docstxt/135763010998.txt
1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga 3. on proportsionaalne mõne teise vastava rea või veeruga 4
nulliga. · Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant 5. Determinandi definitsioon võrdub nulliga. Determinant on lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari. Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|. Näide: 7. Maatriksi arvuga korrutamise reegel · Teist järku ruutmaatriksi Maatriksi A = (aij) ja arvu (või korpuse elemendi) k korrutis kA on maatriks C =
Kui substitutsioon j1 , j2 , ... , jn on saadud substitutsioonist i1 , i2 , ... , in kahe arvu (näiteks ik ja il , k < l ) asukoha vahetamisel, siis ( j1 , j2 , ... , jn ) ( i1 , i2 , ... , in ) ( -1) = - ( -1) . (4) 3.Determinantide 10 omadust. Vaatleme ruutmaatriksi A = ( aij ) Rn× n determinanti a11 a12 K a1n a a22 K a2 n D = det A = A = 21 . M M O M
kahe liidetava summat, siis on see determinant esitatav kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vastav rida (veerg) esimestest liidetavatest ja teises determinandis teistest liidetavatest, ülejäänud read (veerud) jäävad aga endisteks. LAUSE 6. Determinant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg). Teisisõnu, elementaarteisendused ei muuda determinanti. 12 DETERMINANTIDE ARVUTAMINE 1) Iga determinandi arvutamisel saab kasutada determinantide eelpool sõnastatud OMADUSI. Selleks võib vastata järgmistele küsimustele või teha vajalikud arvutused. a) Kas determinant sisaldab NULLIDEST KOOSNEVAT RIDA (VEERGU)? Vt järeldust 2. b) Kas determinant sisaldab VÕRDSEID RIDU (VEERGE)? Vt lauset 4.
kahe liidetava summat, siis on see determinant esitatav kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vastav rida (veerg) esimestest liidetavatest ja teises determinandis teistest liidetavatest, ülejäänud read (veerud) jäävad aga endisteks. LAUSE 6. Determinant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg). Teisisõnu, elementaarteisendused ei muuda determinanti. 12 DETERMINANTIDE ARVUTAMINE 1) Iga determinandi arvutamisel saab kasutada determinantide eelpool sõnastatud OMADUSI. Selleks võib vastata järgmistele küsimustele või teha vajalikud arvutused. a) Kas determinant sisaldab NULLIDEST KOOSNEVAT RIDA (VEERGU)? Vt järeldust 2. b) Kas determinant sisaldab VÕRDSEID RIDU (VEERGE)? Vt lauset 4.
Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV (skalaar), mis on selle maatriksi poolt üheselt määratud. Determinandi abiga saab määrata ridade lineaarset sõltumatust. Determinant aitab leida pöördmaatriksit. N-järku determinanti arvutatakse Laplace'i arendusega: n A = a i j C i j .Determinantide põhiomadused: |A|=|A T| . Vahetades 2 rida [veergu] j =1 omavahel muutub, muutub märk det-i ees: a b c d = ad - bc , = cb - ad = -( ad -bc ) . Korrutades det-i mingit rida c d a b
· D 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist. · Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend, mis avaldub valemiga xn = Dn/D Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele. D = 0, siis selleks, et l.v.s oleks lahend ka sellisel juhul, peavad kehtima tingimused D 1 = D2 = ...=Dn, sellisel juhul on l.v.s rohkem kui üks lahend. Determinanti on võimalik arendada tema suvalise rea/veeru järgi. Kompleks arvutus i2 = -1 = a + bi a-kompleksarvu reaalosa bi imaginaarosa b imaginaarosa kordaja i imaginaarühik
Omadus 3. Determinandi rea (või veeru) korrutamisel (jagamisel) mingi arvuga korrutub (jagub) kogu determinant selle arvuga. Selle võib sõnastada ka teisel kujul Omadus 3'. Determinandi rea (või veeru) elementide ühise teguri saab tuua determinandi märgi ette. Omadus 4. Kui determinandis on kaks rida (või veergu) omavahel võrdsed, siis determinant võrdub nulliga. Omadus 5. Kui determinandis mingi rea (või veeru) iga element kujutab kahe liidetava summat, siis saab determinanti esitada kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vaadeldav rida (või veerg) esimestest liidetavatest ja teises determinandis teistest liidetavatest; ülejäänud read (või veerud) jäävad samadeks. Omadus 6. Determinant ei muutu, kui tema ühele reale (või veerule) liita mistahe teguriga korrutatud teine rida (või veerg). Seda omadust kasutatakse tihti determinandi arvutamisel. Omadus 7
Näide 3: Olgu vaja lahendada lineaarvõrrandisüsteem a2 b2 a2 b2 ¦ a1 x b1 y c1 Murru nimetajas olev determinant koosneb tundmatute ees olevatest § ¨a2 x b2 y c2 , kordajatest. Seda determinanti nimetatakse võrrandisüsteemi determinandiks kus a1, b1, c1, a2, b2 ja c2 on antud arvud ja x ning y on tundmatud. ja tähistatakse tähega D. Murru lugejas olevate determinantide elemendid on aga saadud süsteemi determinandist vastava tundmatu kordajate asendamisel a 2 ab b 2 ab u v u v u 2 v 2
teoreemi 2.1 kohaselt vastavalt 24, 120 ja 720 liidetavat. Muuseas teoreemi 2.3 kohaselt on valemis (3.1) pooled liidetavad plussm¨argiga ja pooled mii- nusm¨argiga. J¨argnevas uurime determinantide omadusi. 1 Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on v~ ordsed, s.o. X M at(n, n) = |X| = |X |. T~oestus. Valemi (1.8) kohaselt transponeeritud maatriksi X = (yij ) ja maatriksi X = (xij ) u ¨ldelementide korral yij = xji . Determinanti defineeriva valemi (3.1) kohaselt n¨ uu¨d saame |X | = (-1)I(1 ,2 ,...,n ) y11 y22 . . . ynn = P (1,2,...,n) 27 = (-1)I(1 ,2 ,...,n ) x1 1 x2 2 . . . xn n . P (1,2,...,n) Arvestades reaalarvude korrutamise kommutatiivsust, paigutame viimase
teoreemi 2.1 kohaselt vastavalt 24, 120 ja 720 liidetavat. Muuseas teoreemi 2.3 kohaselt on valemis (3.1) pooled liidetavad plussm¨argiga ja pooled mii- nusm¨argiga. J¨argnevas uurime determinantide omadusi. 1◦ Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on v˜ ordsed, s.o. X ∈ M at(n, n) =⇒ |X| = |X |. T˜oestus. Valemi (1.8) kohaselt transponeeritud maatriksi X = (yij ) ja maatriksi X = (xij ) u ¨ldelementide korral yij = xji . Determinanti defineeriva valemi (3.1) kohaselt n¨ uu¨d saame |X | = (−1)I(α1 ,α2 ,...,αn ) y1α1 y2α2 . . . ynαn = P (1,2,...,n) 27 = (−1)I(α1 ,α2 ,...,αn ) xα1 1 xα2 2 . . . xαn n . P (1,2,...,n) Arvestades reaalarvude korrutamise kommutatiivsust, paigutame viimase
omaduse 3 põhjal saadud determinant võrdub -ga. Et aga read indeksitega ja on , 2 0, 0. võrdsed, siis nende ridade ümbervahetamisel determinant ei muutu, s.t. Järeldus. Kui determinandis kaks rida (veergu) on proportsionaalsed, siis determinant võrdub nulliga. Tõestus. Kui kaks rida on proportsionaalsed, siis üke neist võrdub teine korda konstant. Omaduse 2 kohaselt saame viia seda konstandi determinanti ette. Siis maatriksi read on võrdsed, seega omaduse 4 kohaselt determinant võrdub 0. Omadus 5. Olgu determinandi mingi rea (veeru) element kahe liidetava summa. Siis avaldub determinant kahe determinandi summana. Esimeses determinandis on vaadeldavas reas (veerus) esimesed liidetavad ja teise determinandi vaadeldavas reas (veerus) on teised liidetavad. Ülejäänud read (veerud) on endised. Tõestus. Determinandi definitsiooni põhjal Omadus 6
eksisteerimise eeldust võib nimetada tegurite järkude kooskõla tingimuseks. Seejuures on saadud maatriks C, kus on maatriksi A ridade arv ja maatriksi B veergude arv. ● transponeerimine ja nende omadused 5 1. Kui A on sümmeetriline, siis A = AT. 2. (A + B)T=AT + BT. 3. (AB)T = BTAT. Maatriksi elemendi täiendusmiinor Kui maatriksist A ära jätta i-s rida ja j-s veerg, siis saadud (n − 1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij täiendusmiinoriks ja tähistatakse Mij. Maatriksi elemendi algebraline täiend Arvu (−1)i+j Mij nimetatakse elemendi aij algebraliseks täiendiks (alamdeterminandiks). Determinandi arendus rea või veeru järgi Determinandi omadused 1. Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. |A| = |AT|. 2. Maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi. 3
korral W(x0)=0.Järeldus2:Lineaarse hom DV(1h) lahendite y1,y2,...,yn korral on järgmised tingimused samaväärsed:1)y1,y2,...,yn on lineaarselt sõltumatud vahemikus (a;b); 2)W(x)≠0 Ɐxє(a;b); 3) Ǝx 0є(a;b),mille korral W(x0)≠0.Järeldus3:Lineaarse hom DV (1h) lahendite y1,y2,...,yn korral on kas W(x)=0 Ɐxє(a;b) korral või W(x)≠0 kõigi xє (a;b).Wronski determinant:olgu yi=yi(x) (i=1,2,...,n) vahemikus (a;b) määratud ja n-1 korda pidevalt diferentseeruvad funktsioonid. Determinanti W(x)=y1(x) y2(x) ... yn(x); y'1(x) y'2(x) ... y'n(x);...;y1(n-1)(x) y2(n-1)(x) ... yn(n-1)(x); nim fn-de y1(x),y2(x),...,yn(x) WD punktis x.Nt.Vaatame fn-e y1=1,y2=sin2x,y3=cos2x. Moodustame WD W(x)=1 sin2x cos2x;0 sin2x -sin2x;0 2cos2x -2cos2x =-2sin 2xcos2x+2sin2xcos2x=0 Lahendite fundamentaalsüsteem . Lineaarse DV üldlahend Ly=0 LFS nim mistahes n lin. Sõltumatut lahendit y1(x),...,yn(x). Kui kordajad p0(x),...,pn(x) on pidevad fun vahemikus (a,b) siis leidub võrrandi Ly=0 jaoks LFS
elemendid nullid, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E: 3. Esimest, teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Maatriksi elemendi miinor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks nimetatakse arvu Aij = (-1) i+j Mij. Analoogiliselt arendusega (5.1) saab kolmandat järku determinanti arendada mis tahes rea või veeru järgi, kusjuures kõik arendused annavad determinandi väärtuseks sama tulemuse. Arendus rea järgi Arendus veergu järgi Mulle tundub, et det teooria põhivalem on 5. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu. Pöördmaatriksi ja regulaarsuse seos. Pöördmaatriksi omadused
1) on võimalik vaid nulliliste kordajatega. Kahe funktsiooni korral saame põhivõrduseks (14.1)' Kui ja on lineaarselt sõltuvad, siis peab üks kordajatest olema nullist erinev. Olgu siis leiame, et (14.2) Või Seega kui kaks funktsiooni on lineaarselt sõltuvad, siis nad on võrdelised või nende suhe on konstantne. Märkus: Kui süsteemis üks funktsioon on nullfunktsioon, siis see süsteem on lineaarselt sõltuv. Def 14.2 kahe funktsiooni Wronski determinandiks ehk Vronskiaaniks nim determinanti : (14.3) n-funktsiooni Vronskiaan on (14.3)' Teoreem 14.1 Kahe funktsiooni Wronski determinant on null, siis ja ainult siis kui need funktsioonid on lineaarselt sõltuvad. Tõestus 14.1 Piisavus ja lineaarsest sõltuvusest . Kui ja on lineaarselt sõltuvad, siis Seega ja Terviklikkus: ja lineaarselt sõltuvad Eeldame, et ( kui on konstantselt null, siis on funktsioonid lineaarselt sõltuvad). Siis Järelikult See tähendabki, et need funktsioonid on lineaarselt sõltuvad. Teoreem 14
veergudeks on maatriksi A vastavad read. 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nim sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nim arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. 4. Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku ruutmaatriksi korral leitakse determinandi väärtus avaldisega: Nt: Kolmandat järku ruutmaatriksi det arvutatakse sedasi:
.., yn korral on järgmised tingimused samaväärsed: 1) y1, y2, ..., yn on lineaarselt sõltumatud vahemikus (a, b); 2) W(x) ≠ 0 Ɐx є (a, b); 3) Ǝx0 є (a, b), mille korral W(x0) ≠ 0. Järeldus 3: Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (1h) lahendite y1, y2, ..., yn korral on kas W(x) = 0 Ɐx є (a, b) korral või W(x) ≠ 0 kõigi x є (a, b). Wronski determinant: Olgu yi = yi(x) (i = 1, 2, ..., n) vahemikus (a,b) määratud ja n-1 korda pidevalt diferentseeruvad funktsioonid. Determinanti y1(x) y2(x) ... yn(x) y'1(x) y'2(x) ... y'n(x) W(x) = ... ... ... ... y1 (x) y2 (x) ... yn(n-1)(x) (n-1) (n-1) nimetatakse funktsioonide y1(x), y2(x), ..., yn(x) Wronksi determinandiks punktis x. Nt. Vaatame funktsioone y1=1, y2=sin2x, y3=cos2x
nende varieeruvus on suhteliselt väike. Nimetatud mõlemat asjaolu mõjtab valitud komponentide arv m. Kui m on suur, st. läheneb sõltumatute muutujate arvule n, siis info kadu on minimaalne ning minimaalne on ka nihke suurus.Kui m on väike, näiteks m=1, siis on info kadu suurim ning ka nihke suurus maksimaalne.Kantregressioon-viimase aja üheks levinumaks analüüsi meetodiks on kantregressioon. Kantregrsiooni korral suurendatakse kunstilkult nn ----------------;süsteemi determinanti----------------;(sõltumatute muutujate kovariatsiooni maatriksi determinanti) st. suurentatakse võrrandite juhuslike liidetavate nimetajat. Selle tulemusena väheneb regressioonikordajate varieeruvus ning suureneb nende stabiilsus. Kuid teiselt poolt tekitatakse regressioonikordajate nihe. Kantregressiooni korral on tegemist tetaud mõttes subjektiivsuse analüüsimeetodiga. Kokkuvõtvalt võib märkida, et multikollineaarsuse olemasolu
Mistahes ruutmaatriksite X ja Y korral (XY) T=YTXT Maatriksite korrutamine on mittekommutatiivne, st AB ≠ BA 48.maatriksi transponeerimine-transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel tähis AT 49.Maatriksi elemendi täiendusmiinor- tähis Mij . Kui maatriksist ära jätta i-s rida ja j-s veerd, siis saadud (n-1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij täiendusmiinoriks. 50.maatriksi elemendi algebraline täiend- Arvu (−1)i+ j M ij nimetatake elemendi aij algebralieks täiendiks 51.Determinandi arendus rea või veeru järgi- determinantide teooria põhivalem väidab, et maatriksi A determinant on võrdne summaga n +a ¿ A ¿ =∑ aik A ik | A|=ai 1 A i 1+ ai 2 Ai 2 +⋯
saavutada kogusüsteemile sobivad omadused. See on süsteemiteooria ja -tehnika olulisematest tulemustest. See kinnitab ka printsiipi: keerukas süsteemis on võimalikud omadused, mida lihtsamates ei õnnestu realiseerida. Kui väljendada tagasisideühenduse eripära olekugraafidele omase tehnoloogia kaudu võime öelda, et tagasisideühendus loob süsteemis täiendavaid suletud tuure, mis aga muudavad süsteemi determinanti ja sellega ka omaväärtusi. 7. Lineaarse statsionaarse diskreetaja süsteemi sisend-väljund mudelid (ehk ülekandemudelid). Diskreetne ülekandefunktsioon- Ülekandefunktsioon on lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik. See määratakse väljund-ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Diskreetaja süsteemides kasutatakse z-teisendust.
elementi maatriksis ei ole , võib selle sinna teisendada kasutades omadusi 4 ja 6); 19. Teisendada omaduste 4 ja 6 abil juhtrea või -veeru kõik elemendid peale juhtelemendi nullideks; 20. Arendada determinant kasutades omadust 10 (determinandi arendusteoreem); 21. Kui arendamisel tekib teist või kolmandat järku maatriksi determinant, siis võib selle välja arvutada mittearendadaes determinanti, suuremat järku maatriksi determinandi arvutamisel korratakse algoritmi. Tehted, mida maatriksiga sooritatakse, kirjutatakse determinandi juurde (kui teisendatakse ridasi, siis tavaliselt kirjutatakse determinandi vastavas reas, või ridades; kui teisendadakse veergude järgi, siis kirjutatakse determinandi veeru alla). -2 3 4 -5 0 4 2 -3
6); 3. Teisendada omaduste 4 ja 6 abil juhtrea või -veeru kõik elemendid peale juhtelemendi nullideks; 4. Arendada determinant kasutades omadust 10 (determinandi arendusteoreem); 5. Kui arendamisel tekib teist või kolmandat järku maatriksi determinant, siis võib selle välja arvutada mittearendadaes determinanti, suuremat järku maatriksi determinandi arvutamisel korratakse algoritmi. Tehted, mida maatriksiga sooritatakse, kirjutatakse determinandi juurde (kui teisendatakse ridasi, siis tavaliselt kirjutatakse determinandi vastavas reas, või ridades; kui teisendadakse veergude järgi, siis kirjutatakse determinandi veeru alla). -2 3 4 -5
6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV
6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV
· Võrrandi pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga Võõrlahenidid lahendid, mis ei ole esialgse võrrandi lahenditeks 3.3 Võrrandisüsteemid Saab lahendada asendus-, liitmis- või graafilise võttega 3.4.1 Kaherealine determinant. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine kaheralise determinandi abil. Avaldist kujul ad-bc nimetatakse kaherealiseks determinandiks ning kirjutatakse tabeliga, milles on kaks rida ja kaks veergu. Nimetajas olevat determinanti nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi determinandiks. 3.4.2 Kolmerealine determinant Kolmerealiseks nimetatakse avaldist a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c2, mida esitatakse kolmest reast ja kolmest veerust koosneva tabelina. Välja arvutamiseks saab kasutada Sarrusi reeglit. 3.4.3 Determinantide omadused · Determinandi väärtus ei muutu, kui determinandi read kirjutada veergudena (järjekorda muutmata).
See on süsteemiteooria ja -tehnika olulisematest tulemustest. See kinnitab ka printsiipi: keerukas süsteemis on võimalikud omadused, mida lihtsamates ei õnnestu realiseerida. Kui väljendada tagasisideühenduse eripära olekugraafidele omase tehnoloogia kaudu võime öelda, et tagasisideühendus loob süsteemis täiendavaid suletud tuure, mis aga muudavad süsteemi determinanti ja sellega ka omaväärtusi. 7.1Lineaarse statsionaarse diskreetaja süsteemi sisend-väljund mudelid (ehk ülekandemudelid). Ülekandefunktsioon on lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik. See määratakse väljund-ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Diskreetaja süsteemides kasutatakse z-teisendust. 7.2 Diskreetne ülekandefunktsioon. Vaata eelmist punkti. 7.2 Ülekandefunktsiooni realiseeritavus.
..,m; j=1,...,n; k=1,...q). A(aij)*B(bjk) = (m*q ma.) C(cik), kus cik = n j=1 aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + ... ainbnk. Omadused: A(BC)=(AB)C; A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; kui A=B, siis CA=CB; kui A=B, siis AC=BC;k(AB)=(kA)B=A(kB). 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Determinant-lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari. Determinandi järk tähistab determinandi môôtmeid (read = veerud). Tähistused: Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|. Miinor rittaarendamise meetodit kasutades leitavad determinandid (alamdeterminandi osa) Alamdeterminant miinor, koos nende positsiooni kirjeldavate kordajatega algdeterminandis 4. Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku determinandi arvutuseeskiri: peadiagonaali elementide ja teise diagonaali elementide korrutiste vahe. Kolmandat järku determinandi arvutuseeskiri: Sarruse reegli järgi. 5
Kui tasandil on antud 2 lineaarselt sõltumatut vektorit, siis iga tasandi-vektori saab avaldada nende lineaarse kombinatsioonina. 7. Determinandi mõiste ja põhiomadused. Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV (skalaar), mis on selle maatriksi poolt üheselt määratud. Determinandi abiga saab määrata ridade lineaarset sõltumatust. Determinant aitab leida n pöördmaatriksit. N-järku determinanti arvutatakse Laplace'i arendusega: A = ai j C i j . j =1 Determinantide põhiomadused: |A|=|AT| . Vahetades 2 rida [veergu] omavahel muutub, muutub märk a b c d det-i ees: = ad - bc , = cb - ad = -(ad -bc) . Korrutades det-i mingit rida c d a b [veergu] arvuga k, muutub det-i väärtus k korda
Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. determinandi järk ruutmaatriksi A järk Tähistus detA või |A| determinandi elemendi miinor tekib siis, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus antud element paikneb. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. determinandi elemendi alamdeterminant (miinori algebraline täiend) tekib siis, kui miinoriga korrutada (-1) astmes elemendi indeksite summa. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nimetatakse arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende
. . . . 10 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Kõrgemat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Kontrolltöö teemad 1. Tehted maatriksitega. 2. Maatriksite korrutamine. 3. Determinantide omadused. 4. Determinandi väärtuse arvutamine, arendades determinanti rea või veeru järgi. Eksamiteemad 1. Tehted maatriksitega. 2. Determinandi mõiste ja omadused. 3. Determinandi elemendile vastava miinori ja alamdeterminandi mõisted. 4. Determinandi arendamine rea või veeru järgi. PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID 1.1 Maatriksi mõiste Maatriksi A vastandmaatrik-
vähem infot ja edasine analüüs toimub esimeste e. peamiste komponentide baasil. Komponentide arv m. Kui m on suur, st läheneb sõltumatute muutujate arvule n, siis info kadu on minimaalne ning minimaalne on ka nihke suurus. Kui m on väike, siis on info kadu suurim ning ka nihke suurus max kuid reg.kor. varieeruvus on min. b)Kantreg. korral suurendatakse kunstlikult sõltumatute muutujate kovariatsiooni maatriksi determinanti, mille tulemusena väheneb reg.kor. varieeruvus ning suureneb nende stabiilsus, kuid tekitatakse reg.kor. nihe. Põhiprobleemiks on otsustada, kui palju suurendada kovariatsiooni maatriksi peadiagonaali- milline peab olema kantregressiooni parameeter k. Kuna seda otsustab anal. teostaja on tegemist subjektiivse anal.meetodiga. K soovitatav vahemik 1,1... 1 ,2. c) "Bootstrap" meetod on universaalne meetod nii statistiliste hinnangute konstrueerimiseks
aritmeetilise ruumiga Kn. V <-> Kn; <-> (a1; ...; an)B = A; <-> (b1; ...; bn)B; + <-> A + B; c <-> cA 20. Miinori defnitsioon. Maatriksi astaku defnitsioon. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Astaku leidmine. Valime maatriksist A välja k rida reanumbritega i1, i2, ..., ik (i1 < i2 < ... < ik) ja k veergu veerunumbritega j1, j2, ..., jk (j1 < j2 < ... < jk). k <= m,n. Moodustame väljavalitud k rea ja veeru ühistest elementidest k-ndat järku determinandi. Saadud determinanti nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema kõrgeimat järku nullist erineva miinori järku; tähis: r(A) = rank(A) Maatriksi ridade elementaarteisendused (veergude puhul analoogilised): 1. mingile reale skalaarikordse mingi teise rea juurde liitmine 2. mingi rea korrutamine nullist erineva skalaariga (3. kahe rea omavaheline vahetamine) Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisendustega, siis r(A) = r(B)
korrutub sama arvuga 5) Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga. 6)Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga. 7) Kolmnurksete maatriksite X1 ,X2 ,X3 ja X4 korral |X1|=|X2| = x11x22...xnn |X3|=|X4|= x1nx2,n-1...xn1 MIINOR: *Determinanti xi1 j1 x i1 j 2 ... xi1 jn x 2 j1 xi 2 j 2 ... xi 2 jn Mm := nimetame maatriksi m-järku miinoriks ... ... ... ... xinj1 xinj 2 ... xinjn *Miinorit xim +1 jm +1 xim +1 jm +2 ... xim +1 jn xim +2 jm +1 xim +2 jm +2 ... xim +2 jn
täiendava osasüsteemi võime saavutada kogusüsteemile sobivad omadused. See on süsteemiteooria ja -tehnika olulisematest tulemustest. See kinnitab ka printsiipi: keerukas süsteemis on võimalikud omadused, mida lihtsamates ei õnnestu realiseerida. Kui väljendada tagasisideühenduse eripära olekugraafidele omase tehnoloogia kaudu võime öelda, et tagasisideühendus loob süsteemis täiendavaid suletud tuure, mis aga muudavad süsteemi determinanti ja sellega ka omaväärtusi. 7. Lineaarse statsionaarse diskreetaja süsteemi sisend-väljund mudelid (ehk ülekandemudelid). Diskreetne ülekandefunktsioon. Ülekandefunktsiooni realiseeritavus. Siirdeprotsessid ja nende arvutamine. Impulss- ja hüppekajad. Hilistumine diskreetaja süsteemides. Lõpliku siirdeajaga diskreetaja süsteemid (ehk finiitsed süsteemid). 1.6 Diskreetne ülekandefunktsioon Ülekandefunktsioon on lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik.
Analoogselt h( y 0 ) on null või f f ei eksisteeri. Kuid g ( x ) = ja h ( y ) = . x y Seega need osatuletised punktis P on nullid või ei eksisteeri. M.O.T.T. 15. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi piisavad tingimused. Vaatleme funktsiooni z = f ( x, y ) Def. 15.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) Hesse determinandiks nimetatakse selle teist järku osatuletistest moodustatud determinanti. 2 f 2 f 2 x 2 xy f f f (15.1) 2 2 2 H ( x, y) = 2 = - f 2 f x 2 y 2 xy xy y 2 Teoreem 15.1. (Ekstreemumi piisavad tingimused) Olgu punkt P( x 0 , y 0 ) funktsiooni z = f ( x, y ) kriitiline punkt, milles z ( x0 , y 0 ) = z ( x 0 , y 0 ) = 0 (15.2) x y Sel juhul:
osasüsteemi võime saavutada kogusüsteemile sobivad omadused. See on süsteemiteooria ja -tehnika olulisematest tulemustest. See kinnitab ka printsiipi: keerukas süsteemis on võimalikud omadused, mida lihtsamates ei õnnestu realiseerida. Kui väljendada tagasisideühenduse eripära olekugraafidele omase tehnoloogia kaudu võime öelda, et tagasisideühendus loob süsteemis täiendavaid suletud tuure, mis aga muudavad süsteemi determinanti ja sellega ka omaväärtusi. Ülekandefunktsioon on täielikult määratud kui teame kõiki poolusi, nulle ning ühte arvtegurit. Kuidas muutub või on võimalik muuta süsteemi stabiilsust erinevate ühendusviiside puhul Selgitage detailselt, vajadusel kasutage elementaarseid näiteid: Järjestikühenduse puhul on stabilsus määratud ühendussüsteemi omaväärtustega. Paralleelühenduse puhul on süsteemi stabiilsuseks vajalik kummagi osasüsteemi stabiilsus
suhtega, kui on IL-4 esmajoones, siis see määrab selle, aks organism reageerib IgG, IgA, IgE tüüpi. Sünteesitakse IgE tüüpi antikehi, need on plasmas, eluiga lühike. Siis nad leiavad rakud nende spetsiifilised fc retseptorid – basofiilid, mis on kudedes mast rakud, sinna jäävad IgE-d kinni ja ootavad allergeeni, nädalad eluiga. Kiire allergilise reakstiooni käivitavad – allergeeni sidumine ristseoseliselt kahele retseptorile, need peaksid siduma sama antigeenset determinanti, põiekestes on bioaktiivsed ained, mis vabanevad siis. Veres kui antigeen seodnub antikehaga ei tohiks midagi juhtuda. IgE –seotud ülitundlikkus (tüüp I) ehk allergia. Ainult imetajatel Allergeenid – multideterminantsed IgE spetiifiliste Fc retseptorite ristsidumine käivatab immuunreaktsiooni Evolutsiooniliselt tekkinud võitluseks parasiitidega Atoopia-IgE reaktsioon mitteparasiitsetele antigeenidele, kala või pähkli suhtes
nimi Jõetagune kuusik). Iisaku omapärane mikrotoponüümika. 4. Kohanimede struktuur. Topoformandid. Kohanimede struktuuris on välja kujunenud 2 jaotust: diakrooniline ja struktuuriline jaotus. Diakroonilist kasutatakse nimeuurimises traditsiooniliselt. Determinant – grammatilises mõttes põhisõna, apellatiivid ehk nimetused, mis tähistavad koha liiki (jõgi, järv, mets, küla). Oma otseses tähenduses olevad apellatiivid on nimetavas käändes. Kui determinanti nimes pole, on see elliptiline (ellips = väljajätt) nimetus, mis on tüüpiliselt asustusnimed, kasutatakse ainult atribuuti. Teoorias on elliptilised nimed olnud alati determinandiga, aga tänapäeval sünnivad kahepalgeliseks, st võivad olla determinandiga või ka mitte. Elliptilisus on tüüpiline asula- ja loodusnimedele, kus võib determinandi ära jätta, ilma et tähendus muutuks. Võib olla ka kokkukirjutus (nt Aruküla). Valedeterminant on näiteks Mõisaküla linnal
Võib eristada Henn Saari kaht omastava tüüpi: Kaunas, Kaunase linn. Kajastab ka nende nimede käändamine kääname neid nimesid nii nagu nad oleksid uued nimetavad käänded. Käändevormid nimeteaduslikus võtmes: kohanimede aluskääne. Meie jaoks vormilt nimetavas käändes. Me kääname nimesid lähtuvalt vormist mitte etümoloogilisest käändevormist. Diakrooniliselt käänamine on teisiti 3 eri käändevormi. Ainsuse nimetavas need, mis sisaldavad determinanti, elliptilises liht ja liitkohanimed. Omastavaline mall levis kõige paremini siis kui hakati talunimesid kasutama. Talunimed valdavalt kõik genitiivsel kujul. Mitmuslik kohanimi. Mitmus võib esineda kahel kujul: kohanime determinant mitmuses (Rohukarid) ka determinandita mitmuslikke vorme. Loodusnimedes mitmuslikke rohkem. Mitmuse tüüp, mida Hurt märkas: setu- ja Kagu-võrumaa külanimed, millel on lisatud mitmuse tunnus q. Nimede mitmuslikkus tuleb välja ka käänates
c=ab sin 33 Seejuures nurk on vähim võimalikust nurgast a ja b vahel. Korrutisvektori c siht on risti tasandiga, kus paiknevad a ja b vektorid. Vektorkorrutise puhul on oluline tegurite järjekord. Kui a ja b on paralleelsed on a × b =0 Korrutisvektori |a × b| pikkus on maksimaalne, kui vektorid a ja b on omavahel risti. Arvutustes võib kasutada ka determinanti Parema käe reegel aitab määrata vektori C suuna. 46. Newtoni seadused, töö ja võimsus pöördliikumise juures. Newtoni I pöördliikumisel. Pöördliikumise põhiseadus Newtoni II. 34 Newtoni III seadus 35 47. Impulssmoment (definitsioon, valem, valemianalüüs).
© Allar Veelmaa 2014 9 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDAMINE DETERMINANTIDE ABIL Lahendame determinantide abil kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi a1x b1y c1z d1 a2 x b2y c2 z d2 a3x b3y c3z d3 Tuleb arvutada neli determinanti D, Dx, Dy ja Dz, kus a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 c1 D = a2 b2 c2 Dx = d2 b2 c2 Dy = a2 d2 c2 ja Dz = a2 b2 c2 ning a3 b3 c3 d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 c3 võrrandisüsteemi lahend on Dx Dy D x= , y= ,z= z D D D
35 Def3. Tabel on Boice/Codd'i normaalkujul kui ta on kolmandal normaalkujul ja tema kõik veerud on täielikult funktsionaalselt sõltuvuses kandidaatvõtmetest (primaar- või alternatiiv-võtmetest) ja tabelis olevate veergude vahel ei leidu muid funktsionaalseid sõltuvusi (nad on vastastiku sõltumatud). Tegevused: Tuleb vaadata iga funktsionaalse sõltuvuse determinanti (vasakut poolt) ja hinnata, kas selles olevaid veerge võib vaadata kui kandidaatvõtmeid. St., et nad peavad olema unikaalsed ja alati määratud. Neljas normaalkuju (4NF) Def. Tabel on neljandal normaalkujul kui ta on Boyce Codd'i normaalkujul ja ta ei sisalda mittetriviaalseid mitmeväärtuselisi sõltuvusi. Tegevused: Tabeli, mis tuleb viia neljandale normaalkujule tunneb ära sellest, et ta sisaldab kolm või rohkem välisvõtit. Nende välisvõtmete kombinatsioon
D ' /0 /'a b &a b 00 a b 000 1 2 2 1 a1 b1 0 2 2 0 a1 x % b1 y ' c1 Lineaarse võrrandsüsteemi a2 x % b2 y ' c2 lahendamiseks determinantide abil leitakse kolm determinanti: D ' /0 /0 ' a1 b2 & a2 b1 ; a1 b1 00 a b 00 võrrandsüsteemi determinant 0 2 2 0 Dx ' /0 /'c b &c b ; 00 c b 000 1 2 2 1 c1 b1
J= x y z . xz yz zz Muutuja z ei s~oltu muutujatest ja , seega z = 0 ja z = 0. Muutujad x ja y ei s~oltu muutujast z, st xz = 0 ja yz = 0. J¨arelikult - sin cos 0 J = cos sin 0 . 0 0 1 Arendades saadud determinanti viimase rea v~oi viimase veeru j¨argi, saame - sin cos J= = - sin2 - cos2 = - . cos sin Arvestades sellega, et t¨ahistab kaugust, on |J| = . T¨ahistagu V piirkonnale V vastavat piirkonda silinderkoordinaatides. ¨ Uldise muutuja vahetuse valemi (7.27) p~ohjal saame valemi u¨leminekuks kol- mekordses integraalis ristkoordinaatidelt silinderkoordinaatidele
annaabi.ee 
