Optimeerimismeetodid eksam (0)

Mudel on objekti lihtsustatud kujutis, millest vähemalt mõned objektid või süsteemi omadused on eemdaldatud.
Modelleerimine- nmudelite loomise ja kasutamise protsess
Materiaalne ehk aineline modelleerimine – toiming, mille tulemsena saadavad mudelid annavad edasi objekti põhilisi füüsikalisi, geomeetrilisi, dünaamilisi ja funktsionaalseid tunnuseid
Kujutlusmudelid põhinevad intuitiivsel ettekujutlusel reaalsest objektist (sõnaline selgitus, definitsioonid).
Märkmudel on objekti mõtteline mudel, mis on esitatud teatud märgisüsteemis (valemina, joonisena, tabelina, graafikuna)
Matemaatiline mudel – märkmudel, mis originaali uurimine taandub matemaatiliste seoste uurimisele.
Optimeerimismudel võimaldab selgitada parima lahendi kooskõlas juhtimiseesmärgi ning juhtimiseesmärgi saavutamist piiritlevate kitsendustega.
Stimuleerimismudel võimaldab saada täiendavat infot majandusprotsessi võimaliku käitumise kohta tulenevalt majandusprotsessi eelnevast mõjutamisest („mis siis, kui...“) info selle kohta, mis ühe või teise otsuse/valiku tulemusel juhtub.
Otsustusprotsessi etapid:

• Probleemi defineerimine
  
• Mudeli(te) püstitamine
  
• Andmete kogumine
  
• Mudeli lahendamine
  
• Lahendustulemuste analüüs
  
• Otsuse vastuvõtmine
  

Otsustuskeskkonda mõjutavad:

• Majandusprotsess iseloom
  
• Majandusprotsessi kestvus
  
• Majandusprotsessi käitumist iseloomustavad andmed
  

Stabiilsuse ehk tundlikkuse analüüs- võimaldab saada olulist täiendavat infot majandusprotsessi võimaliku käitumise kohta otsustuskeskkonna muutumisel.
Kaks lähenemisviisi:

• Analüüsitakse mudeli parameetrite selliseid muutusi, mis ei too kaasa mudeli ja lahendi struktuuri muutumist (Millistes piirides võib mudeli parameetrid muutuda, et leitud lahendi optimaalseus säiliks. NT:tooteühikult saadav kasumi võimalik muutumine, et firmale sobivaim tootmise struktuur jääks püsima)
  
• Analüüsitakse mudeli parameetrite muutusi, millega kaasneb mudeli ja lahendi struktuuri muutumine (mudeli taaslahendamine eesmärgiga selgitada lahendi võimalikku muutumist, kui muutuvad mudeli parameetrid. NT:milliseks võib kujuneda firma tootmisplaan, kui uue seadme tootlikkus on 20% kõrgem/ käibevahendid suurenevad 30% võrra)
  

Kitsendused = käsutuses olevate ressursside piiratus
Optimaalne- olemasolevate võimaluste (kitsenduste) ja püstitatud juhtimiseesmärgi korral parim saavutatav tulemus.
Optimaalsuskriteerium-juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang (võimalikult suur kasum/ müügimaht)
Optimeerimine - olemasolevatele kitsendustele ning püstitatud optimaalsuskriteeriumile vastava lahendi leidmine.
LPÜ formuleerimisele eelneb majandusprobleemi sisuline analüüs, mille käigus selgitatakse juhtimiseesmärk (optim. kriteerium ) ning selle saavutamist piiravad kitsendused. Seejärel määratakse prob matemaatiliseks formuleerimiseks vajalikud andmed ning selgitatakse nende olemasolu.

Optimaalse tootmisplaane koostamine (eesmärk: olemasolevate ressurssidega koostada selline tootmisplaan, mille puhul tootmisest ja toodedete müügist saadav kasum oleks suurim)

Optimaalse segu (dieedi) koostamine (etteantud nõuetele vastava odavaima segu kosotamine)
Põhireeglid majandusprobleemi formuleerimiseks LPÜ-na

Defineerida majandusprobleem, analüüsida seda. Määratleda muutujad, mille väärtused on otsitavad ( nende suuruste kohta langetatakse otsus xj)

Defineerida sihifunktsioon. Määratleda sihifunktsiooni kordajad, mis otseselt mõjutavad z-ni kuuluvate muutujate väärtuse kujunemist.

Määratleda kitsendused, nende sisu ja mõju juhtimiseesmärkide saavutamisele.

Selgitada ressursside olemasolu ja nende kulunormid (kitsendussüsteemi kordajad)

Mittenegatiivsuse nõue

Majandussituatsiooni iseloomustavad tunnused ja tingimused tabelisse.

Formaliseerida matemaatiliste funktsioonidena sihifunktsioon ja kitsendused. Koostada majandusprobleemi matemaatiline mudel

Kontrollida formuleeritud ülesannet. Võrrelda majandusprobleemi ja formuleeritud LPÜ.
Max-põhikujul LPÜ: (Min)

Nõutakse Z maximumi (min)

Kõikidel muutujatel mittenegatiivsusenõue (≥0)

Kõik kitsendused on antud võrratustena ≤
Kanooniline LPÜ:

Nõutakse Z maximumi

Mittenegatiivsuse nõue

Kitsendused antud VÕRRANDITENA
Kitsenduste süsteemi lahend - muutujate väärtuste kombinatsioon (x1, x2,...xn), mis rahuldab kitsenduste süsteemi. Kui kõik kitsenduste süsteemi lahendid on mittenegatiivsed, siis on tegemist lubatava lahendiga ehk plaaniga. Niisugust lubatavate lahendite hulka, mille korral Z on max või min nimetatakse optimaalseks lahendiks ehk optim plaaniks.
DUAALÜLESANDED
LPÜ teisendamine max-kanoonilisele kujule

Kui Z nõutakse miinimumi, siis seda saab esitada max nõudele
Min z=max (z´= -z)=-c1x1-c2x2..

Kui kitsendused on esitatud võrratustena, tuleb sisse tuua täiendavad muutujat (abimuutujad, ülejäägi näitajad)

Kui mõne muutuja kohta pole esitatud mittenegatiivsuse nõuet, siis seda võib defineerida kahe mittenegatiivse muutuja vahena x2=x2´-x2´´ x2 ≥0, x2´´≥0
LPÜ-ga duaalne ülesanne max-põhikujul LPÜ duaalne ülesanne

Esialgse ül igale kitsenduele seame vastavusse duaalse ül tundmatud: y1, y2,..,ym

Duaalse ül kitsenduste süsteemi vabaliikmeteks on esialgse ül sihifunktsiooni kordajad c1,c2
Duaalse ül kitsenduste arv sõltub esialgse ül muutujate arvuga

DÜ kitsenduste süsteemi kordajate maatriks on esialgse ül kitsenduste süsteemi kordajate maatriksi transponeeritud kuju.

DÜ nõutakse sihifunktsiooni miinimumi.

Max –põhikujulise ül duaalse ül kõik kitsendused on võrratused ≥

Max-põhikujulise ül DÜ muutujuatelt yi nõutakse mittenegatiivsust yi ≥0

Esialgse ülesande igale kitsendusele seada vastavusse duaalse üles­ande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym).

Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi duaalses ülesandes.

Duaalse ülesande sihifunkt­siooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , … , bm).

Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunkt­siooni kordajad cj ().

Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega
a11 a12 … a1n
A = a21 a22 … a2n
………………………
am1 am2 … amn
a11 a21 … am1
A’ = a12 a22 … am2
………………………
a1n a2n … amn

Duaalse ülesande sihifunktsiooni väärtusele w nõuda miinimumi, kui esialgse ülesande sihifunktsiooni väärtusele z nõutakse maksimumi; ja vastupidi.

Duaalse ülesande j-nda tingimuse märk ( ≤ ,  või = ) määratakse esialgse ülesande vastavale tundmatule (s.t. xj-le) kehtestatud nõude alusel (vt. lk. 26-27).
Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõik kit-
­ sen­­­dused on -tüüpi võrratused.

Duaalse ülesande tundmatule yi kehtestatav nõue (≤ ,  või märgi poolest kitsendamata) fikseeritakse esialgse ülesande vastava (s.t. i-nda tingimuse märgi alusel (vt. lk. 26-27).
Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõikidelt tundmatutelt nõu­takse mittenegatiivsust (yi  0).
Kui tegemist on nn. tootmisplaani leidmise ülesandega (kasumi maksimee­rimine piiratud ressurs­side tingimustes), siis duaalse ülesande tundmatute yi väärtused väljendavad täiendavat kasumit, mida oleks võimalik saada, kui i-ndat ressurssi oleks ühe ühiku võrra rohkem. Sel juhul duaalset tundmatut yi nimetatakse ka ressursi fiktiivseks hinnaks, s.t. tegemist on maksimaalse hinnaga, mida tootja võiks iga täien­dava ressursiühiku eest maksta. Selle hinnaga (või kallimalt) võiks tootja ka ressurssi (toorainet) müüa. Näiteks minimaalselt selle hinnaga on otstarbekas maad välja rentida või maksimaalselt selle hinnaga maad juurde rentida.
DÜ lahend võimaldab otsustada, kuidas muutub esialgse ül sihifunktsiooni optimaalne väärtus, kui muuta esialgse ülesande kitsendussüsteemi vabaliikmeid. Esialgse ül igale kitsendusele vastab DÜ-s üks muutuja. I-nda muutuja väärtus duaalse ül lahendis näitab, kui palju vabaliikme bi väikesel muutumisel muutub esialgse ül sihifunktsiooni väärtus (vabaliikme muutumine ühe ühiku kohta). Kui tegemist on tootmisplaani ül-ga, siis DÜ lahendid yi väljendavad täiendavat kasumit, mis oleks võimalik saada, kui i-ndat ressurssi oleks ühe ühiku võrra rohkem. Sellisel juhul duaalset tundmatut yi nimetatakse ka ressursi fiktiivseks hinnaks (max hind, mida tootja võiks täiendava ressursiühiku eest maksta, selle hinnaga (või kallimalt) võiks tootja ka ressurssi müüa). NT min hinnaga maad välja rentida või max selle hinnaga juurde rentida.
Duaalsuse põhiteoreem: Kui ühel DÜ-test on olemas optim lahend, siis on see olemas ka teisel, kusjuures sihifunktsioonide optim väärtused on võrdsed. Max z =min w
Max kasum= ressursside fiktiivne kogumaksumus
LPÜ GRAAFILINE LAHENDAMINE
Saab lahendada 2 muutujat sisaldavat LPÜ-d. LPÜ kitsendusi rahuldavate muutujate väärtuste paarid kujutavad tasandil hulknurka. Z saavutab optim väärtuse selle hulknurga mingis tipus või külje kõikides punktides

• tundmatute väärtuste interpreteerimine sirge, tasandi või ruumi punktide koordinaatidena;
  
• kitsendusi rahuldavate punktide hulga väljaeraldamine;
  
• sihifunktsioonile ekstremaalset väärtust (max, min) andva(te) punkti(de) leidmine jooniselt saadava informatsiooni põhjal.
  

LPÜ graafiliselt lahendamise sammud:

tingimustele vastava piirsirge määramine;

piirsirge paigutamine joonisele;

tingimusele vastava lubatava pooltasandi määramine;

punktide 1)-3) läbimine iga tingimuse korral;

lubatavate lahendite piirkonna leidmine;

sihifunktsiooni samakõrgusjoone leidmine;

samakõrgusjoone nihutamise suuna kindlaksmääramine;

lubatavate lahendite piirkonnas sihifunktsioonile optimaalset väärtust andva(te) punkti(de) kindlaksmääramine;

leitud punkti(de) koordinaatide leidmine;

sihifunktsiooni väärtuse arvutamine antud punkti koordinaatide alusel.
Optimaalse lahendi graafiline keidmine sisaldab endas järgmisi samme :

• lubatava pooltasandi määramine (kõiki kitsendusi rahuldavad muutujate väärtuste paarid. Kitsendusele vastava võrratuse lahendeid kujutavad punktid)
  
• lubatava piirkonna määramine (kõiki kitsendusi rahuldavate muutujate väärtustele vastavad tasndi punktid, mis on ühised kõigile lubatavatele pooltasanditele)
  
• sihifunktsiooni samakõrgusjoone määramine (z=S -> c1x1+c2x2+d=S, paralleelsed sirged tõusuga
  
• optimaalse lahendi leidmine
  

LPÜ graafilisel lahendamisel

lahend puudub, kui lubatav piirkond on tühi (vasturääkivad kitsendused, lubatavate lahendite piirkond on tõkestamata)

Alternatiivne lahend- mitu erinnevat muutujate väärtuste kombinatsiooni , mis annavad Z-ile optimaalse väärtuse

Lõpmata palju lahendeid
SIMPLEKSMEETOD
Kui kanoonilisel kujul antud ülesanne sisaldab n tundmatut ja m võrrandit, siis simpleksmeetodil leitud lahendis võivad nullist erineda mitte rohkem kui m (kitsenduste arv) tundmatu väärtust, mida nimetatakse lahendielementideks.
Simplekstabelit nimetatakse baasitabeliks, kui tabeli elementide aij (kitsenduste kordajad) osas on vähemalt m erinevat ühikveergu ning nendes veergudes sihifunktsiooni reas on nullid . Ühikveerus erineb nullist vaid üks element, mis võrdub 1-ga. Muutujad, mis on baasitabelis ühikveergude kohal, nimetatakse baasimuutujateks, ülejäänud muutujad on vabad muutujad. Baasitabeli piilt määäratud lahend on baasilahend ehk baasiplaan. Vabade muutujate väärtused = nulliga, baasimuutujate väärtute leidmiseks peab olema rahuldatud kõik kitsenduste süsteemi võrrandid. Baasitabel on lubatav, kui kõik elemendid bi on positiivsed. Lubatav baastabel on optimaalne, kui baasitundmatutele vastavad elemendid sihifunktsiooni reas on 0-d ja ülejäänud selle rea elemendid on (-cj) on mittenegatiivsed (-cj ≥0).
Kanoonilisel kujul esitatud LPÜ lahendamine simpleksmeetodil koosneb järgmistest sammudest:

• Simplekstabeli koostamine
  
• Simplekstabeli teisendamine baastabeliks (vajadusel)
  
• Baasitabeli optimaalsuse kontrollimine ja simpleksteisendused optimaalse simplekstabeli leidmiseks
  
• Optimaalse simplekstabeli analüüs.
  

Selgub , kas on alternatiivseid lahendeid, saab leida DÜ lahendeid, saab uurida lahendi stabiilsust- millistes piirides võivad LPÜ andmed muutuda, et lahendi optimaalsus säiliks.
Põhireeglid simpleksteisendusteks

Juhtveeru valik (0-nda rea kordaja on negatiivne ja absoluutväärtuselt suurim)

Arvutatakse juhtveeru kõikide positiivsete elementide aij alusel suhe

Valitakse juhtrida (rida, kus suhe on kõige väiksem ↑)

Juhtveeru ja juhtrea lõikepunktis on juhtelement, ümbritsetakse rõngakesega

Tehakse juhtteisendusi. Eesmärgiks teisendada juhtveerg ühikveeruks, sealjuures juhtelemen võrdub ühikveerus 1-ga. Selleks jagatakse juhtrida läbi juhtelemendiga ning seejärel teisendatakse juhtveerg ühikveeruks (juhelement =1, ülejäänud 0).
Lahendi analüüs:

• Kas leidub ka teisi optimaalseid lahendeid. Kui on mitu baaasilahendile vastavate muutujate väärtuste komplekti, mis annavad Z-ile suurima (vähima) väärtuse, siis on tegemist alternatiivse lahendiga (optimaalse baasitabeli Z-i reas on 0 ka mitteühikveerule vastavas reas)
  

• Sihifunktsiooni väärtus
  
• Põhitundmatute väärtused
  
• Abitundmatute väärtused
  
• Optimaalse lahendi stabiilsuse analüüs
  
• Duaalse ülesande lahend (duaalhinnangud)
  

• Millistes piirides võivad LPÜ andmed muutuda, er leitud lahendi optimaalsus säiliks. (Stabiilsuse analüüs)
  

• lisada suurus er optimaalses simplekstabelis sihifunktsiooni reas r-nda veeru suurusele (arvule) juurde kordajaga (-1)
  
• (sest sihifunktsiooni kordaja on enne tabelisse kandmist viidud vasakule poole, seega märgid muutusid vastupidisteks)
  
• vastavalt vajadusele teisendada sihifunktsiooni rida
  
• (vajadus teisendada on siis, kui –er lisatakse ühikveergu)
  
• kirjutada välja tingimused suuruse er määramiseks
  
• (optimaalse simplekstabeli sihifunktsiooni rea tundmatute kordajad peavad olema mittenegatiivsed)
  
• suuruse er määramiseks lahendada saadud võrratustesüsteem
  
• leida er–le saadud väärtus(t)e abil analüüsitava sihifunktsiooni kordaja cr võimalik muutumispiirkond.
  

Pärast optimaalse lahendi leidmist on soovitatav kontrollida,kas optimaalse baasitabelist saadud muutujate väärtused annavad sihifunktsioonile optimaalse väärtuse. Optimaalsest baasitabelist saab välja kirjutada ka DÜ lahendi, see on leitav optimaalse baasitabeli sihifunktsiooni abitundmatute kohalt (täiendav lisaühik annab y krooni kasumit)
TRANSPORDIÜLESANDED
On tegemist ühetüübilise kauba vedamisega ladudest (tarnijatelt) tarbijatele (kauplused, vahendajad). Veokulud kaubaühku kohta i-ndast laost j-ndale tarbijale on cij. Eesmärgiks on kaup laiali vedada vähimate kuludega. Min Z=c11x11+c12x12+...+c1nx1n
Kitsendused:
1) iga hankija juures olev kaubakogus tuleb välja vedada
2) iga tarbija vajadus tuleb rahuldada (vedusid tuleb teostada vastavalt nõudlusele, s.t. vastavalt tellimustele)
3) veetavad kaubakogused ei saa olla negatiivsed (tundmatute mittene­gatiivsuse nõue):
Iga muutuate komplekt xij, mis rahuldab kõiki tinginusi, on transportül lubatav lahend ehk lubatav veoplaan(rahuldab ladude pakkumist ja tarbija nõudmist + positiivsuse nõue). Kui lubatava lahendi sihifunktsioon omandab minimaalse väärtuse, on tegemist optimaalse veoplaaniga.
Xij- i-ndast laost j-ndale tarbijale veetava kauba kogus
ai: i-nda lao kaubapakkumine
m ladude arv
Cij-kaubaühiku veokulu i-ndast laost j-ndale tarbijale
bj j-nda tarbija tellimus
n tarbijate arv
Transpordiül on kinnisel kujul, kui ladude pakkumine ja tarbijate vajadused on tasakaalus.
Kui on lahtisel kujul, siis pakkumine ja nõudmine ei ole tasakaalus.

Pakkumine suurem kui nõudmine- tuua sisse nn fiktiivne tarbija ülejääva kaubavajadusega (kogus, mis jääb lattu seisma, M- kauba ühiku hoiukulud laos)

Nõudlus suurem kui pakkumine- tuua sisse fiktiivne ladu (tellimuse osa, mis jääb täitmata, M-kompensatsioon tellimuse täitmata jätmise eest)
Transporditabelit nim baasitabeliks, kui temast on välja eraldatud nn baas m+n-1 ruutu , mida nim baasiruutudeks (kui ühendada joontega, siis ei teki trükleid. Baasiruutude muutujad (veosed) on baasimuutujad, ülejäänud on vabad muutujad.
Transpordiülesande lahendamiseks on vajalik sooritada järgmised sammud:

Majandusprobleemi formuleerimine transpordiülesandena.

Transpordiülesande kinnisuse kontroll. Vajadusel lahtise ülesande teisendamine kinniseks.

Lubatava baasitabeli ja sellele vastava lubatava lahendi leidmine.

Lubatava baasitabeli ja sellele vastava lahendi optimaalsuse kontroll.

Lahendi optimeerimine ehk uue ja parema lubatava baasitabeli leidmine.

Optimaalse lahendi analüüs.
Lubatava lahendi leidmise meetod:

• Loodenurga reegel -baasiruutude leidmist alustatakse ülemisest vasak­poolsest nurgast

• Vähima elemendi reegel- valitakse veokulude tabelis kõige väiksem veokulu, s.t. otsitakse min cij ja teostatakse sellesse ruutu maksimaalselt võimalik kaubakanne, mille tulemusena langeb välja kas rida (hankija) või veerg (tarbija) või mõlemad. Allesjäänud tabelis valitakse uuesti kõige väiksem veokulu ja protsess kordus, kuni kõik ressursid on tarbijate vahel jaotatud.
  

• Vogeli meetod- vedu tuleb teostada marsruudil, mille korral hinnalt järgmine marsruut tooks kaasa kõige suurema kahju. Selle reegli rakendamiseks arvutatakse transpordiülesande veokulude tabelis iga rea ja veeru jaoks kõige ökonoomsemast viisist järgmisel viisil vedamisega kaasneva “kahju” suuruse. Selle “kahju” suuruse saame, vastava rea (või veeru) kõige väiksema veokulu (min cij lahutamisel temale selles reas (või veerus) suuruselt järgmisest veokulust. Kõigist sellisel viisil leitud “kahjudest” valitakse välja kõige suurem ning temale vastavas reas (või veerus) kõige väiksema veokuluga ruutu teostatakse kaubakanne. Langeb välja kas rida või veerg (või mõlemad) olenevalt sellest, kas toimus tarbija vajaduste täielik rahuldamine või hankija ressursside täielik ammendumine. Kui langeb välja rida, s.t. hankija ressursid on ammendatud, tuleb arvutada uued “kahjud” kõigis olemasolevates veergudes ja uuesti saadud “kahjude” hulgast valida suurim jne. “Kahjude” arvutamise juures fiktiivset tarbijat või hankijat ei arvestata. Mitme suurima “kahju” esinemisel valitakse neist üks suvaliselt.

Lubatava lahendi optimaalsuse kontroll:
Lubatavat transporditabelit ni­metatakse optimaalseks siis, kui baasi­ruutudes ( koormatud ruutudes) olevate veokulude cij teisendamisel nullideks kõik ülejäänud veokulud teisenevad mittenegatiivseteks Trans­porditabeli veokuludele cij võib liita (või lahutada) ridade ja veergude kaupa arve (nn. potentsiaale) nii, et lubatava lahendi elementidele (koormatud e. täidetud ruutudele) vastavad veokulud muutuvad nullideks.
Kui teisendatud veokulude seas on negatiivseid arve, siis saab leida uue, parema lahendi, mille korral summaarsed veokulud on väiksemad esialgse lahendi veokuludest. Kui aga teisendatud veokulude hulgas pole negatiivseid, siis on optimaalne lahend leitud.
Lahendi optimeerimine:
Lahendi optimeerimine seisneb lubatava lahendi järk-järgulises parandamises. Iga optimaalsuse kontrolli järel (kui lahend ei osutunud optimaalseks) leitakse uued xij-d, s.t. uus lahend, mille korral summaarsed veokulud (sihifunktsiooni väärtus) on väiksemad kui eelneval sammul.Transpordiülesande lahendi parandamiseks, s.o. uue, parema lahendi leidmiseks tuleb teostada kaubaülekanne teisendatud veokuludega transporditabelis negatiivse veokuluga ruutu. Mitme negatiivse arvu esinemisel on otstarbekas eelistada väikseimat negatiivset arvu.
Uue lahendi saamiseks tuleb teha järgmist:

Moodustada ajutiselt laiendatud baasi - sellesse hakkab kuuluma valitud negatiivsele arvule vastav ruut (negatiivse veokulu ümbritseme ringikesega).

Moodustame laiendatud baasiruutudest kinnise murdjoone (kinnise ahela ehk tsükli), alustades ringikesega ümbritsetud negatiivse veokuluga ruudust ning liikudes vaheldumisi horisontaalselt ja vertikaalselt, muutes liikumissuunda vaid koormatud ruutudes. Ahelasse kuuluvate ruutude (lahendielementide) arv on alati paarisarv (minimaalselt kuulub ahelasse 4 ruutu ja maksimaalselt m + n – 1) .

Saadud kinnise murdjoone tippudele vastavatesse ruutudesse kirjutatakse mööda murdjoont liikudes kordamööda märgid “+” ja “”alustades juurdevõetud ringikesega ümbritsetud negatiivse veo­kuluga ruudust, kuhu märgime “+”, naaberruutu “-“ jne.

Leiame nn. ülekantava kaubakoguse, milleks on “” märgiga ruutudes asuva­test la­hendielementidest ehk veokogustest xij vähim. Ülekantava kaubakoguse liidame “+”-märgiga tähistatud ruudus olevale kogusele ja lahutame “” märgiga tähistatud ruudus olevast kaubakogusest.

Leitud uues transporditabelis üks ruut (just see, mis on märgistatud “-“-märgiga ja kus oli vähim kaubakogus), langeb baasiruutude (koormatud ruutude) hulgast välja (kriipsutame ringikese läbi).

Kirjutame välja uue lahendi ning kontrollime selle optimaalsust.
Alternatiivne lahend- leidub, kui ka väljaspool baasruute (ringikesega) on 0-lisi elemente (cij). Alternatiivse lahendi leidmiseks moodustatakse ahel. Ahela moodustamist alustatakse koormamata ruudus olevast nullilisest veokulust ning selle alusel leitakse uus lahend. Transpordiülesande alternatiivsed lahendid annavad sihifunktsioonile sama­suguse väärtuse (zmin), kuid lahendielementide kombinatsioon alternatiivsetes lahendites on erinev, st vedude teostamiseks on võimalik kasutada erinevaid marsruute erinevate kogustega.
KÕDUNUD LAHEND
Lahendi elemente on vähem kui m+n-1. Kõdunud lahend tekib siis, kui la­hendielemendi leidmisel üheaegselt saavad otsa hankija ressursid ning täielikult sai rahuldatud tarbija vajadus. Teine võimalus on jätkata lubatava lahendileidmist ning kui saadud lahendis on baasitundmatuid vähem kui , siis tabeli sellesse ritta või veergu , mis korraga tabelist eemaldati, lisada nulliline kaubakogus nii, et baasiruutudest (st koormatud ruutudest) ei moodustuks kinnist ahelat.
LAHENDI STABIILSUSE ANALÜÜS
Selleks tähistatakse analüüsitava veokulu (cij) võimalik muutus eij –ga. Stabiilsuse uurimiseks tuleb teha järgmist:

lisada optimaalse trans­pordi­tabeli vastavas ruudus olevale teisendatud veokulule tema võimalik muutus eij ;

teha teisendused vastavalt vajadusele kogu tabeli ulatuses selleks, et baasitundmatutele (koormatud ruutudele) vastavad veokulud oleksid nullid;

et optimaalsuse nõude kohaselt ülejäänud, st koormamata ruutude veokulud peavad olema mittenegatiivsed, koostada, koostada võrratustesüsteem eij määramiseks;

lahendada võrratustesüsteem, st leida eij väärtused, mis väljendavadki võimalike muutuste ulatust;

eij-dele tuginedes arvutada kaubaühiku veokulu väärtused, st määrata tema muutuse piirid.
MITTELINEAARNE PLANEERIMINE

Kaubavarude planeerimine- juhtimiskulud koosnevad sissevoekuludest (tellimuskulud) ja varude hoiukuludest laos. Huvitatud sisseveetava kaubapartii optimaalse suuruse leidmisest, et kaubavarude juhtimiskulud oleksid minimaalsed ning et firmal oleks võimalik toota või müüa vastavalt kavandatud mahule ning hakkama saada olemasoleva laopinnaga.
Samuti tuleb uurida:

• Kui palju muutuvad juhtimiskulud, kui kaubapartii suurus hälbib optimaalsest
  
• Kui palju on otstarbekas soodsamate lepingutingimuste saamiseks kaubapartii suurust muuta
  
• Kui palju on otstarbekas maksta täiendava laopinna üürimise eest
  

Tootmise planeerimine –eesmärk:olemasolevate võimaluste juures saada max toodangut. Lähtuvad järmisest infost:

• Milline on max võimalik toodangu maht (Q)
  
• Kui palju tuleb palgata tööjõudu ning hankida materjale, et tootmiseks vajalikud ressursid oleksid tasakaalus
  
• Kui palju suureneb toodangu maht tootmiskulude mahu suurendamisel ühe ühiku võtta (milline on piirtoodang)
  

S- tootmiskulude maht
PM-materjali ühiku hind
PL-tööjõu ühiku hind
Kaubavarude mudeli püstitamise eeldused:

Modelleeritakse (planeeritakse) vaid üheliigilisse kauba varusid

Varud firmas on kooskõlas planeeritud tootmismahuga või käibemahuga Q (nõudlus) ning nad vähenevad ühtlaselt

Kaupade sissetulek toimub regulaarselt vastavalt tellimustele

Kaubavarude juhtimiskulud koosnevad veokuludest (tellmiskuludest) ja hoiukuludest
T- plaaniperiood (kuu, aasta)
C-kaubavaru säilitamiskulu
x- kaubapartii suurus
Q-nõuldus kaubavarudele
K-ühe kaubapartii sisseveokuku (tellimiskulu)
z- kaubapartii juhtimiskulud
t-ajavahemik kaubapartiide saabumise vahel
n- kaubapartiide arv
B - laopind
Mida väiksem on kaubapartii suurus, seda tihedamini tuleb kaubapartiisid tellida ja seda suuremad on kulutused. NB! Laopinna suurendamisel ühe ühiku võrra vähenevad kaubavarude juhtimiskulud λvõrra. Seega 1 m2 laopinna eest ei ole otstarbekas rohkem üüri maksta kui on piirkulu.
Stabiilsuse analüüs:

• Tegelik kaubapartii erineb optimaalsest- järeldus: kaubapartii hälbib optimaalsest - kordselt, siis kaubavarude juhtimiskulud muutuvad -kordselt (kaubapartii vähendamisel suurenevad juhtimiskulud rohkem kui kaubapartii suurendamisel samas ulatuses)
  
• Kaubavarude tegelikud juhtimiskulud erinevad optimaalsest
  

VÕRKPLANEERIMINE – tuleb koordineerida mitmeid omavahel seotud töid ja töödekomplekse, eesmärgiks kõigi tööde lõpetamine mingiks etteantud tähtajaks õi nende võimalikult varajane lõpetamine. Töö kestvust tõlgendatakse kaare pikkusena.
Oluline teada vastust järgmistele küsimustele:

• Millal tuleb üksiktöid alustada ja lõpetada
  
• Millised üksiktööd võivad takistada projekti õigeaegset elluviimist
  
• Milliseid töid tuleks forsserinda ning kuidas selleks olemasolevaid ressursse kasutada
  

Võrkgraafik - graafik, mille tipud tähistavad olulisi sündmusi projekti elluviimisel, jooned aga töid, millest tööde kompleks koosneb. Sündmus tähistab tööde lõpetamist, mille tulemusel saab alustada uut tööd. Ootetöö- värvi kuivamine , betooni kivistumine. Haldustöö- dokumentide hankimine, kooskõlastamine, kinnitamine. Näivtöö- ei vaja ressursse ega aega.
Võrkgraafiku koostamise nõuded/ põhireeglid:
1) kahe sündmuse S1 ja S2 vahel võib olla ainult üks töö
2) sündmused ja tööd ei tohi võrkgraafikul moodustada tsüklit
3) kõik sündmused võrkgraafikul (peale viimase) peavad omama väljuvat tööd. Kui see nii ei ole ja on tekkinud nn. tupik, siis tuleb sisse tuua näivtöö
4) kõik sündmused (peale esimese) peavad omama sisenevat tööd;
5) võrkgraafik kulgeb vasakult paremale. Sündmused võib nummerdada suvaliselt, soovitavalt aga selliselt, et väiksema numbriga sündmuse toimumise võimalikkus kunagi ei sõltu suurema numbriga sündmuste toimumisest.
Võrkgraafiku analüüs selgitab aja, mille jooksul on reaalselt võimalik kõik tööd ära teha ja jõuda lõppeesmärgini. Samuti saab selgitada ajareservid iga üksiktöö kohta. Kriitiline tee- pikima kestvusega tee, lühim aeg, millega kõik võrkgraafikule kanteud tööd saavad tehtud.
Lõppsündmuse varaseim toimumisaeg on ühtlasi lühim aeg, mille jooksul saab kogu projekti ellu viia (kriitiline tee).
JÄRJEKORRATEOORIA - massiteenindusteooria uurimisobjektiks on nähtused, millse sisuks on samalaadsete operatsioonide korduv massiline sooritamine. Eesmärgiks on korraldada operatsioonide sooritamine selliselt, et teenindamise kulud ja kulud järjekorrale oleks vähimad.
Järjekorrateooria tegeleb massiliselt toimuvate ning juhusest sõltuvate operatsioonidega seotud nähtuste üldiste seaduspärasuste selgitamisega.
Järjekorrateooria uurimisobjektiks on süsteem, milles toimub juhusest sõltuvate operatsioonide korduv sooritamine sellesse süsteemi üldiselt juhus­likult sisenevate objektidega. Järjekorrateooria uurib selliste süsteemide matemaatilise kirjeldami­se võimalusi.
Teenindamine  teenindussüsteemis sooritatav operatsioon või operatsioonide kompleks.
Teenindaja  teenindussüsteemi operatsioonide teostaja.
Tellimus (teenindatav)  teenindussüsteemis tee­nindatav objekt/subjekt.
Teeninduskanal  üksteisest sõltumatult erinevaid tellimusi täitev teenindaja (teenindajad).
Sisendvoog  süsteemi saabuvad tellimused (tee­nindatavad).
Väljundvoog  süsteemist lahkuvad tellimused (teenindatavad).
Järjekord  teeninduse ootel olevate tellimuste hulk süsteemis.
Kannatamatud tellimused  järjekorrast lahkuvad teenindamata tellimused.
Teenindussüsteemi tegevust iseloomustavad peami­sed näitajad:

• teenindussüsteemi koormatus, süsteemi tühisei­saku tõenäosus
  
• järjekorra tekkimise tõenäosus ja selle pikkuse keskväärtus
  
• tellimuse teenindussüsteemis ja järjekorras ole­ku keskmine aeg
  
• ajaühikus rahuldamata jäänud tellimuste arvu keskväärtus.
  

Teenindussüsteem (Kendalli tähistusviis) X|Y|S -> X & Y sisendvoog & teenindusaja jaotus, S kanalite arv. Poissoni või eksponentsiaalse jaotusega M|M|S S- teeninduskanalite arv
1