määratud integraal

Pindfunktsioon ja tema tuletis

Kõverjooneliseks trapetsiks nimetatakse kujundit , mille kaks külge on teineteisega paralleelsed sirged (paralleelsed näiteks y teljega ). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg täpsemalt x telje lõik [a,b], neljas külg funktsiooni
graafik .
Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus.



Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA.
Tähistame trapetsi pindala tähega S.
Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala P kindel väärtus, seega pindala S on x funktsioon S = S(x).
Seda funktsiooni nimetatakse pindfunktsiooniks.
Def Pindfunktsioon on fikseeritud alguse ja muutuva lõpuga kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni
graafiku all.
Leiame pindfunktsiooni tuletise .
Anname x-le muudu , sellele vastab pindfunktsiooni muut , mis on kõverjoonse trapetsi pindala lõigu
kohal
Olgu funktsiooni
vähim ja suurim väärtus lõigul
vastavalt m ja M.
Joonestame sellele lõigule ristkülikud kõrgustega m ja M.
Pindala
väärtus asub nende ristkülikute pindalade vahel:
võrdus esineb vaid siis, kui
Seega
Kui , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x
Järelikult on ka ning tuletise definitsiooni meenutades (1)
Leidsime , et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga.

kõverjoonse trapetsi pindala

Kõverjoonse trapetsi abBA pindala
ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal .
Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni
algfunktsioonidest.
Olgu
mingi algfunktsioon funktsioonile
Pindfunktsioon võib temast erineda ülimalt konstantse liidetava poolest
Pindfunktsiooni väärtus
korral on 0,
Leidsime C väärtuse (2)
Kõverjoonse trapetsi abBA pindala valem (3)
Kõverjoonse trapetsi pindala võrdub funktsiooni
suvalise algfunktsiooni väärtuste vahega kohtadel
ja
Näide: Leida kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni
graafiku ja x telje vahel lõigu
ulatuses.
Üks algfunktsioon funktsioonile
on
Valemi (3) kohaselt on pindala

määratud integraali mõiste

Arvutame trapetsi abBA pindala teisel teel.
Jaotame lõigu
n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame
Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks.