Määratud integraal (0)

MÄÄRATUD  INTEGRAAL
Pindfunktsioon ja tema  tuletis
Kõverjooneliseks  trapetsiks  nimetatakse  kujundit , mille kaks külge on teineteisega paralleelsed  sirged  
(paralleelsed näiteks y teljega). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg  
või täpsemalt x telje lõik [a,b]), neljas külg funktsiooni  y = f ( x)   graafik .
Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus.
y
A
M
B
X
y = f(x)
m
P
∆P
0
a
x
x+∆x b
x
Märgime x teljel  punkti x ja  vaatleme  kõverjoonelist trapetsit axXA.
Tähistame trapetsi pindala tähega S.
Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala S kindel väärtus, seega pindala S on x 
funktsioon S = S(x).
Seda funktsiooni nimetatakse pindfunktsiooniks.
Def Pindfunktsioon on fikseeritud alguse ja muutuva lõpuga kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni 
y = f ( x)  graafiku all.
S
∆
Leiame pindfunktsiooni tuletise  S' = lim
x
∆ →0
x
∆
Anname x-le muudu  x
∆ , sellele vastab pindfunktsiooni muut ∆S, mis on kõverjoonse trapetsi pindala 
lõigu  [x, x + x
∆ ]  kohal
Olgu funktsiooni  y = f ( x)  vähim ja suurim väärtus lõigul  [x, x + x
∆ ]  vastavalt m ja M.
Joonestame sellele lõigule ristkülikud kõrgustega m ja M. 
Pindala ∆S väärtus asub nende ristkülikute  pindalade  vahel:
m x
∆ ≤ S
∆ ≤ M x
∆
võrdus esineb vaid siis, kui  y = f ( x) =  const
S
∆
Seega  m ≤
≤ M
x
∆
Kui  ∆x → 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x  lim m = lim M = f ( x)
∆x→0
∆x→0
S
∆
Järelikult on ka  lim
= f ( x)
ning tuletise definitsiooni meenutades  S' ( x) = f ( x) (1)
x
∆ →0
x
∆
Leidsime , et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga.
1
KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA
Kõverjoonse trapetsi abBA pindala  S
= S
abBA
(b)  ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal 
x = b .
Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni  y = f ( x)  algfunktsioonidest.
Olgu  y = F( x)  mingi  algfunktsioon   funktsioonile  y = f ( x)
Pindfunktsioon võib temast erineda ülimalt konstantse liidetava poolest 
S( x) = F ( x) +C
Pindfunktsiooni väärtus  x = a  korral on 0,
x = a ⇒ S
= 0
axXA
S(a) = 0
S(a) = F(a) +C
F (a) +C = 0 ⇒ C = −F(a)
Leidsime C väärtuse, pannes kokku saame
S ( x) = F ( x) −F (a)
(2)
Kõverjoonse trapetsi abBA pindala valem  S
= F
−
abBA
(b) F(a)
(3)
Kõverjoonse trapetsi pindala võrdub funktsiooni  y = f ( x)  suvalise algfunktsiooni väärtuste vahega 
kohtadel  x = b  ja  x = a
Näide: Leida kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni 
2
y = x  graafiku ja x telje vahel lõigu  [
1
−
1  
ulatuses.
1
Üks algfunktsioon funktsioonile 
2
y = x  on  F ( x)
3
= x
3
Valemi (3) kohaselt on pindala 
S = F ( )
1 − F (− ) 1 3 1
1 = ⋅1 − ⋅ (− )3
2
1 =
3
3
3
MÄÄRATUD INTEGRAALI MÕISTE
Arvutame kõverjoonse trapetsi abBA pindala teisel teel.
Jaotame lõigu  [a,b]  n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame  x
∆ , x 
1
∆ ,
, x
2
∆ n
Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. 
Valime igal osalõigul  [x , x
ξ
i 1
−
i ]  vabalt ühe punkti 
i
Saame  1
ξ , ξ2,, n
ξ
Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis vastavalt
f (ξ

1 ), f (ξ2 ),
, f (ξn )
Nende ristkülikute  pindalad  on  f (ξ

1 )
x
∆ , f
1
(ξ2) x
∆ , , f
2
(ξ x
∆
n )
n .
Kõigi niisuguste ristkülikute pindalade summa annab arvutatava pindala ligikaudse väärtuse
n
S
f ξ
x
f ξ
x

f ξ
x
f ξ
x
abBA ≈
( 1)∆ 1 + ( 2)∆ 2 + + ( n)∆ n = ∑ ( i)∆ i
i=1
Mida  suuremaks  arvuks  osadeks  on jaotatud lõik  [a,b]  ehk mida suurem on n ning mida väiksemad on 
osalõigud  x
∆ i , seda lähedasem on ligikaudne  väärtus tegelikule pindalale.
Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena  n → ∞  kõigi osalõikude pikkuste lähenemisel  nullile : 
∆xi →0
2
n
S lim f ξ x
abBA =
i ∆
(4)
n→ ∞ ∑ ( ) i
i=
∆ x 1
i → 0
Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja 
punktide  i
ξ  valikust, siis nimetatakse teda määratud  integraaliks  funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning 
b
f(x) n
∫ dx= lim fξ xi∆
n→ ∞ ∑ ( )
tähistatakse 
i
i
a
∆x 1
i→ 0
Arvu a nimetatakse integraali alumiseks  rajaks . Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks.
Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala.
b
f ( x) dx = SabBA
∫a
Kui kõverjoonne  trapets  asub allpool x telge, annab määratud integraal tema pindala märgiga “-”, sest 
kõik  f (ξi )