Lineaaralgebra, II osaeksami vastused, 2013 (0)

1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi  kordajad , vabaliikmed,  
lahend . Süsteemi  maatriks  ja laiendatud  maatriks .  
 
Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat 
a x + a x + .. a
x = b
süsteemi. Tema üldkuju on: (3)  11 1
12
2
n
1
n
1
Arve  a  nimetatakse võrrandisüsteemi  
a x + a x + .. a
x = b
ij
21
2
22
2
2n
n
2
......... .
. .........
a x + a
x + .. a
x = b
m1 1
m 2
2
mn
n
m
kordajateks, arve  b , b ,...,b  aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve  c , c ,..., c  , mis rahuldavad 
1
2
m
1
2
n
süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi  lahendiks . Lineaarse võrrandisüsteemi (3) 
kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel 
vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks.  
 
2. Substitutsiooni definitsioon, näide. Inversiooni definitsioon, näide. N-järku determinandi  
definitsioon.  
 
Determinandi defineerimisel kasutatakse substitutsiooni mõistet. n-ndat järku substitutsiooniks 
nimetatakse n esimese naturaalarvu 1,2,...,n iga ümberjärjestust  i ,i ,...,i , . Näide 1. Kolmandat 
1
2
n
järku substitutsioone on 6: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1.  Võib veenduda (meie seda 
siin ei tee), et n-ndat järku substitutsioone on  n =
! 1⋅ 2 ⋅ 3⋅...⋅ (n − )
1 ⋅ n  tükki. Kõigi n-ndat järku 
substitutsioonide hulka tähistatakse  S . Olgu substitutsioonist  i , i ,...,i  valitud kaks arvu  i  ja  i  
n
1
2
n
k
l
selles järjekorras, nagu nad seal seisavad, s.t. k   i   , siis öeldakse, 
1
k
l
n
k
l
et paar  i ,  i  moodustab inversiooni vaadeldavas substitutsioonis. Maatriksi A determinandiks 
k
l
nimetatakse  summat  kus iga n-järku substitutsiooni ( i ,i ,...,i , ) jaoks on üks liidetav. Kui summas 
1
2
n
on  !
n liidetavat, liidetavas arvu -1 aste on korrutise  a a .. a
märgi määramiseks. Summat 
i
1
2i
ni
1
2
n
tähistatkse veel 
ja seda nimetatakse ka n-ndat järku determinandiks. 
 
3. Determinantide 10 omadust.  
 
Omadus 1.  Maatriksite  A ja AT determinantide väärtused langevad kokku, s.t. determinandi D väärtus 
ei muutu, kui tema read paigutada vastavateks veergudeks ja vastupidi. Omadus 2.Kui determinandil 
D = det A vahetada omavahel kaks rida (või  veergu ), siis saadud determinandi väärtus on –D 
( determinant  muudab märki). Omadus 3. Kui determinandis kaks rida (või veergu) langevad 
omavahel kokku, siis selle determinandi väärtus võrdub nulliga. Omadus 4. Determinandi mis tahes 
rea (või  veeru ) arvudest võib ühise teguri tuua tegurina determinandi märgi ette. Omadus 5. Kui 
determinandi D mingi rea, näiteks k-nda rea arvud avalduvad kahe liidetava summana siis 
determinant D avaldub kahe determinandi summana. Omadus 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui 
tema mingi rea arvudele liita mingi arvu  kordsed  teise rea arvud. Omadus 7. (Determinandi arendis 
rea või veeru järgi) Determinandi D mis tahes reanumbri i korral kehtib 
(arendis i-nda rea järgi) ja mis tahes veerunumbri j korral 
kehtib 
(arendis j-nda veeru järgi), kus 
ja Mij 
on determinant, mis tekib determinandist D i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel. Omadus 8. Kui 
determinandi mingis reas või veerus on kõik arvud nullid, siis determinandi väärtus võrdub nulliga. 
Omadus 9. Ruutmaatriksi 
n×n
A = (a ) ∈ R
 determinandi  A = D  mis tahes reanumbrite i ja k korral 
ij
kehtib võrdus 
kus Akj on determinandi 
elemendi akj alamdeterminant. Analoogselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral
. Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama 
järku ruutmaatriksid, siis  det(A )
B = (det )
A ⋅ (det B)  
 
4. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise  eeskiri . Regulaarse ja singulaarse  
maatriksi mõisted.  
 
Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E, kus E on 
sobivat  järku ühikmaatriks. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse 
regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Pöördmaatriksi elementide 
1
−
1
leidmise eeskiri:  A
A .  
det A
 
5. Skalaarkorrutise definitsioon  vektorruumis . Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite  
vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus.  
 
Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse 
parajasti ühe  reaalarvu , mida tähistatakse α ⋅ β ja nimetatakse vektorite α ja β skalaarkorrutiseks. 
Vektori α ∈ V pikkuseks nimetatakse arvu α ⋅α . Vektori α pikkust tähistatakse  α . Olgu α ja β 
nullvektorist erinevad  vektorid  eukleidilisest vektorruumist V. Vektorite α ja β vaheliseks nurgaks 
O
N
O
N
α ⋅ β
nimetatakse nurka α , β  mis on määratud võrdusega  cosα, β =
. Öeldakse, et vektorid α ja 
α ⋅ β
β on omavahel risti ehk ortogonaalsed ja tähistatakse α ⊥ β , kui α ⋅ β = 0 .  
 
6. Vektorkorrutise definitsioon.  Teoreem  vektorkorrutise ristseisust ja pikkusest (tõestuseta).  
Segakorrutise definitsioon.  
 
1. Vektorite α ja β vektorkorrutiseks nimetatakse  vektorit  α × β, mis on määratud võrdusega: 
 a a
a a
a a 
α × β =  2 3 ;− 1 3
1
2


 .  Vektorkorrutis  α × β on risti mõlema teguriga α ja β . 
 b b
b b
b b
2 3
1 3
1 2 
Vektorkorrutise α × β pikkus  α × β on arvuliselt võrdne vektoritele α ja β ehitatud rööpküliku 
pindalaga. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite α , β ja γ segakorrutiseks nimetatakse 
vektorite α ja β vektorkorrutise α × β skalaarkorrutist vektoriga γ , s.t. arvu ( α × β ) ⋅ γ. Vektorite α ja 
β vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit α × β, mis on risti vektoritega α ja β , mille pikkus ühtib 
vektoritele α ja β ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga.  
 
 
 
7. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi  
võrrand, tasandi  normaalvektor .  
 
x = c + s t
Parameetriline :   1
1
1
Kanooniline:  x − c
x − c
x − c  Kolmemõõtmelise ruumi tasand: 

1
1
2
2
n
n
x = c + s t
= ... =
 2
2
2
s
s
s
1
2
n
...........
x = c + s t
n
n
n
 Tähistades sel korral  x = x, x = y, x = z, , ja muutes arvude 
1
2
3
a , a , a , ning b tähistusi, saadakse tasandi võrrandiks kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis 
1
2
3
ax + by + cz + d = 0 . Kordajad a, b, c võrrandis (3) ei tohi võrduda samaaegselt nulliga ning  nendest  
r
moodustatud vektor n = ( ;
a ;
b c)  on risti selle tasandiga. Vektorit n nimetatakse vaadeldava tasandi 
normaalvektoriks.