VÕRRATUSED (0)

VÕRRATUSED
Võrratusmärgid on :
> - on suurem
≥ - on suurem või võrdne
≤ - on väiksem või võrdne
Omadused:
1.
2. Kui võrratuse mõlema poolega liita üks ja sama reaalarv , jääb võrratusmärk endiseks:
3. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama positiivse teaalarvuga, jääb võrratusemärk endiseks:
4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks:
ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED
Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga.
Näide 1. Lahendada võrratus 2x – 8 > 7.
Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8
2x > 15
jagame 2-ga (>0) x > 7,5
Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5.
Vastus: x(7,5; ).
Näide 2. Lahendada võrratus
Korrutame võrratuse mõlemad pooled 6-ga
2· 6 – 2(5x – 6) > 3(x – 5),
12 – 10x + 12 > 3x – 15
Viime muutujaga liikmed vasakul, vabaliikmed paremale poolele ja koondame sarnased liikmed:
- 10x – 3x > -12 – 12 - 15
- 13x > - 39
Jagame saadud võrratuse mõlemad pooled ( - 13 –ga), mille tagajärjel võrratusemärk muutub vastupidiseks:
x Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on väiksem kui 3.
Vastus: x(- ; 3).
Näide 3. Lahendada võrratus 2(17t +5)
15t +11
Lahendus
34t + 10
15t +11
34t - 15t
11 – 10
19t
1
t
Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on väiksem või võrdne kui .
Vastus: x(- ; ].
Näide 4. Lahendada võrratus
Lahendus Murdvavaldis on negatiivne siis, kui lugeja ja nimetaja on erimärgilised. Kuna lugejas on positiivne väärtus, siis nimetaja peab olema negatiivne:
25 – x - x x > 25.
Vastus: x(25; ).
Ülesandeid
Lahendada lineaarvõrratused:
1) 4x – ( 8x – 7 ) y -3) – 4(5y – 7) ≥ 1 3)
RUUTVÕRRATUSED. Kõrgema astme võrratused.
Ruutvõrratuste lahendamiseks on mitu meetodit. Piirdume intervallide meetodiga.
Intervallide meetodi algoritm:

Leida avaldise nullkohad (võrdsustada nulliga). Avaldist võib lahutada tegureiks.

Paigutada nullkohad arvsirgele.

Uurida avaldise märki igas saadud intervallis (igas intervallis valime suvalist arvu, asendame selle arvu ja uurime saadud märki). Intervallid omavad kas „+“ või „ – „ märki. „+“ märgiga intervall vastab „> 0“ võrratusele ja „ – „ vastab „Näide 5. Lahendada võrratus x2 – 3 x Leiame avaldise nullkohad, võrdsustades „0“-ga
x2 – 3 x = 0
toome x sulgude ette x( x – 3) = 0
x = 0 või x – 3 = 0
x1 = 0, x2 = 3.
Lahutame tegureiks ja seega saame järgmise võrratuse:
x( x – 3) Paigutame nullkohad arvsirgele:
Tekkis 3 intervalli: (- ; 0), (0; 3), (3; ).
Valime esimesest arvu, näiteks „ -1“ ja asendame võrratusse : (- 1)·( - 4) > 0
esimese intervallis on „+“ märk.
Valime järgmisest intervallist arvu, näiteks „1“ ja samuti asendame võrratusse: 1·( - 3) teises intervallis on negatiivne märk.
Kolmandas valime, näiteks „4“, peale asendamist saame 4· 1 > 0. Sellel intervallil on positiivne märk.
Võrratuse märk oli „Vastus: x(0; 3).
Näide 6. Lahendada võrratus (2x +4)(x2 +1) (x – 5) ≥ 0.
Leiame avldise nullkohad: (2x +4)(x2 +1) (x – 5) = 0
Korrutis on null, kui üks kordatest on null:
2x +4 = 0, x2 +1 = 0, x – 5 = 0
2x = - 4 reaallahendid x = 5
x 1= -2 puuduvad x2 = 5.
Avaldis on lahutatud tegureiks; paigutame nullkohad arvsirgele:
Nullkohad jaotasid sirget kolmeks osaks: (- ; - 2), (- 2; 5), (5; ).
Valime esimest intervallist, näiteks „ – 3“, asendame võrratusse : - · + · - = + > 0;
teisest intervallist valime, näiteks „0“: + · + · - = - kolmandas intervallis saame: + · + · + > 0.
Võrratuse märk on „≥ 0“, järelikult vastuseks on intervallid „ + „ märgiga kaasaarvatud nullkohad.
Vastus: x( - ; - 2] U [5; ).
Ülesandeid
Lahendada võrratusi:
1)
2)
3) – 12x 2 – 36x ≤ 0 4) (3x – 4 )(7 – 2x) ≤ 0
5) 3x2 + 11x - 4 ≥ 0 6) 12 – x( x + 3) ≤ 20
4