Matemaatika eksamiks (0)

Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am•n•Bn•p=Cm•p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud . Maatriksit, mille ridade arv on v˜ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk ¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m˜o˜otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k˜oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant - Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV ( skalaar ), mis on selle maatriksi poolt üheselt määratud. Determinandi abiga saab määrata ridade lineaarset sõltumatust. Determinant aitab leida pöördmaatriksit. N-järku determinanti arvutatakse Laplace ’i arendusega:
.Determinantide põhiomadused: |A|=|AT| . Vahetades 2 rida [ veergu ] omavahel muutub, muutub märk det-i ees:
Korrutades det-i mingit rida [veergu] arvuga k, muutub det-i väärtus k korda. Det-i väärtus ei muutu, kui tema mingile reale [veerule] liita (lahutada) mingi arvuga korrutatud mingi teine rida. Det-i väärtus on null, kui tema mingi rida on tema mingiteise rea kordne. 2)nim, def, kahemuutujaga funktsioon Nt. Z=ax+by. 2- muutuja f-ni MÄP on kogu tasand või selle osa.Kahe muutuja fun-Kui igale (x; y) 2 D on vastavusse seatud muutuja z kindel väärtus, siis muutujat z nimetatakse kahe muutuja x ja y funktsiooniks ja tähistatakse z = f(x; y) 4) matemaariline mudel, majandusmatemaatilinemudeli eelis-Mat. Mudel – puhul ei arvestata kõiki aspekte (võimatu). Valitakse põhifaktorid(mida asendavad muutujad) ja antakse ette seosed (võrranditena). Mat mudel koosneb- võrranditest, mis kirjeldavad faktorite käitumist ja seovad muutujaid omavahel. Sellega antakse analüütilised eeldused, mis on aluseks loogiliste järelduste tegemisel. Koostisosad:muutuja, parameetrid , funktsioon, võrrand, samasusvõrrand, käitumisvõrrand, tasakaaluvõrrand. MMT eelised: *konkreetsus, täpsus probleemi püstitamisel *hea jälgitavus igal etapil: kui on eeldused siis ka järeldused. 5)n-dat järki dif võrrandi üldlahend, erilahend -n-dat järku DV üldkuju: F(t, y(t), y´(t), y´´(t),.., y(n) (t))=0 üldlahendiks: on n konstandist C1 , C2 ,...,Cn =0 ja argumendist t sõltuv fun. Y= Φ(t, C1, C2, ..., Cn). Iga lahend mis saadakse üldlahendist konstantide C1,C2, ..., Cn arvuliste väärtuste puhul, on DV erilahend. 6) ilmutamata ja ilmutatud funktsioonid, ilmutamata funtsiooni teoreem . Ilmutamata fun.teoreem-1) fun-il F pidevad osatuletised Fy, F1, Fm punkti (y0 ,x10 ,.., xm0 ) mingis ümbruses 2)punktis (y0 ,x10 ,.., xm0 ) mis rahuldab y=f(x1,..,xm) ja Fy ei=0-ga selles p-is. SIIS J1) m-dimensionaalse punkti (x10,...,xm0 )ümbruses N kus y on muutujate (x1,...,xm) üheselt määratud ilmutatud fun. Y=f(x1,...,xm). J2)see ilmutatud fun. rahuldab tingimust y0 = f(x10 ,.., xm0 ) vaadeldavas punktis ja selle ümbruses ja J3) see ilmutatud fun f on pidev ja tal on olemas pidevad osatuletised f1,...,fm sõltumatute muutujate järgi. Fun on ilmutamata kui muutujate omavaheline sõltuvus on kirjeldatud vaaldisega 2-st(või enamast) muutujast, mis võrdub konstandiga: F(x,y)=C. Konst võib olla ka viidud avaldisega samale poole, sellisel juhul on teisel pool = märki C. Valem: dy/dx= -Fx /Fy ilmutatud fun.-üks muutuja on võrdne mingi avaldisega teis(t)est muutuja(te)st nt. y=f(x) 7) integraal - Integreerimine on fun.tuletise võtmise vastandtehe. Integreerimine võimaldab tuletada piirfunktsioonist kogufunktsiooni e.lähtefunktsiooni. määratud integraali väärtuse määravad muuhulgas rajad . MI korral asetatakse integraali sümbolist alla ja üles vastavalt integraali alumine ja ülemine raja- selle lõigu alg- ja lõppväärtus, kus integraali arvutatakse. Võimaldab selgitada kogufun ning piirfun seost.Kasutatakse heaolu hindamisel. Määramata int- avaldist F(x)+c kus c on suvaline konstant, nim fun-i f(x) määram.int ja tähistatakse | f(x)dx=F(x)+C Päratud int-otse arvutada neid ei saa sest –ja+ lõp.ei ole arvud. Dif-kse piirväärtustena. Integ . Saab olla päratu ka lõplike rajade korral: siis kui integreeritav saab lõpuks[a,b]-1. 8)1. 2. Järku tuletised (osatuletise ja dif kaudu, hessiaani kaudu)- esimest järku tingimus: tarvilik dz=0; f´(x)=0 piisav: dxf´(x) max, dx>0 => f´(x)0 min, d2z d2z0 f yy>0 ja fxx f yy> fx2y => d2z>0 min.punkt II j tingimus det.abil: H= [fxx fxy / fxy fyg ] | H1|= | fxx|= fxx , |H2| =| fxx fxy / fxy fyy | = fxx f yy - fx2y>0, fx=fy=0 ja |H1|0 =>max , fx=fy=0 |H1|>0 |H2|>0 => min n-järku: tarvilik ting z=f(x1...x2), dz=f1dx1...+ fndxn
dz=0 piisav tingimus: d2z>0 D1>0, D2>0, D3>0..min d2z>0 D10, D3