võrrandisüsteemi lahend on Dx Dy D x= , y= ,z= z D D D 2x y z 5 Näide: Lahendame võrrandisüsteemi x 2y z 1 2 x y 2 z 0 Arvutame determinandid D, Dx, Dy ja Dz 2 1 1 5 1 1 2 5 1 D= 1 2 1 9 Dx = 1 2 1 16 Dy = 1 1 1 6 2 1 2 0 1 2 2 0 2 2 1 5 Dz = 1 2 1 19 . 2 1 0 16 6 2 19 Võrrandisüsteemi lahendid on x = , y= , z= 9 9 3 9 Küsimused: 1) Kui palju on lahendeid, kui D = 0, Dx = 0, Dy = 0 ja Dz = 0?
3. Kui determinandi kaks rida (või veergu) langevad omavahel kokku, siis selle determinandi väärtus võrdub nulliga 4. Determinandi mis tahes reast või mis tahes veerust võib ühise teguri determinandimärgi ette tuua; |cA| = cn|A| 5. Kui determinandi D mingi rea, näiteks k-nda rea arvud a k1, ak2, ..., akn avalduvad kahe liidetava summana ak1 = b1 + c1, ak2 = b2 + c2, ..., akn = bn + cn, siis determinant D avaldub kahe determinandi summana (kõik avaldises esinevad determinandid erinevad ainult k-nda rea poolest). Analoogiline väide kehtib ka determinandi D veergude jaoks 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui selle mis tahes reale (veerule) liita juurde suvalise skalaarikordne mingi teine rida (veerg) 7. Determinandi arendis rea või veeru järgi: A ij = (-1)i+j Mij (elemendile aij vastav alamdeterminant); aij -> Mij - determinant, mis tekib determinandist | A| i-nda rea ja j-nda veeru mahatõmbamisel (elemendile a ij vastav miinor).
.................................................................15 Liitmisvõtte näide...............................................................................................................15 Graafiline võte.................................................................................................................... 16 2 Determinandid.................................................................................................................... 16 Kahe tundmatuga ruutvõrrandisüsteem..................................................................................17 Tekstülesande lahendamine võrrandi või võrrandisüsteemi abil............................................17 Juurvõrrand............................................................................................................................
3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3
Omadused: A(BC)=(AB)C; A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; kui A=B, siis CA=CB; kui A=B, siis AC=BC;k(AB)=(kA)B=A(kB). 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Determinant-lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari. Determinandi järk tähistab determinandi môôtmeid (read = veerud). Tähistused: Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|. Miinor rittaarendamise meetodit kasutades leitavad determinandid (alamdeterminandi osa) Alamdeterminant miinor, koos nende positsiooni kirjeldavate kordajatega algdeterminandis 4. Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku determinandi arvutuseeskiri: peadiagonaali elementide ja teise diagonaali elementide korrutiste vahe. Kolmandat järku determinandi arvutuseeskiri: Sarruse reegli järgi. 5. Kõrgemat järku determinantide arvutuseeskiri. Kôrgemat järku determinantide arvutuseeskiri: rittaarendamise meetodiga. 6
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vektorina
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .
0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant . . . . . . . . . . . . .
Kõik kommentaarid