Kvantitatiivsed meetodid majandusteaduses KT (0)

Kvantitatiivsed meetodid majandusteaduses (KT)
Modelleerimine- on teatud objekti uurimine tema mudeli abil
Modelleerimisprotsessis osalevad:

• subjekt (uurija)
  
• uurimisobjekt
  
• nende suhet väljendav mudel
  

Mudel-tähendab näidist, mõõtu (ladina keeles modulus ); selline materiaalne või mõtteliselt kujuteldav objekt, mis tunnetusprotsessis asendab originaali ja uurimiseesmärgist lähtudes säilitab originaali olulised omadused
Mudelid jagunevad:

• materiaalsed (ainelised) mudelid (toiming, mille tulemusena saadavad mudelid annavad edasi objekti põhilisi füüsikalisi, geomeetrilisi , dünaamilisi ja funktsionaalseid tunnuseid. (N. Lennukimudel)
  
• mõttelised mudelid(ideaalsed)-koostatakse uurimisobjekti mõtteline analoog
  

- kujutlusmudelid-põhinevad intuitiivsel ettekujutusel reaalsest objektist. Ei allu formuleerimisele. (N.sõnalised selgitused, definitsioonid )
- märkmudelid ( matemaatilised ka)-objekti mõtteline mudel, mis on esitatud valemite, jooniste , tabelite , graafikutena.
-Matemaatiline mudel on märkmudel, kus originaali uurimine taandub matemaatiliste seoste uurimisele. Võimaldab imiteerida originaali informatsionilist külge.

• Majandusmatemaatiline mudel on võrrandite ja/või võrratuste süsteem, mis uurimiseesmärgist tulenevalt kajastab majandusnähtuste olulisemaid jooni. Ta peegeldab matemaatiliste sümbolite ja valemite abil majanduselu protsesse ja seoseid .(Tulenevalt püstitatud eesmärgist).
  

Eeldused matemaatiliste mudelite kasutamiseks majadnusprobleemide lahendamisel:

• Majandusprobleem peab olema kvantitatiivselt formuleeritav
  
• On olemas ülesande formaliseerimiseks ja lahendamiseks vajalikud andmed
  
• Ülesanne on arvutil lahendatav
  
• Lahendust osatakse tõlgendada ja loovalt kasutada
  

Majandusmatemaatilise mudeli kasutamise eelised:

• Täpsus
  
• Vabam subjektiivsetest hinnangutest
  
• Matemaatika väljendusvahendite kasutamine täpsustab majandusmõistete sisu, väldib kahemõttelisust, illustreerib järeldusi
  
• Võimalik hinnata mitmeid alternatiivseid arengusuundi
  

Majandusmatemaatilise mudelite ja meetodite kasutamise võimalikud takistused:

• Saab kasutada vaid kvantitatiivselt mõõdetavate majandusnähtuste hindamisel
  
• Majandusprobleeme ja –situatsioone ei analüüsita piisavalt enne nende matemaatilist formaliseerimist
  
• Alati ei osata piisavalt tõlgendada matemaatilise modelleerimise tulemusi ega neid efektiivselt ära kasutada
  
• Paljud inimesed ei talu matemaatikat
  

Mudel on vaid siis väärtuslik, kui ta peegeldab uurimiseesmärgi seisukohalt kõige olulisemaid aspekte .!!!
Modelleerimise kuldreegel: „Mudel peab olema nii lihtne kui võimalik ja nii keeruline kui vajalik!“
Ühe objekti kohta võib koostada mitu erinevat mudelit (N: maja, mille valmimisel on erinevad faasid-ehitus, sisustus ,....) Ühte mudelisse kõike kokku võtta on äärmiselt keeruline. Ettevõtte_ tootmismudel, ressursid , personalitöö , finantside juhtimine, turundus.
Majandusnähtuste uurimises võib eraldada kolme peamist etappi :
1) tutvumine , s.o. nende kõige tähtsamate (olulisemate) tunnuste registreerimine ning nähtuste kirjeldamine;
2) kvalitatiivne analüüs, s.o. nähtuste olemuse põhjalik ja mitmekülgne avamine , nende sisu, omavaheliste suhete, ajalise järjestuse, alluvusvahekordade, majandusliku tähtsuse jms. selgitamine ;
3) kvantitatiivne analüüs, s.o. nähtuste tunnuste ning nende muutumise põhjuste võimalikult täpne numbriline uurimine. (Rakendus: riigi- ja valitsusasutused, rahandus ja pangandus, ettevõtted ja organisatsioonid , audiitorid, teadus- ja arendustegevus).
Simuleerimismudel-tuginedes sellele on võimalik analüüsida erinevaid arengutsenaariume ning saada täiendavat infot majandusprotsessi võimaliku käitumise kohta erinevates keskkonnatingimustes.
Optimeerimismudel-võimaldab selgitada parima lahendi kooskõlas juhtimiseesmärgi ning selle saavutamist piiravate tingimustega.
Optimeerimisülesannete näiteid:

• Optimaalse tootmisplaani leidmine
  
• Vastastikku mitteasendatavate (või asendatavate) seadmete optimaalse koormamise mudelid
  
• Materjalide optimaalne lahtilõikamine
  
• Tootmisvarude optimeerimine
  
• Segude mudelid
  
• Söödaratsioonide optimeerimine (ka dieediülesanne)
  
• Vedude teostamine vähimate kuludega
  
• Veomarsruutide määramine (tühisõitude minimeerimine)
  

Majandusprotsesside suunamiseks on vaja teha valikuid ning langetada otsuseid.
Otsustusprotsess -otse-ja tagasisidemtega protsess, mille etapid on järgmised:

• Majandusprobleemi formuleerimine ja otsustuskeskkonna analüüs
  
• Vastav mudelipüstitus koos vajalike andmete ettevalmsitamisega
  
• Mudeli lahendamine ja lahendustulemuste analüüs ning info ettevalmistamist otsuste langetamiseks
  
• Otsuse tegemine
  

LINEAARSED PLANEERIMISÜLESANDED
Kasumi saamine on alati seotud teatud kitsendustega, mis tulenevad inimese käsutuses olevate ressursside piiratusest.
Ekstreemumülesanded- leida selline lahend , mis annab teatud funktsioonile suurima või vähima võimaliku väärtuse.
Lineaarne planeerimisülesanne- ülesannet leida muutujate (tundmatute) sellised mittenegatiivsed väärtused, mis annaksid etteantud lineaarsele funktsioonile (sihifunktsioonile) optimaalse (maksimaalse või minimaalse) väärtuse ning rahuldaksid seejuures kõiki etteantud lineaarseid võrratusi või võrdusi (kitsendusi).
Kui lisaks sellele on esitatud nõue, et osa tundmatuid (või kõik tundmatud) omandaksid vaid täisarvulisi väärtusi, siis vastavat ülesannet nimetatakse osaliselt (või täielikult) täisarvuliseks planeerimisülesandeks.
Seega lineaarne planeerimisülesanne koosneb järgmistest osadest:

• sihifunktsioon,
  
• tingimuste (kitsenduste) süsteem,
  
• tundmatute mittenegatiivsuse nõue.
  

Selliseid tundmatute väärtusi, mis rahuldavad kõiki tingimustesüsteemi nõudeid ja mittenegatiivsuse nõuet, nimetatakse lubatavaks lahendiks ehk plaaniks.
Tundmatute väärtusi, mis nimetatule lisaks muudavad sihifunktsiooni väärtuse ekstremaalseks (suurimaks või vähimaks), nimetatakse optimaalseks lahendiks ehk optimaalseks plaaniks.
Optimaalsuskriteerium - juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang, näiteks võimalikult suur kasum, vähimad tootmiskulud jne.
Optimeerimine - fikseeritud kitsendustele ja püstitatud optimaalsuskriteeriumile vastava parima lahendi leidmine.
MAX- põhikuju , MIN-põhikuju
Sihifunktsiooni otsitava väärtuse z ja muutuvate suuruste (tundmatute) xj kõrval esinevad lineaarses planeerimisülesandes max põhikujul veel ka järgmised suurused:
C1,c2....cn-sihfunktsiooni kordajad -(cj) , j= 1,2...n
c0 ⎯ sihifunktsiooni vabaliige;
aij ⎯ kitsenduste süsteemi kordajad,
(i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n);
bi ⎯ kitsenduse süsteemi vabaliikmed (i = 1, 2, ...,m). n m
Seega lineaarne planeerimisülesanne on max-põhikujul, kui :
a) nõutakse sihifunktsiooni maksimumi ;
b) kõik tundmatud võivad omandada ainult mittenegatiivseid väärtusi (≥ 0);
c) kõik kitsendused on antud võrratustena ≤ (väiksem või võrdne).
Lineaarne planeerimisülesanne on min-põhikujuline, kui:
a) sihifunktsioonile nõutakse minimaalset väärtust;
b) kõik tundmatud võivad omandada ainult mittenegatiivseid väärtusi (≥0);
c) kõik kitsendused on esitatud võrratustena ≥ (suurem või võrdne).
Lineaarne planeerimisülesanne on max-kanoonilisel kujul, kui:
1) nõutakse sihifunktsiooni maksimumi;
2) kõik tundmatud võivad omandada ainult mittenegatiivseid väärtusi (≥0);
3) kõik ülejäänud kitsendused on antud võrdustena,
Lineaarne planeerimisülesanne on antud min-kanoonilisel kujul, kui:
1) nõutakse sihifunktsiooni miinimumi;
2) kõik kitsendused on esitatud võrdustena;
3) kõigile tundmatutele on esitatud mittenegatiivsuse nõue (≥0).
Põhisammud majandusprobleemi formuleerimiseks lineaarse planeerimisülesandena
Lineaarse planeerimisülesande saamiseks tuleb läbida järgmised etapid:

• Defineerida majandusprobleem. Selgitada põhieesmärk, mida tahetakse saavutada. Määratleda tundmatud (muutujad), mille väärtus on otsitav suurus (xj) ja määratleda, milliste tundmatute kohta kehtib mittenegatiivsuse nõue ning kas ja milliste kohta tuleb esitada veel lisaks täisarvulisuse nõue.
  
• Defineerida sihifunktsioon. Määratleda sihifunktsiooni kordajad, mis otseselt mõjutavad sihifunktsiooni kuuluvate tundmatute väärtuste kujunemist.
  
• Määratleda kitsendused, nende sisu ja mõju juhtimiseesmärgi saavutamisele.
  
• Selgitada ressursside olemasolevad kogused ja nende kulunormid (kitsendustesüsteemi kordajad).
  
• Esitada majandussituatsiooni iseloomustavad tunnused ja tingimused tabelina (vajadusel ja võimalusel).
  
• Formaliseerida matemaatiliste funktsioonidena sihifunktsioon ja kitsendused, s.t. esitada majandusprobleemi matemaatiline mudel.
  
• Kontrollida formuleeritud ülesannet, s.t. võrrelda majandusprobleemi ja formuleeritud lineaarset planeerimisülesannet, sest valesti formuleeritud ülesande lahendamine on ohtlik, kuna tehakse valed järeldused majandusprobleemi lahendamise ja saadud lahendi kohta.
  

LINEAARSE PLANEERIMISÜLESANDE GRAAFILINE LAHENDAMINE
2.1. Graafiline lahendusmeetod
Lineaarsete planeerimisülesannete lihtsaimaks lahendusviisiks on graafiline lahendamine.
Lineaarse planeerimisülesande graafiline lahendamine- tundmatute väärtuste interpreteerimist sirge, tasandi või ruumi punktide koordinaatidena, kitsendusi rahuldava punktide hulga väljaeraldamist ja sihifunktsioonile maksimaalset või minimaalset väärtust andvate punktide leidmist jooniselt saadava informatsiooni põhjal.Seda kasutatakse juhul kui:

• ülesannete korral, mis sisaldavad kahte tundmatut või taanduvad kahte tundmatut sisaldavaks ülesandeks. Graafilise lahendamise korral pole lineaarse planeerimisülesande viimine maksimum-põhikujule vajalik.
  
• Kahte tundmatut x1 ja x2 sisaldava planeerimisülesande graafilisel lahendamisel interpreteerime tundmatute väärtusi kui x1x2 – tasandi punkti koordinaate.
  

Lineaarse planeerimisülesande korral peavad tundmatud rahuldama mitte ainult üht, vaid mitmeid erinevaid kitsendusi. Kõiki kitsendusi korraga rahuldavatele tundmatute väärtustele vastavad tasandil punktid, mis on ühised kõigile lubatavatele pooltasanditele. Nende punktide hulka nimetatakse lubatavaks piirkonnaks ja selleks on alati kumer hulknurk.
Ülesanne seisneb lubatava piirkonna sellise punkti (selliste punktide) leidmises, milles sihifunktsioon saavutab ekstremaalse, (s.o. kas maksimaalse või minimaalse) väärtuse.
Ülesandel on optimaalne lahend siis, kui lubatavate lahendite piirkond sisaldab vähemalt ühte punkti ja sihifunktsiooni muutumise suunas on lahendite piirkond tõkestatud.
Samakõrgusjooned- punktide hulk tasandil, millede koordinaadid annavad sihifunktsioonile ühe ja sama väärtuse. Sihifunktsiooni väärtustele z = K (K – const .) vastavaks samakõrgusjooneks on tasandi need punktid, mis rahuldavad seost
c0 + c1x1 + c2x2 = K.
Sihifunktsiooni erinevate väärtuste K (K = K1 , K2 ,…) korral saame seega samakõrgusjoonteks paralleelsed sirged . Ülesande lahendamisel piisab aga ühe samakõrgusjoone väljajoonistamisest ning seejärel määratakse suund, kuhupoole seda sirget iseendaga paralleelselt nihutades (s.o. tegelikult uusi samakõrgusjooni joonistades) sihifunktsiooni väärtus kasvab (maksimumi leidmise korral) või kahaneb (miinimumi leidmise korral). Lubatavate lahendite piirkonna viimase punkti (viimaste punktide) koordinaadid määratlevad antud ülesande optimaalse plaani.
Seega lineaarse planeerimisülesande graafilisel lahendamisel tuleb teha järgmist:
1) tingimusele vastava piirsirge määramine;
2) piirsirge paigutamine joonisele;
3) tingimusele vastava lubatava pooltasandi määramine;
4) punktide 1)-3) läbimine iga tingimuse korral;
5) kogu tingimustesüsteemi ja mittenegatiivsuse nõuet rahuldavate punktide hulga, s.o. lubatavate lahendite piirkonna leidmine;
6) sihifunktsiooni samakõrgusjoone leidmine;
7) samakõrgusjoone nihutamise suuna kindlaksmääramine;
8) lubatavate lahendite piirkonnas sihifunktsioonile optimaalset väärtust andva(te) punkti(de) kindlaksmääramine;
9) leitud punkti(de) koordinaatide leidmine;
10) sihifunktsiooni väärtuse arvutamine saadud punkti koordinaatide alusel.
!!!Graafiliselt saab lahendada ka osaliselt või täielikult täisarvulisi kahe tundmatuga planeerimisülesandeid. Niisuguste ülesannete lahendamine pole tavaliselt teostatav sel teel, et leitakse lihtsalt täisarvulisuse nõuet arvestamata ülesande optimaalne lahend ja siis ümmardatakse tundmatute saadud väärtused lähimateks täisarvudeks. Selliselt saadud lahend võib osutuda mittelubatavaks ja isegi siis, kui selliselt saadakse täisarvuline lahend, ei tarvitse see olla täisarvuliste hulgast optimaalne.
Täisarvulise lineaarse planeerimisülesande lubatava piirkonnana tuleb võrratuste poolt määratud pooltasandite ühiste punktide hulgast vaadata vaid neid, kus mõlemad koordinaadid on täisarvud . Seejuures ei pea täisarvulise planeerimisülesande optimaalseks lahendiks olema ilma selle nõudeta lahendatud ülesande optimaalsele lahendile kõige lähem täisarvuliste koordinaatidega punkt.
Täisarvulisi optimaalseid lahendeid ei tarvitse olla tingimata ainult üks, kuigi mittetäisarvulisi optimaalseid lahendeid on täpselt üks, või vastupidi.
Lineaarse planeerimisülesande lahenduvusest graafilisel lahendamisel
Kuna lineaarse planeerimisülesande tingimusi rahuldavate punktide hulk võib olla tõkestatud, tõkestamata või tühi hulk, siis ülesandel ei pruugi alati olla vaid üks optimaalne lahend; optimaalne lahend võib puududa, võib olla mitu samaväärset lahendit (alternatiivsed lahendid ), võib olla lõpmata palju lahendeid ning ülesandel ei pruugi olla ühtegi lubatavat lahendit.
1. Ülesandel on üks optimaalne lahend, mis langeb kokku lubatavate lahendite piirkonna ühe tipuga, kusjuures lubatavate lahendite piirkond võib olla tõkestatud või tõkestamata.
2. Ülesandel on lõpmata palju optimaalseid lahendeid – sihifunktsiooni samakõrgusjoon on paralleelne lubatavate lahendite piirkonna küljega või kiirega.
3. Ülesandel puudub lahend, sest lubatavate lahendite piirkond on tühi hulk.
4. Sihifunktsiooni väärtus on tõkestamata ja ülesandel lahend selle tavalises mõttes puudub.
DUAALSED PLANEERIMISÜLESANDED
Duaalne planeermisülesanne-Iga lineaarse planeerimisülesandega seotud teine lineaarne planeerimisülesanne.
Duaalsete ülesannete paar-selle moodustavad esialgne ülesanne ja temaga duaalne ülesanne.
Lineaarne planeerimisülesanne (esialgne ülesanne) ja temale vastav duaalne ülesanne on seotud nii formaalselt (s.t. vormiliselt – nende valises kujus esineb teatav sümmeetria) kui sisuliselt.
Duaalse ülesande saamiseks tuleb teha järgmist:
1. Esialgse ülesande igale tingimusele seada vastavusse duaalse ülesande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym).
2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi duaalses ülesandes.
3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , … , bm).
4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunktsiooni kordajad cj (). cccn12,,...,
5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks , seega
6. Duaalse ülesande sihifunktsiooni väärtusele w nõuda miinimumi, kui esialgse ülesande sihifunktsiooni väärtusele z nõutakse maksimumi; ja vastupidi.
7. Duaalse ülesande j-nda tingimuse märk ( ≤ , ≥ või = ) määratakse esialgse ülesande vastavale tundmatule (s.t. xj-le) kehtestatud nõude alusel (vt. lk. 26-27).
Märkus : Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõik kitsendused on ≥-tüüpi võrratused.
8. Duaalse ülesande tundmatule yi kehtestatav nõue (≤ , ≥ või märgi poolest kitsendamata) fikseeritakse esialgse ülesande vastava (s.t. i-nda tingimuse märgi alusel (vt. lk. 26-27).
Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõikidelt tundmatutelt nõutakse mittenegatiivsust (yi ≥ 0).
Järgnevalt selgitame duaalse ülesande tingimustesüsteemi tingimuste märkide ja duaalsetele tundmatutele esitavate nõuete määramist. Kõigepealt sõltub see sellest, kas esialgses ülesandes nõutakse sihifunktsioonile maksimumi või miinimumi.
Kui esialgses ülesandes nõutakse sihifunktsiooni maksimumi, siis
1) duaalse ülesande tingimusele märgi fikseerimiseks tulenevalt esialgses ülesandes tundmatule esitatavast nõudest mittenegatiivsuse kohta on järgmised võimalused:
a) duaalses ülesandes tuleb j-nda tingimuse märgiks ≥, kui esialgses ülesandes duaalse ülesande tingimusele vastava tundmatu kohta oli nõutud mittenegatiivsust (; )xj≥0
b) duaalses ülesandes tuleb j-nda tingimuse märgiks ≤, kui sellele tingimusele vastava tundmatu kohta esialgses ülesandes oli esitatud mittepositiivsuse nõue ()xj≤0;
c) duaalses ülesandes tuleb tingimus esitada võrdusena (=), kui sellele tingimusele vastava tundmatu kohta esialgses ülesandes ei olnud mittenegatiivsuse ega mittepositiivsuse nõuet (s.t. tundmatu oli märgi poolest kitsendamata);
2) duaalse ülesande tundmatutelt (yi) nõutakse mittenegatiivsust (≥ 0), kui esialgse ülesande i-s tingimus oli esitatud ≤-tüüpi tingimusena; mittepositiivsust (≤ 0), kui esialgse ülesande i-s tingimus oli esitatud ≥-tüüpi tingimusena; või jäetakse märgi poolest kitsendamata (∼), kui esialse ülesande vastava tingimus oli esitatud võrrandina (=).
Kui esialgses ülesandes nõutakse sihifunktsiooni miinimumi, siis:
1) duaalse ülesande k-ndas tingimuses on märk ≤, ≥ või = sõltuvalt sellest, kas antud tingimusele vastava tundmatu (xi) kohta esialgses ülesandes oli nõutud mittenegatiivsust (≥), mittepositiivsust (≤) või oli märgi poolest kitsendamata (∼);
2) duaalse ülesande tundmatutelt nõutakse mittenegatiivsust (≥ 0), mittepositiivsust (≤ 0) või on tundmatu märgi poolest kitsendamata vastavalt sellele, kas esialgses ülesandes esineb vastava tingimuse korral märk ≤, ≥ või =.
Kokkuvõtteks võib öelda järgmist
1. Max-põhikujulise lineaarse planeerimisülesandega duaalne planeerimisülesanne on min-põhikujuline ja vastupidi. Need ülesanded moodustavad sümmeetriliste ülesannete paari.
2. Kui esialgne ülesanne ei ole max- või min-põhikujuline, siis ka vastav duaalne ülesanne ei saa olla min- või max-põhikujuline. Nimetatud juhul on tegemist nn. ebasümmeetriliste duaalsete ülesannete paariga.
3. Kui esialgse ülesande tingimustesüsteemis esineb lisaks võrratustele ka võrrandeid, siis vastavas duaalses ülesandes võivad mõned (vastavad) tundmatud omada igasuguseid väärtusi (ka negatiivseid).
Iga ülesanne duaalsete ülesannete paarist kujutab formaalselt endast iseseisvat ülesannet ja teda on võimalik lahendada teisest paari kuuluvast ülesandest sõltumatult. Kuid leides ühele ülesandele duaalsete ülesannete paarist optimaalse lahendi, on see hõlpsasti väljaloetav ka teisele samasse paari kuuluvale ülesandele.
Et leida duaalse ülesande lahendit, lahendatakse esialgne ülesanne nt. simpleksmeetodil. Kui esialgsele ülesandele üldse on leitav optimaalne lahend, siis mingi lõpliku arvu sammude tulemusena saadakse lõppsimplekstabel, kust on leitavad ka duaalse ülesande optimaalsed lahendid (asuvad sihifunktsiooni reas abitundmatute veergudes).
Kui tegemist on nn. tootmisplaani leidmise ülesandega (kasumi maksimeerimine piiratud ressursside tingimustes), siis duaalse ülesande tundmatute yi väärtused väljendavad täiendavat kasumit, mida oleks võimalik saada, kui i-ndat ressurssi oleks ühe ühiku võrra rohkem. Sel juhul duaalset tundmatut yi nimetatakse ka ressursi fiktiivseks hinnaks, s.t. tegemist on maksimaalse hinnaga, mida tootja võiks iga täien-dava ressursiühiku eest maksta. Selle hinnaga (või kallimalt) võiks tootja ka ressurssi (toorainet) müüa. Näiteks minimaalselt selle hinnaga on otstarbekas maad välja rentida või maksimaalselt selle hinnaga maad juurde rentida.
Duaalsuse põhiteoreem : kui üks duaalsete ülesannete paari kuuluv ülesanne (kas esialgne või duaalne) omandab optimaalse lahendi, siis ka teisel samasse paari kuuluval ülesandel on optimaalne lahend, kusjuures optimaalsete lahendite korral on sihifunktsioonide ekstremaalsed väärtused võrdsed, seega kehtib seos zmax = wmin .

• Kui duaalse min-põhikujulise ülesande sihifunktsioon on lubatavate lahendite hulgal alt tõkestamata, siis esialgsel ülesandel ei ole lubatavaid lahendeid;
  
• Kui esialgse max-põhikujulise ülesande sihifunktsioon on lubatavate lahendite hulgal ülalt tõkestamata, siis vastaval duaalsel ülesandel puuduvad lubatavad lahendid ehk teisisõnu : kui ühe ülesande sihifunktsiooni väärtus on tõkestamata, siis on teise samasse paari kuuluva ülesande tingimustesüsteem vastuoluline .
  

Selleks et xj (x1, x2, …, xn) ja yi (y1, y2, … , ym) oleksid duaalsete ülesannete paari kuuluvate ülesannete optimaalseteks lahenditeks, on tarvilik ja piisav järgmiste seoste täitmine:
a) xj (- cΣ=miiijya1j ) = 0 j = 1, 2, … , n
b) yi (- bΣ=njjijxa1i ) = 0 i = 1, 2, … , m
s.t. kui ühe ülesande tingimustesüsteemis mingi tingimus on rahuldatud range võrratusena, siis vastav tundmatu duaalses ülesandes peab võrduma nulliga ja kui mingi tundmatu optimaalses plaanis ei võrdu nulliga, siis vastav tingimus peab olema rahuldatud täpselt võrrandina
ehk kui xj ≥ 0, siis = cΣ=miiijya1j
kui Σ c=miiijya1j , siis xj = 0
kui yi ≥ 0, siis = bΣ=njjijxa1i 33
kui Σ b=njjijxa1i , siis yi = 0 .
Selles teoreemis väljendatut kasutatakse lahendi õigsuse ja loogilisuse kontrolliks.
SIMPLEKSMEETOD
Simpleksmeetod- lineaarsete planeerimisülesannete põhiline lahendusmeetod.

• Kui kanoonilisel kujul antud ülesanne sisaldab n-tundamtut ja m-võrrandit, siis simpleksmeetodil leitud lahendis võivad nullist erineda mitte rohkem kui m(kitsenudste arv) tundamtu väärtused mida nimetatakse lahendielementideks.
  
• Simplekstabelit nimetatakse baastabeliks, kui kitsenudste süsteemi kordajatele vastav tabeliosa sisladab m-erinevat ühikveergu (m-kitsenudste arv).
  

(Ühikveerg-veerg, milles nullist erieneb vaid üks element)

• Baastabel on lubatav kui kõik elemendid b1(vabaliimed) on mittenegatiivsed.
  
• Lubatav baastabel on optimaalne, kui baastundamtutele vastavad elemendid sihifukntsiooni reas on 0-d ja ülejäänud selle rea elemendid (-cj) on mittenegatiivsed
  

Baasmuutujad- muutujad, mis on baastabelis ühikveergude kohal
Vabad muutujad-ülejäänud muutujad, mis ei asu ühikveergude kohal.
Põhireeglid simpleksteisendusteks:

Juhtveeru valik. Valitakse veerg, kus 0-nda rea kordaja on negativne ja soovitatavalt absoluutväärtuselt suurim.

Arvutatakse juhtveeru kõikide positiivsete elementide aij alusel suhe bi/aij (i=1,2..m)

Valitakse juhtrida. Juhtreaks on rida, kus suhe bi/aij on väikseim.

Juhtelement, mis ümbiritsetakse rõngakesega.

Juhtteisendused. Juhtveerg tuleb teisendada ühikveeruks, juhtlement võrdub veerus 1ga, ülejäänud elemendid on 0id.
Lahendi stabiilsuse analüüs ehk teeme kindalsk, millistes piirides võib muuta esialgse sihifunktsiooni kordajaid cj (millistes piirides nad vüivad muutuda), et leitud optimaalne lahend oleks ka uue sihifunktsiooni kordajaga ülesande optimaalseks lahendiks.
Tuleb teha järgmist:
1)lisada optimaalse baasitabeli sihifunktsiooni reas k-ndas veerus seisvale arvule suurus –ek
2) Teisendada optimaalne baasitabel uuesti kujule , kus sihifunktsiooni reas baasimuutuajtele vastavates veergudes seisavad nullid .
3) kirjutada välja kitsendused suuruse ek jaoks. Nendes saavad võrratused nõudega, et pärast teisendamist saadavas reas kõik elemendid, v.a vabaliikme veerus seisev, oleksid mittenegatiivsed. Pärast teisendamist saadavas reas vabaliikme veerus seisev avaldis näitab sihifunktsiooni maksimaalset väärtust pärast kordaja ck suurenemist
4) lahendada võrratuste süsteem suuruse ek suhtes.