Jäävusseadused (3)

JÄÄVUSSEADUSED
5.1 Impulss
Keha impulsiks ehk liikumishulgaks nimetatakse tema massi ja kiiruse korrutist.
. (5.1)
Olgu mingil kehal algselt impulss . Mõjugu sellele kehale nüüd ajavahemiku
vältel resultantjõud . Oletame alguses, et see jõud ajas ei muutu. Vastavalt Newtoni teisele seadusele saab keha selle jõu mõjul kiirenduse
. (5.2)
Siis omandab keha liikumiskiirus väärtuse
. (5.3)
Korrutame saadud valemit keha massiga. Impulsi definitsiooni (5.1) arvestades saame
. (5.4)
Seega – keha impulss muutub temale mõjuvate jõudude toimel. Impulsi muut on seda suurem, mida suurem resultantjõud mõjub kehale ja mida kauem aega see mõjub.
Kui kehale mõjuv resultantjõud pole konstantne , s.t. muutub ajas mingi seaduse
järgi, siis lõppimpulssi valemi (5.4) viimases liidetavas asendub korrutis integraaliga.
. (5.5)
Saadud valemis paremal pool olevat integraali nimetatakse kehale mõjuvaks jõuimpulsiks.
Jõuimpulss – kehale mõjuva resultantjõu kui aja funktsiooni integraal üle tema mõjumisaja. Jõuimpulss võrdub keha impulsi muuduga. Konstantse jõu korral võrdub jõuimpulss lihtsalt kehale mõjuva resultantjõu ja mõjumisaja korrutisega.
Saadud valemid (5.4) ja (5.5) on antud vektorkujul ja neid ei saa seetõttu ülesannete lahendamisel kasutada. Seega tuleb nad avaldada ka komponentkujul. Konstantse resultantjõu korral valem (5.4) esitub komponentides
. (5.6)
Valemi (5.5) komponentkujule viimiseks kasutame asjaolu, et resultantjõu vektor avaldub
Vastavalt Newton - Leibnitzi valemile summa integraal võrdub integraalide summaga , järelikult võime integreerida kõiki liidetavaid eraldi. Algimpulssi
lõppimpulssi samuti komponentideks lahutades saame näiteks impulsi x-komponendi jaoks
. (5.7)
Valemist (5.5) aja järgi tuletist võttes ja arvestades, et algimpulss on ilmselt konstant, saame integraali definitsiooni põhjal Newtoni II seaduse üldisemal kujul
, (5.8)
mis kehtib siis, kui keha mass pole konstantne. Konstantse massiga keha korral saame impulsi definitsioonvalemit (5.1) arvesse võttes erijuhu .
Newtoni II seadus üldisel kujul – kehale mõjuv resultantjõud võrdub tema impulsi muutumise kiirusega.
5.1a Impulsi jäävuse seadus.
Suletud süsteemiks nimetatakse süsteemi, millele ei mõju välised jõud või nende mõjud tasakaalustuvad.
Vaatleme suletud süsteemi, milles asub n keha. Nende kehade omavahelised vastasmõjud on lubatud.
Olgu mingi keha algimpulss , mingi teise keha oma . Mõjutagu teine keha esimest jõuga
aja
vältel. Vastavalt valemile (5.4) saab keha selle jõu mõjul uue impulsi
. (5.9)
Samas mõjutab ka esimene keha teist Newtoni III seaduse põhjal jõuga , mis peab olema jõuga
võrdvastupidine, s.t
Teine keha saab seetõttu uue impulsi
. (5.10)
Valemeid (5.9) ja (5.10) kokku liites koonduvad jõudu sisaldavad liidetavad ja tulemuseks on
. (5.11)
Kahe keha mistahes vastasmõju korral nende impulsside summa ei muutu.
Saadud tulemust võib üldistada suvalise arvu kehade kohta, vaadeldes nende omavahelisi mõjusid paarikaupa. Kui kehade süsteemile väljastpoolt jõudusid ei mõju, siis nendekehade impulsside vektoriaalne summa on muutumatu.
Impulsi jäävuse seadus. Suletud süsteemis paiknevate kehade impulsside vektoriaalne summa on nende kehade igasuguse vastasmõju korral jääv:
. (5.12)
Märkus. Impulsi jäävuse seadus kehtib isegi siis, kui kehade arv suletud süsteemis muutub, s.t. kehad purunevad omavaheliste põrgete käigus osadeks või liituvad. Sellepärast pole viimases valemis kehade arv enne vastasmõju n ja pärast vastasmõju m omavahel võrdsed.
5.1b Masskeskme liikumise teoreem
Keha masskeskmeks nimetatakse punkti, millele rakendatud resultantjõud ei muuda keha asendit. (Kui keha toetada tema masskeskmest, siis see keha jääb tasakaalu).
Olgu meil n punktmassist koosnev süsteem. Tähistame i-nda punktmassi massi
ja tema kohavektori .
Süsteemi masskeskme kohavektor arvutatakse valemist
. (5.13)
Masskeskme x-koordinaadi valem avaldub seega
. (5.14)
Masskeskme liikumise kiirus arvutatakse kiiruse definitsiooni (1.3) põhjal
kus
on i-nda punktmassi kiirus. Masskeskme kiirendus kui tema kohavektori teine ajaline tuletis
. (5.15)
Siin
on i- ndale punktmassile mõjuv resultantjõud. Järelikult saame vahetulemusena, et punktmasside süsteemi masskeskme kiirendus võrdub kõikidele punktmassidele mõjuvate resultantjõudude summaga.
Neid jõudusid kokku liites liidame eraldi süsteemisisesed jõud, millega need punktmassid üksteist mõjutavad, ning süsteemivälised jõud, millega mõjutavad neid punktmasse kehad väljastpoolt süsteemi. Vastavalt Newtoni III-ndale seadusele tasakaalustavad süsteemisisesed jõud üksteist paarikaupa ja nende summa võrdub nulliga. Seega tulevad valemis (5.15) arvesse vaid need jõud, mis mõjuvad süsteemile väljastpoolt. Valem (5.15) võtab kuju
, (5.16)
kus tähistab i-ndale punktmassile mõjuvate süsteemiväliste jõudude summat . Saadud valemist lähtudes sõnastame masskeskme liikumise teoreemi.
Masskeskme liikumise teoreem. Kui mingile kehade süsteemile ei mõju väliseid jõudusid või need mõjud tasakaalustuvad, siis süsteemi masskese seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.
MKLT nimetatakse ka Newtoni I seaduse üldistuseks punktmasside süsteemi korral.
5.1c Reaktiivliikumine (iseseisvalt)
Ühe impulsi jäävuse seaduse rakendusena vaatleme reaktiivliikumist, mille korral keha kiirendab ennast mitte ümbritsevalt keskkonnalt, vaid kaasavõetud ainelt ära tõukudes. Käesolevas punktis käsitleme raketti, mille kütuse mass on M ja gaasijoa väljavoolukiirus raketi suhtes . Arvutame, kui suur peab olema kütuse mass , et kiirendada rakett paigalolekust kiiruseni . Lihtsuse mõttes oletame, et raketile ei mõju väljastpoolt mingeid jõude, nagu Maa gravitatsioonijõud või õhutakistus.
Liikugu rakett parajasti kiirusega
paigaloleva vaatleja suhtes, temas sisalduva kütuse mass olgu m. Raketi impulss liikumatu vaatleja suhtes oleks siis
Raketist suunatakse tahapoole gaasikogum massiga dm, s.t. mille mass on kütuse kogumassiga võrreldes lõpmata väike. Selle kiirus on eelöeldu põhjal raketi suhtes , liikumatu vaatleja suhtes . Raketi kiirus kasvab selle tulemusel lõpmata väikese muudu
võrra, mass väheneb suuruse dm võrra. Süsteemi rakett-gaasikogus summaarne impulss liikumatu vaatleja suhtes on
Et süsteemile välisjõude eelduse põhjal ei mõjunud, siis impulsi jäävuse põhjal
kolme viimast valemit kokku võttes saame siit pärast sulgude avamist ja sarnaste liidetavate koondamist vahetulemuse
Siin oleme sulgude avamisel jätnud arvestamata liidetava
kui teist järku lõpmata väikese suuruse. Minnes üle vektorite moodulitele arvestame, et vektorid
ja
on vastassuunalised, mistõttu saame pärast muutujate eraldamist
Integreerimisel võtame veel arvesse, et
kui gaasijoa kiirus raketi suhtes on konstant, raketi kiiruse moodul muutub algväärtusest 0 kuni lõppväärtuseni
ning kütuse täielikul ärapõlemisel on väljapaisatud gaasi kogumass alghetkel 0, lõpphetkel . Selle järgi paneme integraalide rajad :
Avaldades siit suuruse saame, et kui raketi tühimass on M , siis tema kiirendamiseks paigalseisust kiiruseni
vajaliku kütusekoguse mass avaldub
. (5.17)
Siit järeldub näiteks, et raketi kiirendamiseks gaasijoa väljumiskiirusega võrdse kiiruseni kuluva kütusehulga mass peab raketi tühimassi ületama 1,7 korda, kahekordse gaasijoa kiiruseni 6,3 korda. Et raketi lõppkiirus ületaks gaasijoa väljumiskiirust 10 korda, peab kütuse kogumass ületama raketi tühimassi 21 364 korda. Kui me aga arvestame, et raketile mõjuvad lisaks veel gravitatsioonijõud ja õhutaksitus, peab vajaliku kütuse mass olema veel tunduvalt suurem.
5.2 Töö, võimsus, kasutegur
Töö – keha liigutamine jõu mõjul.
Konstantse jõu korral võrdub töö jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisega.
. (5.18)
Selle valemi põhjal defineeritakse töö ühik 1 džaul (Joule’i järgi):
Töö üks džaul tehakse siis, kui ühenjuutonilise jõu mõjul liigub keha edasi ühe meetri võrra. (Võrdub ligikaudu tööga, mis tehakse sajagrammise massiga keha tõstmisel maapinnast ühe meetri kõrgusele).
Juhul, kui kehale mõjuv jõud ei ole konstantne, vaid sõltub keha asukohast, s.t.
arvutatakse tehtud töö integraalina
(5.18a)
Siin olema kasutanud skalaarkorrutise definitsiooni ja Newton-Leibnitzi valemit.
Seadme võimsuseks nimetatakse tema töötegemise kiirust.
. (5.19)
Võimsuse ühik on 1 vatt (Watti järgi):
Üks vatt on niisuguse seadme võimsus, mis ühe sekundi jooksul teeb ühe džauli tööd. (Ligikaudu ühevatilist võimsust tuleb arendada selleks, et tõsta sajagrammise massiga keha maapinnalt ühe meetri kõrgusele ühe sekundi jooksul).
Võimsuse definitsioonist (5.19) saab alternatiivse valemi töö arvutamiseks, kui on teada seadme võimsuse sõltuvus ajast:
. (5.20)
Võimsuse sõltuvus kiirusest. Oletame, et mingile kehale mõjub veojõud , mille moodul võrdub hõõrdejõu mooduliga. Sel juhul peab keha liikuma ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Et hõõrdejõud on alati suunatud liikumisele vastu, siis peab veojõud hõõrdejõu tasakaalustamiseks mõjuma liikumise suunas.
Veojõu poolt tehtav töö on lõpmata väikese nihke ds korral seega
arendatav võimsus definitsioonvalemi (5.19) põhjal
Järelikult võrdub hõõrdejõu ületamiseks veojõu poolt arendatav võimsus
. (5.21)
Seadme kasuteguriks nimetatakse tema poolt tehtud kasuliku töö suhet kogutöösse:
. (5.22)
Kasutegur näitab, mitu protsenti seadme poolt tehtud tööst kulub kasulikuks otstarbeks. Üldjuhul läheb osa tööd hõõrdejõudude ületamiseks või seadme enda liigutamiseks, enamike seadmete puhul tunduvalt üle viiekümne protsendi. Seetõttu jääb enamike seadmete kasutegur alla viiekümne protsendi.
Jagades viimases valemis murru lugejat ja nimetajat töötegemise ajaga , saame kasuteguri alternatiivse valemi
(5.23)
kui kasuliku võimsuse suhte koguvõimsusse protsentides.
5.3 Energia, selle liigid
Energiaks nimetatakse keha võimet teha tööd. S.t. keha teeb tööd temas sisalduva energia arvel. Energiaühikuks on nagu töölgi üks džaul.
Mehhaanilise energia eriliigid on kineetiline ja potentsiaalne energia.
Kineetiliseks energiaks nimetatakse energiat, mida keha omab liikumise tõttu. Liikuva keha kineetiline energia võrdub arvuliselt tööga, mida tuleb teha selle keha täielikuks peatamiseks.
Valemis pole kasutatud vektorimärke, sest keha pidurdamiseks peab resultantjõud olema keha liikumissuunaga paralleelne. Seetõttu võib jõu- ja nihkevektori skalaarkorrutise asendada lihtsalt nende moodulite korrutisega.
Kineetilise energia teoreem. Kehale mõjuva resultantjõu töö võrdub keha kineetilise energia muuduga.
Tõestus. Olgu keha algkiirus
ja mass m. Mõjugu kehale mingi ajavahemiku t vältel konstantne resultantjõud , mille tulemusel saab keha kiirenduse
Ühtlaselt muutuva liikumise võrranditest saab valemi (1.12) põhjal tuletada aega mittesisaldava valemi
mida keha massiga läbi korrutades saab viia kujule
Valemi vasakul pool on vastavalt valemile (5.18) kehale mõjuva resultantjõu töö nihkel . Paremal pool esimene liidetav on keha kineetiline energia pärast nihke
sooritamist, teine liidetav kineetiline energia enne seda. Seega kehtib tõepoolest
. (5.24)
Potentsiaalseks energiaks nimetatakse niisugust energiat, mida keha omab oma asendi tõttu teiste kehade suhtes (näit. ülestõstetud raskus, pingutatud vedru jne.). Võrdub arvuliselt tööga, mis kulub keha viimiseks sellisesse asendisse.
Et tõsta maapinnal olev keha kõrgusele h, tuleb teha tööd raskusjõu vastu. Selle käigus nihutatakse keha teepikkuse h võrra ülespoole, nihe on paralleelne mõjuva jõuga, järelikult tehtud töö on
. (5.25)
Elastselt deformeeritud keha potentsiaalne energia võrdub arvuliselt deformeerimiseks tehtud tööga. Et tööd tehakse elastsusjõu vastu, siis absoluutväärtuselt see töö võrdub
Seega elastselt deformeeritud keha potentsiaalne energia arvutatakse valemist
. (5.26)
Nii palju tööd on see keha võimeline elastsusjõu abil tegema.
Märkus. Mitteelastsel deformatsioonil muutub deformeerimiseks kulutatud töö soojusenergiaks.
5.3 Energia jäävuse seadus
Energia jäävuse seadus. Energia ei teki ega kao. Ta võib muunduda ühest liigist teise või kanduda üle ühelt kehalt teisele.
Näiteks omab ülestõstetud keha potentsiaalset energiat mgh. Kui see keha allapoole langeb, siis väheneb ta kõrgus ja ilmselt sellega ka tema potentsiaalne energia. Samas suureneb tema kiirus ja seega ka kineetiline energia. Kui keha langeb maapinnale, siis osa tema energiast muutub elastse deformatsiooni potentsiaalseks energiaks, osa aga soojusenergiaks.
Mehhaanilise energia jäävuse seadus. Suletud süsteemis, kus puuduvad hõõrdejõud ja esinevad ainult elastsed deformatsioonid , on sinna kuuluvate kehade kineetiliste ja potentsiaalsete energiate kogusumma jääv.
, (5.27)
kus vasakul pool on kehade kineetilised ja potentsiaalsed energiad enne ja paremal pärast mingit protsessi. Kui süsteemis esinevad ka hõõrdejõud või mitteelastsed deformatsioonid, siis muundub osa süsteemi mehhaanilist energiat ilmselt soojusenergiaks ja valem näeb välja järgmiselt:
. (5.28)
Siin Q tähistab protsessi käigus tekkinud soojusenergiat. Paremal ja vasakul pool pole süsteemi kuuluvate kehade arv enam võrdne, sest mitteelastsete deformatsioonide korral võib mõni keha puruneda vastasmõjude käigus osadeks või mitu keha võivad liituda üheks.
Et protsessi käigus tekkiv soojusenergia hajub kiiresti ümbritsevasse keskkonda laiali, on teda raske mõõta ja seetõttu on energia jäävuse seaduse rakendamine üldjuhul ülesannete lahendamisel raskendatud ja kindlalt võib teda rakendada ainult erijuhul (5.27) – hõõrdejõudude ja mitteelastsete deformatsioonide puudumisel. Impulsi jäävuse seaduse (5.12) korral seda probleemi ei teki ja seda võib rakendada mistahes suletud süsteemi korral.
5.4 Konservatiivsed jõud. Potentsiaalse energia gradient
Arvutame töö, mis tuleb teha homogeenses raskusjõu väljas keha tõstmisel kõrguselt
kõrgusele h. Töö tehakse raskusjõu
ületamiseks. Oletame, et õhutakistus on nii väike, et seda pole vaja arvestada.
Vastavalt valemile (5.18) tehtud töö avaldub
Jooniselt on näha, et
mis annab töö valemiks
, (5.29)
kus
on keha potentsiaalne energia trajektoori lõpp-punktis ja potentsiaalne energia alguspunktis. Järelikult ei sõltu töö keha liigutamisel raskusjõu väljas keha trajektoorist, vaid ainult potentsiaalsete energiate vahest keha alg- ja lõpp-punktis.
Samasuguste omadustega on ka elastsusjõud. Olgu vedru esialgne deformatsioon , deformeerime teda täiendavalt, uus pikkus pärast deformeerimist olgu x. Selle käigus tehakse elastsusjõu vastu tööd
. (5.30)
Jõude, mille väljas keha liigutamisel tehtud töö ei sõltu trajektoori kujust , vaid ainult keha potentsiaalsete energiate vahest trajektoori alg- ja lõpp-punktis, nimetatakse konservatiivseteks jõududeks.
Kui keha liigutada konservatiivse jõu väljas, siis tema potentsiaalne energia sõltub tema koordinaatidest. Homogeenses raskusväljas lineaarselt z-koordinaadist, elastsusjõu väljas x-koordinaadi ruudust. Tsentraalses raskusväljas, kus proovikeha potentsiaalne energia
, (5.30a)
kus M on välja allika mass, m proovikeha mass ja r proovikeha kaugus välja allika masskeskmest, sõltub potentsiaalne energia lineaarselt kauguse pöördväärtusest. Nullnivoo on valitud lõpmata kaugel välja allikast. Alati saab konservatiivse jõu väljas eristada välja neid ruumipunkte, kus proovikeha energia on ühesugune.
Samapotentsiaalipindadeks nimetatakse selliseid pindu, mille igas punktis on vaadeldava proovikeha potentsiaalne energia ühesugune.
Proovikeha liigutamisel ühelt samapotentsiaalilt teisele võrdub konservatiivse jõu vastu tehtud töö potentsiaalsete energiate vahega nende samapotentsiaalipindade vahel. Kui proovikeha trajektoor kulgeb mööda samapotentsiaalipinda, siis proovikeha liigutamisel tööd ei tehta.
Tuletame nüüd meelde mittekonstantse jõu poolt tehtud töö valemit (5.18a). Konservatiivse jõu väljas kehtib valem (5.30), mille põhjal saame avaldada proovikeha potentsiaalse energia muudu konservatiivse jõu väljas liikudes
Siin valemis tuleb miinusmärk sellest, et keha liigutamisel tehakse tööd konservatiivse jõu vastu. Arvestades seda, et esialgne potentsiaalne energia on konstant, saame siit mingi koordinaadi järgi tuletist võttes
, (5.31)
konservatiivse jõu komponendi vastandväärtus võrdub potentsiaalse energia osatuletisega vastava koordinaadi järgi. Seega konservatiivne jõud kui vektor avaldub järgmiselt
. (5.32)
Konservatiivne jõud võrdub potentsiaalse energia gradiendiga.
Skalaarse suuruse gradiendiks nimetatakse niisugust vektorit , mille komponentideks on selle skalaari osatuletised vastava koordinaadi järgi. Skalaarse suuruse gradient näitab selle suuruse kõige kiirema kasvu suunda.
Näidata, et homogeenses raskusjõu väljas, kus potentsiaalne energia on , saame
Elastsusjõu väljas, kus , vastavalt
Tsentraalse raskusjõu väljas kasutame potentsiaalse energia jaoks valemit (5.30a). Sellest koordinaadi x järgi tuletist arvutades kasutame liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja:
Et
Teiselt poolt
Kolme viimast valemit arvutades saame raskusjõu avaldise
tema moodul võrdub
mis langeb kokku Newtoni gravitatsiooniseadusega.
Märkus. Hõõrde- ja takistusjõud ei ole konservatiivsed jõud, kuna nende puhul sõltub tehtud töö trajektoori kujust. Nende ületamiseks tehtud töö muundub soojusenergiaks.
5.5 Põrge(iseseisvalt)
5.5a Absoluutselt mitteelastne põrge
Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga .
Tsentraalseks põrkeks nimetatakse põrget, mille korral kehade kokkupuutepunkt asub nende kehade masskeskmeid ühendaval sirgel.
Absoluutselt mitteelastsel põrkel jäävad kehad pärast põrget kokku.
Olgu kehade massid
ja , nende kiirused enne põrget
ja . Tuleb määrata põrkeprodukti kiirus pärast põrget.
Kehade koguimpulss enne põrget on
Pärast põrget liiguvad nad liitunutena edasi kiirusega , põrkeprodukti kogumass on M. See tähendab, et süsteemi koguimpulss pärast põrget arvutatakse valemiga
Kui süsteemile ei mõju väliseid tasakaalustamata jõude, siis impulsi jäävuse seaduse põhjal
Siit saame põrkeprodukti kiiruse pärast põrget
. (5.33)
Sama valem komponentkujul
. (5.34)
Näitame, et absoluutselt mitteelastsel põrkel muutub osa kehade esialgsest kineetilisest energiast soojusenergiaks. Kehade summaarne kineetiline energia enne põrget avaldub
Pärast põrget vastavalt
Põrkel deformatsiooni tagajärjel tekkinud soojushulk on seega
. (5.35)
5.5b Absoluutselt elastne põrge
Olukord on sarnane eelmises alapunktis kirjeldatuga. Kehade massid
ja , nende kiirused enne põrget
ja . Pärast põrget kehad eralduvad teineteisest, mitteelastseid deformatsioone ei jää, tuleb määrata kehade kiirused pärast põrget ja .
Et meil on nüüd vaja leida kaks tundmatut, tuleb leida vähemalt kaks võrrandit süsteemi jaoks. Esimene neist on impulsi jäävuse seadus, teine mehhaanilise energia jäävuse seadus, kuna siin ei toimu mehhaanilise energia muundumist soojusenergiaks. Et saada võrrandid võimalikult lihtsad, ärme vaatame protsessi mitte paigalolevast süsteemist, vaid sellisest süsteemist, mis algselt liigub koos teise kehaga (ja jätkab sama kiirusega liikumist ka pärast põrget). See tähendab, süsteemi kiirus oleks samuti . Siis esimese keha algkiirus on kiiruste liitmise seaduse põhjal niisuguses süsteemis , teises keha algkiirus ilmselt null. Sellisest süsteemist näeb olukord välja niisugune.
Algselt teise kehaga kaasa liikunud taustsüsteemis eemalduvad kehad pärast põrget teineteisest kiirustega
ja .
Kirjutame eelmise punkti eeskujul välja impulsi ja mehhaanilise (antud näites kineetilise) energia jäävuse seaduse nende kahe keha jaoks. Et need kiirused on suunatud ühte sirget mööda, võime impulsi jäävuse seaduses vektorkuju asemel kasutada kohe komponentkuju.
Viime kõik kordajat
sisaldavad liidetavad vasakule, kordajat
sisaldavad liidetavad paremale poole. Teise võrrandi korrutame kahega, kasutame valemit .
Alumist võrrandit ülemisega jagades saame esmalt
mille korrutame massiga
ja liidame tulemuse eelmise süsteemi esimesele võrrandile. Sarnaste liidetavate koondumise järel jõuame tulemuseni
mille võime viia vektorkujule
Nagu öeldud, see valem kehtib niisuguses taustsüsteemis, mis alguses liikus koos teise kehaga. Nüüd läheme taas üle paigalseisvasse süsteemi ja paneme saadud valemi kirja priimideta kiiruste jaoks. Et meil oli , samuti on teise keha lõppkiirus paigalolevas süsteemis , sest liikuv süsteem jätkab paigaloleva suhtes liikumist kiirusega . Sellisel juhul saame eelmisse valemisse asendades
Viies kiiruse
teisele poole ja teisendades murrud ühisele nimetajale, saame pärast sarnaste liidetavate koondamist
. (5.36)
Analoogiliselt saame näidata, et sümmeetriakaalutlustel
. (5.37)
Käsitleme veel mõningaid erijuhte

Võrdmassiliste kehade põrge, . Valemitest (5.36) ja (5.37) järeldub, et sel juhul lihtsalt ja , s.t. kehade kiirused vahetuvad.

Põrge „vastu seina”, s.t. , . Siis suure keha kiirus pärast põrget
on võrreldes esimese keha algkiirusega
võrreldes nii väike, et võime selle jätta arvestamata. Samas väikese keha lõppkiirus
on algkiirus võetuna vastandmärgiga.
15