Kompleksarvud (2)

Kompleksarvud

Kompleksarvu mõiste:

• Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C
  
• Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed
  

a + bi = c + di a = c ja b = d

• Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i.
  
• Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a – bi. Näiteks 7+5i ja -7-5i.
  

Tehted kompleksarvudega:

• (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  

(5 -3i)+(2 + 7i) = (5+2) + (-3+7)i = 7 + 4i

• (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b – d)i
  
  (5-3i)-(2+7i) = (5-2) +(-3-7)i = 3 - 10i
  
  
  
• (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
  

(5-3i)(2+7i) = (5·2 - (-3)·7) + (5·7 +(-3)·2)i = 31 + 29i

• Kompleksarvude jagamisel laiendame jagatavat ja jagajat jagaja kaaskompleksarvuga
  

Kompleksarvu geomeetriline esitus:
Kompleksarve ei ole võimalik kujutada ühel teljel nii nagu reaalarve, kuna omab nii reaal - kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud).
Seega kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt:
Reaaltelg ja (x- telg )
Imaginaartelg (y-telg)
Kompleksarvu moodul :
Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks .
Punktile P vastava kompleksarvu moodul
Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on
Kompleksarvu trigonomeetriline kuju:
Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi.
Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast a ja b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu.
Saame:
Näiteks arv 2+3i tuleb via triginomeetrilisele kujule . Seega leian esmalt mooduli (vt. Ülevalt). Edasi tuleb leida nurk, selleks kasutan teadmist, et . Saan, et tan φ = 1,5.
Sealt edasi leian nurga φ = 56˚ 18`
Nüüd saan avaldada kompleksarvu trigonomeetrilisel kujul: .
Tehted trigonomeetrilisel kujul kompleksarvudega:

• Korrutamine trigonomeetrilisel kujul:
  

Moodulid korrutatakse, argumendid liidetakse.

Näide: 5(cos 50̊ + i sin 50̊ )·6(cos 30̊ + i sin 30̊) = 5·6 (cos(50̊ + 30̊) + i sin(50̊ + 30̊) =
30(cos 80̊ + i sin 80̊)

• Jagamine trigonomeetrilisel kujul:
  

Moodulid jagatakse, argumendid lahutatakse.

Näide: 5(cos 50̊ + i sin 50̊ ):6(cos 30̊ + i sin 30̊ ) = 5:6 (cos(50̊ - 30̊) + i sin(50̊ - 30̊) =
0,83(cos 20̊ + i sin 20̊ )

• Astendamine trigonomeetrilisel kujul:
  

Moodul astendatakse, argumenti korrutatakse astmenäitajaga.
Näide: 5(cos 50̊ + i sin 50̊ )3= 53 (cos(3 ·50̊ ) + i sin(3·50̊ )) = 125(cos 150̊ + i sin 150̊ )
Kompleksarvu eksponentkuju:
Kompleksarvu eksponentkujule viimisel kasutame valemit:
kus siis r on moodul ja
φ saame teisendades valemit.
Näted:
on eksponentkujul
ja on
Nende arvude korrutis on ·=
jagatis aga :=
ja kui astendada arvu =

Ülesanded:

Lahendage võrrandid.

Kirjutage kaks kompleksarvu, mille summa on reaalarv, korrutis on reaalarv.

Lihtsustage
(1+i)-(5+2i)+(4-3i) (3+2i)(4+6.5i) (1+2 i)(2-3 i)
(6-7i)(5+i)(5-i) 2i(4+8i)(1+2i) (5+4i)(-2-i)(5-4i)(-2+i)

Leidke jagatis

Lahendame võrrandi x3-27=0. Teame, et tegurdub (x-3)(x2+3x+9)=0.

Leia kompleksarvu 6i-4 kaaskompleksarv ja vastandkompleksarv.

Kujuta arvud -6+8i ja 5-2i graafiliselt ning teisenda trigonomeetrilisele kujule. Edasi liida need trigonomeetrilisel kujul olevad arvud ja saadud vastus teisenda eksponentkujule ning tõsta ruutu .

Tee tehted:
a)
b)