kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne) on F2 ( x ) - F1 ( x ) = const m.o.t.t. Def Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4
kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne) on F2 ( x ) - F1 ( x ) = const m.o.t.t. Def Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4
Kui 0 AB k =1 F=(X(x; y; z); Y(x; y; z); Z(x; y; z)) siis X ( x; y; z )dx +Y ( x; y; z )dy + z ( x; y; z )dz . Ilmutatud AB b kujul: (joon) AB: y=y(x); a x b; dy=ydx Xdx + Ydy = [ X ( x; y ( x )) + Y ( x; y ( x )) y]dx AB a Param. kujul: AB:x=x(t); y=y(t), t , dx=xdt; dy=ydt Xdx + Ydy = [ X ( x(t ); y (t )) x + Y ( x(t ); y (t ) y ]dt . Ruumiline joon: AB:x=x(t); y=y(t); z=z(t); AB t
Funktsiooni f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + c nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ning konstanti c nimetatakse määramata konstandiks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga f ( x ) dx . Määramata integraal. f ( x)dx =F ( x) +c , kus F'(x) = f(x) x a +1 x 2 dx = a +1 + c , kus a -1 dx =x +c x2 xdx = 2 +c sin xdx =-cos x +c cos xdx =sin x +c dx cos 2 x = tan x + c dx x = 2 x +c e x dx =e x dx x = ln x +c f ( x)dx =F ( x) +c [ f ( x) +g ( x)]dx = f ( x)dx +g ( x)dx af ( x)dx =a f ( x) dx Määratud integraal. b f ( x)dx = F (b) -F (a) a b b a cf ( x) dx = c f ( x)dx a b b b [ f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx
12. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . (1 + x2 ) arctan x 13. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . x 1 - ln2 x 14. Avaldada m¨aa¨ramata integraal 2 e sin(x ) cos(x2 )xdx . 15. Avaldada m¨aa¨ramata integraal xe-3x dx . 16. Avaldada m¨aa¨ramata integraal x2 sin xdx . 17. Avaldada m¨aa¨ramata integraal x ln x dx . 18. Avaldada m¨aa¨ramata integraal (7x + 1)dx . x2 + 2x - 3 19
x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon f (x)dx - integraalialune avaldis C - integreerimiskonstant Näide 3.2 Kasutusele võetud sümboolikas on 2xdx = x2 + C, sest (x2 + C) = 2x ja sin xdx = - cos x + C, sest (- cos x + C) = sin x. 1 Funktsiooni f , millel on olemas määramata integraal, nimetatakse integreeruvaks funktsioo- niks. Määramata integraali leidmist funktsioonist f , nimetatakse selle funktsiooni integreeri- miseks. Elementaarfunktsioonide diferentseerimisel nägime, et elementaarfunktsiooni tuletis on üheselt määratud ja see avaldub samuti elementaarfunktsioonina. Elementaarfunktsioonide integreerimisel
DIf(P)dS ja DIIf(P)dS, siis Df(P)dS = DIf(P)dS + DIIf(P)dS. y=y(s) Kui eksisteerivad integraalid f(P)dS ja g(P)dS ning f(P) <= g(P), P c D, siis f(P)dS <= g(P)dS. z=z(s) Kui eksisteerib integraal f(P)dS ning leiduvad konstandid m ja M, nii et m<= f(P) <= M, P c D, siis mS D <= f(P)dS s c [a,b], ning X, Y ja Z on pidevad funktsioonid, siis Xdx + Ydy + Zdz = ab(Xcos 1 + Ycos 2 + Zcos 3)ds kus cos 1, cos 2 ja <= MSD. cos 3 on vektori dr = (dx,dy,dz) suunakoosinused. Sirgestuva joone korral kehtivad järgmised väited
1 1 3. sin kxdx = cos kx + c 4. cos kxdx = sin kx + c k k 1 5. tan xdx = ln cos x +c 5a. tan kxdx = ln cos kx + c k 1 6. cot xdx = ln sin x +c 6a. cot kxdx = ln sin kx + c
1 1 3. sin kxdx = cos kx + c 4. cos kxdx = sin kx + c k k 1 5. tan xdx = ln cos x +c 5a. tan kxdx = ln cos kx + c k 1 6. cot xdx = ln sin x +c 6a. cot kxdx = ln sin kx + c
f x dx F x C abil järgmiselt b b f x dx Fb Fa Fx a . a Määramata integraali arvutamiseks kasutame integraalide tabelit xa 1 1. x a dx a 1 C a 1 dx 2. x ln x C 3. sin xdx cos x C 4. cos xdx sin x C dx 5. cos 2 x tan x C dx 6. sin 2 x cot x C 7. tan xdx ln cos x C 8. cot xdx ln sin x C x x 9
AB 3) Vedeliku stabiilne tasandiline liikumine 4) Gaasi poolt neelatav soojus 7 5) Voolu ja magneti vaheline toime Seos I ja II l joonintegraalide vahel · · ·2 · 2 Xdx + Ydy = ( X x dt + Y y dt ) = ( X cos + Y sin ) AB II - liiki . joon int . AB AB x + y = ( X cos + Y sin )ds AB I - liiki . joon int · ·
1 + tan 2 x 1 + t 2 ja 1 1 cos2 x = = . (6) 1 + tan x 1 + t 2 2 3. Kui ratsionaalavaldis on kujul (või hõlpsasti teisendatav kujule) R (sin x ) cos x , siis integraalis R(sin x ) cos xdx (7) kasutatakse muutuja vahetust t = sin x. Sellisel juhul dt = cos xdx ja integraal (7) teiseneb ratsionaalavaldise integraaliks R(sin x ) cos xdx = R( t )dt. 4. Kui ratsionaalavaldis on kujul R (cos x ) sin x , siis integraali R(cos x ) sin xdx (8) leidmiseks kasutatakse muutuja vahetust t = cos x . Siis dt = - sin xdx ja integraal
n-1 n1 Astmefunktsioon x ' ' ' =nx x x ' ' dx = n1 C 1 2 x '= 2 x xdx = 3 x 3C x x x Eksponentfunktsioon a ' =a ln a a x dx= lna a C e x dx=e x C x x e '=e Logaritmfunktsioon 1 1 ln x ' = x
f (x)dx. Siin funktsiooni f (x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks, dx argumendi diferentsiaaliks ja korrrutist f (x)dx integreeritavaks avaldiseks. Seega definitsiooni kohaselt f (x)dx = F (x) + C, 1 kus suvaline konstant C kannab ka nimetust integreerimiskonstant. Eeltoodud n¨aidete p~ohjal cos xdx = sin x + C, x2 xdx = + C. 2 Teeme m¨a¨aramata integraali definitsioonist m~oningad j¨areldused. J¨ areldus 1.4. f (x)dx = f (x), st m¨aa¨ramata integraali tuletis on v~ordne integreerita- va funktsiooniga. T~oepoolest, definitsiooni kohaselt f (x)dx = (F (x) + C) = f (x). areldus 1.5
2 . 0 0 0 Näidis 2. Leida ydx xdy , kui AB on funktsiooni AB y x2 graafiku lõik, A(0;0) ja B(2;4). Kuna y x2 , siis dy 2 xdx . 2 2 2 4x3 16 Seega ydx xdy x dx x 3xdx 4 x dx AB 2 0 0 2 3 0
y=a x : Antud juhul a=1. 3) Jätame valemisse sisse a, seda tuleb käsitleda kui arvu mitte muutujat. Konstant a reguleerib paraboloidi (ja ka parabooli) kauguse muutu x-telje suhtes. 4) Moodustame ruumala valemi: h h h a 2 h 2 a 2 h 2 ( ) a2 x2 2 V =a x dx = a xdx = = 2 = 0 0 2 0 2 2
1x+2y+3z on kõrgemat järku l.k.s. kui Def: Kui f-ni täismuut avaldub kujul * (kahe liidetava summana) millest esimene on lineaarne x, y ja z suhtes ja teine liidetav on kõrgemat järku l.k.s. x, y, z suhtes siis seda esimest liidetavat nim kolme muutuja f-ni täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d=/xx+/yy+/zz. Kui =x siis /x=1; /y=0; /z=0 ja dx=1x+0y+0z=x Sõltumatu muutuja x suhtes langevad täisdif ja x-muut kokku. =y(x) ning seega dy(z)=y(z) d=/ xdx+/ ydy+/ zdz. Kui z=(x; y) siis dz=z/xdx+z/ydy. Nüüd kirjutada avaldise * kahe muutuja f-ni jaoks z=z/xx+z/yy+1x+2y; 1x+2y=0 siis zz/xx+z/yy (zdz) ja (x+x; y+y)-(x; y)z/xx+z/yy ja saab valemi: (x+x; y+y) (x; y) +z/ x x+z/ y y Ilmutuamata f-ni osatuletis F(x; y)=0 (1) F-n on pidev ja on olemas pidevad osatuletised Fx; Fy ja et Fy0. F(x+x; y+y)=0 (2) (2)-(1)=F(x+x; y+y)- F(x; y)=0. F=F/xx+F/yy+1x+2y=0. (F/y+2)y=-(F/x+1)x/:(F/y+2)x eeldusel et
, u1>u2>u3>... n . Xdx +Ydy +Zdz x0 y0 , . ,
f[g(t)]=f(x) f ' ( x) Valem integraali f ( x) dx leidmiseks d ln x d x 1 1 1 x 1 ln x = * = signx = = * = d x dx x x x x x 5. Tuletada ositi integreerimise valem. Esitada põhilised ositi integreeruvad integraalid. Põhilised ositi integreeruvad integraalid 1) cos x sin xdx 2) (ax +b) sin xdx 3)? 6. Defineerida funktsiooni f(x) määratud integraal lõigul [a;b]. Mis on a f ( x)dx b geomeetriline tähendus, kui f(x) _0 7. Sõnastada ja tõestada matemaatilise analüüsi põhiteoreem(st millega võrdub määratud integraali tuletis muutuva ülemise raja järgi). 8. Lähtudes matemaatilise analüüsi põhiteoreemist tuletada Newton-Leibnizi valem b f ( x)dx a arvutamiseks. Vt vihikust
mis on tuntud Newton-Leibnizi valemi nime all. N¨aide 1. Leiame e e dx = ln x = ln e - ln 1 = 1. 1 x 1 N¨ aide 2. Leiame 1 xdx . 0 1 + x2 Kasutame integreerimiseks v~ordust d(1 + x2 ) = 2xdx ja leiame 1 1 xdx 1 2xdx 1 1 d(1 + x2 ) = = =
kõikides punktides kehtib võrdus F ( x ) = f ( x ) . Avaldist kujul F ( x ) + C , kus F ( x ) on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx , s.t. f ( x ) dx = F ( x ) + C . dx = x + C x +1 x dx = +C +1 1 dx = ln x + C x e x dx = e x + C ax a x dx = +C ln a sin xdx = - cos x + C cos xdx = sin x + C 1 dx = tan x + C cos 2 x 1 dx = arcsin x + C 1- x2 1 dx = arctan x + C 1+ x2 Määramata integraali kaks omadust: Af ( x ) dx = A f ( x ) dx , kus A on konstant [ f ( x ) + g ( x ) ] dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx 11. Diferentsiaali märgi alla viimise võte määramata integraali leidmiseks. Ositi integreerimise valem. f ( x ) f ( x ) dx või g [ f ( x ) ] f ( x ) dx
∫ M ( x ) dx +∫ N ( y ) dy =C y=v ( x ) u ( x )=e −∫ P ( x ) dx ¿ xdx+ ydy=0 ∫ x dx+∫ y dy=C Kõrgemat järku DV Sümmeetrilisel kujul antud eralduvate muutujatega (n) DV: M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0 Lihtsam n- järku DV y =f (x) 1) Eraldada muutujad
üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). ∫ dx =x+C x a−1 ∫ x a dx = a+1 + C , kus a ≠ -1 dx ∫ x = ln |x| + C x a ∫ a x dx = lna + C , kus a>0, a ≠ 1 ∫ sin xdx = - cosx + C ∫ cos xdx = sinx + C dx ∫ cos2 x = tanx + C dx ∫ sin2 x = - cotx + C dx 1 x ∫ k2 + x2 = k arctan k +C dx x ∫ = arcsin k +C √ k 2−x 2 [ f ( x ) ∓ g ( x ) ] dx =¿ ∫¿ ∫ f ( x ) dx ∓ ∫ g ( x ) dx
vaja int-da f-ni: alati saab asendust kasutada lihtsustamiseks; f ( az +b) dz => x =az+b, dx =(az+b)dz , dx=adz=>dz=1/adx=> f (az +b)dz = f ( x)1 / adx =1 / a f ( x)dx 27. Ositi int-mine U=u(x), v=v(x); d(uv)=(uv)'dx=(u'v+v'u)dx=(u'dx)v+u(v'dx)=vdu+udv=> udv= d(uv)-vdu; udv = d (uv) - vdu = uv - vdu *I Pn(x)sinx, Pn(x)cosx, Pn(x)ex=> u=Pn(x) *II f(x) sisaldab arkusf-ni või logaritmf-ni. F-niks tuleb valida u=u(x) *NT x sin xdx =>u=sinx, ülejäänd dv=xdx, arv du=(sinx)'dx=cosxdx ja v= xdx =x2/2, läks raskemaks, seega valida u=x *Märkused 1)F-ni valik 2) ositi int-misvalemit saab kasut korduvalt 3)teatud juhtudel toob ositi integ rakendus meid otsitava int leidmisel võrrandini: nt sin xdx =lõpuks 1/2(x-sinxcosx+C) 2 28.Murdrats. f-ni omadusi F(x)=Pn(x)/Qm(x); Pn(x)=a0xn+a1xn-1...+an-1x+an; Qm(x)=b0xm+b1xm-1...+bm-1x +bm *Def. kui meil n m, siis me ütleme, et meil on mittekorrapärane murdrats f-n.
dt M.v. t = x4 + 2x2 dt = (4x3 + 4x)dx dx = 3 4x + 4x 7. Leida integraalid (ositi integreerimisega) (2p): 1 xe-2x dx, 3x2 ln xdx. 0 Lahendus. 1 1 1 1 1 1 1 1 -2x 1) xe-2x dx = O.i
19 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 4. Üldine teist liiki joonintegraal. Greeni valem Def. Funktsioonide X = X ( x, y ) ja Y = Y ( x, y ) (x, y ) D üldiseks teist liiki joonintegraaliks nimetatakse teist liiki joonintegraalide summat Xdx + Ydy = Xdx + Ydy . AB AB AB Def. Piirkonda D , mis on nii x-telje kui ka y-telje sihis kõvertrapets, nimetatakse lihtsaks piirkonnaks. Teoreem 9 (Greeni valem). Kui funktsioonid X (x, y ) , Y ( x, y ) , X y , Yx on pidevad lihtsas piirkonnas D , mille rajajoon on L , siis kehtib valem Xdx + Ydy = (Y
parem lineaarne mudel) Ülesanne 5. On antud regressioonimudel ln(Y ) 0 1 X 2 X ; Y on regiooni keskmine palk, X – 2 noorte osakaal regioonis tööjõus. Leida muutuja sõltuva muutuja keskmine elastsuse arvutamise valem. Põhjendada tuletuskäiku. Lahendus. Elastsuse leidmiseks diferentseerime võrrandi mõlemaid pooli dY / Y dX 2 2 XdX dY / Y 1dX 2 2 XdX . Elastsus E 1 1 X 2 2 X 2 . Antud dX / X dX / X juhul palga elastsus elastsus sõltub muutuja X väärtusest (ei ole tegemist konstantse elastsusega mudeliga). Keskmise elastsuse leidmisel asendatakse X konkreetne väärtus tema keskmisega (st noorte keskmine osakaal regiooni tööjõus): 1 n X X i . Seega keskmine elastsus E 1 X 2 2 X 2 .
Sellest definitsioonist järeldub: 1. ( ) f ( x ) dx = F ( x ) + C = f ( x ) . 2. d f ( x ) dx = f ( x ) dx . 3. dF ( x ) = F ( x ) + C . 4.11 Integraalide tabel Järgnevates valemites mõistetakse C all suvalist konstanti. x +1 1. x dx = +C ( -1) . +1 dx 2. x = ln x + C . 3. sin xdx = - cos x + C . 4. cos xdx = sin x + C . dx 5. cos x = tan x + C . 2 dx 6. sin x = - cot x + C . 2 7. tan xdx = - ln cos x + C . 8. cot xdx = ln sin x + C . e dx = e + C . x x 9. ax 10. a x dx = +C. ln a dx 11. 1+ x 2 = arctan x + C . dx 1 x 12. a 2
2. d f x dx f x dx . 3. dF x F x C . 4.11 Integraalide tabel Järgnevates valemites mõistetakse C all suvalist konstanti. x 1 1. x dx C 1 . 1 dx 2. x ln x C . 3. sin xdx cos x C . 4. cos xdx sin x C . dx 5. cos x tan x C . 2 dx 6. sin x cot x C . 2 7. tan xdx ln cos x C . 8. cot xdx ln sin x C . e dx e C . x x 9. ax 10. a x dx C. ln a dx 11. 1 x 2 arctan x C .
[4; 8] . . , 0,5 . . , 0,5 . : D 6,5 - 5,5 1 1 p= = = = , 8-4 8-4 4 D , , . 1 1 P ( A) = p 5 = 5 = . 4 1024 72. X 0 1. Y = X - 2 . . Y = X - 2 0 1. 1 1 x2 1 M [ X ] = xf ( x)dx = xdx = = . - 0 2 0 2 1 1 x3 1 1 1 1 D[ X ] = M [ X ] - M [ X ] = x dx - = 2 2 2 - = - = . -
2 2 Kasutame asendust 1 tan x = t dx = dt 1+ t2 t2 (27.2) sin 2 x = 1+ t2 1 cos 2 x = 1+ t2 t sin x cos x = tan x cos 2 x = 1+ t2 3. Integraalid R(sin x, cos x) cos xdx 2 (27.3) sin x = t cos xdx = dt R(sin 2 x, cos x) sin xdx (27.4) cos x = t sin xdx = dt sin 2 x = 1 - cos 2 x = 1 - t 2 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 43 Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega). Olgu y = f (x) pidev lõigul [a, b] Jaotame lõigu n osaks punktidega (28.1) x 0 = a, x1 , x 2 ,..., x n = b (28
2 2 Kasutame asendust 1 tan x = t dx = dt 1+ t2 t2 (27.2) sin 2 x = 1+ t2 1 cos 2 x = 1+ t2 t sin x cos x = tan x cos 2 x = 1+ t2 3. Integraalid R(sin x, cos x) cos xdx 2 (27.3) sin x = t cos xdx = dt R(sin 2 x, cos x) sin xdx (27.4) cos x = t sin xdx = dt sin 2 x = 1 - cos 2 x = 1 - t 2 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 43 Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega). Olgu y = f (x) pidev lõigul [a, b] Jaotame lõigu n osaks punktidega (28.1) x 0 = a, x1 , x 2 ,..., x n = b (28
b). Leida sama jaotusreana esitatud juhusliku suuruse X 3 3 keskväärtus, dispersioon, mood ja mediaan. Näide 2. Leida ühtlase jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus, dispersioon, mood ja mediaan. b 1 ba Keskväärtus: EX = b a xdx = a 2 b a 2 b 1 ba 2 a b a x dx 2 Dispersioon: DX = - = . 2 12 Mood puudub
Kui x < 0, siis (ln |x| + C) = [ln(-x) + C] = -x · (-x) = -x · (-1) = x1 . Kui x = 0, siis ei ole ln |x| m¨a¨aratud. Oleme t~oestanud valemi 3 kehtivuse k~oikide x R {0} korral. ax 4. ax dx = ln a + C , kus a > 0, a = 1, x a ax kuna ln a +C = ln a ln a = ax . Erijuht: ex dx = ex + C. 5. sin xdx = - cos x + C. 6. cos xdx = sin x + C. dx 7. cos2 x = tan x + C. dx 8. sin2 x = - cot x + C. dx 1 9. k2 +x2 = k arctan xk + C. dx Erijuht: 1+x2 = arctan x + C. 10. dx = arcsin xk + C. k2 -x2 Erijuht: dx = arcsin x + C. 1-x2 H¨
x) ning du=M(x,y)dx (või du=N(x,y)dy)* u=M(x,y)dx+C(y) (või u=N(x,y)dy+C(x))*C'(y)=N(x,y)- (/y)M(x,y)dx (või C'(x)=M(x,y)-(/x)N(x,y)dy) *III(kolmas) (x0.. .x)M(x,y)dx+(y0..y)N(x0,y)dy=0 või (x0.. .x)M(x,y0)dx+(y0..y)N(x,y)dy=0 10)Tuletise suhtes ilmutamata DV* F(x,y,y')=0*1)y'=f(x,y) või kui ei saa, siis... *2)y=g(x,y')}*3)x=h(y,y')}Lahendame parametriseerides. *Parametriseerimine: F(x,y,y')=0-- >y=g(x,y')*{}x=x*{}y'=p => dy/dx=p => dy=pdx *{}y=g(x,p) => dy=x/ydx+g/pdp}}=>pdx=g/xdx+g/pdp , (p-g/x)dx-g/pdp=0 * Lahendame p suhtes: *{x=f(p,C) {y=g(f(p,C),p) }} => y=g(x,y(x)), kus p=y(x)* Analoogiline teisendus: x=h(y,y') * {y=y*{y'=p => dy=pdx => dy= p(h/ydy+h/pdp) *{x=h(y,p) => dx=h/ydy+h/pdp* Parametriseerimise üldskeem: F(x,y,y')= 0 <->F(x,y,z)=0 *{x=f(u,v) dx =f/udu+fi/vdv*{y=y(u,v) -> dy=y/udu+y/vdv-> y/udu+y/vdv=X(u,v)(f/udu+f/vdv)*{y'=X(u,v) dy=X(u,v)dx*[y/u-X(u,v)f/u]du+[y/v-
a a 1 2 u = ln x du = dx x NÄIDE: x ln x dx x2 1 dv = xdx v= 2 2 2 2 2 x2 x2 22 12 x2 1 x ln x dx = 2 ln x - 1 2 x dx = 2 ln 2 - 2 ln 1 -
a a 1 2 u = ln x du = dx x NÄIDE: x ln x dx x2 1 dv = xdx v= 2 2 2 2 2 x2 x2 22 12 x2 1 x ln x dx = 2 ln x - 1 2 x dx = 2 ln 2 - 2 ln 1 -
täisdiferentsiaaliks. dz= z x x + z y y = z x dx + z y dy . Täisdiferentsiaali kasutatakse näiteks ' ' ' ' ligikaudsel arvutamisel. Osatuletise kasutamine ligikaudsel arvutamisel- asendan ligikaudsed arvud arvudega, millega on kergem tehteid teostada ning erinevused panen kirja muuduna. Seejärel kasutan valemit. z x' x + z 'y y = z x' dx + z 'y dy . Ja võtan arvesse asjaolu , et xdx ja ydy. Gradiendi mõiste, tema tähendus- Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetatakse vektorit ' ' grad z = ( z x ; z y ) . Kehtib analoogselt ka kolme ja enama sõltumatu muutuja korral. Konkreetses punktis saame gradiendiks arvvektori, mis näitab funktsiooni kõige kiirema kasvu suunda(mis suunas liikudes jõuame nn. paremale nivoojoonele), gradient on risti nivoojoonega. Funktsiooni tuletis ühikvektori suunas- Funktsiooni z = f(x, y) tuletiseks ühikvektori
suvalise λ ∈ R{0} korral eksisteerib ka integraal ∫λf (x) dx ning kehtib seos ∫ λf (x) dx = λ∫f (x) dx. Selgitada ositi integreerimise valemit (lause 8.3). Tuua näiteid. Olgu funktsioonid f : D → R ja g : D → R diferentseeruvad. Kui intervallis D on olemas integraal ∫ f′ (x) g (x) dx, siis eksisteerib ka integraal ∫f (x) g′ (x) dx ning ∫f (x) g′ (x) dx = f (x) g (x) − ∫f′ (x) g (x) dx. Leiame valemi (8.2) abil määramata integraali ∫x cos xdx. Selleks võtame f (x) := x ja g (x) := sin x, siis g′ (x) = cos x ning ∫x cos xdx = ∫f (x) g′ (x) dx = x sin x – ∫1 · sin xdx = x sin x + cos x + C suvalise x ∈ R korral. 33. Monotoonsed jaded. Monotoonsuseprintsiip (*) Defineerida kasvavad, kahanevad, rangelt kasvavad ja rangelt kahanevad jadad. Arvestades asjaolu, et jada on funktsioon määramispiirkonnaga IN, saame monotoonse funktsiooni definitsioonist, et jada (xn) on
-x · (-1) = x1 . Kui x = 0, siis ei ole ln |x| m¨ a¨ aratud. Oleme t~oestanud valemi 3 kehtivuse k~oikide x R {0} korral. x 4. ax dx = lna a + C , kus a > 0, a = 1, ( x ) x kuna lna a + C = lna a ln a = ax . Erijuht: ex dx = ex + C. 5. sin xdx = - cos x + C. 6. cos xdx = sin x + C. dx 7. cos2 x = tan x + C. 8. dx sin2 x = - cot x + C. dx 9. = k1 arctan xk + C. k2 +x2 dx Erijuht: 1+x 2 = arctan x + C. 10. dx = arcsin xk + C. k2 -x2 dx Erijuht: 1-x 2 = arcsin x + C. H¨ uperboolsete trigonomeetriliste funktsioonidega seotud integraalid. 11
Elastsusjõu väljas, kus E p = , vastavalt 2 grad E p = -i kx = -Fel . Tsentraalse raskusjõu väljas kasutame potentsiaalse energia jaoks valemit (5.30a). Sellest koordinaadi x järgi tuletist arvutades kasutame liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja: E p dE p r = . x dr x Et r x r 2 = x 2 + y 2 + z 2 rdr = xdx + ydy + zdz = . x r Teiselt poolt E p GMm = . x r2 Kolme viimast valemit arvutades saame raskusjõu avaldise ( ) GMm GMm Fg = - 3 i x + j y + k z = - 3 r , r r 10 tema moodul võrdub
8. Ctrl + lohista => koopia 9. Valemi (pildi) suurust muuda peale sisestamist pidemepunktidest (pane enne mällu) 10.Valemi rõhutamiseks saad kasutada värvilist tausta (kriit/menüü) 11.Valemi asukoha määramiseks rakenda pildi töövõtteid. 42 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 b n x y xdx a 1 + cos cos =± 2 2 a b cos = a b a ab 0 b 0 b 0 a1 b1 c1 2 a2 b2 c2 p p x1; 2 = - ± -q 2 2 a3 b3 c3
2 Kiirenduse faas on hälbest võrra ja kiirusest 2/ võrra ees. Kiirenduse võrduse võib üles kirjutada ka järgmisel kujul: &x& + 02 x = 0 , mis on harmoonilise võnkumise diferentsiaalvõrrand. Seda seost peavad rahuldama kõik võnkumised, mis kujutavad harmoonilist võnkumist. Harmoonilise võnkumise energia Töö keha väljaviimisel tasakaaluasendist: kx 2 x x A = Fdx = k xdx = 0 0 2 Võnkumise energia hetkel, mil hälve on x: kx 2 kA02 sin 2 ( 0 t + 0 ) Wp = = 2 2 mv 2 m(x& ) 2 m 02 A02 cos 2 ( 0 t + 0 ) Wk = = = 2 2 2 Mehaanilne energia kokku on: W = W p + Wk = kA02 2 2 [
funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil (joonis 5.1). 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C) = 1. 2. x^a dx = {(x^a +1)/ a+1} + C, kus a = -1, kuna ({x^a+1/ a+1 }+ C) = (a + 1) *(x^a)/(a+1) = x^a. 3. dx/x = ln |x| + C. 4. a^x dx = {a^x/ ln a} + C , kus a > 0, a = 1, kuna ({a^x/ ln a} + C) ={ a^x/ ln a}* ln a = ax. Erijuht: exdx = ex + C. 5. sin xdx = -cos x + C. 6. cos xdx = sin x + C. 7. dx/Cos^2 x = tan x + C. 8. dx/ sin^2 x = -cot x + C. 9. dx/ (k^2+x^2) = 1/k* arctan (x/k )+ C. Erijuht: dx/ (1+x^2) = arctan x + C. 10. dx / (k^2-x^2) = arcsin (x/k) + C. Erijuht: dx / (1-x^2) = arcsin x + C. Maaramata integraali omadused (sh omadus 3 koos toestusega). 1. [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx. 2. a f(x)dx = a f(x)dx, kus a on konstant. 3. Kui f(x)dx = F(x) + C ja a, b on konstandid, siis f(ax + b)dx =(1/a)*F(ax + b) + C
38. Diferentsiaalvõrrandi arvuline lahendamine y'=f '(x)=limx0 (y/x) ; y'(y/x), kui x on väike, siis y'x y; y1-y0= yy'x; y1=x0+y' x ; y'=F(x,y). Kui x on väike, siis y1=y(x1) ; y1y0+y'(x0)* x ; ; y1y0+F(x0, y0 )x (1) Näide: y'=(dy/dx)=x . Antud: y(1)=2. (1 on x0 ja 2 on y0). dy=xdx y=(x2/2)+C 2=1/2+C C=3/2. Erilahend y=(x2+3)/2 ; y(1,01)=[(1,01)2+3]2=2,01005 Lahend valemi (1) abil : y1=2+(dy/dx)x(1,01-1)=2,01. Arvuline lahendamine valemi (1) abil on universaalne meetod, mis on rakendatav ka siis, kui integraalid ei ole võetavad. Meetodi täpsus on x2.
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005 4. Tuletada Maa ellipsoidi meridiaani raadiuse valem. dx dx Jooniselt saame Md ,siit avaldades M sin d sin Loeme koordinaatide alguse Maa keskpunktis olevaks ja kirjutame ellipsi võrrandi kanoonilisel kujul: x2 y 2 2 xdx 2 ydy dy b2 x 1 Diferentseerides saame 2 0 ,ning a 2 b2 a2 b dx a 2 y dy b2 x b2 x Jooniselt cot ,millest cot 2 ,siit y 2 tan dx a y a x 2 x b tan
f(x)dx Päratut integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on lõplik. Vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Teoreem 5.5. Kui iga x ≥ a korral kehtivad võrratused 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ja integraal R ∞ a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal R ∞ a f(x)dx. Teoreem 5.6. Kui R ∞ a |f(x)|dx koondub, siis koondub ka R ∞ a f(x)dx. Näide. Hindame päratu integraali R ∞ 1 sin xdx x2 koonduvust. Kuna iga x korral kehtib võrratus ¯ ¯ ¯ ¯ sin x x 2¯¯¯¯≤1x2 Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c ∈ (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal Z c a f(x)dx iga c ∈ (a, b) korral. Olgu funktsioon f pidev poollõigul (a, b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f
l→∞ g(l) R∞ R∞ integraalid a f (x) dx ja a g(x) dx samaaegselt. II võrdluslause tõestus matkib vastavat arvridade II võrdluslause tõestust (vt. lauset 6.18). 5.7 Wallise valem ja Euler–Poissoni integraal 5.7.1 Wallise valem Tähistame Z π/2 Jm := sinm xdx (m = 0, 1, . . . ) 0 π ning paneme tähele, et J0 = ja J1 = 1. Kui m > 1, siis rakendame integraali Jm arvutamiseks ositi 2 integreerimise valemit, mille kohaselt Z π/2 Z π/2
D. Õppeaines käsitletud olulised võrrandid Püstuvuse põhivalem BM = I WP / DISV , kus IWP on ujuvuspinna teine inertsimoment Kastikujulise kere I WP = L × B 3 / 12 Laevakujulise kere I WP = L × B 3 / 18 Keskmise kaubalaeva BM = B 2 / 12,6T Mahukeskme aplikaat KB = T - 1 / 3( T / 2 + DISV / AWP ) L Mahukeskme abstsiss XB = 1 / DISV AS xdx , kus AS on jooksev kaarepind 0 või XB = MASX / DISV , kus MA SX on kaarepindade momentide summa ahtriperpendikulaari suhtes Metatsentri kõrgus KM = KB + BM Raskuskeskme aplikaat KG = M Z / , kus M Z on laeva ja lastikomponentide raskuskesete momentide summa kiilutasandi suhtes Raskuskeskme abstsiss XG = M X / , kus M X on laeva ja lastikomponentide
#V#z##n?ZS/n#'*#;#L##QoCR?#>5I#|
ug]nJUY
)ncq3ZIe
,YbE###cqX>#ÄtI)
[{8YfUJURmFQk4zgtA#)##q#s_
=pn
%#OxK[MkW[&eK*cK #nXTvW:r]:.
:*p#Xu#
annaabi.ee 
