INTEGREERIMISE VALEMID (0)

DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID
Tuletis
Integraal , kus
Diferentseerimise reeglid
Diferentseerimise reeglid
Integreerimise reeglid
Lihtfunktsioon y=ƒ(x)
Liitfunktsioon y=ƒ(u), u=(x)
(u +v)’=u’+v’, kus u,v=(x)
(ux +vx)’=ux’+ vx’
(u + v)dx = u dx +  v dx
(u – v)’=u’– v’
(ux – vx)’=ux’– vx’
(u – v)dx = u dx –  v dx
( uv ) ’ = u’v + v’u
(uxvx)’=ux’v+ vx’u
 u dv = uv –  v du
( Cu ) ’ = C u’
( Cux ) ’ = C ux’
 Cu dx= C u dx
(uvw)’ = u’vw + v’uw + w’uv
Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = t) ja y = (t)
ja
Nr
Diferentseerimise valemid
Diferentseerimise valemid
Integreerimise valemid
Lihtfunktsioon
Liitfunktsioon
1
( C ) ’ = 0
 0 dx = c
2
( x ) ’ = 1
 dx = x + c
3
( x n ) ’ = n x n–1
( u n )x’ = n u n–1 u x ’
 x n dx =+ c, kui n  – 1
4
5
6
7
8
9
10
11
12
( sin x ) ’ = cos x
( sin u )x’ = cos u  ux’
 cos x dx = sin x + c
13
(cos x ) ’ = – sin x
( cos u )x’ = – sin u  ux’
 sin x dx = – cos x + c
14
15
16
17
18
19

Tähtsamaid tuletisi ja integraale

( sh x ) ’ = ch x ( sh u )x’ = ch u  ux’  ch x dx = sh x + c

( ch x ) ’ = sh x ( ch u )x’ = sh u  ux’  sh x dx = ch x + c

(x1)

(x1)

(x1)

12a.

13a.

14a.

15a.

Veel mõningaid integraale

2.
3. 4.
5. 5a.
6. 6a.
7. 8.
9. 10.
11.  arc sin x dx = x arc sin x +
+ c 12.  ln x dx = x ln x – x + c

 arc tan x dx = x arc tan x – + c
14.
15.
16.

Ruutkolmliikmeid sisaldavaid integraale

17. I1 =, asendus
18. I2 =,kus Ax+B=
19. I3 =
20. I4 =

Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks

21. Nimetaja nullkohad on reaalsed ja erinevad O1 =
22. Osa nimetaja nullkohtadest on reaalsed ja kordsed O2 =
23. Osa nimetaja nullkohtadest on imaginaarsed ja erinevad O3 =
24. Osa nimetaja nullkohtadest on imaginaarsed ja kordsed O4 =

Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimisest

25. , asendus
26. asendus t = tan x
Klassikalised piirväärtused
Tähtsamaid piirväärtuseid
Ekvivalendid
sin x  x tan x  x arcsin x  x arctan x  x
ln (1+x)  x log a (1+x)  e x  1+ x a x  1+ x ln a
Määramatud kujud:

Funktsiooni pidevus

Funktsiooni katkevus

I liik kõrvaldatav
I liik hüppekoht
II liik lõpmatuskoht kas või
või mõlemad = 
Kaldasümptoot y = kx + b , kus
ja
Vertikaalasümptoot asub selles punktis, kus esineb teist liiki katkevus. Võrrand x = a
Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus:
on , kui
puudub, kui

võib olla ja võib ka mitte olla, kui
võib olla ja võib ka mitte olla, kui
= A ja
ei eksisteeri

Mitme muutuja funktsiooni tuletis

Ühe y = f (x) kahe z = f (x,y) kolme u = f (x,y,z)
Diferentsiaal dy = y dx
Liitfunktsiooni tuletis a) z =  (u,v), kus u =  (x,y) ja v =  (x,y)
b) z =  (u,v), kus u =  (x) ja v =  (x)
c) z =  (x,y), kus y =  (x)
Ilmutamata funktsiooni tuletis F (x,y) = 0
F (x,y,z) = 0
Teist järku diferentsiaal
Suunatuletis
Gradient grad z grad u
Puutujatasandi võrrand
Normaali võrrand
Joone kõverus Kõverusraadius R=
ristkoordinaatides
parameetrilises kujus
polaarkoordinaatides, kus
x = cos  y =sin 
Kõveruskeskpunkt K(x0;y0)
Kõveruskeskpunkt K (x0;y0)
Võrrandi ligikaudne lahend
Puutujameetod (Newtoni meetod) Alustada punktist, kus y ja y  on sama märgiga
Kõõlumeetod
Taylori rida
Maclaurini rida
, kus n = 0,1,2,3…
, kus n = 1,2,3…
, kus n = 1,2,3…
, kus n = 1,2,3…
arccos x =
– arcsin x
arccot x =
– arctan x
Hüperboolsed funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid
Taylori rida kahe muutuja puhul

Ühe muutuja funktsiooni ekstreemum

X
Y
Lõikepunkt x-teljega y = 0
y
y = 0
–
–
–
y = 0
y = 0
y
–
–
–
y=0
järeldus

Max 

KP

Min 

Ekstreemumi
ei ole

tarvilik tingimus y = 0

b) piisav tingimus
Max – üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi + -lt – -le
Min – üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi – -lt + -le
Ekstreemumi ei ole – üleminekul üle kriitilise punkti y ei muuda märki
Käänupunkt
a) tarvilik tingimus y = 0
b) piisav tingimus – üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märki
Funktsioon kasvab kumeralt, kui y  0 ja y  0  Funktsioon kahaneb nõgusalt, kui y  0 ja y  0 
Funktsioon kasvab nõgusalt, kui y  0 ja y  0  Funktsioon kahaneb kumeralt, kui y  0 ja y  0 
Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum
a) tarvilik tingimus zx = 0 ja zy = 0 b) piisav tingimus
Max, kui
ja A Min, kui
ja A > 0, kus A = zxx , B = zxy ja C = zyy
Ekstreemumi ei ole, kui
ja olukord jääb selgusetuks, kui
Tinglik ekstreemum z= f (x,y), kus lisatingimus  (x,y) = 0 F (x,y,) = f (x,y) +   (x,y)
ning  (x,y) = 0
Määratud integraal
ositi
Päratu integraal a)lõpmatute rajadega
b) katkev funktsioon x[a;c)
x(a;c] x[a;c)(c;b]
Ligikaudne arvutamine
Ristkülikvalem
Trapetsvalem
Simpsoni valem

Integraali rakendusi

a)ristkoordinaatides
b)parameetrilises kujus
c)polaarkoordinaatides
Näiteid:
Tsükloid x = a (t – sin t) y = a (1 – cos t)
S = 3a2
L = 8a
V = 52a3
A = 64/3 a2
Astroid x = a cos3 t y = a sin3 t
S = 3/8a2
L = 6a
V = 32/105a3
A = 12/5 a2
Kardioid  =a (1 + cos )
S = 3/2a2
L = 8a
A = 32/5 a2
Ellips S = ab Ellips pöörleb ümber x-telje V = 4/3ab2
Teepikkus Kiirus

Jõu töö Vedeliku rõhumine

Teist järku joonte puutujad punktis P0
Ellipsi puutuja võrrand Hüperbooli puutuja võrrand
Parabooli puutuja võrrand Ringjoone puutuja võrrand
Puutuja võrrand y – y0 =  (x0) (x – x0) normaali võrrand y – y0 = (x – x0)
9