Lained (2)

8. LAINED
8.1 Rist - ja pikilained
Laineks nimetatakse võnkumise edasikandumist ruumis.
Kui elastses keskkonnas mõned osakesed viia tasakaalust välja, hakkavad nad võnkuma. Tekkiva sumbuvvõnkumise käigus muundub osa võnkumisenergiat soojuseks, osa kandub üle naaberosakestele, mis hakkavad samuti võnkuma. Selliselt levib võnkumine keskkonnas osakeselt naaberosakesele. NB! Laine käigus ei kandu edasi mitte keskkond, s.t. molekulid ise, vaid ainult võnkumine!
Ristlainetuseks nimetatakse sellist lainetust, mille käigus keskkonnaosakesed võnguvad laine levimissuunaga risti, näiteks lained veepinnal .
Joonis leheküljel kujutab x-telje sihis levivat lainet veepinnal. Veepinna molekulid võnguvad z-telje sihis, võnkumine kandub edasi kiirusega . Pidev koosinusoid kujutab pinnamolekulide asendit vaadeldaval ajahetkel, nooled nende liikumissuundi, katkendlik koosinusoid nende asendit järgneval ajahetkel. Jooniselt on näha, et laineharjad ja –põhjad liiguvad seetõttu kiirusega v paremale. Kui koordinaatide alguspunktis asuks laineallikas, siis temast kaugemale jäävad keskkonnaosakesed jääksid võnkumisel lähemalasuvatest punktidest faasis maha, kuna nendeni jõuab keskkonnahäiritus hiljem, aja
vältel, kus x on keskkonnaosakese kaugus laineallikast laine levimise sihis. Siis võngub nimetatud keskkonnaosake seaduspärasuse
(8.1)
järgi, kus v on laine levimiskiirus,
laineallika algfaas,
laine ringsagedus ja A laine amplituud , mis üldjuhul sõltub samuti kaugusest x laineallikani.
Pikilainetuseks nimetatakse lainetust, kus keskkonnaosakesed võnguvad laine levimise sihis, näiteks heli.
Lainet iseloomustatakse järgmiste suurustega.
Laine võnkesagedus
- ajaühikus sooritatud võngete arv.
Laine periood T – ühe täisvõnke sooritamiseks kuluv aeg, Võrdub sageduse pöördväärtusega.
Lainepikkus
– laine levikusihis mõõdetud vahemaa kahe lähima samas faasis võnkuva keskkonnaosakese vahel.
. (8.2)
Kui laine levib ühe lainepikkuse võrra, siis iga keskkonnaosake sooritab ühe täisvõnke. Selleks kulub üks periood, Järelikult – ühe perioodi vältel levib laine edasi ühe lainepikkuse võrra. Seda teades saab laine levimiskiiruse seostada lainet iseloomustavate suurustega, lähtudes ühtlase liikumise kiiruse valemist
Eelpoolöeldu põhjal, kui t=T, siis , järelikult
Kui arvestame veel valemit (7.66), saame laine levimiskiiruseks
. (8.3)
Laine levimiskiirus võrdub lainepikkuse ja sageduse korrutisega.
8.2 Sfääriline ja tasapinnaline laine
Vaatleme homogeenses keskkonnas punktikujulist laineallikat, mis võngub harmooniliselt seaduspärasuse
. (8.4)
põhjal. Siin ja edaspidi tähistame sümboliga
mistahes hälvet tasakaaluasendist. Võnkumine levib keskkonnas lainetuse kujul kiirusega v . Kui ta jõuab mingi keskkonnaosakeseni kaugusel r laineallikast, hakkab see võnkuma seaduspärasuse
. (8.5)
järgi, sest ajahetkel t allikast lähtunud laine jõuab selle keskkonnaosakeseni ajahetkel .
Kõik need keskkonnaosakesed, mis asuvad laineallikast ühesugusel kaugusel r, võnguvad valemi (8.5) põhjal kõik samas faasis ja paiknevad allikat ümbritseval sfääril raadiusega r, mida nimetatakse samafaasipinnaks.
Kaugeimat samafaasipinda, milleni laine vaadeldavaks ajahetkeks jõudnud on, nimetatakse lainefrondiks. Eespool lainefronti seetõttu võnkumist veel ei toimu.
Arvutame ka keskkonnaosakese võnkumise amplituudi kaugusel r laineallikast. Et allikast lähtuv energia jaotub edasi liikudes üha suurematele samafaasipindadele, ühe sellise pinna pindala on aga , siis järeldub siit, et ühe osakese võnkumise energia kahaneb võrdeliselt kauguse ruuduga laineallikast. Et valemi (7.37) põhjal võnkumisenergia on ühtlasi võrdeline amplituudi ruuduga, siis järeldub siit, et keskkonnaosakeste võnkumise amplituud peaks kahanema võrdeliselt kauguse esimese astmega laineallikast. Siis peaks laine levikut ajas kirjeldama valem
. (8.6)
Siin
on laineallikast ühikulisel kaugusel asuva keskkonnaosakese amplituud.
Tegelikult tuleb arvestada ka seda, et laine levimise käigus muundub osa võnkumisenergiat soojuseks keskkonnaosakeste vahelise hõõrdumise tõttu, järelikult peab amplituud laineallikast eemaldumisel kahanema kiiremini. Siis laine levikut kirjeldava valemi tegelik kuju on
, (8.7)
kus tähistab keskkonnale vastavat sumbuvustegurit. Elastsetes keskkondades on sumbumine siiski suhteliselt väike ja me võime ligikaudsetes arvutustes kasutada valemit (6.6).
Mõnikord esitatakse laine levikut kirjeldav valem (8.5) kujul
, (8.7)
kus k on lainearv . Valemeid (8.5) ja (8.7) kõrvutades saame lainearvu jaoks avaldise
Seega
. (8.8)
Lainearvuks nimetatakse lainepikkuste arvu, mis mahub teepikkusele 2 ühikut.
Siis korrutis
valemis (8.7) kirjeldab keskkonnaosakese võnkumise mahajäämist faasis laineallika võnkumisest. See mahajäämus, nagu juba mainitud , on tingitud võnkumise levimisest kaugusele r laineallikast. Iga kaugusele r mahtuva lainepikkuse kohta tuleb mahajäämus faasis
rad.
Eraldi vaatleme veel tasalainet, mille korral samafaasipindadeks on paralleelsed tasandid . Kui tasalaine levib x-telje sihis, siis tema levikut kirjeldab võrrand
, (8.9)
Siin võnkumise amplituud kauguse kasvades väheneb ainult sumbuvuse tõttu, kuna kõik samafaasipinnad on ühesuguse pindalaga.
Lainete levimist keskkonnas kirjeldab Huygens -Fresneli printsiip. Keskkonna iga punkt, milleni lainetus on jõudnud, muutub ise elementaarsete keralainete allikaks. Niisuguste elementaarlainete mähispind ongi uus, järgmisele ajahetkele vastav lainefront .
8.3 Lainete interferents
Lainete superpositsiooni printsiip. Kui keskkonnas levib mitu lainet, siis nad levivad üksteisest sõltumatult ja keskkonnaosakeste summarne hälve on üksiklainete poolt põhjustatud hälvete geomeetriline summa.
Laineid nimetatakse koherentseteks, kui nende faasivahe on mistahes ruumipunktis konstantne . Koherentsuse eeltingimusena peab neil lainetel olema ühesugune sagedus.
Koherentsete lainete liitumisel tekib interferents. See tähendab, et nendes keskkonna punktides, kus lained kohtuvad samas faasis, nad tugevdavad üksteist ja tekib suurema amplituudiga liitvõnkumine. Neis keskkonna punktides, kus lained kohtuvad vastandfaasis, nad nõrgendavad üksteist ja tekib väiksema amplituudiga liitvõnkumine.
Vaatleme kahte punktallikat
ja , mille võnkefaasid on
ja . Asugu mingi ruumipunkt P esimesest allikast kaugusel
ja teisest kaugusel .
Nimetatud laineallikad tekitavad punktis P kumbki eraldi võnkumise:
. (8.10)
Kui punktis P nende faaside erinevus
(8.11)
siis nad tugevdavad teineteist ja tekib liitvõnkumine amplituudiga . Niisuguseid punkte nimetatakse interferentsimaksimumideks. Kui faasierinevus on
(8.12)
siis nad nõrgendavad teineteist ja tekib liitvõnkumine amplituudiga . Niisuguseid punkte nimetatakse interferentsimiinimumideks.
Võrrandit (8.11) on võimalik esitada ka kujul
. (8.13)
Kui anname suurusele n mingi konkreetse täisarvulise väärtuse, siis saame teatava pinna, mille kõik punktid rahuldavad järgmist tingimust – nende punktide kauguste vahe kahe etteantud punktini
ja on konstantne. Selline pind on hüperboloid, mille fookusteks on punktid
ja . Andes suurusele n kõikvõimalikke täisarvulise väärtusi, saame konfokaalsete hüperboloidide parve – kõikvõimalikud hüperboloidid, millel kõigil on fookusteks
ja . Järelikult paiknevad koherentsetele punktlaineallikatele vastavad interferentsimaksimumid konfokaalsetel hüperboloididel.
Sama võime kirjutada ka miinimumide kohta. Võrrandit (8.12) saab esitada ka kujul
. (8.14)
Ka see võrrand annab suuruse n erinevatele väärtustele vastavate hüperboloidide parve, mille ühised fookused on punktid
ja . Seega tekib järgmine interferentsipilt.
Pidevad jooned kujutavad selliseid pindu, kuhu mõlemast laineallikast lähtuvad lained jõuavad samas faasis ja seetõttu üksteist tugevdavad. Nendel pindadel võnguvad keskkonnaosakesed suurema amplituudiga. Katkendlikud jooned kujutavad pindu, kuhu mõlemast laineallikast lähtuvad lained jõuavad vastandfaasis. Nendel pindadel võnguvad keskkonnaosakesed väiksema amplituudiga.
8.4 Lainete difraktsioon
Difraktsiooniks nimetatakse lainete levimist tõkete ja avade taha. Difraktsioon on jälgitav niisuguste tõkete ja avade korral, mille mõõtmed ei ole väga palju suuremad vaadeldava laine pikkusest.
Tekitagu näiteks nõrk tuul veepinnal lainevirvenduse, kus lainepikkus on suurusjärgus mõni sentimeeter. Kui vees asub laine teel ees mõni suurem tõke, näiteks paarimeetrise laiusega kivi, siis selle kivi taha laine ei levi. Kui aga tõkke mõõtmed on väikesed, näiteks pannakse otsapidi vette sõrmejämedune kepp , siis lained mööduvad sellest nii, nagu mingit takistust ees ei olekski .
Samal põhjusel on kuulda meetrise läbimõõduga puutüve taga asuva inimese häält, sest puutüve läbimõõt on väiksem hääle lainepikkusest. Kui see inimene paikneks teisel pool suurt maja, siis tema häält kuulda ei oleks, kuna maja mõõtmed ületavad tunduvalt hääle lainepikkust ja sellepärast hääl teisele poole maja ei levi.
Täpsemalt käsitleme difraktsiooninähtust optikakursuses.
8.5 Lainevõrrand tasalaine korral. Lainete superpositsiooni printsiip
Vaatleme tasalaine levikut väga väikese sumbuvusega elastses keskkonna, mis levib x-telje sihis. Siis võime valemis (8.7) võtta sumbuvusteguri esimeses lähenduses võrdseks nulliga ja kirjeldada võnkuva keskkonnaosakese hälvet lihtsustatult
. (8.14a)
Arvutame siit teised tuletised nii aja kui ruumikoordinaadi x järgi:
Kahte viimast avaldist võrreldes saame hälbest koordinaadi ja aja järgi võetud tuletiste vahel seose
Arvestame veel, et sageduse ja lainearvu definitsioonide põhjal
Asendame saadud tulemuse eelmisse valemisse, saame tasalaine levimist kirjeldava valemi
. (8.15)
Saadud valemi (8.15) nimetatakse x-telje sihis leviva tasalaine võrrandiks. Suurus v on laine levimiskiirus.
Kui tasalaine levib mingis suvalises suunas, asendatakse x-koordinaadi järgi võetud teine tuletis kõigi kolme ruumikoordinaadi järgi võetud teiste tuletiste summaga . Saadakse tasalaine võrrand üldjuhu jaoks
. (8.16)
Siis võnkuva keskkonnaosakese hälvet kirjeldav funktsioon
omab kuju
. (8.17)
Selles valemis on lainevektor.
Lainevektoriks nimetatakse vektorit , mille moodul võrdub lainearvuga ja mille suund ühtib laine levimise suunaga:
. (8.17a)
Skalaarkorrutise
valemis (8.17) võib esitada ka kujul
, (8.18)
kus (x,y,z) on laine mõjul võnkuva keskkonnaosakese koordinaadid ning
lainevektori vastavate telgede sihilised komponendid.
Ülesanne. Iseseisvalt võtta valemist (8.17) teist järku osatuletised aja ja iga ruumikoordinaadi järgi ning näidata, et kehtib valem (8.16).
On lihtne näidata, et kui funktsioon
(8.17), mis kirjeldab keskkonnaosakese võnkumist ringsagedusega
mingist laineallikast kaugusel r, sobib võrrandi (8.16) lahendiks, siis sobib selleks ka mingi n erineva funktsiooni
summa kujul
kus iga funktsioon
kirjeldab võnkumist, mille põhjustab vaadeldavast keskkonnapunktist kaugusel asuv tasalaine laineallikas, mis võngub sagedusega
ja kiirgab tasalainet amplituudiga . Seega – kui keskkonnas levivad erinevad tasalained, siis iga keskkonnaosake võnkumine on üksikute tasalainete poolt põhjustatud üksikvõnkumiste summa. Täpsema analüüsiga saab näidata, et nimetatud tulemus ei kehti mitte ainult tasalainete kaoks, vaid suvalise iseloomiga lainete korral. Seda arvestades saab sõnastada lainete superpositsiooni printsiibi.
Lainete superpositsiooni printsiip. Keskkonnaosakese võnkumine mitme erineva laine mõjul võrdub üksiklainete poolt esilekutsutud üksikvõnkumiste summaga, kui liitvõnkumise amplituud ei ületa keskkonna elastsuse piiri. See tähendab, keskkonnaosakese hälve peab olema võrdeline seda hälvet tekitava jõuga.
Füüsikaliselt tähendab see, et kui keskkonna elastsuspiir pole ületatud, siis ühes ja samas ruumipiirkonnas levivad erinevad lained teineteist ei mõjuta. Nende koosmõju piirkonnas üksiklainete poolt esilekutsutud hälbed liituvad, kuid pärast selle piirkonna läbimist jätkavad lained edasiliikumist moonutamata kujul.
7.8 Laine levimiskiirus elastses keskkonnas
Tuletame valemi mingis elastses aines pikilaine (näiteks heli) levimiskiiruse arvutamiseks. Olgu keskkonna elastsusmoodul
ja tihedus . Levigu selles keskkonnas tasalaine kiirusega .
Üldisust kitsendamata võime käsitleda laine levikut x-telje sihis. Eraldame keskkonnast mõttelise silindri, mille telg ühtib laine levimissuunaga. Silindri pikkus olgu ja põhjapindala S.
Ilmselt erinevad silindri erinevates osades keskkonnaosakeste hälbed tasakaaluasendist. Silindri vasakpoolses otsas, mille koordinaat on x, tähistame keskkonnaosakeste hälbe vaadeldaval ajahetkel sümboliga . Silindri parempoolses otsas, mille koordinaat on , on keskkonnaosakeste hälve samal ajahetkel mingi suuruse võrra erinev, s.t. nende hälve on .
Järelikult muutub silindri pikkus laine mõjul suuruse
võrra. Tema suhteline pikenemine avaldub
Silindri suhtelise pikenemise punkti x lähiümbruses saame järelikult piirile
minnes. Siis silindri vasakpoolses otsas
kus tuletise väärtus on arvutatud punktis x. Suhteline pikenemine punkti
lähiümbruses võrdub samamoodi arvutatud tuletisega p
Vastavalt valemile (4.17) silindri vasakpoolses otsas tekib deformatsiooni tõttu mehhaaniline pinge
mehhaanilise pinge definitsioonvalemi (4.16) põhjal peab siis silindri vasakule põhjale mõjuma elastsusjõud
Sarnaselt mõjub silindri paremale põhjale elastsusjõud
Kirjutame nüüd välja meie poolt vaadeldud silindri liikumisvõrrandi. Tema mass on , temale mõjuv resultantjõud võrdub tema otstele mõjuvate elastsusjõudude vahega. Järelikult
kahte eelmist valemit arvestades saame silindri kiirenduse
. (8.19)
Kui oletada, et vaadeldav lõik pikkusega on väike, võime rakendada tuletise
ligikaudseks arvutamiseks valemit
kus
on mingi suvaline argumendi x funktsioon. Siis võime kirjutada ligikaudse valemi
Asendades saadud tulemuse silindri kiirenduse valemisse (8.19), saame pärast sarnaste liidetavate koondamist ja silindri pikkusega
taandamist silindri võnkumise kiirenduse
Võrdleme saadud tulemust x-telje sihis leviva tasalaine võrrandiga (8.15). Sellest järeldub, et elastses keskkonnas, mille elastsusmoodul on
ja tihedus , levib pikilaine kiirusega
. (8.20)
Laine levimiskiirus on seda suurem, mida suurem on keskkonna elastsusmoodul ja mida väiksem on keskkonna tihedus.
Mainime veel ,et sarnaselt saab tuletada valemi ka keskkonnas leviva ristlaine levimiskiiruse arvutamiseks:
, (8.21)
kus G on selle keskkonna nihkemoodul .
10