Kokkuvõte (4)

1. Maatriksi definitsioon
a) Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või kompleksarvude hulk. Üldisemalt võib selleks hulgaks olla suvaline korpus või isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring.
Kui maatriksis on m rida ja n veergu , siis öeldakse, et tegemist on ()-indat järku maatriksiga või lihtsalt ()-maatriksiga. Selline maatriks näeb välja järgmine:
Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega. Maatriksit
esitatakse tihti lühidalt niinimetatud üldelemendi aij abil:
A = (aij).
Sellise esituse puhul eeldatakse, et maatriksi ridade ja veergude arv (ehk maatriksi mõõtmed) on eelnevast teada (fikseeritud).
Arve (või ringi elemente), millest maatriks koosneb, nimetatakse selle maatriksi elementideks. Öeldakse, et element a asub maatriksis A kohal (i,j), kui ta asub maatriksi A i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohal.
b) Maatriks on tabel, mis koosneb arvudest.
Ristkülikukujulist arvutabelit
nimetame n × m-maatriksiks. Maatriksit tähistatake lühidalt ka järgnevalt
A = (aij )m×n
Kusjuures ,

• aij on maatriksi A element, mis asub i-ndas reas ja j veerus ,
  
• n-maatriksi A veergude arv ja m-maatriksi A ridade arv,
  
• maatriksit, mille korral n = 1 või m = 1 nimetame ka vektoriks
  

2. Pöördmaatriksi definitsioon
Ruutmaatriksi A pöördmaatrksiks nimetatakse maatriksit A-1, mis rahuldab võrdusi
AA-1=A-1A-E.
Pöördmaatriks eksisteerib ainult siis, kui maatriks A on regulaarne ( determinant A ei tohi võrduda 0ga)
Maatriksi A=(aij) transporneeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT=(aij), s.t et maatrikis read kirjutame veergudena.
3. Mida oskad öelda maatriksi kohta, kui tema determinant võrdub nulliga?
Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada selle maatriksi determinandi.
Kui maatriksi determinant võrdub nulliga, siis maatriks on singulaarne
Determinant võrdub nulliga, kui

• Kui determinandis üks rida koosneb nullidest
  
• Kui determinandis on kaks võrdset rida
  
• Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga.
  

• Kui determinandis üks rida on esitatav ülejäänud ridade lineaarkombinatsioonina, siis võrdub determinant nulliga.
  

4. Maatriksite liitmise reegel
Kahe ()-maatriksi A = (aij) ja B = (bij) summa A+B on maatriks C = (cij), mis saadakse maatriksite A ja B vastavate elementide liitmisel, s.t. cij = aij + bij iga ja korral.
Näiteks
5. Determinandi definitsioon
Determinant on lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari. Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|.
Näide:

• Teist järku ruutmaatriksi
  

determinant on

• Kolmandat järku ruutmaatriksi
  

determinant on
6. Mõned determinandi omadused

• Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel:
  

det(A) = det(AT).

• Kui determinandis üks rida koosneb nullidest, siis on determinandi väärtus null.
  
• Kui determinandis on kaks võrdset rida, siis determinant võrdub nulliga.
  
• Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga.
  

7. Maatriksi arvuga korrutamise reegel
Maatriksi A = (aij) ja arvu (või korpuse elemendi) k korrutis kA on maatriks C = (cij), mis saadakse maatriksi A kõigi elementide korrutamisel k-ga, s.t. cij = kaij iga ja korral. Näiteks
8. Milliseid maatrikseid võib korrutada, milliseid liita?
Kahte maatriksit saab liita ja lahutada vaid siis, kui neil on sama arv ridu ja veerge, s.t. nad on sama järku. 
Maatrikseid liidetakse ja lahutatakse elementide kaupa. 
Seega, kui maatriks C = A + B ja E = A - B, siis cij = aij + bij ja eij = aij - bij.
Näide.
Siis
     
Kahte maatriksit saab omavahel korrutada, kui esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga. 
Korrutismaatriksi ridade arv on võrdne esimese maatriksi ridade arvuga ja veergude arv teise maatriksi veergude arvuga - .
Korrutismaatriksi element kohal ij (reas i veerus j) leitakse kui esimese maatriksi i-nda rea ja teise maatriksi j-nda veeru vastavate elementide korrutiste summa -
9. Difvõrrandi definitsioon
Esimest järku diferatsioonivõrrandiks nim võrrandit, mis seab sõltumatut muutujat x otsitava funktsiooniga y=f(x) ning funktsiooni tuletisega y’
F (x,y,y’)=0,
kus y’=
Näiteks y’=x+5, siis tema lahend on y=x2/2+5x+C, kus C on suvaline arv.
10. Difvõrrandi lahend
Hariliku diferentsiaalvõrrandi lahend on  funktsioon x mis rahuldab võrrandit kõigi t väärtuste korral. Näiteks võrrandi x(t)  1 = 0 lahend on funktsioon x, mis on defineeritud kui x(t) = t iga t korral. Sellel võrrandil on veel hulk teisi lahendeid : funktsioon x kujul x(t) = t + C mistahes C väärtuse korral on lahendiks iga  t väärtuse korral. Selline lahendite paljusus on normaalne: enamikul diferentsiaalvõrranditest, millel on vähemalt üks lahend on palju lahendeid. Funktsioon, mis sisaldab parameetreid (nagu C eelmises näites) on "üldlahend" kui iga lahend võrdub selle funktsiooniga, parameetrite mingite väärtuste jaoks. 
Definitsioon
Funktsioon  f  muutujaga t ja parameetrite vektoriga C on üldlahendiks harilikule diferentsiaalvõrrandile kui võrrandi iga lahendi x jaoks on olemas C väärtus nii et x(t) =  f (t, C) iga t korral.
Näide
Diferentsiaalvõrrandi x(t)  1 = 0 üldlahendiks on funktsioon  f  kujul  f (t, C) = t + C iga t korral, kus C on mingi skalaar.
Levinud, aga samas mitteformaalne viis, on öelda eelmise näite kohta, et "võrrandi üldlahend on x(t) = t + C ". St sümbol C on konstant, mis võib olla mistahes väärtusega. Sama kehtib sümbolite C1, C2, jne kohta.
Näide
Vaatame diferentsiaalvõrrandit x(t)  1 = 0. Eelmisest näitest teame, et x(t) = t + C1, ja seega võrrandi üldlahend on  x(t) = t2/2 + C1t + C2.
11. Cauchy ülesanne
Diferentsiaalvõrrandit koos hulga algtingimustega nimetatakse algväärtustega ülesandeks ehk  Cauchy ülesandeks.
Ülesanded, kus on vaja leida selliseid DV F(x,y,y’)=0 lahendeid, mis rahuldavad lisatingimust y(x0)=y0, nimetame Cauchy ülesandekd.