehtib f(x)   f(a) ja miinimum 
kui kehtib f(x)   f(a). Punkti a nim. sel juhul funktsiooni y=f(x) ekstreemumkohaks väärtust f(a) aga funktsiooni 
ekstreemumiks