DV II KT vastused (0)

DV II teooriatöö kordamisküsimused
1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend .
V: Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid:
Üldkuju:
F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0,
kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y(n) on otsitava funktsiooni tuletised .
Normaalkuju :
y(n) = f(x, y, y', ..., y(n-1)) (1)
Eksaktne lahend :
x0, y0, y01, ..., y0n-1,
Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant.< vähemalt 1 lahend.
Cauchy teoreem e. ühesuse tingimused: olgu funktsioon f pidev piirkonnas D ning olgu tal olemas esimest järku osatuletised argumentide y, y', ..., y(n-1) järgi, mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) є D korral on Cauchy ü parajasti üks lahend.
Üldlahend – võrrandi (1) lahendite pere y = y(x, C1, C2, ..., Cn), mis sõltuvad n suvalisest konstandist C1, ..., Cn ja mille puhul iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) = є D jaoks leiduvad konstantide väärtused C10, C20, ..., Cn0, nii et lahend y = y(x,C10,...,Cn0) rahuldab algtingimusi (2).
Erilahend – võrrandi (1) lahend, mis on saadud konstantide fikseerimisega.
2. Lihtsamate n-järku diferentsiaalvõrrandite integreerimine .
V: Lihtsamate n-järku DV lahendamine – üldkuju F(x, y, y', ..., y(n)) võrrandit kujul, siis arvestame (2) algtingimusi:
yn = f(x)
et yn = dy(n-1)/dx, siis
dy(n-1)/dx = f(x)|·dx
dy(n-1) = f(x)dx|ʃ
y(n-1) = ʃfxdx + C1.
Et y(n-1) = dy(n-2)/dx, siis
dy(n-2) = (ʃf(x)dx + C1)dx
y(n-2) = ʃ(ʃf(x)dx + C1)dx + C2 jne.
Saamegi y = y(x1, C1, C2, ..., Cn) arvestame tingimuse (2) algtingimusi
yn = f(x)
x0xʃyn(x)dx = x0xʃf(x)dx
y(n-1)(x)|xx0 = x0xʃf(x)dx
y(n-1)(x) – y(n-1)(x0) = x0xʃf(x)dx
y(n-1)(x) = y0(n-1) + x0xʃf(x)dx
Siit
x0xʃy(n-1)(x)dx = x0xʃy0(n-1)dx + x0xʃx0xʃf(x)dxdx
y(n-2)(x)|xx0 = y0(n-1)x|xx0 + x0xʃx0xʃf(x)dxdx
y(n-2)(x) – y(n-2)(x0) = y0(n-1)x – y0(n-1) – x0 + x0xʃx0xʃf(x)dxdx
y(n-2)(x) = y0(n-2) + y0(n-1)(x – x0) + x0xʃx0xʃf(x)dxdx
I Võrrand kujul
y(n) = f(x).
Olgu lisaks antud algtingimused (2), siis Cauchy ülesande lahendi saab esitada kujul
y = y0 + y'0 (x – x0) +(x – x0)2 + ... +
(x – x0)n-1 +∫xx0 (x – s)n-1f(s)ds.
II Võrrand on kujul
F(x, y(n)) = 0.
Võrrandi üldlahendi esitame parameetrilisel kujul
x = φ(t)
y = Φ(t, C1, C2, ..., Cn).
III Võrrand kujul
F(x, y(k), y(k+1), ..., y(n)) = 0.
Kasutame uut otsitavat funktsiooni z = y(k).
IV Vaatleme võrrandit kujul
F(y, y', ..., y(n)) = 0 (3)
Muutujavahetus y' = z, z = z(y).
Oma esialgse võrrandi saame teisendada (n – 1)-järku võrrandiks
G(y, z, z', ..., z(n-1)) = 0.
V Otsitava ja tema tuletiste suhtes homogeenne DV.
Olgu võrrandis
F(x, y, y', ..., y(n)) = 0 (4)
funktsioon F α–astme homogeenne funktsioon y, y', ..., y(n) suhtes. See tähendab
F(x, ty, ty', ..., ty(n)) = tαF(x, y, y', ..., y(n)) Ɐt > 0.
Sellisel juhul saab võrrandi järku alandada asendusega y'=yz, kus z=z(x) on uus otsitav funktsioon.
3. Kõrgemat järku lineaarsed DV-d. Lahendite vahelised seosed.
V: n-järku lineaarsed DV-d – otsitava funktsiooni ja selle tuletiste suhtes lineaarset võrrandit nimetatakse n–järku lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks ning tähistatakse
p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y = f(x) (1)
Moodustame Cauchy ülesande, selleks lisame lineaarsele võrrandile n algtingimust:
{y(x0) = y0
{y'(x0) = y0(1)
{ ... (2)
{y(n-1)(x0) = y0(n-1)
Teoreem: Kui võrrandi (1) kordajad p0(x), p1(x), ..., pn(x) (p0(x) ≠ 0) ja vabaliige f(x) on pidevad vahemikus (a, b) ja x0 є (a, b), y0, y0(1), ..., y0(n-1) є (-∞,∞), siis võrrandil (1) leidub parajasti üks lahend y = y(x), mis rahuldab tingimusi (2).
Lahendite vahelised seosed:
Ly = p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y
Siis võrrandi
p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pny = f(x)
võime lühidalt kirjutada
Ly = f (1)
ning vastav homogeenne võrrand on kujul
Ly = 0. (1h)
Omadus 1: Kui y1, y2, ..., yn on võrrandi (1h) lahendid , siis on ka
y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn
võrrandi (1h) lahend.
Tõestuseks on vaja näidata, et kui Ly1≡0, ..., Lyn≡0, siis L(C1y1+...+Cnyn)≡0.
L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)=L(C1y1)+L(C2y2)+...+L(Cnyn)=C1Ly1+C2Ly2+...+CnLyn=C10+...+Cn0=0.
Omadus 2: Kui y1, y2, ..., yn on (1h) lahendid, y* on aga (1) lahend, siis
y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn + y*
on (1) lahend.
Tõestus on vaja näidata, et Ly≡f.
Ly=L(C1y1+C2y2+...+Cnyn+Y*)=Lyhom+Ly*=0+Ly*, Ly*=f eelduse põhjal lin. mittehom. DV lahend. Eelduste kohaselt L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)≡0, Ly*=f, siis L aditiivsuse tõttu
L(yhom+y*)=Lyhom+Ly*=0+Ly*=f.
Omadus 3: Olgu f=f1+f2. Kui y1 on võrrandi Ly=f1 lahend ja y2 on võrrandi Ly=f2 lahend, siis y=y1+y2 on võrrandi Ly=f lahend.
Tõestus: Ly=L(y1+y2)=Ly1+Ly2=f1+f2=f.
Omadus 4: Olgu y=u+iv võrrandi (1h) lahendiks , siis on ka u ja v võrrandi (1h) lahenditeks.
Tõestus: L(u+iv)≡0, siis L(u+iv)=Lu+L(iv)=Lu+iLv≡0; Lu+iLv; i=√-1≠0.
Aditiivsuse tõestus: L(y1+y2)=p0(x)(y1+y2)(n)+p1(x)(y1+y2)(n-1)+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)(y1(n)+y2(n))+p1(x)(y1(n-1)+y2(n-1))+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)y1(n)+p1(x)y1(n-1)+..+pn(x)y1+p0(x)y2(n)+p1(x)y2(n-1)+..+pn(x)y2=Ly1+Ly2.
4. Funktsioonide lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
V: Olgu meil antud funktsioonid y1(x),y2(x),...,yn(x), xє(a;b).
Definitsioon: Funktsioone y1(x), ...yn(x) nimetatakse lineaarselt sõltuvaks vahemikus (a;b), kui leiduvad kordajad α1, α2, ..., αn (α1 + α2 + ... + αn ≠ 0) nii, et
α1y1(x) + α2y2(x) + ... + αnyn(x) = 0
Ɐx ϵ (a;b). (*)
Kui seos (*) kehtib siis ja ainult siis, kui kõik kordajad α1=α2=...=αn=0, nimetatakse funktsioone y1(x),y2(x),...,yn(x) lineaarselt sõltumatuteks.
Nt. 1.)Vaatame y1=1, y2=sin2x, y3= cos2x vahemikus (a;b). Valime α1=y-1,α2=α3=1, siis α1y1+α2y2+α3y3=-1·1+1·sin2x+1·cos2x=0. Järelikult on tegu lin. Sõltuvate funktsioonidega.
5. Lineaarse homogeense DV lahendite lineaarse sõltumatuse tingimused. Wronski determinant .
V: Lineaarse homogeense DV lahendite lineaarse sõltumatuse tingimuste teoreem:
Olgu y1(x), ..., yn(x) võrrandi (1h) lahendid. Siis
I y1(x), ..., yn(x) on lineaarselt sõltuvad vahemikus (a, b) parajasti siis, kui
W(x) ≡ 0 Ɐx є (a, b).
II y1(x), ..., yn(x) on lineaarselt sõltumatud vahemikus (a, b) parajasti siis, kui
W(x) ≠ 0 Ɐx є (a, b).
Tõestus: Nüüd kehtib eeldus, et y1(x), ...,yn(x) on lineaarselt sõltumatud. Oletame vastuväiteliselt, et leidub x0ϵ(a;b): W(x0)=0. Saame välja kirjutada algebralise süsteemi αi-de suhtes
{α1y1(x0)+...+αnyn(x0)=0
{α1y1'(x0)+...+αnyn'(x0)=0
{ . . .
{α1y1(n-1)(x0)+...+αnyn(n-1)(x0)=0
ning vastav determinant on vastavalt
y1(x0)+...+yn(x0)
y1'(x0)+...+yn'(x0)
W(x0)= ... =0
y1(n-1)(x0)+...+yn(n-1)(x0)
Kui homogeensel süsteemil determinant on 0, siis leidub mitterivaalne lahend.
Järeldus 1: Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (1h) lahendite y1, y2, ..., yn korral on järgmised tingimused samaväärsed:
1) y1, y2, ..., yn on lineaarselt sõltuvad vahemikus (a, b);
2) W(x) = 0 Ɐx є (a, b);
3) Ǝx0 є (a, b), mille korral W(x0) = 0.
Järeldus 2: Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (1h) lahendite y1, y2, ..., yn korral on järgmised tingimused samaväärsed:
1) y1, y2, ..., yn on lineaarselt sõltumatud vahemikus (a, b);
2) W(x) ≠ 0 Ɐx є (a, b);
3) Ǝx0 є (a, b), mille korral W(x0) ≠ 0.
Järeldus 3: Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (1h) lahendite y1, y2, ..., yn korral on kas W(x) = 0 Ɐx є (a, b) korral või W(x) ≠ 0 kõigi x є (a, b).
Wronski determinant: Olgu yi = yi(x) (i = 1, 2, ..., n) vahemikus (a,b) määratud ja n-1 korda pidevalt diferentseeruvad funktsioonid. Determinanti
y1(x) y2(x) ... yn(x)
y'1(x) y'2(x) ... y'n(x)
W(x) = ... ... ... ...
y1(n-1)(x) y2(n-1)(x) ... yn(n-1)(x)
nimetatakse funktsioonide y1(x), y2(x), ..., yn(x) Wronksi determinandiks punktis x.
Nt. Vaatame funktsioone y1=1, y2=sin2x, y3=cos2x. Moodustame Wronski determinandi
1 sin2x cos2x
W(x) = 0 sin2x -sin2x = -2sin2xcos2x+2sin2xcos2x=0
0 2cos2x -2cos2x
6. Lahendite fundamentaalsüsteem. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldlahend.
V: Definitsioon: Võrrandi Ly = 0 LFS nimetatakse mistahes n lineaarset sõltumatut lahendit y1(x), y2(x), ..., yn(x).
Teoreem: Kui kordajad p0(x), p1(x), ..., pn(x) on pidevad funktsioonid vahemikus (a, b), siis leidub võrrandi Ly = 0 jaoks LFS. Üldlahend avaldub kujul yk = C1y1(x) + C2y2(x) + ... Cnyn(x).
Lineaarse DV üldlahend – vaatame võrrandit Ly=f(x), s.t. p0(x)yn+p1(x)yn-1+...+pn(x)y=f(x)
Teoreem: Olgu y1(x), y2(x), ..., yn(x) võrrandi Ly=0 lahendite fundamentaalsüsteem, selle võrrandi üldlahend avaldub kujul yh=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x).
Teoreem: Olgu y1(x), y2(x), ..., yn(x) võrrandi Ly=0 lahendite fundamentaalsüsteem, y*(x) võrrandi Ly=f(x) üks lahend, siis võrrandi Ly=f(x) üldlahend on kujul yh=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)+y*(x).
Tõestus: Omaduse 2 põhjal
y=C1y1+C2y2+...+Cnyn+y*
on Ly=f(x) lahend. Nüüd on vaja veel veenduda, et mistahes x0 є (a;b) ja mistahes y0, y0(1),...,y0(n-1) korral leiduvad konstandid C1, C2, ...,Cn nii, et fn y=C1y1+C2y2+...+Cnyn+y* rahuldab tingimusi
{y(x0) = y0
{y'(x0) = y0(1)
{...
{y(n-1)(x0) = y0(n-1)
Kontrollime, et y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)+y*(x) rahuldab tingimusi
{y0=C1y1(x0) +C2y2(x0)+...+Cnyn(x0)+y*(x0)
{y0(1)=C1y1'(x0) +C2y2'(x0)+...+Cnyn'(x0)+y*'(x0)
{ . . .
{y0(n-1)=C1y1(n-1)(x0) +C2y2(n-1)(x0)+...+Cnyn(n-1)(x0)+y*(n-1)(x0)
Ci (i=1,2,...,n) määramiseks võrrandisüsteem. Kirjutame algtingimused lahti, kusjuures y* viime paremale poole võrdusmärki. Saame
{C1y1(x0) +C2y2(x0)+...+Cnyn(x0)=y0-y*(x0)
{C1y1'(x0) +C2y2'(x0)+...+Cnyn'(x0)=y0(1)-y*'(x0)
{ . . .
{C1y1(n-1)(x0) +C2y2(n-1)(x0)+...+Cnyn(n-1)(x0)=y0(n-1)-y*(n-1)(x0)
Sellest võrrandisüsteemist on vaja määrata konstandid C1, ..., Cn. Lineaarsel süsteemil leiduv lahend kui süsteemi determinant on nullist erinev. Meil
|y1(x0) ... yn(x0)|
|y1'(x0) ... yn'(x0)| = W(x0)
|... ... ...|
|y1(n-1)(x0) ... yn(n-1)(x0)|
sest y1,y2,...,yn on võrrandi Ly=0 LFS. Kuna determinant ei võrdu nulliga, siis süsteem on lahenduv ning leidub parajasti üks komplekt sellist süsteemi rahuldavaid konstante C1=C10,C2=C20,...,Cn=Cn0. Teoreem on tõestatud ning sellega on ka esimene teoreem tõestatud.
y(x)=C10y1(x)+C20y2(x)+...+Cn0yn(x)+y*(x) rahuldab tingimusi
7. Lagrange 'i konstantide varieerimise meetod.
V: Konstantide varieerimist kasutatakse n-järku lineaarse mittehomogeense DV ühe konkreetse lahendi leidmiseks. Vaatame võrrandit Ly=f(x). Olgu teada vastava homogeense DV Ly=0 lahendite fundamentaalsüsteem y1,...,yn. Sarnaselt I järku lineaarsete võrranditega otsime ka nüüd erilahendit lineaarse homogeense võrrandi lahendi kuju järgi, seega otsime y* kujul
y*=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)+...+Cn(x)yn(x).
Selleks, et nii defineeritud y* oleks võrrandi Ly = f(x) lahend, on vaja sobivalt määrata suurused C1(x), ..., Cn(x). See, et Ly = f oleks rahuldatud, annab meile ühe tingimuse, on vaja n tundmatu määramiseks veel n-1 tingimust, valime ise.
yH=C1y1+C2y2+...+Cnyn
yi=yi(x),
kus i=1,2,..,n on LFS
(Ly1≡0, Ly2≡0, ..., Lyn≡0)
y*'=(C1(x)y1+C2(x)y2+...+Cn(x)yn)'=C1'(x)y1+C1(x)y1'+C2'(x)y2+C2(x)y2'+...+Cn'(x)yn+Cn(x)yn'= C1'(x)y1+C2'(x)y2+...+Cn'(x)yn+C1(x)y1'+C2(x)y2'+ ...+Cn(x)yn'=C1(x)y1'+C2(x)y2'+ ...+Cn(x)yn'
y*''=(y*')'=C1'(x)y1'+C1(x)y1''+C2'(x)y2'+C2(x)y2''+ ...+Cn'(x)yn'+Cn(x)yn''= C1(x)y1'’+... Cn(x)yn’’.
y*(n)= C1(x)y1(n-1)+... Cn(x)yn(n-1)+ C1(x)y1(n)+... Cn(x)yn(n)= C1(x)y1(n-1)+... Cn(x)yn(n-1).
Asendame nii leitud y* tuletised võrrandisse
Ly=f(x).
p0(x)[C1’(x)y1(n-1)(x)+...Cn’(x)yn(n-1)(x)+C1(x)y1(n)(x)+...Cn(x)yn(n)(x)]+p1(x)[C1(x)y1(n-1)(x)+...Cn(x)yn(n-1)(x)]+pn(x)[C1(x)y1(x)+...Cn(x)yn(x)]=f(x).
Seega
p0(x)[C1’(x)y1(n-1)(x)+...Cn’(x)yn(n-1)(x)]=f(x)/:p0(x)
C1’(x)y1(n-1)(x)+...Cn’(x)yn(n-1)(x)=f(x)/p0(x).
Need tingimused kujutavad endast lin vs C1’(x)...Cn’(x) määramiseks.
[WD] = W(x) ≠ 0 Xє(a,b)
Süsteemi lahendamisel saame Ci(x) = fi(x), i=1...n Ci(x) = ∫φidx + Ci, i=1..n, võib valida Ci = 0.
8. Konstantsete kordajatega lineaarne homogeenne võrrand: üldiselt lahendatakse kõrgemat järku lineaarseid DV-d järgu alandamisega. Kasutatakse asendust
y’=yz,
siis y’’=y(z’+z2) jne.
Saadav võrrand ei pruugi olla lineaarne ning pole alati lahendatav. Kui on teada teist järku homogense DV p0(x)y’’+p1(x)y’+p2(x)y=0 üks lahend y1≠0 saab leida veel teise laendi y2(x), nii et y1 ja y2 moodustavad võrrandi lahendite fundamentaalsüsteemi. y2 saab võrrandist y’y1-yy1’ = C1e∫p1(x)/p0(x)dx. Vaatame võrrandit kujul
Ly=0
ehk
p0yn + p1y(n-1) + ... + pny = 0,
kus suurused pi on konstandid. Võrrandil võiks leiduda lahend kujul y = eλx. Asendame y ning selle tuletised y’ = λeλx ... y(n) = λ(n)eλx võrrandisse saame
p0λ(n)eλx + p1λ(n-1)eλx0 + ... + pneλx = 0
eλx(p0λ(n) + p1λ(n-1) + ... + pn) = 0
Korrutis saab olla 0 kui üks teguritest on 0. Et eλx ≠ 0, siis peab sulgavaldis olema 0. Võrrandit kujul
p0λn + p1λn-1 + ... + pn = 0
nimetatakse karateristlikuks võrrandiks. Kui karakteristlikud väärtused λ1... λn on reaalsed ja paarikaupa esinevad siis võrrandi Ly=0 lahendid kujul y1=eλ1x, y2=eλ2x,.. yn=eλnx.
9. Konstantsete kordajatega lineaarne mittehomogeenne võrrand: vaatleme konstantsete kordajatega lineaarset DV kujul
p0y(n) + p1y(n-1) + ... + pny = f(x) (1)
Vastava lineaarse homogeense võrrandi Ly=0 lahendi leidmiseks on eeskiri olemas mittehomogense võrrandi lahend.
A Olgu võrrandi vabaliige f(x) meil m-astme polünoom
f(x) = eαxAm(x) = eαx(a0xm + a1xm-1 + ... + am)
Lause: Kui arv α ei ole lineaarse homogeense võrrandi (1) karakteristliku võrrandi lahendiks, siis leidub võrrandil (1) üks lahend y*(x) kujul
y*(x) = eαxPm(x) = eαx(p0xm +
kus pi on määramata kordaja α-s –kordne karakteristlik väärtus, siis võrrand (1) on erilahend kujul:
y(x) = pm(x) = (p0 + p1 + ... + pm),
kus p0 on määramata kordaja.
B Olgu võrrandi vabaliige f(x) kujul
f(x) = Am(x)eαxcosβx + Bn(x)eαxsinβx.
Lause: Kui λ = α ± βi pole võrrandi (1) karakteristliku võrrandi lahendiks, siis leidub võrrandil (1) erilahend y*(x) kujul.
y*(x) = Pm(x)eαxcosβx + Qn(x)eαxsinβx,
kus Pm, Qn-sama astme polünoomid kui Am,Bn.𝝺=ɑ+βi-kordne kar väärtus ,siis võr (1) leidub lahend y kujul. y(x)=[Pm(x)cosβx+Qn(x)sinβx].
10. Mehaanilise võnkumise võrrand.
V: Keha liikumine, millesse kaldub oma tasakaaluasendist kõrvale kord ühes kord teises suunas.
x'' + w02x = 0,
kus w0 – ringisagedus
Vabavõnkumiste võrrand:
d2y/dt2 + pdy/dt + qy = 0,
kus p = λ/Q; y = k/q.
Sundvõnkumiste võrrand:
Qd2y /dt2 + λdy/dt + ky = -kφ(t) - λφ'(t)
d2y/dt2 + pdy/dt + qy = f(t)
kus f(t) = -(kφ(t) + λφ'(t))/q.
Konstantsete kordajatega lineaarne DV:vaatame võrrandit kujul Ly=0;st p0y(n)+p1y(n-1)+...+pny=0,kus suurused pi on konstandid.Karakteristlik võrrand p0λn+p1λn-1+...+pn=0.Karakteristlikud väärtused λ1,λ2,...λn.I karakteristlikud väärtused λ1,λ2,...λn on reaalsed ja paarikaupa erinevad. Võrrandi Ly=0 üldlahend y=C1eλ1x+C2eλ2x+...+Cneλnx.II karakteristlike väärtuste λ1,λ2,...λn seas on ka paarikaupa erinevaid komplekseid väärtusi.Võrrandi Ly=0 lahenditeks on siis y1=eαxcosβx,y2=eαxsinβx.Võrrandi Ly=0 üldlahend.y=C1eαxcosβx+C2eαxsinβx+...+Cneλnx.III karakteristlike väärtuste seas on kordseid väärtusi.Kui λ1 on reaalne r-kordne karakteristlik väärtus,siis sellisele karakteristlikule väärtusele vastavad funktsioonid y1=eλ1x,y2=xeλ1x;y3=x2eλ1x,...,yr=xr-1eλ1x on konstantsete kordajatega DV Ly=0 lahenditeks.Konstantsete kordajatega DV erilahendi leidmine määramata kordajate meetodil:vaata-me lineaarset konstantsete kordajatega DV p0y(n)+p1y(n-1)+...+pny=f(x). Harilike DV süsteemid üldku-ju:{F1(x,y1,y'1,...,y1n1,y2,y'2,...,y2n2,...,ym,y'm,...,ymnm)=0{F2(x,y1,y'1,...,y1n1,y2,y'2,...,y2n2,...,ym,y'm,...,ymnm) =0{...{Fm(x,y1,y'1,...,y1n1,y2,y'2,...,y2n2,...,ym,y'm,...,ymnm)=0.Arvu n=n1+n2+...+nm nim süsteemi järguks. Normaalkuju:{y1'=f1(x,y1,y2,...,yn){y2'=f2(x,y1,y2,...,yn){...{yn'=fn(x,y1,y2,...,yn).Peano teoreem:olgu fn-d fi(x,y1,y2,...,yn) (i=1,2,...,n) pidevad muutujate x,y1,y2,..,yn piirkonnas D,siis läbi iga piirkonna D iga punkti(x0,y01,...,y0n) kulgeb vähemalt üks DV-te süsteemi (2) integraalkõver .Cauchy teoreem: olgu fn-d fi(x,y1,y2,...,yn) (i=1,2,...,n)ja nende osatuletised δfi/δyj (i,j=1,2,...,n) määratud ja pidevad muutujate x,y1,y2,...,yn piirkonnas D,siis läbi iga piirkonna D iga punkti(x0,y01,y02,...,y0n)kulgeb parajasti üks DV süsteemi (2) integraalkõver.Üldlahend:yi=φi(x,C1,C2,...,Cn) (i=1,2,...,n).Konstantide väärtuste fikseerimisel saadavaid lahendeid nim erilahenditeks.