Determinandid gümnaasiumiõpikus (0)

DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI 
  Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr-
KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL 
randisse, saame 
 Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse 
c  b y
  a x  b y   c
• x
1
1
 
, kui a
1
1
1
1 ≠ 0. 
järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste  
a1
üldisi omadusi. 
  c  b y °
  a
1
1
¡
± b y c
a  korrutame võrrandi pooli a
  Üheks selliseks avaldiseks on kahe korrutise vahe. 
2 ¡
± 
 
1-ga 
a
2
2
1
1
a
c
a c  a c
Näide 1: Kui neli arvu a, b, c ja d on võrdelised, s.t.  
 
,  siis  a·d = b·c  
a
  1 2
2 1
2c1 – a2b1y + a1b2y = c2a1  ⇒   y
.     (*) 
b
d
a b  a b
1 2
2 1
ehk  a·d – b·c = 0. 
c b  c b
1 2
2 1
Viimase võrduse võib kirja panna kujul   
Analoogiliselt saab näidata, et  x  
.     (**) 
a b  b a
1 2
1 2
a
b
 
  0 . 
c
d
Saadud valemeid saab muuta kergemini meeldejäävaks, kui murdude lugejates 
ja nimetajates olevad korrutiste vahed esitada tabelina: 
Võrduse vasakul pool olevat tabelit tuleb mõista avaldisena, mis saadakse, kui 
arvude a ja d korrutisest lahutatakse arvude c ja b korrutis. 
a
b
a
c
c
b
  a b  a b
1
1
 
,   a c  a c
1
1
 
 ja    c b  c b
1
1
 
. 
Näide 2: Kolmnurga OAB  tipud on O(0; 0),  A(x
1 2
2 1
1 2
2 1
1 2
2 1
1; y1)  ja  B(x2; y2). Arvutame 
a
b
a
c
c
b
2
2
2
2
2
2
selle kolmnurga pindala 
Avaldist kujul a·d – b·c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja 
Kolmnurga OAB pindala leiame nii: 
 
y
kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu : 
kolmnurga  OBBx pindalale liidame trapetsi 
a
b
B
B
xBAAx pindala ning tulemusest lahutame 
  a “ d  b “c . 
täisnurkse kolmnurga OA
c
d
xA pindala.  
Saame, et 
Arve  a,  b,  c ja d nimetatakse determinandi elementideks. Leiame näidetena 
x y
y + y
x y
  S =  2 2
1
2
(x − x
1 1
) −
 
mõnede determinantide väärtused: 
1
2
2
2
2
A
2
3
1
2
ja pärast sarnaste liikmete koondamist 
 
  2 “ 4  5 “3   7
 ; 
   
  4 “1  3 “ 2  = - 2; 
5
4
3
4
1
  S   (x y  x y )  
1 2
2 1
a
b
4
6
2
Bx
A
x
x
 
  a2  b2 ;           
  3“ 4  2 “ 6   0 . 
x
y
b
a
2
3
ehk teisiti kirjutatult   
1
1
S   1
. 
2 x
y
2
2
Kolmandas näites leitud võrrandisüsteemide lahendid esituvad determinantide 
abil järgmiselt: 
Märkus: Saadud valem kolmnurga pindala arvutamiseks kehtib ka siis, kui 
kolmnurga tipu A juures oleks nürinurk või täisnurk. Sel juhul valemi tuletus -
c
b
a
c
1
1
1
1
käik erineks mõnevõrra eelnevast , kuid lõpptulemus on sama. 
c
b
a
c
  x  
2
2
    ja     y  
2
2
. 
a
b
a
b
1
1
1
1
Näide 3: Olgu vaja lahendada lineaarvõrrandisüsteem 
a
b
a
b
2
2
2
2
¦ a x  b y   c
 
1
1
1
 
Murru nimetajas olev determinant koosneb tundmatute ees olevatest 
a x  b y   c
2
2
2
kordajatest. Seda determinanti nimetatakse võrrandisüsteemi determinandiks 
kus a1, b1, c1, a2, b2 ja c2 on antud arvud ja x ning y on tundmatud. 
ja tähistatakse tähega D. Murru lugejas olevate determinantide elemendid on 
aga saadud süsteemi determinandist vastava tundmatu kordajate asendamisel 
2
a2  ab  b2
a  b
u  v
u  v
u
v 2
 d) 
   e) 
 
vabaliikmetega. Neid determinante tähistatakse lühidalt tähtedega D
2
2
3
3
x ja Dy. 
a  ab  b
a  b
u  v
u 
 
   f) 
v
u
v
⎧ a x + b y = c
Seega võrrandisüsteemi 
1
1
1   lahend  esitub kujul 
⎨
477. Lahenda võrrandisüsteemid determinantide abil. 
⎩a x + b y =
¦ 3  
¦ 
 
 
2
2
c2
x
y
4
5x
6y
11
3x
4y
0
 a) 
            b)  §
        c)  §
 
D
D
4x  y  
3
x  y   2
5x  7y   0
  x
x
 
  ja   y
y
 
,  kus D ≠ 0. 
D
D
¦2x  y  3   0
8
¦ x  3y   46
¦ x  y  5   0
 d) 
        e)  §
        f)  §
 
4x  7y   2
x  2y  4   0
5x  6y   13
x  3y  9  
0
Näide:  Lahendame võrrandisüsteemi  §
 
x  2y   1
¦7 3
, x  2 8
, y   59,42
¦2 3
, x  4,9y   6,2
 g) 
          h)  §
 
4
7
3,4x  2 8
,   2,64
6,7x  2,9y   31 8
Süsteemi determinant on 
D  
  4 “2 1“7   1, 
1
2
478.  Lihtsusta ja seejärel lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. 
2
7
     
 
 
determinant 
D  
  2 “2 1“7   3  ja  
¦ p q
x
  
1
2
¦4(x  2)   1 5y
¦ x
© 
 
1
 a) 
      b) 
5y
28
         c) 
2
3
 
4
2
3
3(y  2)   3  2x
 
p
2q
     
 
 
determinant 
 
D  
  4 “11“2   2 . 
x
6y
0
¨©
8
y
1
1
4
3
¦ x 1 y  2
2(x  y)
¦ 3x  2y 5x  3y
D
3
D
2
 
  x 1
Seega  x
x
 
 
  3   ja   y
y
 
    2 . 
3
4
5
5
3
D
1
D
1
 d) 
        e)  §
 
x  3
y 
3  
2x
3y
4x
3y
2y  x
  y 1
Kontrolli, kas saadud lahendid rahuldavad võrrandisüsteemi. 
¨ 4
3
3
2
473. Arvuta determinandi väärtus. 
Punktis 4.1.5. leidsime näidete abil seaduspärasused, mis võimaldasid võrrandi-
6
7
5
2
4
7
2
0
te kordajate abil määrata seda, kas võrrandisüsteemil on üks lahend või lõpmata 
 a) 
       b) 
     c) 
      d) 
 
3
5
18
3
13 9
3
0
palju lahendeid või lahendid puuduvad. Nüüd põhjendame seal leitud seadus-
36
28
36
28
36
28
0 5
2
 ,4
pärasust. 
 e) 
      g) 
     h) 
 
36
    f) 
28
18
14
0
0
3 5
5,4
1. Et antud võrrandisüsteemil oleks parajasti üks lahend, peab süsteemi 
474. Kontrolli, missugused võrdused kehtivad. 
determinant D olema nullist erinev, s.t. 
a
b
c
d
a
b
a
c
a
b
a
b
 a) 
 
       b) 
  
   c) 
  0  
 
1
1
w 0 . (Miks?) 
c
d
a
b
c
d
b
d
0
0
a
b
2
2
a
b
c
d
a
b
b
a
a
b
a
b
 d) 
  
      e) 
 
      f) 
  ac  
Kui D ≠ 0, siis a
1
1
1b2 – a2b1 ≠ 0 ehk a1b2 w a2b1 ehk 
w
. 
c
d
a
b
c
d
d
c
0
c
a
b
2
2
475. Lahenda võrrand. 
Järeldus: Selleks, et võrrandisüsteemil oleks ühene lahend, ei tohi tundmatute 
2
x
x  2
x  1
3
k
k
1
kordajad olla võrdelised. 
 a) 
  0             b) 
  7      c) 
 
 
x
8
x  3
x  4
4
3
3
7
2. Olgu süsteemi determinant D = 0 ja ülejäänud determinantidest üks (näiteks 
5
6  x
5  x
x  3
x
x
D
 d) 
  0        e) 
  4       f) 
  0  
x) samuti võrdne nulliga. Näitame, et sel juhul determinant Dy = 0. 
x  2
3
x  1 5  x
x
2x
a
b
c
b
Eeldustest 
1
1
 
1
1
0   ja  
  0  saab järeldada, et  
476. Avalda ja lihtsusta. 
a
b
c
b
2
2
2
2
cosα
 sinα
1  2
2  5
x  1
1
 a) 
      c) 
 
sin α
cosα
        b) 
3
2
2  5
1  2
x
x  x 1
a
b
1
1
 
 
c
b
Mõlema võrduse paremad pooled on võrdsed, 
Seega kokku võttes: 
1
1
a
b   ja  
 
. 
2
2
c
b
järelikult on ka vasakud pooled omavahel võrdsed. 
2
2
a
b
   
1
1
w
  
1. Kui D ≠ 0, siis 
 ja võrrandisüsteemil on ühene lahend. 
 
a
b
2
2
a
c
a
c
Saime , et  1
1
 
 ehk teisiti 
a
b
c
D  
1
1
  0 . 
2. Kui D = 0, D
1
1
1
x = 0 ja Dy = 0, siis 
 
 
 ja võrrandisüsteemil on 
a
c
y
a
c
2
2
2
2
a
b
c
2
2
2
0
Kui kõik kolm determinanti on nullid , siis tundmatud avalduvad kujul x = 
 ja 
lõpmata palju lahendeid. 
0
a
b
c
3. Kui D = 0 ja D
1
1
1
 
w
 ja võrrandisüsteemil 
0
0
x  ≠ 0 ja Dy  ≠ 0, siis 
y = 
. Sümbol 
 ei määra aga mingit arvu. 
a
b
c
2
2
2
0
0
pole lahendeid. 
a
b
c
Olgu  1
1
1
 
 
  k , siis a1 = ka2,  b1 = kb2  ja  c1 = kc2. 
a
b
c
2
2
2
479. Lahendada võrrandisüsteem. 
Võrrandi a
¦ x  y  5   0
3
¦ x  4y   1
 2
¦2x  3y   1
 8
1x + b1y = c1 võime nüüd esitada kujul  ka2x + kb2y = kc2. 
 a) 
        b)  §
        c)  §
 
 3  9  
 
 
Viimasel võrrandil on samad lahendid mis võrrandil   a
x
y
0
6x
8y
24
10
4x
6y
2x + b2y = c2. 
¦ x  5   y
¦2x  y   3
¦2x  3y   4
Seega rahuldavad vaadeldaval juhul süsteemi mõlemat võrrandit ühed ja samad 
 d) 
        e)  §
          f)  §
 
2x  2y   3
x  2y   4
4x  6y   8
arvupaarid. 
480. Leia parameetri väärtused nii, et võrrandisüsteemil oleks üheselt määratud 
Kui lineaarvõrrandisüsteemis võrrandite vastavad kordajad ja vabaliikmed 
lahend, lahendeid oleks lõpmata palju, lahendid puuduvad. 
on võrdelised, siis on võrrandisüsteemil lõpmata palju lahendeid. 
¦x  y   a
¦ x  y   c
¦ ax  by   1
x 
 a)  y             b)  §
     c) 
 
2b
x  y   c 
¨2
2
3
d
a2 x  b2 y   a
3. Kui süsteemi determinant on null ja üks ülejäänud kahest determinandist 
x
¦ x  a
(näiteks D
 
x) ei ole null, siis ei ole null ka teine determinant (antud juhul Dy). 
a 
  by
b
3
¦ ax  2by   15
©©
 d) 
      e) 
b
y
 
a
b
c
b
a
b
c
b
2
         f) 
ax  by   5
b y
x  b
Eeldusest 
1
1
 
1
1
0  ja 
w 0  saab järeldada, et   1
1
 
  ja   1
1
w
. 
© b  x  
  a
a
b
c
b
¨©
a
© y
2
2
2
2
a
b
c
b
2
2
2
2
a
c
a
c
481. Leia a väärtused, mille korral võrrandisüsteemil on ühene lahend. 
Saime, et  1
1
w
 ehk teisiti 
1
1
D  
w 0 . 
y
¦ 1    
  
a
c
a
c
(a
)x
y
a 1
ax
y
a
2
2
2
2
 a) 
            b)  §
 
 1  
 
a
b
x
(a
2
x
ay
a
2
Tähistame  1
1
 
  m . Siis a1 = ma2  ja  b1 = mb2, aga  c1 ≠ mc2. 
a
b
2
2
Vaadeldav võrrandisüsteem on esitatav kujul 
KOLMEREALINE DETERMINANT. DETERMINANDI OMADUSED 
¦ma x  mb y   c
c1
 
 
2
2
1
   ehk    a x b y
2
2
m  . 
a x  b y   c
Avaldist  a
2
2
2
a x  b y   c
¨©
1b2c3  +  c1a2b3  +  b1c2a3  -  c1b2a3  -  a2c3b1  -  b3a1c2 nimetatakse 
2
2
2
kolmerealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kolm 
Et  c1  ≠  mc2, siis näeme, et saadud võrrandite vasakud pooled on samad, 
rida ja kolm veergu: 
paremad pooled aga erinevad. Järelikult on need võrrandid vasturääkivad, ehk 
a
b
c
teisiti öeldes võrrandisüsteemil lahendid puuduvad. 
1
1
1
a
b
c
. 
2
2
2
Kui lineaarvõrrandisüsteemi tundmatute kordajad on võrdelised, kuid ei 
a
b
c
3
3
3
ole võrdelised vabaliikmetega, siis võrrandisüsteemil lahendid puuduvad. 
 
Kolmerealise determinandi väärtuse arvutamiseks kasutatakse järgmist skeemi, 
Determinantidel on terve rida omadusi. Need omadused kehtivad kaherealiste, 
mida nimetatakse ka Sarruse1 reegliks: 
kolmerealiste kui ka suurema ridade ja veergude arvuga determinantide korral. 
Omaduste kehtivust näitame siiski ainult kaherealiste determinantide korral. 
1. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema read teha veergudeks ja vee-
rud ridadeks . 
a b
a c
 
Näitame, et kehtib võrdus  
 
 
c d
b d
Lisatud märgid näitavad, millised korrutised võetakse determinandi väärtuse 
Võrduse vasaku poole väärtus on ad – cb ja parema poole väärtus on ad – bc. 
arvutamisel sama märgiga ja missugused vastandmärgiga. 
Seega on võrduse mõlemad pooled võrdsed. 
Näide: arvutame kahe järgmise determinandi väärtused: 
Sellest omadusest järeldub, et kõik  laused , mis kehtivad determinandi ridade 
 
2
1
3
kohta, kehtivad ühtlasi ka determinandi veergude kohta. 
 
1
4
0  = 2·4·( – 1) + ( – 1)·( – 2)·3 + ( – 3)·1·0 – 
2. Kahe rea ( veeru ) vahetamisel muutub determinandi märk vastupidiseks. 
3
2
1
a b
c
d
    – ( – 3)·4·3 – ( – 1)·1·( – 1) – 2·( – 2)·0 = 33. 
 Tõepoolest, 
= ad – cb  ja  
= cb – ad = – (ad – cb)  
c d
a
b
1
2
3
 
4
5
6 = 1·5·9 + 3·4·8 + 2·6·7 – 3·5·7 – 1·6·8 – 2·4·9 = 
a
b
c
d
 ehk 
  
. 
c
d
a
b
7
8
9       = 45 + 96 + 84 – 105 – 48 – 72 = 0. 
3. Kui determinandi read ( veerud ) on võrdsed, siis on determinant võrdne 
a
b
c
1
1
1
nulliga. 
 Determinandi a
b
c
  
a
b
2
2
2
 Tõepoolest, 
= ab – ab = 0. 
a
b
c
a
b
3
3
3
elemente a1, b2 ja c3 nimetatakse peadiagonaali elementideks ja  
4. Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja 
elemente c1, b2 ja a3 nimetatakse kõrvaldiagonaali elementideks. 
sama teguriga korrutub determinant selle teguriga. 
Sarruse reegli järgi on determinandi väärtust küll lihtne arvutada, kuid arvutus-
a
b
 Korrutame 
determinandi 
 üht rida mingi arvuga k, siis 
käiku võib veelgi lihtsustada, kui determinandist paremale kirjutada täiendavalt 
c
d
juurde esimene ja teine veerg ning arvutada diagonaalidel asuvate elementide 
ka
kb
a
b
korrutised näidatud suundades. 
 
= kad – kcb = k(ad – cb) = k·
. 
c
d
c
d
 
  
    sama märgiga 
Kahest viimasest omadusest järeldub, et kehtib järgmine omadus: 
1
a
1
b
1
c
1
a
1
b
5. Determinant võrdub nulliga, kui determinandi kahe rea (veeru) 
 
a2
2
b
c2 a2 b2  
vastavad elemendid on võrdelised. 
a3
3
b
c3 a3 a3
a
b
a
b
  
     vastandmärgiga 
= k·
= 0. 
ka
kb
a
b
Peadiagonaali sihis võetud korrutised liidetakse ja tulemusest lahutatakse kõr-
valdiagonaali sihis võetud korrutised. 
6. Kui determinandi ühe rea (veeru) kõik elemendid on nullid, siis on 
  Kontrolli, kas selliselt arvutades saad eelmises näites antud determinantide 
determinant võrdne nulliga. 
korral samad tulemused kui Sarruse reegli järgi arvutades. 
a
b = a·0 – 0·b = 0. 
                                                 
0
0
1 Sarrus, Pierre Frédéric ( 1798 — 1861) — prantsuse matemaatik . 
7. Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on 
 
b) kolmerealiste determinantide korral; 
determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel 
8. Kui determinandi mõne rea (veeru) elemendid esinevad kahe liidetava 
pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus 
summana, siis ka determinant avaldub kahe determinandi summana, 
võrdne kõrvaldiagonaali elementide korrutise vastandarvuga. 
kusjuures esimese determinandi vastavas reas (veerus) on esimesed lii-
Selle omaduse kehtivust kontrollime kolmerealise determinandi korral kahe näite 
detavad ja teise determinandi vastavas reas (veerus) teised liidetavad. 
abil. 
 Näited: 
9. Determinandi väärtus ei muutu, kui ühe rea (veeru) elementidele liita 
ühe ja sama teguriga korrutatud teise rea (veeru) elemendid. 
3
− 2 3
 
0
3
5 = 3·3·2 + ( – 2)·5·0 + 3·0·0 – 3·3·0 – 0·5·3 – 2·0·( – 2) = 18 
488. Kontrolli, kas kehtivad järgmised võrdused. 
a b
c
j
k
l
a  j
b  k
c  l
0
0
2
 a) 
d
e
f  m n
p   d  m e  n
f  p  
3
2
3
g h
i
q
r
s
g  q
h  r
i  s
 
5
3
0 = – 18, sest see determinant on saadud eelmisest esimese ja 
a b
c
j
k
l
a “ j
b “ k
c “ l
2
0
0 kolmanda veeru ümberpaigutamise teel. 
 b) 
d
e
f “ m n
p   d “ m e “ n
f “ p  
482. Arvuta determinandi väärtus. 
g h
i
q
r
s
g “ q
h “ r
i “ s
2 3 5
2 3 3
3 3 12
0 3
0
 3
15
 
Too vähemalt üks näide selle kohta, et teatavatel tingimustel need valemid 
 a) 
4 5 6      b)  4 6 6     c)  4
6
7
   d)  3
5
7
 
kehtivad. 
0 1 0
2
4 4
2
4
6
7
2
3
489. Arvud 204, 527 ja 255 jaguvad 17-ga. Ilma determinanti arvutamata näita, et 
 
Missuguseid determinandi omadusi võib kasutada juhtudel b ja c, et arvutamine 
determinandi A väärtus jagub 17-ga. 
oleks võimalikult lihtne? 
2 0 4
483. Leia järgmiste determinantide väärtused. 
 
A =  5 2 7      Näpunäide: kasuta omadust 9. 
2
1
5
2
1
0
1
1
1
1 1 1
2 5 5
 a) 
4
0
8    b)  4
0
8    c)  0
1
1    d)  1 2 3  
8
2
3
0
2
3
1
1
0
1 4 6
KOLME TUNDMATUGA LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMID 
484. Kasutades determinantide omadusi, selgita, kas võrdus kehtib. 
2 3 5
2 3 4
2 4 4
2 2 3
Vaatleme võrrandisüsteeme, mis sisaldavad kolme kolme tundmatuga lineaar -
 a) 
3 0 0 = – 2       b)  4 2 3   3 2 3       c)  4 4 6 = 0 
võrrandit. Sellise võrrandisüsteemi üldkuju on: 
5 0 0
4 3 2
4 3 2
5 5 5
⎧ a x + b y + c z = d
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 5 6
1
1
1
1
⎪
 d) 
⎨
4 0 2 = 2· 2 0 1           e)  4 5 6   1 2 3  
 
a x
b y
c z
d       (
2
2
2
2
*) 
⎪
1 1 3
1 1 3
1 3 4
1 3 4
a x + b y + c z = d
⎩
3
3
3
3
485. Leia a väärtus nii, et kehtiks võrdus. 
Võrrandisüsteemi (*) võib lahendada mitmel erineval viisil: 
1 3 3
4 2 5
a 3 5
 a) 
2 6
a
= 0        b)  6 a 3 = 
1    c) 4 6 3 = – 2 
a) ühe tundmatu elimineerimise võte.
2 3
2
a 3 1
a 2 2
Võrrandisüsteemi ühest võrrandist avaldatakse mingi tundmatu ja asendatakse 
486. Näita, et determinandi omadused 1 - 7 kehtivad ka kolmerealiste determinantide 
ülejäänud kahte võrrandisse. Selle tulemusena tekib võrrandisüsteem, mis 
korral. 
koosneb kahest kahe tundmatuga võrrandist. Selliseid võrrandisüsteeme aga me 
juba oskame lahendada. 
487. Näita, et järgmised kaks determinantide omadust kehtivad 
 
a) kaherealiste determinantide korral; 
Näide: Lahendame võrrandisüsteemi 
Näide: Lahendame võrrandisüsteemi 
¦ x  2y 3z   14
¦ 2x  y  z   9
Avaldame teisest võrrandist x ja asendame ta esimesse ja 
  § 2x  y  z   3  
  § x  y  z   9   kolmandasse võrrandisse. 
4x  y  2z  
¨©
12
x  2y  3z   4
¨©
x = 9 – y –z   (1) 
Lahutame teisest võrrandist 2-kordse esimese võrrandi ja seejärel lahutame kol-
¦2(9  y  z)  y  z   9
18
¦  2y  2z  y  z   9
¦ y 3z   9
  §
• §
• §
 
mandast võrrandist 4-kordse esimese võrrandi. 
9  y  z  2y  3z   4
9  y  z  2y  3z   4
3
 y  2z   5
¦ x  2y 3z   14
¦x  2y 3z   14
¦x  2y 3z  
14
Viimase võrrandisüsteemi lahendame liitmisvõttega ja saame et y = 3 ja z = 2. 
  § 2x  y  z   3
• § 5y  5z   25 • § 5y  5z    5
2  
Asendame nüüd leitud väärtused avaldisse (1) ja saame, et x = 4. 
4x  y  2z   12
7y 10z   44
15z
¨©
  
¨©
¨©
45
Vastus: Võrrandisüsteemi lahend on x = 4;  y = 3  ja  z = 2.
        
 
II 
– 
2I 
        5III 
– 
7II 
        
III 
– 
4I 
Lineaarvõrrandisüsteeme võib lahendada ka nii, et teisendame süsteemi võrran-
Kirjutis II – 2I tähendab, et teisest võrrandist lahutame kahekordse esimese 
deid selliselt, et saaksime rakendada liitmisvõtet. Niiviisi vabaneme järk-järgult 
võrrandi. 
tundmatutest, kuni jääb alles ühe tundmatuga lineaarvõrrand. 
  Viimasest võrrandist saame, et z = 3. Teise võrrandi teisendame kujule  
Näide: Lahendame lineaarvõrrandisüsteemi 
y  z   5 . Kuna z = 3, siis järelikult y = 2. Esimesest võrrandist leiame, et x = 1. 
¦ x  2y  z   
3
Vastus: x = 1;  y = 2;  z = 3.
  § 2x  y  z   8
 
490. Lahenda lineaarvõrrandisüsteem. 
3x  3y  2z   
¨©
3 .
¦ 2x  y  z   2
¦ x  y  z   5
Teisendame võrrandeid nii, et kõikides võrrandites oleksid x-i kordajad ühesu-
 a) 
§ x  y  z   3               b)  §x  y  z   1
 
gused. Selleks korrutame esimeses võrrandis mõlemaid pooli 6-ga, teises 
x  2y  3z   6
¨©
x  y  z   
¨©
15
võrrandis 3-ga ja kolmandas võrrandis 2-ga. Saame võrrandisüsteemi 
¦ x  2y  3z   4
¦ 4x  y  z   15
6
¦ x 12y  6z   18
Lahutame teisest ja kolmandast võrrandist esimese 
 c) 
§ 3x  2y  z   4             d)  § 3x  y  z   6  
  § 6x  3y 3z   24   võrrandi. Edaspidi märgime: 
2x  3y  3z   1
x  2y  3z   10
6x  6y  4z   6
II – I  ja  III – I. 
¨©
¨©
¨©
Saame eelmisega samaväärse võrrandisüsteemi 
b) lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine determinantide abil.
6
¦ x 12y  6z   18
Nüüd korrutame teise võrrandi mõlemat poolt –2-ga ja 
  Eespool toodud võtetega saab lahendada kõiki võrrandisüsteeme, milles on 
  §
15
 y  9z   42   kolmanda võrrandi mõlemat poolt 5-ga ja liidame 
kolm kolme tundmatuga lineaarvõrrandit. Selliseid võrrandisüsteeme saab la-
6y  2z   12
kolmandale võrrandile teise võrrandi. 
¨©
hendada ka determinantide abil. Kuidas seda teha, sellele küsimusele leidis vas-
⎧6x + 12y − 6z = −18
Kolmandast võrrandist saame, et z = 3. Asendades z 
tuse Šveitsi matemaatik Gabriel Cramer (1704 — 1752). Siinkohal sõnastame 
⎪
teise võrrandisse saame y = –1. Asendades leitud y ja 
Crameri teoreemi kolmest kolme tundmatuga lineaarvõrrandist koosneva 
  ⎨
30 y − 18z = −84  
⎪
z väärtused esimesse võrrandisse. Saame, et x = 2. 
võrrandisüsteemi korral. 
⎩
− 8z = −24
TEOREEM: Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemil 
Kontrolli, kas arvukolmik (2; –1; 3) on 
¦ a x  b y  c z   d
võrrandisüsteemi lahendiks . 
1
1
1
1
 
Tähelepanelik lugeja kindlasti märkas, et eelmises näites lahendati võrrandisüs-
 
a x
b y c z
d  on ühene lahend (x
2
2
2
2
0; y0; z0), kus 
 
teem küllaltki ebaratsionaalselt. Järgmises näites teeme võrrandisüsteemi 
a x
b y c z
d
¨© 3
3
3
3
teisendamisel mitu tehet korraga. Selline lahendus on eelmisega võrreldes 
tunduvalt lihtsam ja lühem. 
1
d
1
b
1
c
1
a
1
d
1
c
1
a
1
b
d1
  (a1c2 – c1a2)x + (b1c2 – c1b2)y = d1c2 – c1d2  ja  
d
  (a
2
2
b
c2
a2 d2 c2
a2
2
b
d2
2c3 – c2a3)x + (b2c3 – c2b3)y = d2c3 – c2d3 . 
Avaldame nendest võrranditest tundmatu x. Selleks korrutame esimese 
d
b
c
a
d
c
a
b
d
 
3
3
3
3
3
3
3
3
3
x =
0
y0
z0
 
võrrandi mõlemad pooled avaldisega b2c3 – c2b3 ja teise võrrandi mõlemad 
1
a
1
b
1
c
1
a
1
b
1
c
1
a
1
b
1
c
pooled avaldisega b1c2 – c1b2 ning lahutame esimesest võrrandist teise 
a2
2
b
c2
a2
2
b
c2
a2
2
b
c2
võrrandi. Saame ühe tundmatuga võrrandi x-i suhtes: 
a3
3
b
c3
a3
3
b
c3
a3
3
b
c3
  (a1c2 – c1a2)(b2c3 – c2b3)x – (a2c3 – c2a3)(b1c2 – c1b2)x = 
parajasti siis, kui 
 = 
(d1c2 – c1d2)(b2c3 – c2b3) – (d2c3 – c2d3)(b1c2 – c1b2) , 
a
b
c
millest 
1
1
1
 
a
b
c
w 0 . 
d b c
d b c
d b c
d b c
d b c
d b c
1 2 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
2 1 3
1 3 2
2
2
2
  x  
. 
a
b
c
a b c  a b c  a b c  a b c  a b c  a b c
3
3
3
1 2 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
2 1 3
1 3 2
Kerge on kontrollida, et murru nimetajas on kolmerealise determinandi definit-
Tähistades murru lugejas olevad determinandid vastavalt Dx;  Dy    ja    Dz ning 
siooni kohaselt võrrandisüsteemi determinant ning murru lugejas on süsteemi 
murru nimetajas oleva determinandi D-ga, võime lineaarvõrrandisüsteemi 
determinandi esimene veerg asendatud vabaliikmete veeruga. Järelikult on 
lahendid üles märkida järgmiselt: 
murru lugejas determinant Dx. Tundmatud y ja z leiame analoogiliselt. 
D
D
D
Näide: Lahendame võrrandisüsteemi 
x
x
 
;   y
y
 
  ja   z
z
 
,  kusjuures D ≠ 0.         (
0
**) 
   
D
0
D
0
D
x
y
z
3
  §2x  y  z   2  
    
  Meenutame, et sarnaseid valemeid kasutati ka siis, kui oli vaja lahendada ka-
x
y
z
¨©
1 .
hest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevaid lineaarvõrrandisüsteeme. 
Arvutame determinandid Dx, Dy, Dz ja D. 
See oli Crameri teoreemi lihtsam erijuhtum. Sõnastame nüüd reegli, mille abil 
1
1
1
3
1
1
1
3
1
saab lineaarvõrrandisüsteeme lahendada Crameri valemite abil. 
  D   2
1
1   4 D   2
1
1   4 D   2 2 1   4  
x
y
1 1 1
1 1 1
1 1 1
 Lineaarvõrrandisüsteemi lahendis avaldub iga tundmatu murruna, 
1
1
3
mille nimetajaks on süsteemi determinant, lugeja aga saadakse nimetajast, 
  2 1
2
  
asendades määratava tundmatu kordajad süsteemi vabaliikmetega. 
  D
4     Kerge on veenduda, et x = y = z = 1. 
z
1 1 1
  Tõestame nüüd, et valemid kujul (**) kehtivad. 
Kui võrrandisüsteemi lahendades selgub , et D = 0, siis on sellel võrrandisüs-
teemil lahendeid lõpmata palju või lahendid puuduvad. 
Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem 
¦ a x  b y  c z   d
1
1
1
1
491. Lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. 
  §a x  b y  c z   d   mille süsteemi determinant D ≠ 0. 
    42
   
¦   
2
2
2
2
x
y
z
x
y
z
3
x
y
2
a x  b y  c z   d
¨©
   
§  2  2  
§   
3
3
3
3
 a) 
x
y
z
18       b)  x
y
z
0    c)  y
z
3  
Korrutame esimese võrrandi mõlemad pooled c
x  y  z  
¨©
20
x  3y  3z   
¨©
1
z  x  
¨©
4
2-ga ja teise võrrandi mõlemad 
pooled  c1-ga ning lahutame esimesest võrrandist teise võrrandi. Samaaegselt 
x  y  z  
¦   2  
¦   
2
x
y
z
4
x
y
3
korrutame teise võrrandi mõlemad pooled c3-ga ning kolmanda võrrandi mõle-
 d) 
§2x 3y  4z   1      e)  §x  y  2z   9        f)  § y  z   6  
mad pooled c2-ga ning teisest võrrandist lahutame kolmanda võrrandi. 
3x  y  2z   4
¨©
x  y  z   2
¨©
z  x  
¨©
6
  Saame kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 
492. Leia a sellised väärtused, mille korral võrrandisüsteemil pole üheselt määratud 
lahendit. 
¦3x  ay  z   1
¦  4  
 
 
ax
y
3
2x
y az
4
 a) 
§ x  4y  z   4       b)  §ay  4z   9         c)  § x  2y  z   3  
ax  3y  z   0
¨©
x  4z   0
¨©
4x  3y  z   5
¨©
493. Kolmnurga kahe külje summad on 15 cm, 22 cm ja 23 cm. Leia kolmnurga 
küljed ja arvuta pindala. Leia sobiv pindala arvutamise valem õpiku lõpus 
olevate valemite seast. 
494. Gabrovlane varus talveks suhkrut, jahu ja konserve kokku 1510 kg. Jahu ja 
konserve oli 310 kg rohkem kui suhkrut ja suhkrut ning konserve kokku oli 350 
kg rohkem kui jahu. Mitu kilogrammi oli gabrovlane varunud suhkrut, jahu ja 
konserve? 
495.  Volli on farmer. Tal on kokku 120 lehma, siga ja küülikut. Kui sigade arv 
suureneks 50% võrra ja küülikute arv väheneks 10%, siis oleks loomi kokku 138. 
1
1
Kui aga lehmade arvu vähendada 
 võrra ja sigade arvu vähendada 
 võrra, siis 
3
4
oleks Volli loomadel kokku 360 jalga. Mitu lehma, siga ja küülikut on Vollil? 
496.  Koosta lineaarvõrrandisüsteem, mille lahendiks on arvukolmik (6; 3; 8). Koosta 
ise selline tekstülesanne, mille lahendiks on need arvud. 
Vastuseid: 
473. a) 9; c) –55;  e) 0;  g) 0.   475. a) ± 4;  b) –1;  d) 1 ja 3;  f) 0.   476. a) 1;   
c) –1;  e) –4uv.   477. a) (1; 1);  c) (0; 0);  e) (5; 2);  g) (5,8; 6,1).   478. a) ( –3; 1);  
c) (8; 9);  e) (3; 2).   479. a) (–3; 2);  c) lahendid puuduvad;  e) (2; 1).    
a + 2b
a – 2b
1
a
480. a) (  2  ;  2  );  c) ( a; 0);  e) (0; b ).   482. a) 8;  c) – 6.   483. a) –44;   
c) 3.   484. a) ei;  c) ja;  e) ei.   485. a) a = – 6;  c) a = 1,2; 490. a) (1; 1; 1);   
c) (2; 3; 4).   491. a) (11; 19; 12);  c) (1,5; 0,5; 2,5);  e) süsteem on vastuoluline.   
492. a) a = 0 või a = 5;  c) a = 3.   493. Sellist kolmnurka pole olemas.    
495. 60 lehma, 40 siga ja 20 küülikut.