Matemaatilised meetodid loodusteadustes. (0)

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, I variant
1. Leida j¨argmised piirv ¨a¨artused (3p):
9 + x2 -2x4 - 3x3 + 1 2x lim , lim , lim x-3 (x + 3)2 x- x3 - 3x4 x x - ex
Lahendus. 9 + x2 limx-3 (9 + x2 ) 18 1) lim = = = +, x-3 (x + 3)2 limx-3 (x + 3)2 +0 -2x4 - 3x3 + 1 x4 -2 - x3 + x14 -2 + 0 + 0 2 2) lim 3 4 = lim 4 2 = = x- x - 3x x- x x -3 0-3 3
2x limx (( 2x) 2 2 3) lim = (L H) = = lim = = 0. x x - ex (x - ex ) x 1 - ex -
2. Leida tuletised y (x) (2p): 2e2x + x y= 2 + sin x, y= , 2x3 + 2
Lahendus. 1 1 1) y = ( 2 + sin x) = (2 + sin x) = cos x. 2 2 + sin x 2 2 + sin x 2e2x + x (2e2x + x) (2x3 + 2) - (2e2x + x)(2x3 + 2) 2) y = = = 2x3 + 2 (2x3 + 2)2 (2e2x (2x) + 1)(2x3 + 2) - (2e2x + x)6x2 (4e2x + 1)(2x3 + 2) - (2e2x + x)6x2 = = . (2x3 + 2)2 (2x3 + 2)2
3. Leida tuletis y (x) funktsioonist y = sin2 (3x) ning tuletise v¨a¨ artus kohal x = /4. Kas funktsioon sellel kohal kasvab v~oi kahaneb? (2p)
Lahendus.
y= ((sin(3x))2 ) = 2 sin(3x) · (sin(3x)) = 2 sin(3x) · cos(3x) · (3x) = 6 sin(3x) cos(3x), 3 3 2 2 y (/4) = 6 sin cos =6 - = -3. 4 4 2 2 Kuiv~ord y (/4) 4. Bakterite populatsiooni arvukuse muutumist aja jooksul (aeg tundides ) kirjeldab esimese 50 tunni jooksul j¨argmine ligikaudne funktsioon (3p):
n(t) = 1000e-0,01t (2 + t)
Leida bakterite populatsiooni arv alghektkel (t = 0). Milline seos kirjeldab bakterite koloonia arvukuse kasvu kiirust? Millal on bakterite arvukus maksimaalne? Kui suur on maksimaalne arvukus?
Lahendus.
n(0) = 1000e0 (2 + 0) = 2000, n (t) = 1000[(e( - 0, 01t) (2 + t) + e-0,01t (2 + t) ] = 1000e-0,01t (-0, 01t) (2 + t) + e-0,01t · 1] = = 1000e-0,01t (-0, 02 - 0, 01t + 1) = e-0,01t (980 - 10t).
Bakterite arvukus on ekstremaalne, kui n (t) = 0. n (t) = 0, kui 980 - 10t = 0, sest e-0,01t = 0. Saame, et t = 98 aja¨ uhikut. Leiame n(98) = 37531. Kuivrd nii varasematel ajahetkedel (n¨aiteks t = 0 korral, n(0) = 2000) ning hilisematel (n¨aiteks t = 100 korral n(100) = 37523 ) on bakterite arvukus v¨aiksem, on tegemist maksimumiga.
g(x, y) g(x, y) 5. Leida osatuletised gx (x, y) ja gy (x, y) , kui g(x, y) = 2y cos x - ye2x (2p). x y
Lahendus. gx = (2y cos x - ye2x )x = 2y(cos x)x - y(e2x )x = -2y sin x - y(e2x )(2x)x = -2y sin x - 2ye2x , gy = ((2y cos x - ye2x )y = 2 cos x(y)y - e2x (y)y = 2 cos x · 1 - e2x · 1 = 2 cos x - e2x .
6. Leida integraalid ( muutuja vahetusega) (2p): 4 tan(x + 1) 2x + 1 dx, dx cos2 (x + 1) 1 2x2 + 2x
Lahendus. tan(x + 1) t t2 1 1) dx = M.v. = · cos2 (1 + x)dt = tdt = + C = tan2 (x + 1) + C, cos2 (x + 1) cos2 (x + 1) 2 2 1 M.v. t = tan(x + 1), dt = (tan(x + 1)) dx = dx, dx = dt cos2 (x + 1). cos2 (x + 1)
4 2x + 1 2x + 1 dt 1 2) dx = M.v. = · t2 = ln t t1 t2 = 1 2x2 + 2x t1 t 2(2x + 1) 2 1 4 40 = ln |2x2 + 2x| 1 = 0, 5[ln(32 + 8) - ln(2 + 2)] = 0, 5 ln 1, 15. 2 4 dt M.v. t = 2x2 + 2x, dt = (4x + 2)dx, dx = . 2(2x + 1)
7. Leida integraalid ( ositi integreerimisega) (2p): ln x x sin(2x)dx, dx. 0 x3
Lahendus. 5 pi pi 1 1 1 1 1) x sin(2x)dx = O.i. = x cos(2x) + cos(2x)dx = - ( cos(2) - 9) + sin(2x) = 2 2 0 2 0 2 4 0 1 = - + (sin(2) - sin(0)) = - . 2 4 2 1 O.i. u = x, du = dx, dv = sin(2x)dx, v= sin(2x)dx = cos(2x). 2
ln x 1 lnx 1 dx 1 ln x 1 1 2) 3 = O.i. = - 2 + 3 =- - + C. x 2 x 2 x 2 x2 4 x2 1 1 1 -2 1 1 .O.i.u = ln x, du = dx, dv = 3 dx = x-3 dx, v = x-3 dx = x = - 2. x x -2 2x
8. Leida funktsioonide f (x) = -0, 5x2 + 1 ja g(x) = -3 + ex vahele j¨a¨ava kujundi pindala vahemikus x-telje vahele j¨a¨ava kujundi pindala vahemikus x1 = -2 kuni x2 = 1 (1p).
Lahendus. V~oib veenduda (joonise abil), et antud l~oigul on f (x) graafik u ¨lalpool g(x) graafikut . Seega 1 1 1 S= [f (x) - g(x)]dx = [(-0, 5x2 + 1) - (-3 + ex )]dx = (-0, 5x2 + 4 - ex )dx = -2 -2 -2 1 0, 5x3 0, 5 · 1 0, 5(-8) - + 4x - ex = + 4 - e1 - - - 8e-2 7, 9p.¨ u. 3 -2 3 3
2 9. S~oiduki kiirus s~oltub ajast j¨argmiselt: v(t) = 0, 01t2 + 10. Leida kiiruse keskv¨a¨artus ajavahemikus t1 = 0 kuni t2 = 20. (1p)
Lahendus. 20 20 1 1 0, 01t3 v¯ = (0, 01t2 + 10)dt = + 10t = 20 - 0 0 20 3 0 1 0, 01 · 8000 + 200 - (0 + 0) 11, 33m/s. 20 3
dy 1 10. Lahendada diferentsiaalv~orrand y = 2 , kui y(1) = 1 (2p). dx xy
Lahendus. dy 1 = dx xy 2 dx y 2 dy = x dx y 2 dy = x y3 = ln |x| + C1 3 y3 = 3 ln |x| + 3C1 = 3 ln x + C 3 y = 3 ln |x| + C.
Erilahendi leidmisel arvestame, et y(1) = 1, seega ka (y(1))3 = 1 ning
1 = 3 ln 1 + C, C = 1.
Erilahend on y = 3 3 ln |x| + 1.
3 Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, II variant
1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p):
3ex + x 2x2 - 3x 2 cos x + 1 lim , lim , lim x 300 - x x x3 - 3x x4 (x2 - 16)2
Lahendus. 3ex + x (3ex + x) 3ex + 1 1) lim = = lim = lim = = - x 300 - x x (300 - x) x -1 -1 2x2 - 3x x3 2 - 32 0 2) lim 3 = = lim 3 x x3 = = 0 x x - 3x x x 1 - x2 1
3.nda piirv¨a¨artuse puhul on kaks v~oimalust - parem- ja vasakpoolne piirv¨a¨artus. x 4+ ja x 4-. 2 cos x + 1 2 cos 4 + 1 -0, 307 3) lim = = = - x4+ (x2 - 16)2 +0 +0 Kui x 4-, siis nimetaja l¨aheneb -0 ja kokkuv~ottes on piirv¨a¨artus -. Et parem- ja vasakpoolne ~ piirv¨aa¨ rtus ei lange kokku, siis piirv¨a¨artus puudub. Oigeks loeti antud juhul ka nii - kui ka +.
2. Leida tuletised y (x) (2p): cos(x2 ) 2 y= , y = 2xex 3x3 + 2x
Lahendus. (cos(x2 )) (3x3 + 2x) - cos(x2 )(3x3 + 2x) - sin(x2 ) · 2x(3x3 + 2x) - cos x2 (9x2 + 2) 1)y = 3 2 = . (3x + 2x) (3x3 + 2x)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)y = (2x) ex + 2x(ex ) = 2ex + 2xex · (x2 ) = (2x) ex + 2xex (x2 ) = 2ex + 4x2 ex
3. Leida tuletis y (x) funktsioonist y = x ln(3x) ning tuletise v¨a¨artus kohal x = 3. Kas funktsioon sellel kohal kasvab v~oi kahaneb? (2p)
Lahendus. 1 1 y = (x) ln(3x) + x(ln(3x)) = ln(3x) + x (3x) = ln(3x) + x · 3 = ln(3x) + 1 3x 3 y (3) = ln(3 · 3) + 1 3, 2.
Kuiv~ord y (3) > 0, siis funktsioon sel kohal kasvab.
4. Keha kaugus mingist punktist s~oltub ajast vastavalt seosele
s(t) = 20e-0,1t (20 - 0, 5t)
Milline on keha algkaugus sellest punktist? Milline seos kirjeldab keha kiiruse s~oltuvust ajast? Millal on keha kaugus minimaalne? Milline on keha minimaalne kaugus? (3p)
g(x, y) g(x, y) sin x 5. Leida osatuletised gx (x, y) ja gy (x, y) , kui g(x, y) = -2x2 e2y - (2p). x y y
Lahendus. sin x 1 cos x gx = (-2x2 e2y - )x = -2e2y (x2 )x - (sin x)x = -4xe2y - y y y sin x 1 sin x (-2x2 e2y - ) = -2x2 (e2y )y - sin x = -4x2 e2y + y y y y y2
4 6. Leida integraalid (muutuja vahetusega) (2p): 2 cos(x + 2) 2x3 + 2x dx, dx sin2 (x + 2) 1 x4 + 2x2
Lahendus. cos(x + 2) cos(x + 2) dt dt 1 1 1) dx = M.v. = · = =- +C =- +C sin2 (x + 2) t2 cos(x + 2) t2 t sin(x + 2) dt M.v. t = sin(x + 2) dt = cos(x + 2)dx dx = cos(x + 2) 2 t2 t2 t2 2x3 + 2x 2x3 + 2x dt 1 dt 1 2) dx = M.v. = = = ln |t| = 1 x4 + 2x2 t1 t 3 2(2x + 2x) 2 t1 t 2 t1 2 1 1 1 = ln |x4 + 2x2 | = (ln(16 + 2 · 4) - ln(1 + 2)) = ln 8 1.04 2 1 2 2 dt M.v. t = x4 + 2x2 dt = (4x3 + 4x)dx dx = 3 4x + 4x
7. Leida integraalid (ositi integreerimisega) (2p): 1 xe-2x dx, 3x2 ln xdx. 0
Lahendus. 1 1 1 1 1 1 1 1 -2x 1) xe-2x dx = O.i. = - xe-2x + e-2x dx = -0, 5(·e-2 - 0) + - e = 0 2 0 2 0 2 2 0 = -0, 5e-2 - 0, 25(e-2 - e0 ) 0, 148 1 -2x O.i. u = x du = dx dv = e-2x dx v = e-2x dx = e -2 x3 1 2) 3x2 ln xdx = O.i. = x3 ln x - dx = x3 ln x - x2 dx = x3 ln x - x3 + C x 3 3 1 x O.i. u = ln x du = dv = 3x2 dx v = 3 x2 dx = 3 = x3 . x 3
8. Leida funktsioonide y = cos x - 2 ja y = x2 + 3 vahele j¨a¨ava kujundi pindala vahemikus x1 = - kuni x2 = (1p).
Lahendus. Nagu joonise abil v~oib veenduda, siis antud l~ oigus asub funktsiooni y = x2 + 3 graafik u ¨lalpool funktsiooni y = cos x - 2 graafikut. Seet~ottu x3 S= [(x2 + 3) - (cos x - 2)]dx = (x2 + 5 - cos x)dx = + 5x - sin x = - - 3 - 3 - 3 2 = + 5 - sin - [ + 5(-) - sin(-)] = 3 + 10 52, 1p.¨ u. 3 3 3
9. Keemilise reaktsiooni kiirus (¨ uhinevate molekulide arv aja¨uhikus) s~oltub ajast j¨argmiselt: r = 1000e-t + 2t. Leida kiiruse keskv¨a¨artus ajavahemikus t1 = 0 kuni t2 = 20. (1p)
Lahendus. 20 20 1 1 t2 r¯ = [1000e-t +2t]dt = -1000e-t +2 = 0, 05 -1000e-20 +202 -(-1000e0 +0) 700. 20 - 0 0 20 2 0
5 dy ex 10. Lahendada diferentsiaalv~orrand y = , kui y(0) = 1 (2p). dx y
Lahendus. dy ex = dx y ydy = ex dx ydy = ex dx
y2 = ex + C1 2 y2 = 2ex + 2C1 = 2ex + C y = ± 2ex + C Erilahendi 0 y = + 2ex + C leidmisel arvestame, et y(0) = 1, siis 1 = ± 2e + C. St, antud juhul tuleb ja 1 = 2e0 + C, millest saame 1 = 2 + C ning C = -1. Erilahendiks on j¨ arelikult y = 2ex - 1.
6