50 punkti
Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
~ 5 lehte
Lehekülgede arv dokumendis
2013-06-05
Kuupäev, millal dokument üles laeti
154 laadimist
Kokku alla laetud
0 arvamust
Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Lainc
Õppematerjali autor
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta
Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks
järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: (d^n y)/(dx^n )=f^((n) ) (x). Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu 28Taylori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese Enamasti konstrueeritakse taolised lähendid polünoomide hulgast. Polünoomiga on lihtne opereerida
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui
t. et kui me tõmbame lõigu [a, b] kohal oleva pideva joone kõrgeima ja madalaima punkti vahele horisontaalsirge, siis see sirge peab antud joont kuskil lõikama. Omadus 3. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0 s.t. et Kui pideva joone üks otspunkt asub allpool x-telge ja teine otspunkt pealpool x-telge, siis peab see joon kuskil x- telge lõikama. Tõestus. Omadus 3 järeldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev lõigul [a, b], siis ta saavutab sellel lõigul oma suurima ja vähima väärtuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on lõigu otspunktides erineva märgiga väärtused, siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omadusele
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x
3) F(a)=F(b)=0 F(a)=(f(a)-f(a))(b-a)-(f(b)-f(a))(a-a)=0 Definitsioon 3 Kahe muutuja funktsiooni F(x,y) osatuletis x-i Vastavalt Rolle'i teoreemile eksisteerib niisugune c järgi saadakse võttes teine muutuja y konstantseks. (a,b), et F'(c)=0 Teoreem 2 Cauchy teoreem 13
P1 ( x )=f ( a ) + f ' (a)( x-a) Funktsioon P1 ( x ) koos oma tuletisega langeb punktis x=a kokku funktsiooniga f(x), st P1 ( x )=f ( a ) , P 1 ' ( x )=f ' ( a ) Joone kumerust iseloomustab teist järku tuletis. Seega, kui õnnestuks konstrueerivasse lähendisse üle kanda esialgse funktsiooni teise tuletise väärtust, siis saaksime joone kõveruse teatud mõttes säilitada. Kahjuks lineaarne lähend selleks ei sobi, sest lineaarse funktsiooni teine tuletis on alati null. Seega peame kasutusele võtma vähemalt teise astme ehk ruutpolünoomid. Funktsiooni f(x) ruutlähend punkti x=a ümbruses ruutfunktsioon P2 (x) , mis rahuldab järgmisi tingimusi: ' ' ( a) ' (a ) (n ) (n) P2 ( a )=f ( a ) , P2 ( a )=f ' ' (a)Pn ( a )=f ( a ) , Pn =f , Pn ( a )=f ( a ) Otsime meid huvitavat polünoomi järgmisel kujul:
annaabi.ee 
Kõik kommentaarid