Matemaatika praktikumi töö (0)

Matemaatika 11. klassi praktikumi töö
1. Kirjalik arvutamine
Tehted astmetega (a:b)n
= an : bn Tehted juurtega
(ab)n = an * bn
an
am = an+m
an : am = an-m
(an)m = an*m
a-n = 1/an
a0 = 1
a1 = a
2. Lihtsustamine
Abivalemid (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
(a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
(a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b)
3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid
Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole.
Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x – 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3
Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted:
ax2+bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem
x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1)
3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1)
Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0
Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0
Ärge unustage tegurdatud kujule ette lisada ruutliikme kordajat!
Ruutvõrrandi graafiku parabooli haripunkti koordinaatide leidmine:
xh=-b/2a VÕI xh=(x1+x2)/2
yh saab arvutada parabooli võrrandist
Murdvõrrand Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus nimetaja sisaldab muutujat
Näide: (x+1)/(x+2)=0
Murdvõrrandit EI TOHI muutujaga läbi korrutada!
Lahendamiseks viiakse kõik liikmed vasakule poole ning ühisele murrujoonele.
Näide:
Seejärel võrdustatakse lugeja nulliga, samal ajal väites, et nimetaja ei tohi olla 0.
Antud juhul: x2-x-6=0 ja x-3≠ 0 -> x≠ 3
Ruutvõrrandi lahendid on x1 = 3 ja x2 = -2, kuid 3 on võõrlahend, seega murdvõrrandi lahendiks on -2.
Juurvõrrand Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus muutuja on juure all.
Ei ole juurvõrrand, sest muutuja x ei ole juure all.
Juurvõrrandit lahendadakse, viies juurega liikmed ühele poole ja juureta liikmed teisele poole ning seejärel tõstetakse mõlemad pooled ruutu.
Näide:
Ruututõstmist võib kasutada mitu korda, kui seda on juurtest lahtisaamiseks vaja.
Edasi lahendatakse võrrandit nagu tavalist ruutvõrrandit. Antud näites ->
Viime võrrandi ruutvõrrandi tavakujule,
kust saame lahenditeks x1 = 3 ja x2 = 6, kuid kontrolli käigus selgub , et 6 ei ole sobiv lahend, seega on juurvõrrand lahendiks 3.
JUURVÕRRANDIT TULEB ALATI KONTROLLIDA!
Absoluutväärtus Absoluutväärtusega võrrandites on muutuja absoluutväärtuste vahel. Neid võrrandeid saab lahendada mitut moodi vastavalt sellele, kas absoluutväärtuseid on üks või mitu.
1) Kui absoluutväärtusi on võrrandis üks:
Kõige lihtsam on sel juhul võrrandit lahendada, kasutades absoluutväärtuse definitsiooni.
Läbi tuleb proovida kaks varianti . Variant, kus absoluutväärtusega piiratud avaldise väärtus on vastavalt positiivne ja negatiivne.
Näide: |x-3|=2 1) x-3>0 -> x>3 2) x-3 x x=1 (EI SOBI PIIRKONDA)
Piirkond: ]-1;0] Võrrand: -x+2-x=2+x+1 -> x1=-1/3
Piirkond: ]0;2] Võrrand: -x+2+x=2+x+1 -> x=-1 (EI SOBI P.K)
Piirkond: ]2;∞[ Võrrand: x-2+x=2+x+1 -> x2=5
Seega võrrandi lahendid on -1/3 ja 5.
4. Võrratused ja võrratussüsteemid
Lineaarvõrratus Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole.
Näide: 3(x-1)+5>2x-6 -> 3x-3>4x-6 -> -x>-3|:(-1) -> x0 -> x2-2x-3=0 -> x1 = 3 x2 = -1
Seejärel tuleb ruutvõrratus viia tegurdatud kujule:
(x-3)(x+1)>0
Siit saab välja kirjutada võrratuse lahendipiirkonnad x=]-∞;-1[ U ]3;∞[
Otspunkte ei võta kaasa, sest meil on range võrratus . Intervallmeetodi puhul tuleb meeles pidada, et kui teguri aste on paarisarv , näiteks (x+1)2, siis joon põrkab, mitte ei läbi intervalli.
Murdvõrratus Murdvõrratusi on kõige kergem lahendada, saades aru, et kui kahe arvu korrutis on positiivne, on ka nende jagatis positiivne ning vastupidi. Tänu sellele võib jagatise asendada korrutisega ning kasutada samuti intervallmeetodit. Enne seda tuleb aga kõik liikmed viia vasakule poole ning viia ühisele nimetajale. Mitterange võrratuse puhul tuleb kindlasti juurde mainida, et ei tohi lubada argumendi väärtusi, mille korral nimetaja väärtus oleks võrdne nulliga.
Näide:
Kui argumendi suurima astme kordaja on negatiivne, tuleb intervalljoont alustada altpoolt!
Siit saab kirjutada lahendid:
x=]-1;0[
Absoluutväärtus Absoluutväärtust sisaldavaid võrratusi lahendatakse väga sarnaselt võrranditega.
Ühe absoluutväärtuse puhul saab toimida definitsiooni järgi ning vaadelda kahte juhtu. Mitme absoluutväärtuse korral tuleb jaotada arvtelg piirkondadeks ning lahendada mitu lineaar-, ruut või murdvõrratust. Lõpuks tuleb vastuseid kokku võtta ühendimärgiga. Kõige tähtsam absoluutväärtustega võrratuste lahendamise puhul on piirkonna jälgimine. Piirkonna lahendite väljakirjutamisel tuleb lähtuda nii võrrandi kui ka piirkonnatingimusest.
5. Trigonomeetria
Täpsed väärtused
Põhiseosed
Täiendusnurk,Negatiivne nurk
Summa ja vahe
Kahekordne nurk
Märgid Siinusfunktsioon on I ja II perioodis positiivne, III ja IV perioodis negatiivne.
Koosinusfunktsioon on I ja IV perioodis positiivne, II ja III perioodis negatiivne.
Tangensfunktsioon on I ja III perioodis positiivne, II ja IV perioodis negatiivne.
Üldvalemid
Arkusfunktsioonid Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid.
Arkusfunktsiooni väärtusteks on vähimad nurgad, mille väärtus on m.
Arkussiinuse väärtused on -π/2 ja π/2 vahel.
Arkuskoosinuse väärtused on 0 ja π vahel.
sin( arcsin x) = x cos( arccos x) = x tan( arctan x) = x
6. Joone võrrand
Sirge võrrandid Sirge võrrandit saab koostada peamiselt kahel viisil:
1) Sirge võrrand tõusu ja ühe punktiga .
Olgu meil punkt A(x1;y1) ja sirge tõus k.
Sirge võrrand avaldub sel juhul kujul y-y1=k(x-x1)
Kui A(2;4) ja k=2, siis sirge võrrand on
y-4=2(x-2) -> y=2x 2) Sirge võrrand kahe punktiga.
Olgu meil punkt A(x1;y1) ja B(x2;y2).
Sirge võrrand avaldub sel juhul kujul
Sirge tõus Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka sirge ning x-telje vahel. Tõusunurk on alati 0 ja 180 kraadi vahel. Kui tõusunurk on teravnurk, siis sirge tõuseb, kui nürinurk, siis langeb. Kui tõusunurk on 90 kraadi, siis sirge kulgeb mööda y-telge. Sirge tõusuks nimetatakse tõusunurga tangensit.

Kui kaks sirget on omavahel risti, siis nende tõusude korrutis on -1.
k1k2=-1
Sirgete lõikepunkt Kahe sirge lõikepunkt on leitav kas jooniselt (ebatäpne) või analüütiliselt. Sirge võrrandid tuleb panna võrrandisüsteemi ja leida punkti x ja y-koordinaadid.
Kui võrrandi lahendamisel tuleb samasus (0=0), siis sirged ühtivad.
Kui võrrandi lahendmisel tekib vastuolu (0=3), siis sirged on paralleelsed.
Sirgete vaheline nurk Kahe sirge lõikumisel tekib kaks paari võrdseid nurki. Teravnurga suurust saab leida nii.
7. Aritmeetiline ja geomeetriline jada
Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on jada, milles kahe järjestikuse liikme vahe on konstantne .
Selle jada üldliige avaldub kujul an=a1+(n-1)d, kus d on jada vahe ja n on naturaalarv .
Aritmeetilise jada liikmete vahel kehtib omadus:
a2-a1=a3-a2=a4-a3...
Aritmeetilise jada esimese n liikme summa avaldub kujul:
Asendades siia eelneva an
definitsiooni, saame uue kuju:
See valem võimaldab meil leida jada summat ainult algliikme ning vahe järgi.
Geomeetriline jada Geomeetriline jada on jada, milles kahe järjestikuse liikme jagatis on konstantne.
Selle jada üldliige avaldub kujul an=a1qn-1, kus q on jada tegur ja n on naturaalarv.
Geomeetrilise jada liikmete vahel kehtib omadus:
Geomeetrilise jada esimese n liikme summa summa avaldub kujul:
Hääbuva geomeetrilise jada (0
Näites viidi 1/5, mis on 5-1 ja 25, mis on 52 ühisele alusele 5, seejärel pandi eksponendid võrduma ja lahendati lineaarvõrrand.
2) Abimuutuja kasutamine
Vahel saab kasutusele võtta uue muutuja, mille suhtes tekib tavaliselt ruutvõrrand ning hiljem saab selle kaudu lahendid teada.
Näide:
Näites kirjutati astme omadusi kasutades eksponendid lahti ning korrutati kolmega läbi. Seejärel tehti asendus u=3x ning saadi ruutvõrrand uue muutuja suhtes. Sealt saame lahendid u1 = 3 ja u2 = -2, aga -2 on võõrlahend, sest 3x ei saa kunagi võrduda -2'ga, seega on lahend u=3 ning sealt saame 3x=3 ehk x=1.
3) Sulgude ette toomine
Vahel saab sarnaste suurustega eksponentide olemasolul tuua vähim aste sulgude ette ning võrrand muutub kiiresti lihtsaks lineaarvõrrandiks.
Näide:
Näites toodi sulgude ette vähim eksponent 52x-1 ning sulu sisse jäi 36, seejärel jagati võrrandi mõlemaid pooli 36'ga, saades paremale poole 25, mis on 52, misjärel saab sarnaselt esimesele variandile panna astmed võrduma ja saab lineaarvõrrandi 2x-1=2, millest x=1.5
4) Eksponendiga läbi jagamine
Vahel tekib olukordi , kus võrrandis on kaks erinevat alust, mida samaks teisendada on peaaegu võimatu. Sellises olukorras tuleb võrrandit ühega neist läbi jagada. Seda võib teha, kuna positiivne arv mistahes astmel pole kunagi 0.
Logaritmvõrrand Logaritmvõrrandite peamisteks lahendusvõteteks on potentseerimine ja logaritmimine. Kui mõlemal pool võrdusmärki on üks logaritm samal alusel, siis võib logaritmid ära kaotada ja võrrelda ainult sisemist osa. Seda võtet nimetatakse potentseerimiseks.
Näide: log57 + log53x = log5105 -> log521x=log5105 -> (Potentseerimine) 21x=105|:21 -> x=5
Kindlasti tuleb teada logaritmide omadusi, mis on kirjas ülevalpool.
Kui muutuja on logaritmi aluses , siis tuleb kasutada logaritmi definitsiooni ning siis tekib kas ruut- või eksponentvõrrand.
Logaritmvõrrandit tuleb alati kontrollida, võib tekkida võõrlahendeid!
11. Tõenäosusteooria
Klassikaline tõenäosus Tõenäosus näitab, kui suur on võimalus, et mingi sündmus juhtub. Sündmusi liigitatakse kindlateks, võimalikeks ja võimatuteks. Tõenäosust väljendatakse arvudega 0st 1ni, 0 tähendab võimatut sündmust ja 1 seda, et sündmus toimub kindlasti. Sündmuse A tõenäosuseks nimetatakse toimumiseks soodsate võimaluste arvu m ja kogu võimaluste arvu n suhet. Ehk siis P(A) = m/n. Kahe sündmuse A ja B summaks nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb kas sündmuse A võ B või mõlema toimumises. Kahe sündmuse A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb sündmuste A ja B mõlema toimumises.
Näide: Olgu sündmus A täringul nelja silma tulek ja sündmus B paarisarvu tulek.
Sel juhul on P(A+B) = 3/6=1/
Ja P(AB) = 1/
Bernoulli valem Tähega C tähistatakse erinevaid võimalusi valida k objekti n hulgast. Kombinatsioonide hulka arvutatakse järgmiselt:
Bernoulli valem näitab n ühe ja sama tõenäosusega katse korral mingi sündmuse täpselt k korda toimumist , kui tõenäosus igal korral on täpselt p=P(A).
q on siin sündmuse A vastandsündmuse juhtumise tõenäosus, ehk siis q=1-P(A).