Lineaaralgebra kordamisküsimused (0)

Crameri peajuhtumi korral avalduvad lin. Võrrandi süsteemi tundmatud murdudena, mille nimetajates on süsteemi maatriks determinant , lugejas maatriks kus tundmatute veerg on asendatud vabaliikmetega, determinant.
Determinantide omadused, determinandi arendus rea ( veeru ) järgi
l. omadus.
Determinant ei muutu kui tema read ja veerud omavahel ümber paigutada. See omadus väljendub determinantide ridade ja veergude samaväärsust. Seega kõik teoreemid ja omadused, kehtivad, mis kehtivad determinantide ridade kohta kehtivad ka tema veergude kohta.
2.omadus.
Kuid determinandis kaks rida omavahel ümber paigutad, siis muutub determinandi märk
vasatupidiseks.
3. omadus.
Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamise ühe ja sama teguriga korrutub
kogud determinant selle sama teguriga.
See omadus võimaldab determinandi rea või veeru elementid ühist tegrui determinandi märgi ette tuua mis harilikult lihtsustab tunduvalt arvutusi.
4. omadus
Kui determinandis on kaks rida omavahel võrdsed, siis determinant võrdub nulliga.
Seega on eelmise omaduse tõttu determinant võrdne nulliga ka siis, kui determinandi Kaks rida on võrdelised.
5. omadus.
Kui determinandis mingi rea iga element kujutab kahe liidetava summat, siis laguneb
determinant kahe sama järku determinandi summaks, kus esimeses determinandis koosneb vaadeldav rida esimestest liidetavatest ja teises determinandis teistest liidetavatest;
ülejäänud read jäävad aga endisteks.
6. omadus
Determinant ei muutu kui determinandi ühe reaga liita mistahes teguriga korrutatud teine rida. Determinant seda omadust kasutatakse mõnede elementide nulliks muutumiseks, et
Determinandi arvutamist lihtsustada.
Maatriks, tehted maatriksitega Kirjutades nende vektorite koordinaadid välja tabelina, nii et ühe ja sama vektori Koordinaadid asetseksidt ühes reas ning samanimelised koordinaadid ühes ja samas veerus, saame tabeli, mida nimetatakse maatriksiks . Maatriksitele saab määrata nende summa, vahe, korrutise ja maatriksi arvuga korrutamise. Maatriksite jagamisest ei saa rääkida!

Maatriksi astak , selle leidmine. Näide
Kui maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r –järku miinor , kuid mitte ühtegi nullist Erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, maatriksi astak on r. Maatriksi astaku hõlpsamaks leidmiseks teisendataks maatriksit enne nii, et ta kõrgeimat järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Selleks vajatakse järgmisi nn elementaar-teisendusi Need on:
l"maatriksi rea (veeru) korrtumine nullist erineva teguriga a
2'ühele reale (veerule) k –kordse teise rea (veeru) liitmine;
3' maatriksi kahe rea (veeru) ümberpaigutamine. Elementaarteisendused ei m uuda m maatriksi astakut.
Pöördmaatriks , selle leidmine. Pöördmaatriks on vaid ruutmatriksil. Kui maatriksi tüüp on n_n, siis ka pöördmaatriks on n_n-maatriks. Definitsioon. n2-maatriksi A pöördmaatriks on n2-maatriks A_1,mille jaoks A_A_1 _ A_1 _A _ I.
Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju, Kronecker -Capelli teoreem . Näide.
Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on võrdusmärgi paremal pool) lineaarse võrrandisüsteemi saab kirjutada maatrikskujul AX = B, Teoreem (Kronecker-Capelli). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi A ja laiendatud maatriksi AB astakud on võrdsed (Öeldakse ka, et süsteem on kooskõlas). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv_r _ r´ (see on nn. astakutingimus).
Gaussi ja Gauss -Jordani meetod. Näited Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi AB kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides sealjuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Veergusid on vaid lubatud vahetada, mis vastab ju tundmatute ümbernummerdamisele. Siis tuleb seda vastuses arvestada.
Vektorid , tehted vektoritega Vektor on suunatud lõik. Tehted vektoritega: Summa, vahe, korrutamine skalaariga (arvuga)
Koordinaatidega antud vektorid, tehted nendega Olgu antud vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on reaalarvud , nimetatakse vektorite a1, a2, . . . , ak lineaarseks
kombinatsiooniks. Kui vektor on esitatud mingite vektorite lineaarse kombinatsioonina, siis öeldakse, et ta on arendatud nende vektorite järgi. Tehted: Kahemõõtmelises ruumi Cartesiuse ristkoordinaadistikus kasuatasime x- ja y-telje
suunalisi vektoreid i =1, 0_ ja j =0, 1_.
Skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatake arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste jar vektoritevaheliseu nurga koosinuse korrutisega.
Vektorkorrutis Vektorite alfa ia beeta vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit y , mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga mis on ehitatud vektoritele alfa ja beeta kui külgedele ja mis on risti nende vektoritea ning suunatud nii, et lühem pööre vektorist alfa vektorini beeta ümber vektori y toimub vastupäeva kui vaadata vektori y lõpust
Segakorrutis Kolme vektori segakorrutiseks nimetatakse kahe vektori skalaarset korrutist kolmanda vektoriga
II järku jooned. Ellips Ellipsiks nimetatakse tasandi nende punktide hulka , milliste kauguste summa kahest antud punktist, mida nimetataks fookustek , on konstatrtne.
II järku jooned. Hüperbool Hüperpooliks nimetatakse tasandi nende punktide hulka, mille kauguste vahet tasandi kahest antud punktist on absoluutvdäärtuselt konstantne .
II järku jooned. Parabool Parapooliks nimetatakse tasandi niisuguste punktide hulka. mis asuvad võrdsel kaugsel antud punktist mida nimetatakse fookuseks ja antud sirgest mida nimetatakse juhtjooneks.