Kompleksarvud gümnaasiumiõpikus (0)

Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. 
KOMPLEKSARVUD  
Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui  b = 0, siis saame arvu  a + 0·i,  mis 
on   reaalarv  a.  Kui  a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. 
KOMPLEKSARVU MÕISTE.   TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA 
Kaks kompleksarvu on omavahel võrdsed  parajasti siis, kui nende reaalosad ja 
1. Kompleksarvu  mõiste 
imaginaarosad on vastavalt võrdsed: 
 
  a + ib = c + id   ⇔   a =   ja  
c
b = d.     
Võrrandite lahendamine on sundinud matemaatikuid võtma kasutusele uusi arvuhulki. 
Näide 1. Kontrollime, kas arvude  4 - 5i,  -3i + 2,  -6i + 4  ja  2 - 3i  seas on võrdseid. 
Näiteks võrrandil 8 + x = 3 ei ole naturaalarvulisi lahendeid . Sellel võrrandil on aga 
Esimese ja kolmanda arvu reaalosa 4 (seega võrdsed), kuid nende arvude 
olemas lahend täisarvude hulgas Ä.  Täisarvude hulgas ei ole lahendeid näiteks 
imaginaarosad (-5i    ja    -6i) pole võrdsed. Seega pole ka arvud omavahel võrdsed. 
võrrandil  2x = 3. Ratsionaalarvude hulgas Â on sellel võrrandil lahend olemas. 
Teisel ja neljandal kompleksarvul on võrdsed nii reaalosa kui ka imaginaarosa. Seega 
Võrrandil  x2 = 2 ei ole lahendeid ratsionaalarvude hulgas. Viimasel võrrandil on aga 
need arvud on omavahel võrdsed. Kas leiad veel võrdsete kompleksarvude paare ? 
olemas lahendid reaalarvude hulgas Ã.  Reaalarvude hulga saame lisades 
ratsionaalarvude hulgale  Â irratsionaalarvude hulga Å:  Ã = Â½Å. 
Kompleksarve  a + bi  ja  a - bi  nimetatakse  kaaskompleksarvudeks. 
Võrrandil x2 + 1 = 0 reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest ei leidu sellist reaalarvu , 
mille ruut on võrdne (-1)-ga (võrrandist x2 + 1 = 0 järeldub, et x2 = -1). 
Näide 2. Leiame kompleksarvudele  4 - 5i,   3i - 5  ja   9i   kaaskompleksarvud. 
Samuti ei ole reaalarvude hulgas lahendeid  üldisemal võrrandil   x2 + a = 0, 
Kuna kaaskompleksarvude reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad vastasmärgi- lised, 
kus a > 0. 
siis  
Selleks, et ka niisuguste võrrandite puhul saaks kasutada mõistet "võrrandi lahend",  
arvu  4 - 5i  kaaskompleksarv on  4 + 5i, 
laiendati reaalarvude hulka  ühe teatava arvuga, mille   ruut on võrdne  -1-ga. Kuna 
arvu  3i - 5 = -5 + 3i  kaaskompleksarv on  -5 - 3i  ja 
ühtegi sellise omadusega reaalarvu ei leidu, siis hakati kujutletavat arvu, mille ruut on  
arvu  9i  kaaskompleksarv on  -9i. 
-1, nimetama imaginaarühikuks1 ja tähistama tähega  i. 
Kompleksarvu  a + ib  vastandarvuks nimetatakse arvu  -(a + ib) = -a - ib. 
  Arvu, mille ruut on -1, nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse 
Näide 3. Leiame arvudele  4i - 5  ja  6 - 4i  vastandarvud . 
   sümboliga i, s.t.  i = -1 . 
Vastavalt definitsioonile leiame, et esimese arvu vastandarv on 
Imaginaarühiku abil saab esitada ruutjuuri negatiivsetest arvudest, näiteks  
-(4i - 5) = -4i + 5 = 5 - 4i  ja teise arvu vastandarv on 
−16 = 16 ⋅(−1) = 16 ⋅ −1 = 4 −1 = 4i,  
-(6 - 4i) = -6 + 4i. 
−10000 = 10000 ⋅(−1) = 100 ⋅ −1 = 100 .i  
Nii, nagu reaalarvude korral, on ka kompleksarvu ja tema vastandarvu summa võrdne 
nulliga. Selles veendumiseks liida arvud  a + ib  ja  -(a + ib). 
Üldiselt 
Märkus:  Selleks, et kirjutisi lühendada, võib tähistada kompleksarvu  a + ib mõne 
Kui c > 0, siis  −c =
c ⋅ (− )
1 =
c ⋅ −1 =
c ⋅ i.  
tähega. Matemaatilises kirjanduses kasutatakse sel puhul sageli tähte  z. Seega   
 
z = a + ib. Arvu  z  kaaskompleksarvu märkimiseks kasutatakse  sümbo-lit  z . Kirjutis  
Arve kujul  a + ib, kus a    ja    b on reaalarvud ja  i  on imaginaarühik, nimeta- takse 
z +  z   = 2a tähendab seda, et kompleksarvu ja selle kaaskompleksarvu summa on 
võrdne kompleksarvu kahekordse reaalosaga. 
kompleksarvudeks2. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse tavaliselt tähega Æ. 
Kui kaks reaalarvu pole võrdsed, siis saab alati neid arve võrrelda ja järjestada suuruse 
järgi. Kompleksarve aga ei saa järjestada suuruse järgi. Näiteks ei saa määrata, kumb 
kompleksarv on suurem kas 2 + 3i või 3 + 2i. 
                                                 
Teema alguses selgitasime, et mitte igal ruutvõrrandil pole reaalarvulisi lahendeid. 
1pr.k. imaginaire - kujutletav. Nimetuse imaginaire võttis tarvitusele prantsuse matemaatik  
Nad on olemas vaid siis, kui võrrandi  ax2 + bx + c = 0  diskriminant on kas positiivne 
Rene Descartes 1637.a. 
või null (s.t.  D = b2 - 4ac ≥ 0). Esimesel juhul on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist 
2Sõna “ kompleksne ” tähendab eesti keeles “liitne”; selle nimetuse andis arvudele  
lahendit, teisel juhul on lahendid võrdsed. 
a + bi  esmakordselt saksa matemaatik Gauss ( 1777 -1855). 
Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on 
Kompleksarvude korrutamine ja jagamine  
negatiivne ? Vaatleme  mõnda näidet. 
Korrutame arvud a + bi  ja   c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi  
Näide 4.  Lahendame  võrrandid  x2 + 16 = 0, x2 - 2x + 10 = 0 ja  x4 - 3x2 - 4 = 0. 
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i.  Seega 
1) Kui  x2 + 16 = 0, siis  x = ± -16 = ± 16·i2  = ± 4i. Seega  x1 = -4i  ja  x2 = 4i. 
  (a + bi) ⋅(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc i
) .     
Kontrollime lahendeid, pidades silmas et i·i = i2 = -1. 
(-4i)2 + 16 = (-4)2 · i2  + 16= 16·(-1) +16 = 0  ja 
Näide 7. Leiame korrutise  (4 - 3i)(5 + 2i). 
(4i)2 + 16 = 42 · i2  + 16= 16·(-1) +16 = 0. 
Seega  (4 - 3i)(5 + 2i) = 20 + 8i - 15i - 6i2 = 26 - 7i. 
   Nagu näha, mõlemad lahendid sobivad. Seega on esialgse võrrandi lahendi- 
   teks kaaskompleksarvud  -4i  ja  4i. 
Analoogiliselt toimub korrutamine ka kolme või enama teguri korral.  
Kahe kompleksarvu summa, vahe või korrutis võivad olla reaalarvud. Näiteks 
2) Võrrandi  x2 - 2x + 10 = 0  lahendame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemit 
teineteise kaaskompleksarvude (a+bi) ja (a-bi) korrutis on reaalarv a2 + b2. Kontrolli 
kasutades: 
seda! 
x1;2 = 1 ±  1 - 10  = 1 ±  -9  = 1 ± 3i. Siit  x1 = 1 + 3i  ja  x2 = 1 - 3i. 
Kahe kompleksarvu jagamisel aitab meid lihtne reegel: laiendame murdu selle 
Nii nagu esimese võrrandi puhul, on ka nüüd võrrandi lahenditeks kaaskomp-
nimetajas oleva kompleksarvu kaaskompleksarvuga. Nii vabaneme   imaginaar -susest 
leksarvud.  
murru nimetajas. 
3) Võrrand x4 - 3x2 - 4 = 0  pole küll ruutvõrrand (see on biruutvõrrand), kuid ta 
Seega 
lahendatakse analoogiliselt. Teeme muutuja vahetuse  x2 = t, saame ruutvõrrandi  t2 
a + bi
(a + bi)(c - di)
ac - adi + cbi + bd
ac + bd
bc - ad
 = 
 = 
- 3t - 4 = 0. 
c + di
(c + di)(c - di)
c2 + d2
 =  c2 + d2  + c2 + d2 i, kus c2 + d2 ≠ 0. 
Selle võrrandi lahenditeks saame  t
Nagu ratsionaal- ja reaalarvude puhulgi, on kahe kompleksarvu jagatis määratud ainult 
1 = 4  ja  t2 = -1. 
siis, kui jagaja ei ole kompleksarv 0 (0 + i·0). 
Nüüd tuleb meil lahendada võrrandid  x2 = 4  ja  x2 = -1. Esimese võrrandi 
Näide 8. Leiame arvude  4 + 3i  ja  5 + 2i  jagatise . 
lahenditeks on  2  ja  -2. Teise võrrandi lahendid on   i  ja  -i (kontrolli seda). Seega 
4 + 3i
(4 + 3i)(5 - 2i)
20 - 8i + 15i + 6
26 + 7i
26
7
saime kokkuvõttes neli lahendit, neist kaks on reaalarvulised ja ülejäänud kaks 
  = 
 = 
 = 
  = 
  +  
 i. 
5 + 2i
(5 + 2i)(5 - 2i)
25 + 4
29
29
29
kompleksarvulised (mis on jällegi kaaskompleksarvud).  
2. Tehted  kompleksarvudega 
Kompleksarvude astendamine  
Kõigepealt leiame arvu  i  mõned astmed , teades et  i2 = -1. 
Kompleksarve liidame, lahutame, korrutame ja jagame  nii nagu kaksliikmeid. 
i1 = i,    i2 = -1,    i3 = i2 · i = -i,    i4 = (i2)2 = 1,    i5 = i4 · i = i,    i6 = i5 · i = -1, ... . 
Täiendavalt peame arvestama et  i2  = -1. 
Tekkinud võrduste ahelast paneme  tähele, et arvu  i   astmetel on neli vahelduvat 
väärtust: 
Kompleksarvude liitmine ja lahutamine 
i,  -1,  -i  ja  1. 
Olgu meil antud kaks kompleksarvu a + bi  ja   c + di. Siis  
Nende astmete teadmine on meile abiks astmete  (a + bi)2  ja  (a + bi)3  leidmisel: 
  (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d i
) .     
(a + bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = a2 - b2 + 2abi, 
(a + bi)3 = a3 + 3a2bi + 3a(bi)2 + (bi)3 = a3 - 3ab2 + (3a2b)i - (b3)i. 
Näide 5. Leiame summa  (5 + 3i) + (6 + 4i). 
Siis  (5 + 3i) + (6 + 4i) = (5 + 6) + (3 + 4)i = 11 + 7i. 
Näide 9. Leiame  (3 + 4i)2  ja  (3 + 4i)3. 
Summa ruudu ja kuubi valemite järgi saame: 
Kompleksarvude lahutamine on sarnane liitmisele. Kahe kompleksarvu a + bi  ja   c + 
(3 + 4i)2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i  ja 
di  korral  
(3 + 4i)3 = 27 + 108i - 144 - 64i = -117 + 44i. 
  (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d i
) .     
825. Lahenda võrrandid. 
     a) x2 - 4x - 5 = 0       b) x2 + 15x 
= 
0 
    
c) 
x2 + 3x + 4 = 0 
Näide 6. Lahutame arvust  5 + 3i  arvu  6 + 4i. 
     d) 2x2 + 3x + 4 = 0     e) x3 + 2x2 + 4x = 0    f) x4 + 2x2 + 9 = 0 
Lahutamise reegli kohaselt  (5 + 3i) - (6 + 4i) = (5 - 6) + (3 - 4)i = -1 - i. 
826. On antud arvud:  
837. Leia aste. 
1
3
     a) (1 + 2i)2       b) (3 - 5i)2        c) (-3i - 4)2
 20; 
18 ;   27;  tan 45°;  e;  0,(8);  log 100;   0.03;  2 + 3i;  5 2i;  - 3i+4. 
3
     d) (2 - i  3 )2   
e) 
( 2 - i  3 )2     f) (1 - i)4 
 
Leia nende arvude seast  naturaalarvud , täisarvud, ratsionaalarvud , irratsio-
 
 
 g) (1 + 2i)3 
    
h) 
(4i - 5)3        i) ( 2 + i 3 )3 
naalarvud, kompleksarvud, positiivsed arvud ja negatiivsed arvud. 
 
827. Leia antud kompleksarvu kaaskompleksarv ja vastandkompleksarv. 
KOMPLEKSARVU GEOMEETRILINE ESITUS. KOMPLEKSARVU 
     a) 2 + i       b) 1 - 5i 
   
c) 
7i - 4,4       d) -7 + 0i 
TRIGONOMEETRILINE KUJU 
     e) 0 + 0i     f) -(3 - 5i)     g) 8 - (3 - 5i)    h) 1 - i - i 
1. Kompleksarvu geomeetriline esitus 
828. Kirjuta  kaks kompleksarvu, mille 
 
 a) summa on reaalarv;    
Iga reaalarvu a võime kujutada arvteljel punktina. Kehtib ka vastupidine : arvtelje igale 
punktile vastab mingi kindel reaalarv. Kompleksarvu  a + bi  aga arvteljel kujutada ei 
 
 b) korrutis on reaalarv;  
saa, kuna ta on määratud oma reaal - ja imaginaarosaga, s.t. reaalarvude järjestatud 
 
 c) summa ja korrutis on mõlemad reaalarvud. 
paariga  (a; b). Selline arvupaar määrab tasandil punkti. Joonestame kaks teineteisega 
ristuvat koordinaattelge. Sellist koordinaat -tasandit, milles kujutatakse kompleksarve, 
829. On teada, et  i2 = -1  ja  π ≈ 3,14. Kas võib järeldada, et   π  > i ? Miks ? 
nimetatakse komplekstasandiks (vt vasakpoolset joonist).  
830. Leia kompleksarvu reaal- ja imaginaarosa:  
y
A
E
 
3 + 2i;  4;  5 - 7,2i;  -3 - 2i;  -4 + 3i;  5i;   2 +  3 . 
3
y
831.  Lihtsusta avaldised. 
2
b
P(a; b)
    
     a) (3 + 5i) + (4 + 6i)               b) (-4 + 6i) - (-7 + 5i) 
B
1
3
1
D
     c) (-0,2 - 1,1i) + (-0,8 - 1,9i)     
d) 
(1  - 2,5i) - (  - 0,5i) 
4
3
-3
-2
-1
O 1
2
3
4
5 x
i
832. Lihtsusta avaldised. 
-1
C
     a) (1 + i) + (2 - 3i) - (3 + 4i)         b) (0,4 - 4,2i) - (1,5 + 0,6i) + 3,3i 
-2
1
2
2
3
3
5
O
a
1
x
        
 
   
c) 
(  -   i) + (  -   i) - (  +   i)        d) [0,(3) + 1,1(6)i] - [0,1(3) - 0,(2)i] 
2
3
3
4
4
6
Kompleksarvu reaalosa kujutatakse x- teljel , imaginaarosa aga y-teljel. Seepärast 
833.  Korruta . 
nimetatakse siin x-telge  reaalteljeks  ja y-telge  imaginaarteljeks. 
     a) (3 + 2i)(4 - 5i)       b) (5 - 6i)(1 - 3i)         c) (1 - i)(1 + i) 
Kui võtta komplekstasandilt punktid  A(4; 3), B(-2; 1), C(-3; -2), D(5; 0) ja   E(0; 3), 
     d) (1 - i)(3 + 4i)    
e) 
(-5i - 4)(3 - i)         f) (2 - 2i)(4i + 5) 
siis neile vastavad kompleksarvud on  4 + 3i, -2 + i, -3 - 2i,  5    ja    3i (need 
kompleksarvud on kujutatud parempoolsel joonisel). 
834. Korruta. 
On ilmne, et antud koordinaatteljestiku ja pikkusühiku puhul vastab tasandi igale 
     a) (1 + 2 3 i)(2 - 3 3 i) 
    
b) 
2i(1 -  3 i)(1 +  3 i) 
punktile üks ja ainult üks kompleksarv, ja vastupidi - igale kompleksarvule vastab üks 
     c) (6 - 7i)(5 + i)(3 - 5i) 
     
d) 
2i(7 + 10i)(2 - 4i) 
ja ainult üks tasandi punkt. 
     e) (2 - 3i)(-1 - i)(3 + 4i)         f) (5 + 4i)(-2 - i)(5 - 4i)(-2 + i) 
Tutvume veel ühe olulise mõistega. Selleks on kompleksarvu moodul . Paneme tähele, 
et lõik koordinaatide alguspunktist antud kompleksarvuni  a + bi  on täisnurkse 
835. Leia jagatis. 
kolmnurga hüpotenuus. Selle kolmnurga kaatetite pikkused on a ja b. Seega 
1
3 + i
2i - 3
3 - 5i
     a) 
 
     
b)            c) 
  
hüpotenuusi pikkus on: 
1 + i
3 - i
  
     
d) 
1 - 3i
2 + 3i
OP =  a2 + b2 .  
1 +  3 i
1 +  15 i
6  - i
1 + 2i
     e) 
Seda arvu nimetataksegi kompleksarvu mooduliks  (ehk teda kujutava lõigu 
       f) 
       g) 
 
 
 
    
h) 
    
1 -  3 i
1 -  3 i
6  + 2i
1 +  2i 
pikkuseks ). Iga nullist erineva kompleksarvu moodul on nullist erinev. Leiame 
mõnede kompleksarvude moodulid. 
836. Kontrolli võrduse  i7  + i18  + i25  + i35  + i97  + i100  = 0  kehtivust. 
Näide 1. Leiame kompleksarvude  1)  4+ 3i;    2)  -2  +  i;  3) -3 - 2i      ja      4)  3  -  2i 
Viimane võrdus esitabki kompleksarvu trigonomeetrilise kuju. Arvu r on siin 
moodulid (vt. ka joonist).  
kompleksarvu  moodul  ja nurk  ϕ  kompleksarvu argument. Vaatleme näiteid selle 
y
1)  | z | =  42 + 32 =  25 = 5; 
kohta, kuidas kompleksarvu esitada trigonomeetrilisel kujul. 
A
2)  | z | =  (-2)2 + 12 =  5 ; 
3
Näide 2.  Esitame trigonomeetrilisel kujul arvu  3 + 4i. 
3)  | z | =  (-3)2 + (-2)2 =  13  ja 
2
Kõigepealt leiame mooduli: 
    
B
4)  | z | =  32 + (-2)2 =  13 . 
1
r =  32 + 42 = 5. 
Selles näites on kahe viimase kompleksarvu 
Nüüd arvutame nurga  ϕ  tangensi  (tangensi kaudu on nurka  ϕ  kõige lihtsam leida, 
-3
-2
-1
O 1
2
3
4
5 x
moodulid võrdsed, kuid arvud on ise erinevad 
sest täisnurkse kolmnurga kaatetid on teada): 
(mille põhjal saab seda väita ?).  
-1
C
D
4
tan ϕ =   ≈ 1,333.  
Võib küsida: kui palju on  kompleksarve, mille 
-2
3
moodulid on võrdsed ?  
y
Vähimaks positiivseks nurgaks, mille  tangens  on 1,333 on ligikaudu 53°7'. Kontrolliks 
Vastus: lõpmata palju.  
leia taskuarvutil arctan 1,333!  Kuid ka nurga 180°+53°7' = 233°7' 
3
Kui kompleksarve kujutavate lõikude otspunktid on 
tangens võrdub 1,333-ga. Et kompleksarvu 3 + 4i esitav punkt (3; 4) kuulub 
koordinaatide alguspunktist ühel kaugusel, siis nende 
2
    
komplekstasandil esimesse veerandisse, siis nurk 233°7' arvesse ei tule. 
arvude moodulid on võrdsed (vt  joonist).  
1
Kompleksarvu  3 + 4i  trigonomeetriline kuju on seega 
3 + 4i = 5(cos 53°7’ + i sin 53°7’). 
 
-2
-1
O 1
2
x
Et siinus - ja koosinusfunktsiooni periood on  2π (ehk 360°), siis kompleksarvu  3 + 4i 
-1
võib üldkujul esitada nii: 
2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju 
-2
3 + 4i = 5[cos (53°7’ + n·360°) + i sin (53°7’ + n·360°)], kus n on suvaline täisarv. 
Olgu antud kompleksarv  z  oma algebralisel kujul:  z 
= a + bi. See kompleksarv määrab tasandil järjestatud arvupaari  (a; b).  
Näide 3. Esitame trigonomeetrilisel kujul arvu  -4 + 4i. 
y
Leiame mooduli r, saame 
y
r =  (-4)2 + 42 =  32 = 4 2 . 
4
P( a; b)
Argumendi  ϕ  leidmiseks arvutame 
4
r
r
tan ϕ =   = -1. 
b
-4
i
Kuna tangensi väärtus on negatiivne, siis võib ϕ  olla kas 
Q
Q a
teise või neljanda veerandi nurk (135° või  315°). 
-4
O
x
O
 
1
Q
x
Selleks, et määrata, kumba  nurgaga on tegemist, leiame 
 
cos ϕ väärtuse: 
Kujutagu punkt P kompleksarvu  z = a + bi (vt joonist). Siis OQ = a  ja PQ = b. 
-4
- 2
Tähistame punkti P kauguse koordinaatide alguspunktist  O  tähega  r  ja  nurga x-telje 
cos ϕ = 
  = 
   2
positiivse suuna ja lõigu OP vahel tähega ϕ. Siis täisnurksest kolmnurgast OQP 
4 2
saame, et 
Seega  ϕ  on teise veerandi nurk, sest neljandas veerandis on koosinuse väärtus 
b
a
positiivne. Arvu  -4 + 4i võime esitada järgmiselt: 
 = sin ϕ,  millest  b = r sin ϕ   ja     = cos ϕ,  millest  a = r cos ϕ. 
r
r
-4 + 4i = 4 2 (cos 135° + i sin 135°)  ehk üldkujul 
Asendame kompleksarvus  a + bi  tähed  a  ja  b leitud avaldistega, saame: 
-4 + 4i = 4 2 [cos (135° + n·360°) + i sin (135° + n·360°)]. 
a + bi = r cos ϕ + ir sin ϕ  ehk 
  a + bi = r(cosϕ + i sin ϕ).     
844. Teisenda antud arv algebralisele kujule . 
Näide 4. Esitame trigonomeetrilisel kujul arvu  -1 -  3 i. 
 
 a) 2 (cos 60° + i sin 60°) 
     b) 
4 
(cos 
120° + i sin 120°) 
Leiame  r  ja  ϕ. Saame, et r =  (-1)2 + (- 3)2  = 2  ja  tan ϕ =  3 .  
 
 c) 6 (cos (-60°) + i sin 60°) 
    d) 
8 
(cos 
(-150°) + i sin (-150°)) 
Seega nurk ϕ  võib olla esimeses veerandis (60°) või kolmandas veerandis (240°). Et 
 
 e) sin 30° + i cos 30°              f) sin 45° + i cos 225°` 
punkt (-1;  − 3 ) asub III veerandis, siis võime kompleksarvu esitada kujul 
 
1 -  3 i = 2(cos 240° + i sin 240°)  ehk 
TEHTED TRIGONOMEETRILISEL KUJUL ANTUD 
1 -  3 i = 2[cos (240° + n·360°) + i sin (240° + n·360°)]. 
KOMPLEKSARVUDEGA 
Lahendame nüüd vastupidise ülesande: esitame trigonomeetrilisel kujul antud arvu 
Oskame  liita, lahutada, korrutada ja jagada kompleksarve, mis on algebralisel kujul. Nüüd 
algebralisel kujul. Kui arv on antud kujul  r(cos ϕ + i sin ϕ), siis me teame selle arvu 
uurime, kuidas tehakse samu tehteid arvudega, mis on antud trigonomeetrilisel kujul. 
moodulit ja argumenti. Neist piisab , et kompleksarvu esitada algebra- lisel kujul, sest 
Olgu meil antud kaks kompleksarvu 
kehtivad juba varem tuletatud seosed: 
a = R (cos α + i sin α)  ja  
a = r cos ϕ  ja  b = r sin ϕ. 
b = r (cos β + i sin β). 
Igaüks võib veenduda, et kui liita arvud  a  ja  b (või lahutada arvust  a  arv  b), siis 
Näide 5. Esitame algebralisel kujul arvu  4(cos 30° + i sin 30°). 
tulemuseks saame sellise avaldise, mida üldjuhul pole võimalik lihtsustada.  Liidame 
Leiame reaalosa a ja imaginaarosa b: 
näiteks arvud  4(cos 11° + i sin 11°)  ja  2(cos 31° + i sin 31°).  Pärast sulgude avamist  
a = r cos ϕ = 4·cos 30° = 2 3   ja   b = r sin ϕ = 4·sin 30° = 2. 
saame tulemuseks 
Seega  4(cos 30° + i sin 30°) = 2 3  + 2i. 
4cos 11° + 4 i sin 11° + 2cos 31° + 2i sin 31°.  
Saadud avaldist ei saa lihtsustada, seepärast kompleksarvude liitmisel ja lahutamisel ei 
Näide 6. Esitame algebralisel kujul arvu  cos 45° + i sin 45°. 
kasutata trigonomeetrilis kuju. 
Ilmselt on selle kompleksarvu moodul 1, seega 
2
2
Kompleksarvude korrutamine ja jagamine 
a = cos ϕ = cos 45° = 
   ja  b = sin ϕ = sin 45° = 
  . 
2
2
Korrutame arvud  a  ja  b. Tulemuseks saame: 
2
2
a·b = Rr(cos α + i sin α)(cos β + i sin β).                        (1) 
Seega  cos 45° + i sin 45° = 
  + 
  i. 
2
2
Võrduse parema poole edasisel teisendamisel arvestame, et  
838. Kujuta kompleksarv graafiliselt. 
(cos α + i sin α)(cos β + i sin β) =  
 
 
  a  )  3 +  i        b) 2 - 3i         c) -1 - i         d) -2 - 0,5i 
= cos α cos β + i cos α sin β + i sin α cos β + i2 sin α sin β =  
     e) 2i + 3        f) 5i             g) -3i - 3        h) 4 + 5i 
= (cos α cos β - sin α sin β) + i(sin α cos β + cos α sin β) = 
= cos (α + β) + i sin (α + β). 
839. Leia kompleksarvu moodul ja argument. 
Võrduse (1) võime nüüd esitada kujul 
 
 
  a  )  1 +  i 3       b) 4 + 3i         c) -1 - i 3        d) 4 - 4i 
     e) -42          f) 2 3 + 2i       g) 6 3 - 6i       h) 1 - i 3  
a·b = Rr [cos (α + β) + i sin (α + β)]. 
840. Leia kõik sellised kompleksarvud, mille moodul on  3; 1995; 0; -2.  
Kahe kompleksarvu korrutamisel nende arvude moodulid korrutatakse ja 
argumendid liidetakse. 
841. Teisenda kompleksarv trigonomeetrilisele kujule. 
     a) 1           b) 3i            c) -2i           d) -i 
Näide 1. Korrutame arvud  4(cos 30° + i sin 30°)  ja  2(cos 60° + i sin 60°). 
     e) 6i        f) -2            g) i             h) -5i 
Korrutamise reegli järgi 
842. Teisenda kompleksarv trigonomeetrilisele kujule. 
4(cos 30° + i sin 30°)·2(cos 60° + i sin 60°) = 8(cos 90° + i sin 90°) = 8(0 + i·1) = 8i. 
Tulemuse õigsuses veendumiseks teisendame mõlemad arvud algebralisele kujule ja 
     a)  3 + i         b) - 3 - i         c) 6 + 6i 3           d) 6 - 6i 3  
korrutame. 
     e) -6 + 8i        f) 2,7 - 3,2i     g) 1,8 + 0,52i     h) 2,7 - 1,32i 
Esimese arvu reaalosa on a = r cos ϕ = 4·cos 30° = 2 3  ja imaginaarosa on  
843. Esita trigonomeetrilisel kujul negatiivne arv  -p  (p > 0). Leia selle arvu moodul 
b = r sin ϕ = 4·sin 30° = 2. 
ja argument. 
Seega esimese arvu algebraline kuju on  2 3 + 2i. 
Teise arvu reaalosa on  a = r cos ϕ = 2·cos 60° = 1 ja imaginaarosa on  
Saab tõestada, et üldiselt kehtib valem 
b = r sin ϕ = 2·sin 60° =  3 . 
 
Teise arvu algebraline kuju on seega 1 +  3 i. 
  an = rn (cos nϕ + i sin nϕ).   
Kui korrutame esimese arvu teisega, siis saame tulemuseks 
Seda valemit nimetatakse ka Moivre3 (loe: muavr) valemiks. 
(2 3 + 2i)( 1 +  3 i) = 2 3 + 6i + 2i - 2 3 = 8i. 
Saadud tulemuste võrdlemine näitab, et trigonomeetrilisel ja algebralisel kujul olevate 
Näide 3. Kui  a = 2(cos 5° + i sin 5°), siis 
arvude korrutis on võrdne. 
a10 = 210(cos 50° + i sin 50°)  ehk  
Kui on vaja korrutada kolme või enamat kompleksarvu, siis eespool sõnastatud 
a10 = 1024(cos 50° + i sin 50°). 
korrutamise reegel jääb kehtima.  
3
Näide 4. Leiame arvu  a = 
  + 0,5i  kahekümnenda astme. 
Arvude  a = k(cos α + i sin α),  b = m(cos β + i sin β)  ja  c = n(cos γ + i sin γ) 
2
korrutise leiame  valemist  
Kõigepealt teisendame arvu trigonomeetrilisele kujule: 
a = cos 30° + i sin 30°  (kontrolli teisenduse õigsust). 
  abc = k
mn cos(α + β + γ ) + i sin(α + β + γ )].     
Siis a20 = cos (20·30°) + i sin (20·30°) = cos 600° + i sin 600° = 
Kui me jagame kahte kompleksarvu  a = R(cos α  +  i sin α)  ja   
 
    = cos (720° - 120°) - i sin (720° - 120°) = 
b =  r(cos β + i sin β),  siis  
3
 
    = - cos 60° - i sin 60° = - 0,5 - 
i. 
2
a
R(cos α  + i sin α)  
R(cos α + isin α)(cos β - i sin β)
 = 
 = 
 . 
b
 r(cos β + i sin β)
r(cos β + i sin β)(cos β - i  sin β)
845. Leia kompleksarvude korrutis zw ja jagatis z/w. 
 a) 
z = 4(cos 70° + isin 70°)   w = 2(cos 40° + isin 40°) 
Kui korrutis  (cos α + i sin α)(cos β - i sin β)  esitada kujul  
 b) 
z = 8(cos 80° + isin 20°)   w = 4(cos 80° + isin 20°) 
 (cos α + i sin α)(cos (-β) + i sin (-β)), siis 
3π
3π
5π
5π
 c) 
z = 14(cos 
 + isin
)      w = 7(cos 
 + isin 
) 
2
2
4
4
a
R
  
= [cos(α − β) + isin(α − β ]).    
4π
4π
b
r
 d) 
z = 15(cos 
 + isin
)      w = 5[(cos (-60°) + isin(-60°)] 
3
3
Kahe kompleksarvu jagamisel nende arvude moodulid jagatakse ja 
846.  Leia kompleksarvude korrutis zw ja jagatis z/w. Tehted tee trigonomeetrilisel 
argumendid lahutatakse. 
kujul. 
 a) 
z = 6(cos 90° + isin 90°)   w = 3(cos 45° + isin 45°) 
Näide 2. Leiame arvude  a = 3(cos 47° + i sin 47°) ja b = 2(cos 30° + i sin 30°) 
 b) 
z = 8(cos 85° + isin 85°)   w = 4(cos 55° + isin 55°) 
jagatise. Viimase valemi põhjal 
 c) 
z = 1 + i    w = 1+ 3 i  
      d) z =  3   +  i    w = 1 - i 
a
3(cos  47° + i sin 47°)
  = 
 = 1,5(cos 17° + i sin 17°). 
847. Kasuta Moivre valemit kompleksarvu astendamiseks. 
b
2(cos  30° + i sin 30°)
 
a) [2(cos 9° + isin 9°)]5         b) [ 2 (cos  15° + isin 15°)]10
 
2π
2π
 
 c) 
[ 3 (cos 
 + isin
)]10     d) [2(cos   + isin
)]6 
10
10
9
9
 
2π
2π
Kompleksarvude astendamine 
 e) 
[2(cos 
 + isin 
)]9       f) (cos   + isin
)15 
12
12
5
5
Kõigepealt leiame arvu  a = r(cos ϕ + i sin ϕ)  mõned astmed. 
 g) 
( 3   -  i)5          h) (-1 -  3 i)8          i) (-1 + 2i)12
a2 = r2(cos2 ϕ + 2 i cosϕ sin ϕ + i2 sin2 ϕ) = r2(cos 2ϕ + i sin 2ϕ). 
 
a3 = r3(cos3 ϕ + 3 icos2 ϕ sin ϕ  + 3 i2 cos ϕ sin2 ϕ + sin3 ϕ) = 
                                                 
 = 
r3(cos 3ϕ + i sin 3ϕ). 
3  Abraham  de Moivre  (1667 - 1754) - prantsuse matemaatik.  
ALGEBRALISTE VÕRRANDITE LAHENDAMISEST 
KOMPLEKSARVUDE RAKENDUSI 
 
Kompleksarve läheb vaja väga paljudel elualadel, siinkohal piirdume ainult 
n-astme algebraliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, mille vasakuks pooleks 
paari näitega. 
on n-astme polünoom ja paremaks pooleks arv 0: 
a
≠
Alalisvoolu korral kehtib Ohmi seadus: 
0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0,  a0   0. 
= ⋅
Saab näidata, et igal n-astme võrrandil on kompleksarvude hulgas n lahendit. 
E
I R.  
Siin  E on elektromotoorjõud (pinge), I -  voolutugevus ja R - vooluahela 
Näide 1. Lahendame võrrandid x4 + 5x2 + 4 = 0  ja  x4 - 5x2 + 4 = 0. Mõlemad 
takistus. 
võrrandid on biruutvõrrandid. Tähistades mõlemal juhul x2 = y, saame 
ruutvõrrandid y2 + 5y + 4 = 0  ja  y2 - 5y + 4 = 0. 
Vahelduvvoolu korral on koosneb kogutakistus  Z  aktiivtakistusest  R, 
induktiivtakistusest XL  ja mahtuvustakistusest XC. 
Esimese ruutvõrrandi lahenditeks on  y = -1  ja  y = -4.  Teise ruutvõrrandi 
Nendevaheline seos esitub kujul 
lahenditeks on  y = 1  ja  y = 4. 
Z = R + ( X − X
i
) .  
L
C
Nii saame esimesel juhul ruutvõrrandid  x2  =  -1    ja  x2 = -4; teisel juhul aga 
Seega kogutakistus Z on kompleksarv  kujul a + bi. 
ruutvõrrandid  x2 = 1  ja  x2 = 4.   
Kasutades kompleksarve E, I  ja Z, saab näidata, et Ohmi seadus saab kuju: 
Siit saame et võrrandi x4 + 5x2 + 4 = 0 lahendid on x1 = -i,  x2 = i,  x3 = -2i  ja  x4 = 2i. 
E = I ⋅ Z.  
Võrrandi  x4 - 5x2 + 4 = 0  lahendid on  x1 = -1,  x2 = 1,  x3 = -2  ja  x4 = 2. 
11. klassi matemaatikaõpiku tagakaanel on pilt ühest omapärasest kujundist, 
Näide 2. Lahendame võrrandi z3 - 27 = 0. 
y
mida nimetatakse Kochi lumehelbeks. Kochi lumehelbe saame järgmisel viisil: 
B
Kujutame ette võrdkülgset kolmnurka küljepikkusega 1 ühik. Selle kolmnurga 
Et z3 - 27 = (z - 3)(z2 +3z +9), siis  
iga külje jaotame kolmeks osaks. Keskmistele neist osadest kujundame 
z3 - 27 = 0  ⇔  z - 3 = 0  ∨  z2 +3z +9 = 0, kust 
võrdkülgse kolmnurga. Saame tähtkuusnurga. Selle kujundi iga serva jaotame 
3
3 3
3
3 3
A
z1 = 3,   z2 = -   + 
i,   z
 - 
i. 
kolmeks osaks. Keskmisele neist osadest kujundame võrdkülgse kolmnurga. 
2
2
3 = - 2
2
x
Niiviisi jätkates saame lumehelbe kujulise kujundi, mida nimetatakse Kochi 
On lihtne näidata, et need arvud on kõik kompleks -
helbeks.  
tasandil koordinaatide algusest 3 ühiku kaugusel  
C
|z1| = |z2| = |z3| = 3. Lahendid paiknevad võrdkülgse 
kolmnurga tippudena. Selles veendumaks esita need arvud trigonomeetrilisel 
kujul. 
848. Leia võrrandi lahendid. 
 a) 
x3 + 2x2 + x + 2 = 0              b) x3 + x2 + x + 1 = 0 
 
 c) 
(x4 + 3x2 +2)(x2 - 4x + 8) = 0      d) x3 + 2x2 + 2x + 4 = 0 
Saab näidata, et Kochi helbe pindala on lõplik, aga ümbermõõt on lõpmatu. 
 e) 
x6    -  1 = 
    
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f  ) x3 - 1 = 0 
Toome siinkohal ära ka 11. klassi õpiku tagakaanel oleva ülesande vastused: 
849.  Lahenda võrrand x4 = 1 ja näita, et lahendid kujutavad endast ühiringi sisse 
−
−2
−
10 3
n
4
1
n
n
3 ⎛
9
− 4 2 ⎞
joonistatud  ruudu tippe komplekstasandil.  Kuidas  paiknevad võrrandi   x6 - 1 = 
S =
;    Ü = 3 ⋅ ⎛
;    S =
⎜1+
−
⎟.  
3
n
⎝⎜ ⎞
3⎠⎟
n
n 2
0 lahendid komplekstasandil? 
27
3 ⎝
9
⋅ 5 ⎠
 
 
 
Selliseid "konarlikke" või "sakilisi" kujundeid, mida võib osadeks jaotada ja 
zn on tõkestatud. Kui jada koondub, siis tuleks antud punkt komplekstasandil 
mille osad on sarnased tervikuga kutsutakse fraktaliteks4. Fraktaalse kujuga 
värvida ühe värviga, kui hajub, siis teise värviga.  
võib olla rannajoon, puulehe äär, piksenoole trajektoor , pilv, puu või põõsa 
Saab näidata, et Mandelbroti hulk on punktihulk , mis mahub komplekstasandil 
võra, aga ka elusolendi veresoonte ja närvikiudude võrk. 
ringi  x2 + y2 ≤ 4  sisse. 
Kõige tuntum fraktal on Mandelbroti fraktal. 
Seega tuleks fraktali joonistamiseks käia läbi see komplekstasandi piirkond, 
Olgu c kompleksarv. Moodustame jada 
ning iga erineva c puhul kontrollida koonduvust. Koonduvuse kontrollimine ei 
z0 = 0 
ole aga lihtne, sest näiteks kui võtta c = 0,2501, siis jääb veel 900 järjestikuse 
z
= z2 + c
.         n = 0, 1, 2, 3, ... 
n 1
n
jada liikme korral resultaat ringi x2 + y2  ≤ 4 sisse. Tegelikult aga see väärtus 
Võttes näiteks c = i, saame jada esimesteks liikmeteks  
Mandelbroti hulka ei kuulu. Seetõttu uuritakse fraktaleid arvuti abil. 
z
Paljudel Mandelbroti fraktalite piltidel on rohkem kui kaks värvi. Need värvid 
0 = 0 
z1 = 0 + i = i 
saadakse järgmiselt: Kui mõned punktid väljuvad ringist  x2 + y2 ≤ 4 alles peale 
z2 = i2 + i = -1 + i 
200-ndat liiget siis värvitakse need näiteks punaseks, kui peale 300-ndat liiget, 
z3 = (-1 + i)2 + i = -i 
siis kollaseks jne. Värvilisi pilte fraktalitest näed ka õpiku tagakaanel. 
z4 = (-i)2 + i = -1 + i 
Mandelbroti fraktalil on tähelepanuväärne omadus - see on enesesarnasus. See 
z5 = (-1 + i)2 + i = -i 
tähendab, et objekti mõni detail on sarnane objekti kui tervikuga. Tagakaanel 
... 
oleval pildil ongi Mandelbroti fraktal ja selle järjestikused suurendused. 
Paneme tähele, et selle jada punktid ei satu koordinaatide alguspunktist kuigi 
kaugele (leia nende kompleksarvude moodulid!).  
Ka järgnevatel piltidel on kujutatud mõned fraktalid: 
Kui aga võtta algväärtuseks c = 1 + i, siis saame jada esimesteks liikmeteks 
z0 = 0 
z1 = 0 + (1 + i) = 1 + i 
z2 = (1 + i)2 + (1 + i) = 1 + 3i 
z3 = (1 + 3i)2 + (1 + i) = -7 + 7i 
z4 = (-7 + 7i)2 + (1 + i) = 1 - 97i 
z5 = (1 - 97i)2 + (1 + i) = -9407 - 193i 
Selle jada liikmed kaugenevad koordinaatide alguspunktist tõkestamatult. 
Mandelbroti5 hulgaks nimetatakse kõigi kompleksarvude c  hulka, mille 
 
korral jada zn  on tõkestatud (s.t. kõik punktid zn  on komplekstasandil 
mingi sellise ringjoone sees, mille keskpunktiks on koordinaatide 
alguspunkt). 
Eelneva põhjal arv i kuulub Mandelbroti hulka, aga arv  1 + i  ei kuulu.  
Selleks et teada, milliste c väärtuste puhul jada zn koondub või hajub, tuleb 
lihtsalt proovida kõiki c väärtusi ja kontrollida, kas antud andmete korral jada 
                                                 
4 Fraktalite kohta ilmus ajakirja " Horisont " 1995. a. numbrites 1-6  Jüri Engelbrechti ja Ragnar  
  
 
Kurmi artiklite seeria "Arvutiga maailma avastamas". Sealt leiad põhjalikuma ülevaate. 
 
5 Mandelbrot, Benoit (20.11.1924 - ), poola päritolu ameerika matemaatik. 

Document Outline

• KOMPLEKSARVUD
  • KOMPLEKSARVU MÕISTE.  TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA
  • 1. Kompleksarvu mõiste
  • 2. Tehted kompleksarvudega
    • Kompleksarvude liitmine ja lahutamine
    • Kompleksarvude korrutamine ja jagamine 
    • Kompleksarvude astendamine
      • 1. Kompleksarvu geomeetriline esitus
      • 2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju
      • Kompleksarvude korrutamine ja jagamine
        • KOMPLEKSARVUDE RAKENDUSI