MÄ Ä R AMA T A I N T EGR A A L (0)

INTEGRAALARVUTUS
M Ä Ä R A M A T A   I N T E G R A A L
Def   Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille  tuletis  
võrdub funktsiooniga f(x):  F (′ x) = f ( x) .
Näide: Funktsiooni  y = 2x   algfunktsioon  on 
2
y = x , sest  ( ′
x2 ) = 2x .
Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui  F (′ x) = f ( x), siis [F( x) C]′
= F (′ x) = f ( x) , 
kus C on suvaline  konstant.
Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest.
Funktsiooni  y = f ( x)  algfunktsiooniks on kõik funktsioonid  y = F( x) +C .
Teoreem : Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt 
konstantse liidetava poolest:
Tõestus: Olgu  y F
y F
x
y = f x
1 ( x)  ja 
2 (
)  suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile 
( ) . Siis 
algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: 
F′ x = f x
F′ x = f x
1(
( ); 2( )
( )
′
F′ x − F′ x =
ehk
F x − F x =
2 (
) 1( ) 0
[ 2( ) 1( )] 0
Nulltuletisteoreemi kohaselt (kui funktsioon omab vahemiku igas punktis tuletist ja see tuletis on 
kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne ) on  F2( x) − F1( x) =  const   m.o.t.t.
Def   Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks  nimetatakse  avaldist  y = ∫ f (x)dx = F(x) + 
C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse 
integreerimiskonstandiks.
Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) 
nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist 
f(x)dx.
Näide:  ∫ xdx =x2
2
+C
1 . M Ä Ä R A M A T A   I N T E G R A A L I   O M A D U S E D
1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga  [ f (x dx
∫
] =
′ f (x)
2.  Diferentsiaal  määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega:  d f (x) dx = f ( x) dx
∫
3. Määramata  integraal  mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline 
integreerimiskonstant:  F (′x) dx = F (x) C
∫
4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette:  kf (x) dx
k
f (x)
∫
= ∫
dx ,  kus k = const
5.  Summat  ja vahet võib integreerida liikmeti:  [ f ( x) ± g( x)]dx = f ( x) dx ± g(x)
∫
∫
∫
dx
TÕESTUSED
1.
[ f (x dx
∫
] =
′ f (x) . Definitsiooni järgi  f (x)dx =F(x) C
+ ,
∫
 kus  F (′ x) = f ( x)
[ f (x)dx
∫
] =′[F(x) C]′
= F (′ x) = f (x)  m.o.t.t.
2.
d
f ( x) dx = f ( x) dx
∫
1
d f ( x) dx
∫
[ f (x)dx
∫
] d′
x = f ( x) dx   m.o.t.t.
1.om
3.
F (
′ x) dx = F(x) C
∫
Et  f ( x) dx = F( x) +C
∫
 kus  F (′ x) = f ( x) , siis  F (′x) dx = F (x) C
∫
 m.o.t.t.
4.
kf (x) dx
k
f (x)
∫
= ∫
dx .
Diferentseerime paremat poolt
[k f (x)dx
∫
] k[ f (x)dx
∫
] =
′
′
kf (x)  (viimane vt omadus nr 1) m.o.t.t.
5.
[ f (x) +g(x)]dx = f (x)dx + g(x)
∫
∫
∫
dx
Diferentseerime valemi paremat poolt 
[ f (x)dx g(x)dx
∫
∫
]′
[ f (x)dx
∫
]′
[ g(x)dx
∫
]′
= f (x) +g(x)  m.o.t.t.
INTEGREERIMISE PÕHIVALEMID
Integreerimise põhivalemid saadakse  tuletiste  põhivalemite “tagurpidi” rakendamisel (vt tuletiste 
tabel paremalt vasakule). Nende kontrollimiseks tuleb leida parema poole tuletis, mis peab 
võrduma intergraalialuse funktsiooniga
1.
dx = x
C
∫
n 1
2.
xn
= x
dx
+C,
≠ 1
−
∫
n
n +1
dx
3.
x +C
∫
ln
, 
Tõestus (kuna pisut erineb tuletiste tabelis  olevast ). 
x
 x, kuix> ;0
′
′ 1
Avaldame x absoluutväärtuse x = 
  Kui x > 0 (ln x ) = (ln x) =  ja kui 
− x,kuix