Determinant (1)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Lineaaralgebra

5 VÄGA HEA

Determinant

Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nimetatakse kujutiseks hulgast V hulka W.

Kui mistahes x korral hulgast V on eeskirja f alusel vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et on määratud ühine kujutis hulgast V hulka W.
Ł V = M(n × n) Ł W = ℝ f: M(n × n) → ℝ f: A→d A € M(n × n) d€ℝ
|a11 a12 … a1n|
|a21 a22 … a2n|
d = |…………………| = ∑(-1)δ ∙ a1α1 ∙ a2α2 ∙ a3α3 ∙ … ∙ anαn → permutatsioonid
|an1 an2 … ann|
Selgitus : determinandi väärtust arvutav summa on võetud üle kõigi permutatsioonide, millised saab moodustada numbritest 1, 2, 3 … n ( seega on liidetavaid n! tükki), sümbol δ summa avaldises tähistab inversioonide koguarvu permutatsioonis λ1; λ2;….; λn. Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest moodustatud ning konkreetne järjestus. Pn = n!
Öeldakse, et kui väiksem indeks asetseb suurema ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse, vastasel juhul kui suurem väiksema ees, siis räägitakse, et nad moodustavad inversiooni.
Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda elementide korrutistest moodustatud summa põhjal kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõisteid.
|a11 a12 a13 |
|a21 a22 a23 | = ∑ (-1)δ ∙ a1α1 ∙ a2α2 ∙ a3α3 = - a1α1 ∙ a2α2 ∙ a3α3 - a1α1 ∙ a2α3 ∙ a3α2 - a1α2 ∙ a2α1 ∙ a3α3 +
|a31 a32 a33 | + a1α2 ∙ a2α3 ∙ a3α1 + a1α3 ∙ a2α1 ∙ a3α2 - a1α3 ∙ a2α2 ∙ a3α1
α1 α2 α3
123
132
213
231
312
321
0
1
1
2
2
3

Kujundust f, mis seob igale ruutmaatriksile A vastavusse ühe kindla reaalarvu d nimetatakse determinant kujutuseks ja mainitud arvu nimetatakse antud ruutmaatriksi determinandiks.

Determinandi omadused

Omadused, mis kehtivad determinandi ridade korral, kehtivad ka veergude korral.

Determinandi väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada. |AT| = |A|

Kui determinandis 2 rida/ veergu omavahel ümber paigutada, ülejäänud read/veerud jäävad endistele kohtadele, siis muutub determinandi väärtus vastupidiseks.

Determinandi mingi rea/ veeru kõigi elementide korrutist ühe ja sama arvuga, kurrutub kogu determinant selle arvuga.

Kui determinandis on mingid 2 rida/veergu omavahel võrdsed/võrdelised, siis on determinandi väärtus võrdne nulliga.

Kui determinandis mingi rea/veeru iga element kujutab kahe liidetava summat , siis esitub determinant kahe sama järku determinandi summaga. Kusjuures esimeses determinandis koosneb vaadeldav rida/ veerg esimestest determinandi liidetavatest, teises determinandi vaadeldav rida/veerg koosneb teistest liidetavatest, ülejäänud elemendid jäävad samale kohale.

Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingile reale/veerule liita või lahutada mistahes arvuga korrutatud teatud teine rida/veerg.

Kahe n- järku determinandi A ja B korrutis A ∙ B on arvuliselt võrdne teatava uue n- järku determinandiga C, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine element cij saadakse determinandi A i-nda rea ja determinandi B j-nda veeru vastavate elementide korrutamisel ning saadud tulemuste liitmisel.

Kui determinandi mingi rea/veeru kõik elemendid on nullid , siis võrdub determinant nulliga.

Kui determinandis kõik allpool/ülal peadiagonaali paiknevad elemendid on nullid, siis võrdub determinandi väärtus tema peadiagonaali elementide korrutisega ehk pealiikmega.

Determinandi väärtus võrdub nulliga parajasti siis ( siis ja ainult siis), kui selle determinandi ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv. Ridade ja veergude lineaarne sõltuvus on tarvilik ja piisav tingimus selleks, et determinandi väärtus oleks samane nulliga.

Crameri peajuhtum

Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju.

Moodustame tundmatute ees olevatest kordajatest n- järku determinandi.
D ≠ 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist.
Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend , mis avaldub valemiga xn = Dn/D

Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele.
D = 0, siis selleks, et l.v.s oleks lahend ka sellisel juhul, peavad kehtima tingimused D1 = D2 = …=Dn, sellisel juhul on l.v.s rohkem kui üks lahend.
Determinanti on võimalik arendada tema suvalise rea/veeru järgi.

Kompleks arvutus

i2 = -1
α = a + bi
a-kompleksarvu reaalosa
bi – imaginaarosa
b – imaginaarosa kordaja
i – imaginaarühik
Olgu hulk C kõigi selliste(2 × 2)järku ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid teineteise vastandarvud .
α = ( a -b)
(b a)

Kui hulgas on määratud tehe / arvutus operatsioon ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus on uuesti selle hulga element, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinni.
Hulk C on osutunud kinniseks kõigi 4 aritmeetilise tehte suhtes ( liitmine , lahutamine, korrutamine ja jagamine).
Omadused hulgas C:

α + (β + γ) = ( α + β) + γ

α + β = β + α

α + Ω = α

α + (-α) = Ω

α ∙ β = β ∙ α

α ∙ ( β ∙ γ) = (α ∙ β) ∙ γ

α ∙ (β + γ) = αβ + αγ

E ∙ α = α
Hulka, kus kehtivad nimetatud 8 arvutusseadust nimetatakse kommutatiivseks korpuseks. Samas moodustab antud hulk vektorruumi ja baasiks on arv 1, i.
i = √-1 = ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks .
Arv i on sisu poolest ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks.

Hulka C, mille elementideks on sellised ( 2 × 2) järku ruutmaatriksid, kus peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid on üksteise vastandarvud nimetatakse kompleksarvude hulgaks ja elemente – kompleksarvudeks.
Algebralistes tehetes kompleksarvudega tuleb arvestada järgmiste eeskirjadega:

α = a + bi
β = c + di
α = β : a = c; b = d

α + β = ( a + c) + ( b + d) i

α - β = ( a – c) + ( b – d) i

α ∙ β = (ac – bd) + (ad + bc) i

α/ β = ac + bd/ c2 + d2 + (bc – ad) i / c2 + d2
Kompleksarvu β ̄= c – di nimetatakse lähtekompleksarvu β kaaskompleksarvuks β̄ = c + di = β
β ∙ β̄ = (c + di ) (c – di ) = c2 + d2
Suurust |β| = √( c2 + d2 ) nimetatakse kompleksarvu β mooduliks.
√(β ∙ β̄) = √( c2 + d2) = |β| |β| = |β ∙ β̄ |
Arvu –β = -c –di nimetatakse vastand kompleksarvuks.
-β̄ = -c +di - vastandkompleksarvu kaaskompleksarv

|β| = |β̄| = |-β| = |-β̄|

ᾱ̄ ±̄ β̄ = ᾱ ± β̄

ᾱ ∙̄ β̄ = ᾱ ∙ β̄

(α/β)̄ = ᾱ / β̄

Kompleksarvu kujud.

Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada punktidena tasandil, kus on fikseeritud Carteesiuse ristkoordinaadistik.

Algebraline kuju α = a + bi

Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena teljestiku algpunktidest.
|α| = r a/r = cosγ b/r = sinγ α = r ( cosγ + i ∙ sinγ) → trigonomeetriline kuju

Eksponentsiaalne kuju
α = r ∙ ei ∙ γ

Maatrikskuju
a
-b
α =
b
a

Vektorkuju α = (a ; b)
(cosγ + i ∙ sinγ)n = cosn ∙ γ + i ∙ sinn ∙ γ

Maatriksi astak

Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku.
Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker – Capelli teoreem .
L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed.

Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu.

Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalset arvu.

Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.

Olgu meil antud n vektorit E1, E2, E3,…, En ja olgu n reaalaru λ1, λ2, λ3, …, λn. vektorite lineaarkombinatsioon λ1 ∙ E1 + λ2 ∙ E2 + λ3 ∙ E3 + … + λn ∙ En = 0 (*)

Öeldakse, et vektorid E1, E2, …, En on lineaarselt sõltuvad, kui võrdsus (*) kehtib vähemalt ühe nullist erineva kordaja λk korral.
Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kui vähemalt ühte neist on võimalik avaldada ülejäänute kaudu ( ülejäänute lineaarkombinatsiooni kaudu).

Öeldakse, et vektorid E1, E2, …, En on lineaarselt sõltumatud kui võrdus kehtib ainult sel juhul, kui kõik kordajad on samaaegselt nullid λ1 = λ2 = …. = λn = 0
Vektorite lineaarne sõltumatus tähendab seda, et ükski vektoritest ei ole avaldatav ülejäänute kaudu.

Ruutvõrrand

b>0 : x, y = sama märgiga
b

.DOCX Laadi alla originaalfail 3 lk · .docx · 243 allalaadimist

Tasuta Faili alla laadimine on tasuta

~ 3 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2011-01-08 Kuupäev, millal dokument üles laeti

243 laadimist Kokku alla laetud

1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

AnnaAbi Õppematerjali autor

Põhitöö konspekt teemal determinandid

determinant matemaaika lineaaralgebra

Sarnased õppematerjalid

doc

Õppematerjal

osutuvad võrdseteks (vt märkus 3). MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10 RUUTMAATRIKSI DETERMINANT Olgu antud n-järku ruutmaatriks An×n = || ai j ||. Temale seatakse vasta- vusse reaalarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat JÄRKU DETERMINANDIKS ja mis on sobivalt valitud märgiga kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k ,

Kõrgem matemaatika

doc

VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID

Kõrgem matemaatika

docx

Lineaari eksami materjal

Kompleksarvu kujud: 3. Lineaarkujutus seab ühe vektorruumi Determinandi omadused nullvektorile vastavusse teise vekotrruumi 1. Determinant ei muutu, kui tema read ja 1. Algebraline: =a+bi nullvektori.

Lineaaralgebra

pdf

Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra

- a12 a 21 a 33 - a11 a 23 a 32 - a13 a 22 a 31 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ehk Nüüd üldistame tulemused. Definitsioon. Maatriksi determinandiks (ehk n järku determinandiks) nimetatakse summat 6. Determinandi põhiomadused. Olgu antud n× n -maatriks A . Omadus 1. Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu, s.t. det AT = det A . See omadus võimaldab sõnastada ja tõestada järgmised omadused ainult ridade jaoks (veergude jaoks need teoreemid kehtivad samuti). Omadus 2. Determinandi mistahes rea (veeru) elementidest võib ühise teguri tuua tegurina determinandi märgi ette. Tõestus. Järeldus. Kui determinandi mingi reas (veerus) on ainult nullid, siis on determinant null. Tõestus: võtame omaduses 2 0. Omadus 3

Algebra I

rtf

Lineaaralgebra eksam

.., in 13. n-ndat järku determinandi defnitsioon. Teist ja kolmandat järku determinant. Maatriksi A determinandiks nimetatakse summat (i1, i2, ..., in) Sn (-1)(i1, i2, ..., in) a1i1a2i2...anin, kus iga n-ndat järku substitutsiooni (i i, i2, ..., in) jaoks on üks liidetav (-1)(i1, i2, ..., in)a1i1a2i2...anin detA = |A| = = (i1, i2, ..., in) Sn (-1)(i1, i2, ..., in)a1i1a2i2...anin Teist järku determinant: detA = (i1, i2) Sn (-1)(i1, i2)a1i1a2i2 = (-1)(1, 2)a11a22 + (- 1)(2, 1)a12a21 = a11a22 - a12a21 Kolmandat järku determinant: detA = (i1, i2, i3) Sn (-1)(i1, i2, i3)a1i1a2i2a3i3 = (-1)(1, 2, 3) a11a22a33 + (-1)(1, 3, 2)a11a23a32 + (-1)(2, 1, 3)a12a21a33 + (-1)(2, 3, 1)a12a23a31 + (-1)(3, 1, 2) a13a21a32 + (-1)(3, 2, 1)a13a22a31 = a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 + a13a22a31 Sarruss'i reegel - skeem kolmandat järku determinandi leidmiseks 14

Lineaaralgebra

104

pdf

Konspekt

determinandi defineerime (n - 1)-j¨arku determinandi kaudu. Sel- list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objekti induktiivseks konstruktsiooniks. Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi m~oistega (II.1.1). Kooloniga v~ordus A := B t¨ahendab j¨argnevas, et A on defineeri- tud B kaudu. Seda v~ordust kasutame ka samav¨ a¨arsete t¨ ahistuste sissetoomiseks. 1.2 Esimest j¨ arku determinant Arvu a R determinandi |a| ehk esimest j¨ arku determinandi de- fineerime valemiga |a| := det a := a. 1.3 N¨ aide | - 5| = -5, || = jne. 1.4 Teist j¨ arku determinant Olgu a11 , a12 , a21 , a22 R. Teist j¨ arku determinandi defineerime arendusvalemiga a11 a12 a a := det 11 12 a21 a22 a21 a22

Lineaaralgebra

docx

Lineaaralgebra

2 ja 3 järgu ruutmatritsatele seatakse nende vastava elementide abil arv mis on arvutatud reegli abil- diagonaali reegel,sarruse reegel. Kõrgemate determinantide väärtused arvutatakse üldiste reeglite järgi. Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber vahetada, Kui determinandis on kaks rida (veergu)omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks, Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga kurrutub kogu determinant selle teguriga. Kui determinandis on kahe rea (veeru) elemendid omavahel võrdelised, siis võrdub determinant nulliga. Determinant, milles ühel pool peadiagonaali asuvad ainult nullid, on võrdne peadiagonaali elementide korrutisega 10) Determinantide arendusvalem (arendusteoreem). 11) Pöördmaatriks ja selle kasutamine maatriksvõrrandite lahendamiseks. Pöördmaatriks- A*B=BA=E, E-on ühikmaatriks.on võimalik kui-1) A maatriks on

Matemaatiline analüüs 2

rtf

Maatriksid

= a11 a 22 - a12 a 21 a a 22 a 21 a 22 12. n = 2. A = 21 ; det A = (2.2) Skemaatiliselt seda saab esitada järgmiselt: · · · · · · = - . · · · · · · Näide 1: 3 - 2 Leida maatriksi 5 - 4 determinant. Lahendus: Kasutame valemit (2.2) 3 -2 = 3 (-4) - (-2) 5 = -12 + 10 = -2 . 5 -4 a11 a12 a13 A = a 21 a 22 a 23 a a32 a33 13. n = 3. 31 ; a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 = . a31 a32 a33

Matemaatika

Rohkem sarnaseid