Konspekt (1)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs

5 VÄGA HEA

Analüüs 1 teooriatöö põhiküsimused.

Definneerida funktsiooni f(x) algfunktsiooni ja tuua näiteid. Mis on algfunktsioonide üldavaldis? Põhjenda seda. Defineerida sümboli
Definitsioon 16. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus (a,b), kui iga x (a,b) korral.
Näide. Funktsiooni y= algfunktsiooniks on funktsioon üldiselt iga funktsioon kujul
kus C on suvaline konstant.
Üldavaldus. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon , C – suvaline konstant.
Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C – suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks .
Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga
Seega
Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa.

Esitada ja tõestada määramata integraali omadused.

TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga :

On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx .
Nende integraalide summa:  f(x) dx +  g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx
TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte , kontrollime, kas mõlemad funktsioonid on ühe sama funktsiooni algfunktsiooniks:
([f(x) + g(x)] dx)’ = f(x) + g(x)
( f(x) dx +  g(x) dx )’ = (f(x) dx)’ + ( g(x) dx )’ = f(x) + g(x)
f(x) + g(x) = f(x) + g(x)

TEOREEM 2: Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette; kui a = const , siis a·f(x) dx = af(x) dx

Selle tõestuseks saab võtta mõlemast poolest tuletised ja näidata, et nad teevad sama välja:
[ a·f(x) dx ]’= a·f(x)
[af(x) dx]’ = a’ · f(x) dx + a ·[f(x) dx]’ = 0 + a·f(x) = a·f(x)
a·f(x) = a·f(x)
(uv)’= u’v + uv’ 0
Teoreemidest tuleneb paar kasulikku reeglit:
Kui  f(x) dx = F(x) + C , siis kahe funktsiooni korrutise puhul: = F(ax) + C
Selle tõestuseks võtame mõlemalt poolt tuletise ja vaatame, kas need on võrdsed, parema poole puhul kasutame liitfunktsiooni tuletist, sest muud ei jää üle: a=const.

[ f(ax) dx]’= f(ax)

F(ax) + C = 0 +· F’(ax) · (ax)’ = · f(ax) · a = = f(ax)
f(ax) = f(ax)
võrdle: (6x)’ = 6
(ax)’ = a

Esitada määramata integraalide tabel ja tõestada selle kolm valemit.
Tõestused

2) cos(x) = sin(x), cos(x) dx = sin(x) + c
3) ex dx = (ex) dx = ex + C

Esitada ja tõestada määrmata integraali muutuja vahetuse valem. Tuletada valem integraali
leidmiseks
Muutuja vahetuse valem
Eeldame et eksisteerib
1) teeme muutujavahetuse
Saame uue funktsiooni
2) võtame mõlemalt poolt tuletise
Peame näitama et vasak pool võrdub parema poolega.
Võtame mõlemalt poolt tuletise
(Vp) ()’=f(x)
(pp) ()= f[g(t)]g(t)’*tx= f[g(t)]g(t)’*= f[g(t)]
tx==
Tehes tagasiasenduse
f[g(t)]=f(x)
Valem integraali
leidmiseks

Tuletada ositi integreerimise valem. Esitada põhilised ositi integreeruvad integraalid .
Põhilised ositi integreeruvad integraalid
1)
2)
3)?

Defineerida funktsiooni f(x) määratud integraal lõigul [a;b]. Mis on geomeetriline tähendus, kui f(x) _0

Sõnastada ja tõestada matemaatilise analüüsi põhiteoreem(st millega võrdub määratud integraali tuletis muutuva ülemise raja järgi).

Lähtudes matemaatilise analüüsi põhiteoreemist tuletada Newton-Leibnizi valem
arvutamiseks.
Vt vihikust

Tuletada ositi integreerimise valem arvutmiseks. Tuua näide.

Sõnastada ja tõestada muutuja vahetuse valem arvutmiseks.
Analüüs 1 Teooriatöö lühiküsimused.

Defineerida millal on punktis x = x0 funktsioonil f(x) miinimum (või maksimum)
Maksimum on kui
Piltlikult öeldes on maksimum graafiku tipp ja miinimum graafiku org. Ekstreemumpunkt näitab millal graafik muutub kasvavast kahanevaks ja vastupidi

Sõnastada f(x) ekstreemumi olemasolu jaoks tarvilik tingimus.Mis on kriitilised punktid.?
Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas tuletis võrdub nulliga voi
lõplik tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks(täpsemini:esimest jarku kriitilisteks punktideks).
Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1
lokaalne ekstreemum siis x1 on selle funktsiooni kriitiline punkt.
Vastupidine vaide kehti. Funktsioonil voib olla selliseid kriitilisi punkte kus
ekstreemumeid ei ole.

Sõnastada ekstreemumi olemasolu piisav tingimus.
Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x funktsiooni f kriitiline
punkt. Kui labides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise mark muu-
tub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
Kui aga labides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise mark muutub
miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum.
Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II Olgu f (x ) = 0. Kui f (x ) siis on funktsioonil f punktis x lokaalne maksimum. Kui aga f (x ) > 0 siis
on funktsioonil f punktis x lokaalne miinimum.

Defineeriada millal on f(x) graafik on lõigul [a;b] kumer (või nõgus).
1. Kui f (x) > 0 iga x (a,b) korral siis joon y = f(x) on nogus vahemikus
(a,b).
2. Kui f (x) (a,b).

Defineerida funktsiooni algfunktsioon lõigul [a;b].
Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus (a,b), kui iga x (a,b) korral.

Defineerida
Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C – suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks.
Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga
Seega

Selgitada kuidas tõestada integreerimistulemuse õigsust.
Kuna integreerimine on tuletise pöördprotsess siis on tuletist leides väga lihtne kontrollida arvutuse tulemust. Võttes leitud algfunktsioonist tuletise.

Sõnastada omadused
1)
2)
3)
Kui f(x) £ g(x) iga xÎ (a,b) korral
4)

Sõnastada matemaatilise analüüsi põhiteoreem.

Kuidas avaldub , kui

< pindala, kui f(x)g(x)
S=-

Millised andmed peab olema teada keha kohta ,et avaldada tema ruumalua määratud integraali kaudu? Esitada keha ruumala arvutamise valem.
Peab olema teada rajad x=a ja x=b ning funktsioon f(x)

.DOC Laadi alla originaalfail 7 lk · .doc · 92 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 7 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2010-01-20 Kuupäev, millal dokument üles laeti

92 laadimist Kokku alla laetud

1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

birxu Õppematerjali autor

Teooriatöö põhiküsimused koos lahendustega

matemaatika teooria kordamine teooria küsimusi teooria

Sarnased õppematerjalid

docx

Matemaatiline analüüs 1, teine teooriatöö kordamisküsimused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused 1. d (u +v )=

Matemaatika

docx

Matemaatiline analüüs 2 KT

KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja.  ∆y = f’(a)∆x + β  Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x

Matemaatika

doc

Matemaatiline analüüs - konspekt II

32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0. Kui f ` '(x1) < 0 siis on funktsio

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I 2. teooria KT vastused

TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaos

Matemaatika

pdf

Matemaatiline analüüs

Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a)  0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a)  0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal

Matemaatiline analüüs 1

docx

Teine osaeksam, matemaatiline analüüs I, teooriaküsimused

Matemaatilise analüüsi (I) II osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Funktsiooni muudu peaosa ja funktsiooni diferentsiaal. Sõltumatu muutuja diferentsiaal. Funktsiooni diferentsiaali valem. Ligikaudse arvutamise valem. Funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene [kui f ( x ) 0 ] on muudu niinimetatud peaosa, mis on võrdeline argumendi muuduga x . Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy f ( x ) = Funktsiooni diferentsiaali valem: dy = f ( x ) dx ehk dx Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletis

Matemaatika analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liid

Matemaatiline analüüs i

pdf

Määramata integraalid

KÕRGEM MATEMAATIKA III Matemaatilise analüüsi elemendid 3. Määramata integraalid Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y =

Kõrgem matemaatika

Rohkem sarnaseid