Võnkumised (1)

7. VÕNKUMISED
7.1 Tasakaalu liigid
1. Ebapüsiv tasakaal. Kui süsteem viia tasakaalust välja, siis hakkab talle mõjuma nullist erinev resultantjõud, mis on suunatud tasakaaluasendist eemale.
2. Püsiv tasakaal. Kui süsteem viia tasakaalust välja, siis hakkab talle mõjuma nullist erinev resultantjõud, mis on suunatud tasakaaluasendi poole.
3. Ükskõikne tasakaal. Süsteemile mõjuv resultantjõud on igas asendis null.
Võnkumisnähtused esinevad püsiva tasakaalu korral. Kui süsteem on piisavalt inertne ning hõõrdejõud ja keskkonnatakistus piisavalt väikesed, hakkab süsteem pärast tasakaaluasendist välja viimist võnkuma.
Võnkumist iseloomustavad järgmised suurused.
1. Hälve x – süsteemi või keha kaugus tasakaaluasendist .
2. Amplituud A – süsteemi maksimaalne hälve.
3. Sagedus – ajaühikus sooritatud võngete arv.
4. Periood T – ühe täisvõnke sooritamiseks kulunud aeg.
5. Ringsagedus – sagedus korrutatud arvuga 2.
7.2 Sumbuvvõnkumine
Vaatleme stabiilses tasakaalus olevat süsteemi, kus tasakaaluasendi poole suunatud jõud on võrdeline hälbega, näit, vedru külge kinnitatud koormus väikeste deformatsioonide korral. Siis oleks tegemist elastsusjõuga
, (7.1)
kus x-hälve tasakaaluasendist.
Koormus hakkab vabastamisel liikuma tasakaaluasendi poole. Mõjugu süsteemis veel dissipatiivsed jõud (hõõre, keskkonnatakistus), mis on suunatud liikumisele vastu ja esimeses lähenduses võrdelised koormuse kiirusega
. (7.2)
Siis koormusele mõjuv resultantjõud
. (7.3)
Eelmises valemist saab avaldada koormuse liikumist kirjeldava võrrandi
, (7.4)
mida lahendades saab koormuse koordinaadi sõltuvuse ajast. Sellisele diferentsiaalvõrrandile on mõtet otsida lahendit kujul
. (7.5)
Sobib ka siinusfunktsioon . Siin A on koormuse algamplituud,
võnkumise algfaas . Suurust
nimetatakse võnkumise sumbuvusteguriks.
Võnkumise faasiks nimetatakse siinuse või koosinuse argumenti võnkumist kirjeldavas võrrandis (7.4).
Kontrolliks arvutame võrrandist (7.5) ajalised tuletised ja asendame need valemisse (7.4). Saame tulemuseks
. (7.6)
Asendades saadud avaldised valemisse (7.4), saame pärast sarnaste liikmete kokkuvõtmist
(7.7)
Et võrrandi vasak pool võrduks nulliga igal ajahetkel, peavad nii koosinust kui siinust sisaldavate liidetavate kordajad eraldi nulliga võrduma. Siinusliikme kordaja nulliga võrdsustamisel saame sumbuvusteguri väärtuseks
. (7.8)
Saadud tulemust arvestades ja koosinust sisaldava liidetava kordajat nulliga võrdsustades võnkumise ringsageduse jaoks valemi
. (7.9)
Siit järeldub, et mida suurem on sumbuvustegur , s.t. mida suurem on dissipatiivjõu kordaja
valemis (7.4), seda väiksem on võnkesagedus. Valemeid (7.8) ja (7.9) valemisse (7.5) asendades saame võnkuva keha hälbe sõltuvuse ajast:
(7.10)
Graafikuks on koosinusoid, mis on „surutud” kõverate
ja vahele ja mille perioodiks on . Graafikult on näha, et võnkumise amplituud kahaneb ajas eksponentsiaalselt, seetõttu nimetataksegi selliseid võnkumisi sumbuvvõnkumisteks.
. (7.11)
Amplituudi kahanemine ehk sumbumine on seda kiirem, mida suurem on sumbuvustegur , ehk valemi (7.8) põhjal – mida suuremad on dissipatiivsed jõud süsteemis ja mida väiksem on võnkuva keha mass.
Sumbuvusteguri pöördväärtust nimetatakse võnkumise relaksatsiooniajaks,
. (7.12)
Relaksatsiooniaja füüsikaline tähendus selgub järgnevast arutluskäigust. Olgu võnkumise alghetkest möödas relaksatsiooniajaga võrdne aeg, s.t. . Siis valemi (7.11) põhjal on amplituudi väärtus
Asendades siia relaksatsiooniaja valemist (7.12), saame
. (7.13)
Võnkumise relaksatsiooniajaks nimetatakse ajavahemikku, mille vältel võnkumise amplituud kahaneb e ehk ligikaudu 2,72 korda.
Ilmselt sumbuvad võnkumised seda aeglasemalt, mida suurem on relaksatsiooniaeg. Lisaks relaksatsiooniajale iseloomustatakse võnkumise sumbuvust veel ühe suurusega – sumbuvuse logaritmilise dekremendiga.
Sumbuvuse logaritmiliseks dekremendiks nimetatakse naturaallogaritmi kahe järjestikuse amplituudi suhtest :
. (7.14)
Tuleme nüüd tagasi valemi (7.10) juurde, mis kirjeldas võnkuva keha koordinaadi sõltuvust ajast. Esitame ta siin veel korra, kasutades süsteemi iseloomustavaid konstante.
. (7.15)
Käsitleme veel selle valemi põhjal mõningaid olulisemaid erijuhte.
Esmalt vaatame võimalust, kuis süsteemis dissipatiivsed jõud on võrreldes elastsusjõudude või muude tasakaaluasendisse suunatud jõududega nii väikesed, et me võime neid mitte arvestada. Sel juhul kirjutame
ja valemis (7.15) eksponent võrdsustub ühega, sest tema astendaja võrdub samaselt nulliga ja
Valem (7.15) võtab kuju
. (7.16)
Saame harmoonilise võnkumise – mingi füüsikalise suuruse muutumise ajas koosinuse või siinuse seaduse järgi. Siin sumbumist ei toimu ja amplituud jääb ajas konstantseks. Ligilähedaselt sarnane olukord võiks tekkida sel juhul, kui elastse vedru otsa riputatud koormus võnguks vaakumis . Harmoonilist võnkumist käsitleme põhjalikumalt järgmises alapunktis. Suurus
(7.16a)
oleks võrrandiga (7.4) kirjeldatava süsteemi võnkumise ringsagedus juhul, kui ei esine dissipatiivseid jõude. Arvestades valemit (7.9) näeme, et , ilma dissipatiivsete jõududeta oleks süsteemi võnkumise ringsagedus suurem kui dissipatiivsete jõudude korral. Suuremate dissipatiivsete jõudude korral on võnkumise ringsagedus väiksem, s.t. süsteem võngub aeglasemalt.
Samuti vaatleme sellist võimalust, kui sumbuvustegur on väga suur, s.t. dissipatiivsed jõud on samas suurusjärgus tasakaaluasendi poole suunatud jõududega. Piirjuhul, kui
, (7.17)
tähendaks see valemit (7.15) arvestades, et koosinuse argumendist kaoks ära ajaline sõltuvus ja saaksime valemi
. (7.18)
See tähendaks, et võnkumist ei toimuks üldse, keha läheneks kauguselt
eksponentsiaalselt tasakaaluasendile.
Sarnane olukord võiks tekkida juhul, kui vedru otsa riputatud koormus võnguks suure takistusega keskkonnas, näiteks õlis.
Veel suurema sumbuvuse korral, kui
, (7.19)
oleks olukord veel keerulisem, kuna ruutjuur valemi (7.15) koosinuse argumendis muutuks imaginaarseks. Seda juhtu me põhjalikumalt ei käsitle. Mainime ainult, et ka sel juhul toimub võnkumise asemel keha eksponentsiaalne lähenemine tasakaaluasendile, kuid veel aeglasemalt kui juhul (7.17).
7.2 Harmooniline võnkumine.
Harmooniliseks võnkumiseks nimetatakse mingi füüsikalise suuruse muutumist ajas siinuse või koosinuse seaduse järgi.
Harmoonilise võnkumise tekketingimused:
1) süsteemi väljaviimisel tasakaaluasendist peab talle hakkama mõjuma tasakaaluasendisse suunatud jõud, mis on võrdeline hälbega,
2) süsteem peab olema inertne,
3) süsteemis ei tohi esineda dissipatiivseid jõude.
Nende tingimuste rahuldatuse korral saame süsteemi liikumisvõrrandi kujul
. (7.20)
See oleks eelmises alapunktis esitatud võrrand juhul . Näitame, et lahend esitub kujul
. (7.21)
Arvutades siit esimese ja teise tuletise aja järgi, saaksime esmalt hälbe muutumise kiiruse
(7.22)
ning kiirenduse
. (7.23)
Seega tõepoolest hälve sõltub ajast koosinuse seaduse (7.21) järgi. Ka siin rõhutame, et hälbe kirjeldamiseks ajas sobiks samuti siinusfunktsioon.
Analüüsime lähemalt valemeid (7.21)-(7.23). Esmalt näeme, et ka kiirus ja kiirendus muutuvad ajas harmooniliselt nagu hälvegi, ainult nende faasid erinevad. Valemist (7.22) on näha, et kiirus jääb kiirendusest faasis
võrra maha. See tähendab, et kui hälve omab maksimaalväärtust, s.t. keha on tasakaaluasendist maksimaalsel kaugusel, võrdub kiirus nulliga. Kui nüüd hälve hakkab vähenema, s.t. keha liigub tasakaaluasendi poole, siis kiirus hakkab suurenema. Kiirus saavutab maksimaalse väärtuse siis, kui keha läbib tasakaaluasendit, s.t. ta hälve võrdub nulliga. Samas kiirendus on hälbe suhtes vastandfaasis.
Kui meil on tegemist vedrupendliga, siis suurus k valemis (7.20) on selle pendli vedru jäikus. Arvestades ringsageduse valemit (7.16a), samuti ringsageduse ja perioodi seost
saame vedrupendli võnkeperioodiks dissipatiivsete jõudude puudumisel
, (7.24)
kus k on vedru jäikus ja m pendli koormuse mass. Periood on seda pikem, mida inertsem on pendel , s.t. mida suurem on koormuse mass, ning seda lühem, mida jäigem on vedru.
7.2a Matemaatiline pendel
Matemaatiliseks pendliks nimetatakse niisugust pendlit, mis koosneb kaalutu niidi otsa riputatud punktmassist. Reaalsele võime matemaatilise pendlina käsitleda sellist pendlit, mille niidi pikkus on väga palju suurem koormuse mõõtmetest ja koormuse mass väga palju suurem niidi massist (vt joonis järgmisel leheküljel).
Olgu pendli pikkus l ja koormuse mass m. Koormusele mõjuv raskusjõud
on tasakaaluasendis kompenseeritud niidi tõmbejõu poolt. Kallutame nüüd koormuse tasakaalust kõrvale mingi hälbe x võrra, mis oleks palju väiksem pendli pikkusest, s.t. . Sel juhul moodustab koormuse nihe pendli esialgse asendiga ligilähedaselt täisnurga ja me võime kirjutada, et väikese hälbe korral
. (7.25)
Jõud , mis hakkab koormust nüüd tasakaaluasendi poole tõmbama, on raskusjõu
projektsioon hälbe sihis. Väikese hälbe korral võime kirjutada
. (7.26)
Et väikeste nurkade siinused ja tangensid on ligikaudu võrdsed, saame kahest viimasest valemist koormusele mõjuva resultantjõu x-komponendi
, (7.27)
kui oletada, et koormusele ja niidile mõjuvad hõõrde- ja takistusjõud on tühiselt väikesed. Vastavalt Newtoni teisele seadusele saame hälbe jaoks diferentsiaalvõrrandi
. (7.28)
Tõestada analoogiliselt vedrupendli juhuga iseseisvalt, et matemaatilise pendli hälve muutub ajas vastavalt seadusele
, (7.29)
ning et matemaatilise pendli võnkeperiood avaldub dissipatiivsete jõudude puudumisel
. (7.30)
Järeldused.

Vedrupendli võnkeperiood on seda pikem, mida suurem on pendli pikkus ja mida suurem on koormuse mass.

Vedrupendli võnkeperiood ei sõltu koormuse massist.
7.2b Füüsikaline pendel
Füüsikaliseks pendliks nimetatakse keha, mis ripub masskeskmega mitte kokku langevast punktist.
Pendli masskeskme tähistame C, tema kinnituspunkti O. Nende vaheline kaugus olgu l. Rõhutame, et matemaatiline pendel on füüsikalise pendli erijuht , mille kogu mass on koondunud punkti C. Siis l oleks ühtlasi pendli pikkus.
Kui pendel kallutada tasakaaluasendist kõrvale mingi väikese nurga
võrra, kusjuures masskese C nihkub teepikkuse x võrra, siis ka siin väikeste nihete
korral on tasakaaluasendisse suunatud jõud
võrdeline nihkega. Füüsikalise pendli võnkeperioodi määramisel lähtume matemaatilise pendli võnkeperioodist (7.30). Koormuse m inertsimoment riputuspunkti suhtes avaldub
mille me asendame valemisse (7.30) pärast ruutjuurealuse murru laiendamist suurusega ml. Siis saame perioodi väärtuseks
Järelikult avaldub füüsikalise pendli võnkeperiood valemist
, (7.31)
kus I on pendli inertsimoment riputuspunkti läbiva pöörlemistelje suhtes, l vahemaa riputuspunkti ja pendli masskeskme vahel, m pendli mass.
7.3 Harmoonilise võnkumise energia.
Kui süsteem viiakse püsiva tasakaalu asendist välja, siis tehakse selle käigus tööd tasakaaluasendisse suunatud jõu vastu, mille moodul oli . Siis töö, mis selleks tehakse, võrdub töö definitsioonvalemi (5.18a) põhjal integraalina
See töö muundub süsteemi potentsiaalseks energiaks. Seega – kui võnkuva süsteemi hälve on x, on tema potentsiaalne energia
, (7.32)
seega on ta võrdeline hälbe ruuduga . Et hälve muutub harmooniliselt seaduse (7.21) järgi, siis saame potentsiaalse energia väärtuseks
. (7.33)
Potentsiaalne energia on maksimaalne amplituudasendis, kus , ning minimaalne tasakaaluasendit läbides, kus .
Kineetiline energia on
. (7.34)
Kiirus harmoonilisel võnkumisel esitub valemiga (7.22), seega
, (7.35)
järelikult on kineetiline energia maksimaalne tasakaaluasendit läbides, kus kiirus on maksimaalne, ning null amplituudasendis, kus ka kiirus võrdub nulliga.
Võnkumise summaarne mehhaaniline energia, mis dissipatiivsete jõudude puudumise tõttu on konstant, avaldub potentsiaalse ja kineetilise energia summana
. (7.36)
Siin võtame arvesse veel ringsageduse valemit (7.16a), mida valemisse (7.36) paremal esimesse liidetavasse asendades jõuame koguenergia avaldiseni
. (7.37)
Saadud tulemusest järeldub, et võnkumise energia on võrdeline amplituudi ja sageduse ruuduga.
7.4 Harmooniliste võnkumiste ja ringliikumiste vaheline seos.
Kujutame endale ette nurkkiirusega
pöörlevat ratast ja sellel punkti kaugusel A pöörlemisteljest. Kui paigutada koordinaatteljestik selliselt , et alguspunkt asuks ratta pöörlemisteljel ja z- telg oleks suunatud piki pöörlemistelge, siis vaadeldava punkti x- ja y- koordinaat muutuvad ajas seaduse järgi.
. (7.38)
Järelikult – kui mingi vektor
pöörleks ümber oma alguspunkti xy-tasandil nurkkiirusega , siis tema komponendid muutuksid harmooniliselt seaduspärasuse (7.38) järgi. Selle vektori pikkus võrduks harmoonilise võnkumise amplituudiga ja ta moodustaks x- teljega nurga, mis oleks võrdne võnkumise faasiga .
7.5 Harmooniliste võnkumiste liitmine
Vaatleme kahte erineva sageduse ja amplituudiga harmoonilist võnkumist. Olgu nende võrrandid vastavalt
. (7.39)
Nende võnkumiste poolt põhjustatud hälbed liituvad, summaarne võnkumine hakkab toimuma seaduse
, (7.40)
kus
on summaarse võnkumise faas ja A summaarne amplituud.
Summaarse amplituudi A ja võnkefaasi
arvutamiseks kujutleme ette kahte vektorit , ja
pöörlemas samal tasandil ümber z-telje vastavalt nurkkiirustega
ja
ning algfaasidega
ja . Nende summa oleks vektor , mille pikkus oleks A ja mis moodustaks x-teljega ajas muutuva nurga , vt. järgnev joonis.
Joonisel on liidetavate võnkumiste faasid tähistatud lühidalt
. (7.41)
Vastavalt koosinusteoreemile on summaarse võnkumise amplituud kui vektori
pikkus
. (7.42)
Järelikult liitvõnkumise summaarne amplituud A, mis liidetavate võnkumiste faasivahe
ajas muutumise tõttu samuti ajas muutub, avaldub valemiga
. (7.43)
Saadud tulemusest näeme, et kui liidetavad võnkumised on samas faasis, s.t.
(7.44)
on summaarne amplituud
. (7.45)
Amplituudid liituvad ja võnkumised tugevdavad teineteist. Kui liidetavad võnkumised on vastandfaasis, s.t.
, (7.46)
on amplituud
. (7.47)
Amplituudid lahutuvad ja võnkumised nõrgendavad teineteist.
Arvutame nüüd liitvõnkumise faasi kui nurga
vektori
ja x-telje vahel. Et vektori
x- komponent avaldub vektorite
ja
x-komponentide summana, peab sama kehtima ka tema y-komponendi jaoks:
(7.48)
Jagades valemi (7.48) läbi valemiga (7.40), saame liitvõnkumise faasi jaoks avaldise
. (7.49)
Järelikult on liitvõnkumise faas arkustangens valemi (7.49) paremast poolest.
Tuiklemine . Käsitleme veel erijuhtu , kus liidetavate võnkumiste ringsagedused erinevad teineteisest väga vähe, s.t.
. (7.50)
Oletame lihtsuse mõttes, et mõlema algfaas võrdub nulliga, seda saab alati sobiva alghetke valimisega saavutada. Siis võnkumise amplituudi ruut muutub vastavalt valemile (7.43) järgmiselt:
. (7.51)
Liitvõnkumise amplituudi ruut muutub ajas harmooniliselt ringsagedusega . Liidetavad võnkumised kord tugevdavad, kord nõrgendavad teineteist ajas.
Valem (7.49) oleks siis
. (7.52)
Kasutame kahe nurga summa siinuse ja koosinuse valemeid:
. (7.53)
on väga väike, mistõttu tema koosinus võrdub ligikaudu ühega ja siinus erineb väga vähe nullist. Seetõttu võib süsteemi (7.53) mõlemas valemis paremal pool jätta ära teise liidetava ja selliselt toimides saame valemi (7.52) viia kujule
Siis peab olema liitvõnkumise faas . Järelikult tekib liitvõnkumine sagedusega
ja tema amplituud muutub sagedusega . Niisugust nähtust nimetatakse tuiklemiseks.
7.6 Sundvõnkumine. Resonants
Siiani käsitlesime vabavõnkumisi, kus püsivas tasakaalus olev süsteem viidi tasakaalust välja ja lasti vabaks. Kui dissipatiivsed jõud ei olnud väga suured, tekkis süsteemis sumbuvvõnkumine ringsagedusega , mis arvutati valemist (7.9) (dissipatiivsete jõudude puudumisel harmooniline võnkumine ringsagedusega ). Nimetatud ringsagedust nimetatakse süsteemi omavõnke-ringsageduseks.
Vastavalt omavõnkesagedus
. (7.54)
Oletame nüüd, et süsteemile mõjub lisaks veel perioodiline välisjõud, mis muutub ajas seaduspärasuse
, (7.55)
kus
on selle jõu amplituudväärtus,
tema ringsagedus ja
tema algfaas. Siis oleks süsteemile mõjuva resultantjõu avaldis
. (7.56)
Süsteemi hälvet kirjeldab seega liikumisvõrrand
. (7.57)
Siin oleme kasutanud tähistusi
, (7.58)
mis on vastavalt sumbuvustegur, omavõnkumise ringsagedus dissipatiivsete jõudude puudumisel ja süsteemile välise jõu poolt antud kiirendus.
Kohe pärast välise jõu mõjuma hakkamist on võnkumise kirjeldamine keeruline, kuid tekkivad häiritused sumbuvad kiiresti ja mõni aeg pärast võnkumise algust muutub hälve seaduspärasuse
(7.59)
järgi, st. võngub välise jõu sagedusega. Leiame sellise võnkumise amplituudi. Selleks võtame valemist (7.59) esimese ja teise tuletise aja järgi ja asendame need võrrandisse (7.56).
. (7.60)
Siis saame valemi (7.56) kirja panna järgmiselt:
. (7.61)
Et saadud avaldise vasak pool võrduks nulliga suvalisel ajahetkel, peavad mõlemad kantsulgudes avaldised eraldi nulliga võrduma. Saame süsteemi
. (7.62)
Võtame süsteemis (7.62) mõlemad saadud avaldised ruutu, liidame need kokku ja avaldame saadud tulemusest sundvõnkumise amplituudi:
. (7.63)
Esmalt järeldub siit valemist, et mida suurema amplituudiga on väline jõud, seda suuremaks kasvab ka sundvõnkumiste amplituud. Samuti järeldub siit, et mida väiksem on sumbuvustegur , seda väiksem on ruutjuurealune avaldis, seega ka paremal pool oleva murru nimetaja . See tähendab, et sundvõnkumise amplituud on seda suurem, mida väiksem on sumbuvustegur.
Veel annab valemi (7.63) analüüs, et kui välise jõu ringsagedus
läheneb ringsagedusele , mis oleks süsteemi omavõnkesagedus dissipatiivsete jõudude puudumise korral, siis amplituud kasvab. Maksimaalse väärtuse saavutab amplituud, kui , siis
, (7.64)
tekib resonants.
Resonantsiks nimetatakse sundvõnkumiste amplituudi järsku suurenemist, kui süsteemile mõjuva välise perioodilise jõu sagedus saab võrdseks süsteemi niisuguse omavõnkesagedusega, mis tal oleks dissipatiivsete jõudude puudumisel.
16