Kordamine kompleksarv (0)

Teist ja kolmandat j¨
arku  determinandid .  Crameri
valemid.
Kompleksarvud
Tartu  2016
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Sarruse (kolmnurga) reegel 3. j¨
arku determinantide
arvutamiseks
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Ulesanne
Arvutage determinandid
2
4
2
4
0
1
−1 3
3
1
3
−2
5
−6
4
1
0
2
2
5
6
−4 −3
4
1
2
5
1
3
2
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Eeldused:
1
LVS-i tundmatute arv = v˜
orrandite arv
2
∆ = 0, kus ∆ on determinant,
mis koosneb LVS-i tundmatute kordajatest.
∆x
∆y
∆z
x =
, y =
, z =
∆
∆
∆
Ulesanne
Lahendage LVS Crameri valemite abil

2x + y + z = 3

x + y + z = 6


1
x + 2y + z = 0
2
−x + y + z = 0

x + y + 2z = 9

x − y + z = 2
LVS lahendamine Crameri valemite abil
Gabriel  Cramer
(1704-1752)
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
∆x
∆y
∆z
x =
, y =
, z =
∆
∆
∆
Ulesanne
Lahendage LVS Crameri valemite abil

2x + y + z = 3

x + y + z = 6


1
x + 2y + z = 0
2
−x + y + z = 0

x + y + 2z = 9

x − y + z = 2
LVS lahendamine Crameri valemite abil
Eeldused:
1
LVS-i tundmatute arv = v˜
orrandite arv
2
∆ = 0, kus ∆ on determinant,
Gabriel Cramer
(1704-1752)
mis koosneb LVS-i tundmatute kordajatest.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Ulesanne
Lahendage LVS Crameri valemite abil

2x + y + z = 3

x + y + z = 6


1
x + 2y + z = 0
2
−x + y + z = 0

x + y + 2z = 9

x − y + z = 2
LVS lahendamine Crameri valemite abil
Eeldused:
1
LVS-i tundmatute arv = v˜
orrandite arv
2
∆ = 0, kus ∆ on determinant,
Gabriel Cramer
(1704-1752)
mis koosneb LVS-i tundmatute kordajatest.
∆x
∆y
∆z
x =
, y =
, z =
∆
∆
∆
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
LVS lahendamine Crameri valemite abil
Eeldused:
1
LVS-i tundmatute arv = v˜
orrandite arv
2
∆ = 0, kus ∆ on determinant,
Gabriel Cramer
(1704-1752)
mis koosneb LVS-i tundmatute kordajatest.
∆x
∆y
∆z
x =
, y =
, z =
∆
∆
∆
Ulesanne
Lahendage LVS Crameri valemite abil

2x + y + z = 3

x + y + z = 6


1
x + 2y + z = 0
2
−x + y + z = 0

x + y + 2z = 9

x − y + z = 2
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . .
imaginaar ¨
uhik:
i2 = −1
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . .
imaginaar¨
uhik:
i2 = −1
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂ Z ⊂
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
R ⊂ ? ⊂ ?? . . .
imaginaar¨
uhik:
i2 = −1
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
? ⊂ ?? . . .
imaginaar¨
uhik:
i2 = −1
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
?? . . .
imaginaar¨
uhik:
i2 = −1
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
imaginaar¨
uhik:
i2 = −1
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . .
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . .
imaginaar¨
uhik:
i2 = −1
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . .
imaginaar¨
uhik:
i2 = −1
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . .
imaginaar¨
uhik:
i2 = −1
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Kompleksarvu m˜
oiste
Arvhulkade vahel valitseb seos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . .
imaginaar¨
uhik:
i2 = −1
Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨uhik,
nimetatakse kompleksarvuks.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨
ahistatakse
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨
ahistatakse
Im(z) = b.
K˜
oigi kompleksarvude hulk t¨
ahistatakse s¨
umboliga C.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Kompleksarvude ajaloost
Itaalia matemaatikud Gerolamo Cardano (1501 - 1576) ja Niccolo
Fontana Tartaglia (1499/1500 - 1557) uurisid kuupv˜
orrandi
ax3 + bx + c = 0 lahendamist.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
√
Sveitsi matemaatik Leonhard Euler (1707-1803) v˜
ottis
−1
t¨
ahistamiseks kasutusele t¨
ahe i.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Kompleksarvude kasutamisest
Kompleksarvud lubavad vaadata matemaatilisi v˜
orrandeid, mis
ei ole lahenduvad reaalarvude hulgal.
Kompleksarve kasutatakse sageli praktikas info salvestamiseks
kam˜
o˜
otmeliste objektide kohta.
Kompleksarvud on v¨
aga t˜
ohus vahend kirjeldamiseks
v˜
onkumisi.
Fraktalid.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Fraktaalsed  struktuurid
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Kompleksarvu geomeetriline kuju
K˜
oige lihtsam on kompleksarvu ette kujutada geomeetriliselt. On
antud reaaltelg ja sellega risti olev imaginaartelg ning iga
kompleksarvu jaoks peame kasutama parameetrit a ja b (punkti z
koordinaati (a, b)), kus a on v˜
oetud reaalteljelt ja b imaginaarteljelt.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Kompleksarvu algebraline kuju
Definitsioon
Kompleksarvu z esitusviisi z = a + bi nimetatakse kompleksarvu z
algebraliseks kujuks.
Definitsioon
Kompleksarvu z = a + bi mooduliks nimetatakse arvu |z|, mis
leitakse j¨
argmise seosega:
|z| =
a2 + b2.
Moodul |z| ≥ 0 on reaalarv ja see kujutab endast komplekstasandil
asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Kaaskompleksarv
Definitsioon
Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarvuks nimetatakse
kompleksarvu
z = a − bi.
Kaaskompleksarv ¯
z asub arvuga z nullpunktist v˜
ordsel kaugusel
ning z ja ¯
z on s¨
ummeetrilised reaaltelje suhtes.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
1
z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d;
2
z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
3
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
4
z1
z1 · ¯
z2
a + bi
ac + bd
bc − ad
i.
z2
|z2|2
c + di
c2 + d2
c2 + d2
Kompleksarvude  liitmine  on analoogiline vektorite liitmisega.
Korrutamine algebralisel kujul on tavaline algebraliste avaldiste
korrutamine. Jagamine defineeritakse korrutamise kaudu.
Tehted kompleksarvudega
Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis
nende v˜
ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse
j¨
argmiselt:
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
2
z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
3
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
4
z1
z1 · ¯
z2
a + bi
ac + bd
bc − ad
i.
z2
|z2|2
c + di
c2 + d2
c2 + d2
Kompleksarvude liitmine on analoogiline vektorite liitmisega.
Korrutamine algebralisel kujul on tavaline algebraliste avaldiste
korrutamine. Jagamine defineeritakse korrutamise kaudu.
Tehted kompleksarvudega
Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis
nende v˜
ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse
j¨
argmiselt:
1
z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d;
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
3
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
4
z1
z1 · ¯
z2
a + bi
ac + bd
bc − ad
i.
z2
|z2|2
c + di
c2 + d2
c2 + d2
Kompleksarvude liitmine on analoogiline vektorite liitmisega.
Korrutamine algebralisel kujul on tavaline algebraliste avaldiste
korrutamine. Jagamine defineeritakse korrutamise kaudu.
Tehted kompleksarvudega
Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis
nende v˜
ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse
j¨
argmiselt:
1
z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d;
2
z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
4
z1
z1 · ¯
z2
a + bi
ac + bd
bc − ad
i.
z2
|z2|2
c + di
c2 + d2
c2 + d2
Kompleksarvude liitmine on analoogiline vektorite liitmisega.
Korrutamine algebralisel kujul on tavaline algebraliste avaldiste
korrutamine. Jagamine defineeritakse korrutamise kaudu.
Tehted kompleksarvudega
Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis
nende v˜
ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse
j¨
argmiselt:
1
z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d;
2
z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
3
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Kompleksarvude liitmine on analoogiline vektorite liitmisega.
Korrutamine algebralisel kujul on tavaline algebraliste avaldiste
korrutamine. Jagamine defineeritakse korrutamise kaudu.
Tehted kompleksarvudega
Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis
nende v˜
ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse
j¨
argmiselt:
1
z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d;
2
z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
3
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
4
z1
z1 · ¯
z2
a + bi
ac + bd
bc − ad
i.
z2
|z2|2
c + di
c2 + d2
c2 + d2
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Tehted kompleksarvudega
Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis
nende v˜
ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse
j¨
argmiselt:
1
z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d;
2
z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
3
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
4
z1
z1 · ¯
z2
a + bi
ac + bd
bc − ad
i.
z2
|z2|2
c + di
c2 + d2
c2 + d2
Kompleksarvude liitmine on analoogiline vektorite liitmisega.
Korrutamine algebralisel kujul on tavaline algebraliste avaldiste
korrutamine. Jagamine defineeritakse korrutamise kaudu.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Ulesanne
Leida kompleksarvude summa, vahe, korrutis, jagatis, moodulid ja
kaaskompleksid:
1
z1 = 3, z2 = −4i
2
u1 = 2 − 5i, u2 = 3 + i
3
w1 = 1 + i, w2 = −3 + 2i
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Siis siinuse ja koosinuse seostest t¨
aisnurkses kolmnurgas saame
b = r sin ϕ,
a = r cos ϕ,
ning
z = a + bi = r cos ϕ + ir sin ϕ,
millest saame kompleksarvu trigonomeetriline kuju.
Kompleksarvu trigonomeetriline kuju
−→
T¨
ahistame kohavektori OA pikkuse |z| = |OA| s¨
umboliga r ning
−→
olgu ϕ vektori OA ja x-telje positiivse suuna vahel.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Kompleksarvu trigonomeetriline kuju
−→
T¨
ahistame kohavektori OA pikkuse |z| = |OA| s¨
umboliga r ning
−→
olgu ϕ vektori OA ja x-telje positiivse suuna vahel.
Siis siinuse ja koosinuse seostest t¨
aisnurkses kolmnurgas saame
b = r sin ϕ,
a = r cos ϕ,
ning
z = a + bi = r cos ϕ + ir sin ϕ,
millest saame kompleksarvu trigonomeetriline kuju.
Teist ja kolmandat j¨
arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud
Definitsioon
Arv r on kompleksarvu z moodul |z|. Arvu ϕ nimetatakse
kompleksarvu z argumendiks ja t¨
ahistatakse ϕ = arg z.
Kompleksarvu z = a + bi argumendi ϕ leidmisel tuleb j¨
algida a ja b
m¨
arki:
olgu θ := arctan | b | ja vastavalt veeranditele
a
ϕ = θ, kui a > 0, b > 0;
ϕ = π − θ, kui a  0.
ϕ = π + θ, kui a  0;
ϕ = π − θ, kui a  0.
ϕ = π + θ, kui a  0;
ϕ = π − θ, kui a  0.
ϕ = π + θ, kui a