n n ) , k ∈ {0, 1, 2,… ,n−1 } KOMPLEKSARVU EKSPONENTKUJU Asendades ex Maclaureni reas oleva muutuja x imaginaararvuga iφ , saab kompleksarvude summa: 1 1 1 1 1 e iφ=1+ iφ+ (iφ)2 + (iφ )3+ (iφ)4 + (iφ)5 +… 1! 2! 3! 4! 5! Teisendades parem pool oleva kompleksarvu algebralisele kujule: 1 2 1 4 1 1 e iφ=(1− φ + φ −…)+i(φ− φ 3+ φ5−…) Euleri valem e iφ=cosφ +isinφ 2! 4! 3! 5! cos φ sin φ Kasutades trigonomeetrilist kuju ja Euleri valemit: z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρ e iφ iφ
(a; b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud arvutusoperatsioon ehk tehe. Def2 Hulka, kus on määratud vähemalt üks arvutusoperatsioon nimetatakse algebraliseks süsteemiks. Kui mistahes a, b korral hulgast M järeldub, et ka tehte tulemus on hulgast M st hulk on kinni. Arvude vallas etendavad tähtsat rolli arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted saame ülekanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga algebralisele süsteemile. Eeldame, et hulgas defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust: a + (b + c) = (a + b) + c. Def3 Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nimetatakse poolrühmaks. Aditiivne poolrühm- hulgas on defineeritud liitmine. a + (b + c) = (a + b) + c Multiplikatiivne poolrühm - hulgas on defineeritud korrutamine. ( a b ) c = a ( b c)
Asendame kompleksarvus a + bi tähed a ja b leitud avaldistega, saame: -4 + 4i = 4 2 [cos (135° + n·360°) + i sin (135° + n·360°)]. a + bi = r cos + ir sin ehk a + bi = r ( cos + i sin ). Näide 4. Esitame trigonomeetrilisel kujul arvu -1 - 3 i. 844. Teisenda antud arv algebralisele kujule. a) 2 (cos 60° + i sin 60°) b) 4 (cos 120° + i sin 120°) Leiame r ja . Saame, et r = (-1)2 + (- 3)2 = 2 ja tan = 3 . c) 6 (cos (-60°) + i sin 60°) d) 8 (cos (-150°) + i sin (-150°)) Seega nurk võib olla esimeses veerandis (60°) või kolmandas veerandis (240°). Et
väärtus 1. Sisendisse x1 lastakse bitijada 10 101 010 Sisendisse x2 lastakse bitijada 10 001 000 Sisendisse x3 lastakse bitijada 11 011 101 Sisendisse x4 lastakse bitijada 10101101 Milline on bitijada multiplekseri väljundis? V: 10101101 Vaata eelmist joonist 5) Milline joonisel kujutatud dekoodri väljunditest on aktiivne (1), kui sisendis x1 on väärtus 0 ja sisendis x2 on väärtus 1 V: B 6) Millisel joonisel on kujutatud sellele (binaar)algebralisele tehtele vastav loogikaahel? V: B 7) Millisel joonisel on kujutatud sellele (binaar)algebralisele tehtele vastav loogikaahel? V: E 8) Joonisel kujutatud prioriteedikoodri sisendisse antakse signaal x1x2x3x4 = 0010. Milline on signaal (f1f2) koodri väljundis? V: 1 9) Millised allpoolnimetatud loogikalülituste kogumid on algebralises mõttes täielikud? V: {NING; VÕI; EI}, {NING-EI}, {EI-EGA} 3.test Järjendloogikaahelad 1) Millistel joonistel on kujutatud D-trigeri loogikaskeem? V: B, E
kolmnurka pole) ■ Kui x2 algväärtus on 0, siis samal põhimõttel tema väärtus väljundis a on 0, väljundis b on 0, väljundis c on 1 ja väljundis d on 1. ■ Väljund, kus nii x1 kui ka x2 omasid väärtust 1, on c, kus seega tuleb ANDtehte vastuseks 1, True ■ Vastus: c f. Millisel joonisel on kujutatud sellele (binaar)algebralisele tehtele vastav loogikaahel? ■ Vastus: d g. Millisel joonisel on kujutatud sellele (binaar)algebralisele tehtele vastav loogikaahel? ■ Vastus: a h. Joonisel kujutatud prioriteedikoodri sisendisse antakse signaal xx
mit z1 z1 z2 z1 z2 = = z2 z2 z2 |z2 |2 T~ oestus. T~oepoolest, kasutades maatrikskorrutise omadusi, saame z1 1 z z1 z2 = z1 = z1 2 = z2 z2 |z2 | z2 z2 V. Kompleksarvud 11 8.3 Jagatis algebralisel kujul N¨ aitame, kuidas jagatis algebralisele kujule teisendada. Kasutades maatrikstehete omadusi, arvutame z1 a1 + b1 i (a1 + b1 i)(a2 - b2 i) = = z2 a2 + b2 i (a2 + b2 i)(a2 - b2 i) a1 a2 - a1 b2 i + b1 ia2 - b1 ib2 i = a22 - b22 i2 a1 a2 - a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 = a22 + b22
Diferentsiaalvõrrandite teisendamisel operaatorkujule (Laplace'i teisendus) kasutatakse algebralist suurust s, mida nimetatakse Laplace'i operaatoriks. Sümbolkujul 2 3 d d d s = , s 2 = , s 3 = jne. dt dt dt See on moodus, kuidas teisendada diferentsiaalvõrrand algebralisele kujule, et leida selle lahendid. Jõupooljuhtmuundureid kirjeldatakse sageli esimese astme diferentsiaalvõrrandiga nagu lihtsaid lineaarahelaid, mille ülekandefunktsioon on järgmine: kc Wc (s ) = , (4.1) Tc s + 1 kus kc on ülekandetegur või võimendustegur, mis sõltub muunduri talitlusest
annaabi.ee 
