· Lahendeid on lõpmata palju, kui sirged ühtivad Võrrandisüsteemi uurimine · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendite arvu kindlaksmääramist nimetatakse selle süsteemi uurimiseks · Selleks tuleb mõlemast võrrandist avaldada tundmatu y ja seejärel võrrelda tundmatu x kordajaid · Kui tundmatu x kordajad ei ole võrdsed (sirged lõikuvad), siis on süsteemil ainult üks lahend · Kui tundmatu x kordajad on võrdsed ja vabaliikmed ei ole võrdsed (sirged on paralleelsed), siis süsteemil lahend puudub · Kui tundmatu x kordajad on võrdsed ja vabaliikmed on võrdsed (sirged ühtivad), siis on süsteemil lõpmata hulk lahendeid
antud arvuga. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Mittenegatiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. Negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur, sest pole arvu, mille ruut oleks negatiivne. 12. Kuidas lahendada lineaarvõrrandit? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need 2) Tundmatud viime vasakule, vabaliikmed paremale (teisele poole viies märk muutub) 3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrrandi mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme kontrolli 6) Kirjutame vastuse 13. Kuidas lahendada võrratusi? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need 2) Tundmatud viime vasakule, vabaliikmed paremale (teisele poole viies märk muutub) 3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrratuse mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme joonise, kirjutame vastuse 14. Mis on võrre? Võrde põhiomadus
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1 a x + a x + ... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn bm x1 , x2 , ... , xn 0 , ( ) c1 , c2 , ... , cn sihifunktsiooni kordajad c j , j = 1,2,..., n c0 -- sihifunktsiooni vabaliige; aij -- kitsenduste süsteemi kordajad, (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n); bi -- kitsendussüsteemi vabaliikmed (i = 1, 2, ...,m). Lineaarse planeerimisülesande saamiseks tuleb teha järgmist: 1. Defineerida majandusprobleem ( mida tahetakse saavutada) 2. Defineerida sihifunktsioon 3. Selgitada ressursside olemasolevad suurused ja kulunormid ( kitsendussüsteem) 4. Esitada majandusprobleemi matemaatiline mudel 5. Kontrollida saadud ülesannet Graafiline lahendamine: Graafilise lahendamise korral pole vajalik viia LPÜd max põhikujule. Tundmatud peavad
Võrratused NÄIDE 1. LINEAARVÕRRATUS x 1 a) Vabaneda murdudest ja sulgudest 0 |∙ (−5) 5 b) Viia tundmatud ühele ja vabaliikmed 𝑥−1>0 teisele poole võrdusmärki 𝑥>1 c) Koondada ja jagada tundmatu ees oleva 1 x kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x 11) x(5 x 11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0
901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6 kirjutatakse nii, et lineaarliikmed on 3x-15y+20=-3x+6+6 tähestikulises järjekorras; murde, sulge või 3x-15y+3x=6+6-20 sarnaseid liikmeid sisaldava võrrandi 6x-15y=-8 normaalkuju puhul: korrutada pooli murdude ühise nimetajaga, sulgudest vabanemisel kasutada korrutamise jaotuvuse seadust a(b+c)=ab+ac; viia tundmatuid sisaldavad liikmed võrrandi vasakule ning vabaliikmed paremale poolele; koondada ja kirjutada saadud liikmed nõutud järjekorras NB vaja kasutada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel: enne ei hakka lahendama, kui süsteem on normaalkujul 3.Kahe tundmatuga võrrandi lahend - Ül.909 järjestatud arvupaar; lõpmatu hulk Võrrand 4u+0,5v=2 lahendeid; võrrandi ax+by=c lahend Antud u {1;-0,5;-3,5} kirjutatakse kujul: Leida võrrandi lahendid
determinant võrdne nulliga ka siis, kui teoreem. Näide. et lühem pööre vektorist alfa determinandi Kaks rida on võrdelised. Üldise korrastatud (tunmatud on vektorini beeta ümber vektori y 5. omadus. Kui determinandis mingi rea iga võrdusmärgist vasakul teineteise toimub vastupäeva kui vaadata element kujutab kahe liidetava summat, all, vabaliikmed on võrdusmärgi vektori y lõpust siis laguneb paremal pool) lineaarse Segakorrutis Kolme vektori determinant kahe sama järku võrrandisüsteemi saab kirjutada segakorrutiseks nimetatakse kahe determinandi summaks, kus esimeses maatrikskujul AX = B, Teoreem vektori skalaarset korrutist determinandis koosneb vaadeldav rida (Kronecker-Capelli). Lineaarne kolmanda vektoriga
jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ). 5x - 6 x - 5 Näide 2. Lahendada võrratus 2- > 3 2 Korrutame võrratuse mõlemad pooled 6-ga 2· 6 2(5x 6) > 3(x 5), 12 10x + 12 > 3x 15 Viime muutujaga liikmed vasakul, vabaliikmed paremale poolele ja koondame sarnased liikmed: - 10x 3x > -12 12 - 15 - 13x > - 39 Jagame saadud võrratuse mõlemad pooled ( - 13 ga), mille tagajärjel võrratusemärk muutub vastupidiseks: x < 3. Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on väiksem kui 3. Vastus: x (- ; 3). Näide 3. Lahendada võrratus 2(17t +5) 15t +11
] 3URILLO/ [ [ X ,Y FP :Y FP -}XG)P}MXEXY WDVDQGLV XVLKLV Y )$ N1 )% N1 N1 ...
3) Üksikuid liidetavaid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele, muutes selle liidetava ees oleva märgi vastupidiseks. Ühe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine: Avaldist, mis sisaldab ainult ühte liiki tundmatut ja kus tundmatu kõrgeim astmenäitaja on 1 nimetatakse ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks. Lineaarvõrrandi lahendamise skeem: 1) Avada sulud või korrutada ühise nimetajaga. 2) Viia muutuja liikmed e. Lineaarliikmed vasakule ja vabaliikmed paremale. 3) Jagada rida lineaarliikme kordajaga. 4) Teha kontroll. 5) Kirjutada vastus. 1. Hulkliikmete korrutamine 1.1. Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega ja tulemused liita. 2. Kahe tundmatuga lineaarvõrrand 2.1. 6-7x+3=8-x - Ühe tundmatuga 3x-6+y=x-4-y - Kahe tundmatuga 1.1) Pooled vahetdada- ükski märk ei muutu. 1
7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: homogeenne süsteem kõik vabaliikmed on nullid laiendatud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis tekib süsteemi maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veerumaatriksiga B, st maatriksit: (A B) = maatriksi elementaarteisendused: Kahe rea (võrrandi) asukoha vahetamine rea (võrrandi) korrutamine/jagamine mis tahes nullist erineva arvuga ühele reale (võrrandile) mingi nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea (võrrandi) liitmine/lahutamine
a1 = a 2. Lihtsustamine Abivalemid (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1)
4. Regulaarsete n-j¨arku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)−1 = B−1A−1 5. Maatriksi A−1 pöördmaatriks on maatriks A, s.o (A−1)−1 = A 6. Ühikmaatriksi E pöördmaatriksiks on tema ise, s.o. E−1 = E 7. Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (AT)−1 = (A−1)T Lineaarvõrrandisüsteem (LVS) Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse homogeenseks, kui vabaliikmed on võrdsed nulliga: b1 = b2 = . . . = bm = 0 Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks Maatriksis on tundmatute kordajad. Laiendatud maatriks Lisatud on ka vabaliikmed. (viimane veerg) 7 LVS-i üldlahend Reaalarve x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn nimetatakse
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm
1 4. DA-1 = D A . Lineaarsed võrrandisüsteemid. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse süsteemi: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 ............................................ ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + ain x n = b1 .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm , kus aik R süsteemi kordajad, xk R süsteemi tundmatud, bi R süsteemi vabaliikmed. x1 = 1 x = 2 2 ........... x = n Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi n , mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest,
1 4. DA-1 = D . A Lineaarsed võrrandisüsteemid. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse süsteemi: a11 x1 +a12 x 2 +... +a1n x n = b1 ............................................ a i1 x1 +a i 2 x 2 +... +a in x n = b1 , .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 +... + a mn x n = bm kus aik R süsteemi kordajad, xk R süsteemi tundmatud, bi R süsteemi vabaliikmed. x1 =1 x = 2 2 Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi , ........... x n =n mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil:
3x = 5x + 6 |-5x 3x - 5x = 5x - 5x + 6 ehk 3x – 5x = 6 -2x = 6 |: (-2) x = -3 3.6. ÜHE TUNDMATUGA LINEAARVÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Kui võrrand sisaldab murdarvulisi kordajaid, siis vabanetakse nendest, korrutades võrrandi mõlemaid pooli kõigi murdude ühise nimetajaga; 2) Lihtsustatakse võrrandi mõlemaid pooli (sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine); 3) Viiakse tundmatuga liikmed võrrandi ühele (tavaliselt vasakule) poolele ja vabaliikmed teisele poolele, muutes kõigi üleviidavate liikmete märgid esialgsetega võrreldes vastupidiseks; 4) Koondatakse sarnased liidetavad; 5) Leitakse lahend, jagades võrrandi mõlemad pooled tundmatu kordajaga (kui see ei ole null). ÜLESANNE 1: LAHENDA VÕRRAND 1) z+4-3=2z 2) 7-3z+4z-9=0 3) 10x-3+5=x+3x 4) 3x-2=5x+10 ÜLESANNE 1: VASTUSED 1) z=1 2) z=2 3) x=-1/3 4) x=-6 ÜLESANNE 2 LAHENDA VÕRRAND 1) 3t+1=5t-3
3 1 4 2 - 4 1 D3 = 1 3 4 = -12, 3 -5 1 9 -3 - 12 X1 = = -1,5; X2 = = 0,5; X3 = = 2. - 6 - 6 - 6 lineaarvõrrandisüsteemid põhimõisted Vaatleme võrrandisüsteeme, mille üldkuju on Def: Võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks, kui tundmatud on esimeses astmes Arvud aij (i=1,,m; j=1,,n) on võrrandisüsteemi kordajad, b1,,bm (i=1,,m) on vabaliikmed m võrrandit, n tundmatut, üldiselt Def Võrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabaliikmed on nullid Võrrandisüsteem on mittehomogeenne, kui vähemalt üks vabaliige erineb nullist Vastuoluliseks nim süsteemi, millel lahend puudub Võrrandisüsteemi lahend on tundmatute väärtuste kogum , mis süsteemi asetatuna muudab kõik võrrandid samasusteks
vastava parima lahendi leidmine. MAX-põhikuju, MIN-põhikuju Sihifunktsiooni otsitava väärtuse z ja muutuvate suuruste (tundmatute) xj kõrval esinevad lineaarses planeerimisülesandes max põhikujul veel ka järgmised suurused: C1,c2....cn-sihfunktsiooni kordajad-(cj) , j= 1,2...n c0 ⎯ sihifunktsiooni vabaliige; aij ⎯ kitsenduste süsteemi kordajad, (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n); bi ⎯ kitsenduse süsteemi vabaliikmed (i = 1, 2, ...,m). n m Seega lineaarne planeerimisülesanne on max-põhikujul, kui : a) nõutakse sihifunktsiooni maksimumi; b) kõik tundmatud võivad omandada ainult mittenegatiivseid väärtusi (≥ 0); c) kõik kitsendused on antud võrratustena ≤ (väiksem või võrdne). Lineaarne planeerimisülesanne on min-põhikujuline, kui: a) sihifunktsioonile nõutakse minimaalset väärtust; b) kõik tundmatud võivad omandada ainult mittenegatiivseid väärtusi (≥0);
4 Tundmatud kordajad: raa 4iab 3iaf 4 1,5 3 1 9 kNm rbb 3ibc 4 (iab ibe ) 3 1,5 4 (1,5 1) 14,5 kNm rab rba 2iab 2 1,5 3 kNm ra1 r1a 3iaf af 3 11 3 kNm 1 rb1 r1b 3ibc bc ,1 6ibe be,1 3 1,5 6 11 5, 25 kNm 6 r11 3(icdcd2 ,1 iaf af2 ,1 ibcbc2 ,1 ) 12ibebe2 ,1 3 (0,9487 1 1,5 (1/ 6) 2 ) 12 11 17,9711 kNm Vabaliikmed: pl 2 1 M ba , p 8 62 24 kNm M ab, p 24 kNm 12 12 2 2 1,8 1, 2 M be, p 30 1, 2 12,96 kNm M eb, p 30 1,8 8, 64 kNm 3 3 M ag , p 8 1 0,5 4 kNm
§ 21. Üldkoosolekutevahelisel ajal juhib seltsi juhatus, kuhu üldkoosolek valib seltsi liikmete hulgast üheks aastaks seitse (viimaste häälearvude võrdsuse korral kaheksa) liiget. Kui üldkoosolek ei otsusta teisiti, valitakse juhatus üheks aastaks. Juhatust ei saa valida kauemaks kui neljaks aastaks. Juhatuse liikmed jagavad omavahel järgmised ametid: seltsi esimees ja kaks abiesimeest, seltsi laekur ja abilaekur ning juhatuse vabaliikmed. Lisaks valib üldkoosolek kolm asemikku, kes kutsutakse juhatusse saadud häälte enamusjärjekorras siis, kui mõni liige juhatusest selle voliaja kestel lahkub. Juhatuse liikmed ja nende asemikud valitakse seltsi nende liikmete hulgast, kes viibivad koosolekul või on andnud nõusoleku kandideerimiseks. § 22. Juhatuse koosolek on otsustusvõimeline, kui koos on üle poole liikmetest, nende seas esimees või üks abiesimeestest. Koosolekut juhatab seltsi esimees või abiesimees.
Lineaarvõrrandsüsteem-nim. Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud.
See näitab ülejääki 17. Millised on duaalse simpleksmeetdi puhul juhtveeru ja juhtrea valiku reeglid? Juhtrida - Kõige väikseima absoluutväärtusega negatiivne vabaliige Juhtveerg - juhtrea elemendi ja sihifunksiooni elemendi maksimaalne jagatis, ainult kus juhtrea element on negatiivne 18. Mis on optimaalsuse tunnus duaalse simpleksmeetodi kasutamise korral? Sihifunktsiooni kordajad peavad olema positiivsed ja vabaliikmed peavad olema positiivsed, v.a. Sihifunktsiooni vabaliige 19. Kuidas saab duaalse simpleksmeetodi kasutamisel teha kindlaks, et ülesanne on vastuoluline? kõik elemendid juhtreas on mittenegatiivsed 20. Selgitada, kuidas saab leida duaalse lineaarplaneerimise ülesande optimaalset lahendit, kui esialgne ülesanne on lahendatud simpleksmeetodiga? Sihifunktsiooni lisamuutujate kordajad on duaalse ülesande lahendid.
(x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² = x² + 4x + 4 + 3x² - 14 - 4x² + 20x - 25 = 24x - 35. Leiame nüüd avaldise väärtuse: 24(-0,5) - 35 = -12 - 35 = - 47. 10. Lineaarvõrrandite lahendamine 1. kui võrrand sisaldab harilikke murde, siis vabaneme nendest, korrutades võrrandi mõlemaid pooli kõigi murdude ühise nimetajaga 2. lihtsustame võrrandi mõlemaid pooli ( sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine) 3. viime tundmatuga liikmed võrrandi ühele poolele ja vabaliikmed teisele poolele, muutes kõigi üleviidavate liikmete märgid vastupidiseks 4. koondame sarnased liidetavad 5. leiame lahendi, jagades võrrandi mõlemat poolt tundmatu. Leitud lahendit tuleb osata vajadusel kontrollida. Näide 1. Lahendame võrrandi 2(2x - 5) = 20 - x Avame sulud 4x - 10 = 20 - x 4x + x = 20 + 10 5x = 30|: 5 x = 6. Selle võrrandi lahend on x = 6. 11
Simpleksmeetod Graafiline lahendus Lahendamine käsitsi Simpleksmeetod on lineaarsete planeerimis-ülesannete universaalne lahend Meetodi autor on ameerika matemaatik G. B. Dantzing aastast 1947. Nimetus t nimetatakse n-dimensionaalses ruumis kumerat hulktahukat, millel on n+1 tipp Selleks, et lahendada ülesannet simpleks-meetodiga, peab ülesanne vastama j 1. Kõik kitsenduste süsteemi vabaliikmed peavad olema mittenegatiiv (negatiivse vabaliikme korral korrutada võrratuse mõlemaid pooli -1-ga). 2. Sihifunktsioon peab olema esitatud maksimumfunktsioonina (max f(x) = - min f(x)). 3. Ülesanne peab olema esitatud kanooniliselkujul Kanoonilise kuju saamiseks viiakse sihifunktsioonis kõik tundmatud vasakule Kõik kitsendused ning samuti sihifunktsioon peavad olema võrrandite kujul, m kordajaga 1 ja esineb ainult ühes võrrandis. universaalne lahendusmeetod. ast 1947
1) kui m.A on saadud teisenduste 1)ja 2) abil m.B A siis on nende astakud r(A)=r(B). Iga (m*n) maatriksit võib teisendada nii et tekib antud maatriksi vastav K-järku ühikmaatriks,kõik ülejäänud elemendid on nullid.siit atak r(A)=K 9. Lineaarvõrrandite süsteem ja selle maatriks kuju. .lineaarne võrrand süsteemiks on maatriksi lõplikust arvust lin.võrrandist koosnevat süsteem.. aij (i-m,j-n)-süsteemi kordajad,b-süsteemi vabaliikmed,x-tundmatud.arvud mis rahuldvad süsteemi (()) ongi süsteemi lahendus. A=-süst.maatriks. B=- süst.laien maatriks. - süst.tundmatute maatriks. B=-süst.vabaliikme maatriks. Siis korrutis(maatriksite) A * == = b avaldist A on süst (()) maatriks kuju. 10. Gaussi meetod lin. Võrrandite lahendamiseks ,süsteemi laiendamine maatriksi abil. 1) 2 LVS on samaväärsed kui neil on ühed ja samad lahendused. 2) LVS teisendades
Siis maatriksi A adjungeeritud maatriks ~A saadakse maatriksi alamdeterminantide maatriksi transponeerimisel, s.t. ~A=[Aik]T. NB! ÕPI NÄIDE VIHIKUST!!! Maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui ta on regulaarne, st. |A|=detA 0 e. Nxn maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui tema astak r=n Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju, Kronecker-Capelli teoreem. Näide. Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on võrdusmärgi paremal pool) lineaarse võrrandisüsteemi saab kirjutada maatrikskujul AX=B, kus võrrandisüsteemi maatriks A, tundmatute maatriks X ja vabaliikmete maatriks B. Teoreem (Kronecker-Capelli) Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi A ja laiendatud maatriksi AB astakud on võrdsed (Öeldakse ka, et süsteem on kooskõlas). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv r = r´ (see on nn. astakutingimus).
A-1*A = E, kus E on sööbivat järku ühikmaatrkis (AGA 1. A on ruutmaatriks ja det A pole võrdu 0-ga) Elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu Leiame det A: Pärast .................... Maatriksit nimetatakse regulaarse maatriksi pöördmaatriksiks, kui = = , kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel
. . + a1nxn = a1, a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2, ......................, (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai, ......................, am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = am, kus x1, x2, . . . , xn on tundmatud ehk otsitavad ning tundmatute kordajad aij , i Nm, j Nn ja vabaliikmed a1, a2, . . . , am on ette antud reaalarvud, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemiks. Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabaliikmed on võrdsed nulliga, s.t. a1 = a2 = . . . = am = 0. Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks ja laiendatud maatriks Maatriksit
· Kaheväärtuselised seletavad tunnused (sugu, töötab/ei tööta, riik kuulub/ei kuulu euroalasse jne) saab esitada ühe fiktiivse tunnuse abil. · Kui kvalitatiivsel seletaval tunnusel n erinevat väärtust, siis vabaliige ja n-1 kaheväärtuselist fiktiivset tunnust; · vastasel juhul perfektne multikollineaarsus! · Väärtus, mille fiktiivne tunnus mudelis puudub: baasväärtus, referentsväärtus (base, control, reference category) · Fiktiivsete tunnuste kordajad: diferentsiaalsed vabaliikmed (differential intercept coefficients) · Ökonomeetria pakettides fiktiivse tunnuse nimetus tihti indicator variable ehk indikaatortunnus. · Fiktiivne tunnus, sest tegelikult ühe ja sama tunnuse erinevad väärtused 59. Diferentsiaalsete vabaliikmete tõlgendamine. 60. Kitsendused parameetritele, kitsendatud ja kitsendamata mudel. Üht fiktiivset tunnust tervest komplektist EI TOHI eemaldada. Üks fiktiivne tunnus ei ole eraldi tunnus, vaid üks väärtus
85) Mis on baaskategooria? Võrdluskategooria Väärtus mille fiktiivne tunnus mudelist puudub ja millega mudelis olevaid fiktiivseid tunnuseid võrreldakse. 86) Mis on ANOVA mudel ja ANCOVA mudel? ANOVA mudel - Ainult fiktiivseid seletatavaid tunnuseid sisaldav mudel ANCOVA mudel - Nii kvalitatiivseid kui ka kvantitatiivseid seletavaid tunnuseid sisaldav mudel. 87) Fiktiivsete tunnuste kordajate tõlgendamine Fiktiivsete tunnuste kordajad on diferentsiaalsed vabaliikmed. Nad näitavad, kui palju sõltuva tunnuse väärtus antud kategooria korral erineb baaskategooriale vastavast väärtusest 88) Fiktiivsete tunnuste mitteolulisus ja tunnuste komplekti eemaldamise testimine p>a siis tunnus mitteoluline. Üht fiktiivset tunnust tervest komplektist EI TOHI eemaldada. Üks fiktiivne tunnus ei ole eraldi tunnus, vaid vastab ühele väärtusele. Terve tunnus on fiktiivsete tunnuste komplekt!
6. Max-põhikujulise ül DÜ muutujuatelt yi nõutakse mittenegatiivsust yi ≥0 1. Esialgse ülesande igale kitsendusele seada vastavusse duaalse ülesande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi duaalses ülesandes. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , … , bm). 4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunkt- siooni kordajad cj (). 5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega a11 a12 … a1n A = a21 a22 … a2n ……………………… am1 am2 … amn
57.Lineaarvõrrandisüsteem (LVS) – Süsteemi nimetatakse lineaarvõrrandite süsteemiks. Arve c1, c2,..., cn nimetatakse süsteemi lahendiks, kui süsteemi tundmatute asendamisel nende arvudega saame m samasust. LVSi nimetatakse vasturääkivaks, kui tal ei ole ühtegi lahendit kooskõlaliseks, kui tal on vähemalt üks lahend määramatuks, kui tal on täpselt üks lahend 58.Homogeenne ja mittehomogeenne LVS – homogeenne LVS- LVS, kus kõik vabaliikmed ai=0 mittehomogeenne LVS- LVS, kus vähemalt üks vabaliige ai ≠ 0 59. LVS-i maatriks - maatriks A a11 a 12 … a1 n A= a21 a 22 … a2 n am 1 am 2 … amn ' 60.laiendatud maatriks- maatriks A a11 a12 … a1 n a1 A= a21 a22 … . a2 n a2 am 1 am 2 … amn an 61.LVS-i üldlahend – Kõigi lahendite komplekt
A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0. Nende normaalvektorid: n1 A1 , B1 , C1 , n2 A2 , B2 , C 2 . Kaks tasandit on paralleelsed ainult siis, kui nende normaalvektorid on kollineaarsed. A1 B1 C1 Koordinaatides: . A2 B2 C2 A1 B1 C1 D1 Kui lisaks on võrdelised ka vabaliikmed, siis need tasandid ühtivad: . A2 B2 C 2 D2 Kaks tasandit on teineteisega risti, kui on risti nende normaalvektorid: n1 n 2 , n1 n 2 0, A1 A2 B1 B 2 C1C 2 0 . Näide: Määrata tasandite vastastikune asend: 2 x 3 y z 2 0, 4 x 3 y z 5 0. 2 3 4 3
Ratsionaalavaldiseks nimetatakse kahe hulkliikme jagatist. Näiteks 1 2x 2 - x + 1 x3 + 1 x4 , , , , x2 - 1 x3 - x2 + x - 1 x3 - 1 x2 + 1 a 0 + a1 x + a 2 x 2 +...+a m x m ehk üldkujul , kus a 0 ja b0 on vastavalt lugeja ja b0 + b1 x + b2 x 2 +...+bn x n nimetaja vabaliikmed, a1 , a 2 ,..., a m vastavate x atsmete arvulised kordajad lugejas ning b1 , b2 ,..., bn vastavate x astmete kordajad nimetajas. Juhul kui m < n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui m n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud näidetest kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest kõigepealt täisosa, s.t. liigmurd esitatakse hulkliikme e
arvupaarid. ¨2 x 2 y 3 ¨ x 2y 4 ¨4 x 6 y 8 480. Leia parameetri väärtused nii, et võrrandisüsteemil oleks üheselt määratud Kui lineaarvõrrandisüsteemis võrrandite vastavad kordajad ja vabaliikmed lahend, lahendeid oleks lõpmata palju, lahendid puuduvad. on võrdelised, siis on võrrandisüsteemil lõpmata palju lahendeid. ¦x y a ¦ xy c ¦ ax by 1
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ..
3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv
.. ... ... ... a am 2 ... a mn bm m1 . (6.4) . x1 x Kui esitada muutujad x i (i = 1,...,n) maatrikskujul X= n ja vabaliikmed bj (j = 1, ...,m) b1 b maatrikskujul B = m , siis LVS (1) maatrikskuju on A X = B . Definitsioon. LVS, millel vabaliikmete veerg koosneb ainult nullidest bj = 0 (j = 1,...,m) nimetatakse homogeenseks (vt. p. 6.5) . Süsteemil (6.1) võib 29. leiduda täpselt üks lahend; 30. lahend puududa (võrrandid on vastuolulised); 31. leiduda lõpmata palju lahendeid (tundmatute arv on suurem neid siduvate
a11 a12 ... a1n b1 a 21 a 22 ... a2n b2 ... . (6.4) ... ... ... ... a am2 ... a mn bm m1 . x1 Kui esitada muutujad x i (i = 1,...,n) maatrikskujul X= ja vabaliikmed bj (j = 1,...,m) x n - 34 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina b1 maatrikskujul B = , siis LVS (1) maatrikskuju on A X = B . b m Definitsioon
.. + anxn = b Võrrandi lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x 1, ..., xn väärtusi c1, ..., cn R, et nende paigutamisel võrrandi vasakusse poolde tundmatute x 1, ..., xn asemele kehtiks võrdus a1c1 + ... + ancn = b Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetataksse lõplikust arvust lineaarset võrrandist koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1; ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm. aij - kordajad; b1,...,bm - vabaliikmed Arve c1,...,cn, mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks Lineaarne võrrandisüsteem on maatrikskujul antav võrdusega Ax = b. A = || aij|| - lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriks (süsteemi maatriks). x - maatriks x1 xn-ni üksteise alla paigutatult. b - maatriks b1 bm-ni üksteise alla paigutatult. B = ||A, b|| - maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriks (süsteemi laiendatud maatriks) 10
orran- dis¨ usteemi: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a x + a x + · · · + a x = y 21 1 22 2 2n n 2 ................................ a x + a x + · · · + a x = y k1 1 k2 2 kn n k Siin · aij on LVS-i kordajad, · yi on LVS-i vabaliikmed, · xi on LVS-i tundmatud. Tundmatute arv n ja v~orrandite arv k on s~ oltumatud. LVS-i korda- jate maatriksit A = (aij ) nimetatakse lihtsalt LVS-i maatriksiks. LVS-i maatriksi laiendamisel vabaliikmete veeruga (l¨ aheb viima- seks veeruks) saadakse LVS-i laiendatud maatriks a11 a12 . . . a1n y1 a21 a22 . . . a2n y2
Kui a ≠ 0 , siis saame võrrandi lahendiks x = . a Kui a = 0 , siis võrrand omandab kuju 0 ⋅ x = b . Kui seejuures b = 0 , siis on võrrandil lõpmatu hulk lahendeid (lahendiks on iga reaalarv). Kui aga b ≠ 0 , siis lahend puudub. Lineaarvõrrandi lahendamiseks on vaja 1) viia võrrand üldkujule, jättes tundmatut sisaldavad liikmed vasakule poole ja vabaliikmed paremale poole võrdusmärki; 2) jagada mõlemad pooled tundmatu kordajaga. 22 3.8 Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 + bx + c = 0 , kus a ≠ 0 . Lahendite leidmiseks kasutatakse valemit −b ± b 2 − 4ac x= . 2a Erijuhul, kui ruutliikme kordaja on üks, saab nn
jne. milles on m võrrandit ja n tundmatut x1 , x2 , . . . , xn . Definitsioon 2.8 Võrrandisüsteemi (2.5) nimetatakse lineaarseks, kuna tundmatud x1 , x2 , . . . , xn esinevad ainult esimeses astmes. Etteantud arvud aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) on võrrandisüsteemi kordajad ja b1 , . . . , bm on võrrandisüsteemi vabaliikmed. Definitsioon 2.9 Võrrandisüsteemi (2.5) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , . . . , xn väärtusi c1 , . . . , cn R, et nende paigutamine süsteemi (2.5) Joonis: Wikipedia. vasakusse poolde tundmatute x1 , . . . , xn asemele muudaks kõik võr- Kui süsteem koosneb kolmest dused samasusteks
matemaatilist tingimust - tingimusvõrrandid. Kõik võrrandid peavad olema üksteisest sõltumatud, samal ajal peab nende arv võrduma täiendavate mõõtmiste arvuga. Kui neid on koostatud vähem, jääb ka vastav arv matemaatilisi tinigimusi arvesse võtmata ja ei ole võimalik leida mõõdetud suuruste õigeid parandeid. Tasandamis-põhiülesandeks on mõõtmistulemustele selliste parandite leidmine, mis võimaldaksid kõrvaldada sulgemisvead ehk võrrandite süsteemis leitud vabaliikmed. Tasandamisarvutuste teiseks ülesandeks on parandatud tulemuste täpsuse hindamine vigade teooria valemite vahel. Parandite arvutamisel peab silmas pidama, et: 1) parandite absoluutväärtused oleksid pöördvõrdelised mõõtmistulemuste kaaludega, st isetäpsete mõõtmiste puhul antakse suuremad parandid väiksema kaaluga mõõtmistulemustele, aga võrdtäpsete mõõtmiste puhul antakse kõikidele mõõtmistulemustele võrdsed parandid.
Olgu meil 2 sirge võrrandid ilmutamata kujul. Sirge A võrrand on 7,5 x % 5 y & 600 ' 0 ja sirge B võrrand on 3,84 x %1,2 y &240 ' 0 . Leida nende sirgete lõikepunkt. Sirgete lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama mõlemat võrrandit, järelikult tuleb lahendada 2 tundmatuga kahest võrrandist koosnev võrrandsüsteem: 7,5 x % 5 y & 600 ' 0 3,84 x %1,2 y &240 ' 0 Viime vabaliikmed teisele poole võrdusmärki: 7,5 x % 5 y ' 600 3,84 x %1,2 y ' 240 Leiame determinandid: D ' /0 /0 '&10,2 ; Dx ' /0 /0 '&480 ; Dy ' /0 / ' &504 . 7,5 5 600 5 7,5 600
siooni x2 + px + q tuletis ja teise lugeja on konstantne: Mx + N c1 (2x + p) c2 = + 2 . (5.11) (x2+ px + q)i 2 (x + px + q) i (x + px + q)i On lihtne n¨aha (minnes selle valemi paremal poolel u ¨hisele nimetajale ja v~ordsus- tades lugejates olevad x kordajad ning vabaliikmed), et 2c1 = M, c1 p + c2 = N , millest tulenevad j¨argmised valemid konstantide c1 ja c2 jaoks: c1 = M 2 , c2 = N - M2p . Avaldisest (5.11) saame Mx + N (2x + p)dx dx dx = c1 + c2 . (5.12) (x2 + px + q)i (x2 + px + q)i (x2 + px + q)i Valemi (5
siooni x2 + px + q tuletis ja teise lugeja on konstantne: Mx + N c1 (2x + p) c2 = + 2 . (5.11) (x2 + px + q)i (x2 + px + q)i (x + px + q)i On lihtne n¨aha (minnes selle valemi paremal poolel u ¨hisele nimetajale ja v~ordsus- tades lugejates olevad x kordajad ning vabaliikmed), et 2c1 = M, c1 p + c2 = N , millest tulenevad j¨argmised valemid konstantide c1 ja c2 jaoks: c1 = M 2 , c2 = N - M2p . Avaldisest (5.11) saame Mx + N (2x + p)dx dx dx = c1 + c2 . (5.12) (x2 + px + q)i (x2 + px + q)i (x2 + px + q)i Valemi (5.12) paremal poolel oleva esimese integraali avaldamisel kasutatakse
, , , (6.1) x2 - 1 x3 - x2 + x - 1 x3 - 1 x2 + 1 ehk u ¨ldkujul a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + am xm , b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bn xn kus a0 ja b0 on vastavalt lugeja ja nimetaja vabaliikmed, a1 , a2 , . . . , am vastavate x atsmete arvulised kordajad lugejas ning b1 , b2 , . . . , bn vastavate x astmete kordajad nimetajas. Juhul kui m < n, nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui m n, nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud n¨aidetest (6.1) kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse
annaabi.ee 
