Lineaaralgebra (2)

i 1  või  i²1 
Ƶ =r(cos+sin) 
Transporeeritudmaatriks: 
 
Maatriksi A transporeeritud  maatriks  AT saadakse kui 
 
Kompleksarv : 
kirjutatakse  maatriksi A read vastavateks veergudeks. 
 

Avaldis  Ƶ x iy,kus x ja y on  reaalarvud  ja i on niinimetatud 
Kordumine: 
n
A 
imaginaarühik. 

Ƶ
βp AT 
 1* Ƶ 2=r1*r2*(cos(1+2) +i sin(1+2))  
 
 
n = βp 
Kaaskompleksarv : 
Jägamine
 
: 
Kaks kompleksarvu Ƶ

Sümmeetriline  maatriks : 
 1 x1 
iy1  ja Ƶ2 x2 iy1, mis 
z1/z2 = (r1/r2)*(cos(1-2) + i sin(1-2)) 
erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest. 
Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, 
 
 
kui AT A. 
Astendamine : 
Kompleksarv võrdub nulliga siis, kui x 0 ja iy 0, kus 
 
Ƶ n  = rn (cos n + sin n) 
 
x –  reaalosa  
 
 
yi – immaginaarosa 
Juurimine : 
 
 
nz= nr (cos (+2kπ)/n+ i sin (+2kπ)/n) 
Komplesarvude  liitmine : 
 
 
 
 Ƶ1 Z2 x1  iy1 x2 iy2 
Euleri  valem: 
 
 
Ƶ = r(cos + isin) = rei 
 
Kompleksarvude lahutamine: 
 
Ƶ
 
 1  Ƶ 2 x1 iy1) x2  iy2 )  
 
Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. 
 
 
 
Kompleksarvude kordamine: 
 
Liitmine: 
Ƶ1 * Ƶ2=( x1 iy2)( x2 iy2) 
 
Vektorite AB ja BC  summaks  nimetatakse  vektorit  AC 
 
 
AC AB BC  
Kompleksarvude jagamine: 
 
 
Ƶ1/ Ƶ2 = ( x1 iy1)/( x2 iy2) ,  eeskiri , alt i ei jääks. 
 
Kordumine: 
 
MAATRIKSID. 
Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori  α korrutiseks  
Kompleksarvude astendamine: 
m×n- maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust 
nimetatakse vektorit cα, 
Ƶ n=(x+iy)n 
koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit 
mis  rahuldab  tingimusi: 
 
 
1)  vektor  cαon paralleelne vektoriga α; 
 
Maatriksi element 
2) kui c ≥0 , siis vektori cαsuund ühtib vektori αsuunaga, c 
 
Arve a ij  maatriksist  nimetatakse maatriksi elementideks. 
0 korral aga on  vektorid  
 
Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks 
cαja αvastassuunalised; 
 
veerunumbrit. 
3) vektori cαpikkus saadakse vektori αpikkuse 
 
 
| α| korrutamisel arvu c 
Geomeetriline  kujut . moodul. 
Maatriks on n-ndat järku ruutmaatriks, kui tema ridade arv 
absoluutväärtusega |c| 
X – reaaltelg 
m võrdub tema veergude arvuga n. 
cα |  α, | cα| =|c|*||α|  
Y – immaginaartelg 
 
 
 
Elemendid   a
, …,
11, a22
 amn asuvad maatriksi A 
Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks 
Iga kompleksarvu Ƶ x iy saab xy-tasandil kujutada 
peadiagonaalil ja elemendid a
, …, a 
1n, a2n-1
m1  asuvad 
teheteks 
punktina Ax; y, mille 
maatriksi A kõrvaldiagonaalil. 
 
koordinaadid on x ja y, ja vastupidi, xy-tasandi iga punkti M 
 
 
x; ysaab vaadelda 
Liitmine: 
 
kompleksarvu Ƶ x iy geomeetrilise kujutisena. 
m × n-  maatriksite  A = (aij) ja B = (bij) summaks 
 
 
nimetatakse m×n- 
 
Tasandit , millel kujutatakse kompleksarve, nimetatakse 
A+B= (cij), kus cij = aij + bij 
 
kompleksmuutuja z tasandiks 
maatriksit kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. 
 
(joonisel on sümbol z ringi sees). Selle tasandi nendele 
  
Aritmeetiline vektor 
punktidele, mis asetsevad x-teljel, vastavad reaalarvud (y 0). 
Skalaarkorrutis : 
n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu 
Punktid, mis asetsevad y-teljel, kujutavad puhtimaginaararve; 
Maatriksi korrutamiseks arvuga c tuleb tema kõik elemendid 
(a1, a2, …, an) , 
sel juhul x 0. 
läbi korrutada selle arvuga. 
võetuna kindlas järjekorras. 
Seepärast nimetatakse x-telge reaalteljeks ja y-telge 
A = (aij) 
 
imaginaarteljeks. 
c*A = (cij), kus cij = c*aij 
Liitmine: 
Ühendades punkti Ax; ykoordinaatide alguspunktiga, saame 
 
Α + β = (a1+ b1, a2+ b2, …, an+ bn) 
vektori OA . Vahel on 
Maatriksite  korrutamine : 
 
A= (α , α
sobiv kompleksarvu Ƶ x iy  geomeetriliseks kujutiseks 
1
2, …, αn) –read 
Kordumine arvuga: 
B= (β , β , … β
lugeda vektorit OA. 
1
2
,  p) –veerud 
Α = (a1, a2, …, an) 
 
A*B = 
cA = (ca1, ca2, …, can) 
Peaväärtus: 
 
α1*β1, α1*β2, …, α1*βp 
arg z =  
Skalaarkorrutis: 
arg z = arg z + 2*kπ 
Α * β = a1 * b1 + a2 * b2 + … + an * bn 
α2*β1, α2*β1, …, α2*βp 
(kus k on täisarv) 
 
 
 
…. 
Kompleksarvu  trigonomeetriline  kuju 
 
x r cos, y r sin
 
 αn*β1, αn*β2, …, αn*βp 
Ƶ x iy r cosir sin
 
 
Ƶ
 
 r cosi sin
 
Avaldist  võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu Ƶ 
Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete 
= x iy trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse 
ning korrutamise vahel on 
kompleksarvu Ƶ  mooduliks  ja suurust  selle kompleksarvu 
järgmised: 
argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: 
1) maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad 
r z| , arg z . 
sellised maatriksid A ja B, et 
Kompleksarvu z ≠0 argument on üheselt määratud kuni 
AB ≠BA; 
arvu 2πtäisarvu kordse 
2) maatriksite korrutamine on  assotsiatiivne , s.t. 
täpsuseni. Seepärast lepitakse sageli kokku valida mingil 
ABCABC, alati, kui vaadeldavad maatriksid on 
kindlal arvtelje poollõigul 
korrutatavad; 
pikkusega 2πnäiteks 0 ≤≤2π. 
3) liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. 
Suurused r ja avalduvad x ja y kaudu  valemitega : 
AB CAB AC, A BC AC BC 
alati, kui antud tehted on teostatavad; 
r=x2+y2. 
4) kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis 
 
 
aABaAB AaB
 
iga aℝ korral. 
 
 
 
Ühikmaatriks: 
 
E = diag(1,1,1,…)  ℝm×n 
 
A*E=E*A=A