Tõenäosusteooria ja statistika (0)

Eesti Maaülikool - Muu - Tõenäosusteooria ja statistika

5 VÄGA HEA

Üldkogum – ehk populatsiooni all mõeldakse kõiki juhtumeid või situatsioone, mille kohta uurijad soovivad, et nende poolt saadud järeldused või prognoosid kehtiksid.
Valim – liikmed tuleb valida juhuslikult, st igal üldkogumi liikmel peab olema võrdne võimalus saada valitud valimisse .
Valimimaht – Valimisse valitavate objektide arv.
Tunnuste- all mõistetakse liikmeid kirjeldavaid erinevaid omadusi.

Statistilise uurimistöö etapid. Mingi probleemi statistilise uurimisel läbitakse 4 tööetappi:

Uuringu ettevalmistamine
Statistiline vaatlus või eksperiment
Vaatlusandmete kokkuvõtte ja esialgne töötlemine
Andmete analüüs, järelduste ja üldistuste sõnastamine.

Statistlise vaatluse vead. Eristatakse vaatlusmeetodist tulenevaid metodoloogilisi vigu ja registreerimisvigu.
Metodoloogilised nt : valimivaatlusel esinevad representatiivsusvead – valim ei kirjelda üldkogumit adekvaatselt. Vaatluse eesmärk ja objekt pole täpselt piiritletud, vaatlusviis on ebaõnnestunult valitud..
Registreerimisvead nt: 1. Tahtlikult tekitatud vead( kui andmeid moonutatakse meelega, seda tehakse kui andmete andja või ka saaja on ühel või teisel põhjusel moonutamisest huvitatud.) 2. Mittetahtlikult tekitatud vead: jämedad(võib tekkida mõõtmist, vaatlust.. segava faktori mõjul);juhuslikud(tekivad paratamatult igasugusel mõõtmisel ja vaatlemisel);süstemaatilised vead(tekivad mingi perioodilise või pidevalt tegutseva faktori mõju tulemusena, nt rikkis mõõteriista tõttu).

Rühmitamine – eesmärgiks on kogumi üksikasjalikum iseloomustamine . Toimub nii, et kogumi üksikliikmed jaotatakse teatud tunnuse alusel ühelaadilistest liikmetest koosnevateks rühmadeks. Nt analüütilise rühmitamise eesmärgiks on avastada nähtuste kujunemises valitsevaid varjatud seoseid ja seaduspärasid. Nt võib ettevõtteid jaoatda rühmadeks majanduslike tulemuste, kasumi jms alusel.
Ligikaudseks rühmade arvu määramiseks kasutatakse valemit: r=1+3,32*log n. Kus r – rühmade(intervallide) arv, n – kogumi maht.
Intervalliks nim. uuritava tunnuse väärtuse vahemikku, millega määratakse kindlaks missugusesse rühma rühmitatava kogumi liige tuleb arvata.
Ms Excelis on rühmitamise jaoks funktsioon FREQUENCY .
Kogutud andmed moodustavad statistilise rea, mida korrastatakse, rühmitatake, leitakse nendele statistilised karakteristikud , moodustatakse tabelid ja diagrammid . Kui statistilises reas korrastatakse andmed nende väärtuste kasvavas või kahanevas järjestuses, nim tulemust variatsioonireaks.
Lihtsatest ridades on sama palju arve kui on vaatlusega hõlmatud kogumis liikmeid. Intervallitud variatsioonirida hõlmab 2 koostisosa – intervallide loetelu ja igasse interv. langevate rea liikmete arv.

Kaalutud aritmeetiline keskmine – tuleb kasutada kui iga variant stat.reas on erisuguse osatähtsusega, kui variantide esinemissagedused erinevad v kui perioodreas perioodide pikkused on erinevad. Arvutades tuleb x korrutada f’ga(sagedus) ja liita järgmise xf’ga jagada f’ide summaga ..
Harmooniline keskmine – tuleb kasutada siis kui tunnuse väärtuse mõõtühik väljendub eri mõõtühikute suhtena( nt km/h) ning kaaluks keskväärtuses osalemiseks on murru lugeja(kiiruse puhul kaugus). Kasutamise vajadust tuleb kaaluda ka kõigi suhtarvudest keskmiste leidmise korral (nt keskmine saagikus, jms).
Kronoloogiline keskmine – kasutatakse momentridade korral kui momentidevahelised ajalõigud on võrdsed(nt kuupäevad ).
Geomeetriline keskmine – kordsete suuruste keskmine. Ruutjuure all korrutatakse x’d ja ruutjuurel on n peal arv(nt aastate arv). Kasutatakse siis, kui tunnuse väärtuseks on kordarvud , millest iga järgnev näitab seda, mitu korda on ta eelmisest suurem.
Ruutkeskmine – rakenduslik tähtsus on suur dispersioonanalüüsis, korrelatsioonikordajate leidmisel ja muudes statistliste protseduurides.

Mediaan – korrastatud statistilise rea keskliige , millest mõlemale poole jääb võrdne arv liikmeid. Ühele poole jäävad on väiksemad ja teisele poole jäävad suuremad.
Kvartiilid –Jagavad stat rea neljaks osaks, millel igas on võrdne arv liikmeid. Esimene kvartiil on mediaan rea esimesest poolest, teine kv. on mediaan, kolmas mediaan rea teisest poolest.
Detsiilid jaotavad stat rea kümneks osaks (D1..D9).Tsentiilid jaotavad stat rea 100 võrdse liikmete arvuga osaks(T1..T99)

Mood – kõige sagedamini korduv tunnuse väärtus. Seda kasutatakse siis, kui soovitakse kogumit iseloomustada temas kõige sagedamini esineva nähtuse alusel. Mood on kõige tüüpilisem väärtus.
Pideva tunnuse korral tuleb andmed rühmitada intervallidesse ja saadud intervallitud variats.reas onmoodi leidmine keerulisem. Selleks tuleb leida moodintervall, so kõige suurema sagedusega intervall ja arvutada.

Variatsiooniamplituud – on statistilise rea kõige suurema ja väiksema väärtuse vahe. Selle järgi saab kõige lihtsamini tunnuse väärtuse varieerumist kirjeldada. Puuduseks on, et ta ei väljeda rea kõigi, vaid üksnes äärmiste liikmete erisusi.St et suhteliselt erinevate ridade variatsiooniamplituudid võivad osutuda võrdseteks.
Keskmine lineaarhälve – Variantide individuaalväärtuste ja nende aritmeetilise keskmise vaheliste hälvete absoluutväärtuste aritmeetiline keskmine. See üldistab lineaarhälve kogumi kõigi liikmete vahelisi erisusi. Selle mõõtühikuks on üksikväärtuste mõõtühik.
Variatsioonikoefitsient keskmise lineaarhälbe järgi. – Lineaarhälbe abil ei saa võrrelda eri mõõtüh. esitatud ridade varieerumist. Seda saab lahendada suhtelise variatsiooninäitarvu e. Koefitsiendi arvutamisega. Saadud variats.koefitsient on nimetu suurus, ta on võrreldav mistahes teise nähtuse kohta arvutatud variats.koef.ga.
Dispersioon – selle arvutamisel tõstetakse individuaalväärtused ja nende aritmeetiliste keskmiste vahelised hälved ruutu. See omadus ongi teinud disp. Kõige rohkem kasutatava variatsiooninäitarvu. Puuduseks on see, et tema mõõtühikuks on variandi mõõtühiku ruut. Nimetatud puudusest ülesaamiseks kasutatakse standardhälvet, mis on ruutjuur dispersioonist. Standardhälve on alati samades mõõtühikutes, milles variandidki. Variatsioonikoefitsienti standardhälve järgi kasutatakse siis kui on vaja võrrelda niisuguste tunnuste hajuvust, mis on mõõdetud erinevates mõõtühikutes. Nt mis varieerub rohkem, kas inimese pikkus v kaal.

Asümmeetria koefitsient (asümmeetria kordaja) – vasakkaldeline siis on väiksema väärtusega variante rohkem. Paremkaldeline siis on suurema väärtusega variante rohkem.
Täiesti sümmeetrilistes ridades on K=0, Paremkaldelistes K väiksem kui 0 ja vasakkaldelistel K suurem kui 0.

Ektsessiks – nim tegeliku püstakuse hälbimist normaaljaotuse kõvera suhtes. Positiivse ekstsessi korral on tunnuse väärtuste esinemissageduse kõver teravatipulise, negatiivse ekstsessi korral laugjam kui etaloniks võetaval normaaljaotuse kõveral. Normaaljaotuskõvera ekstsess on 0.

Juhuslikuks – nim sündmust, mis teatud tingimuste olemasolu korral võib toimuda ja võib ka mitte toimuda.

Kahe sündmuse A JA B summaks – nimetatakse keerulist sündmust, mis seisneb kas ühe või teise või mõlema toimumises. Tähistatakse A+B.
Kahe sündmuse A ja B korrutiseks – nim keerulist sündmust, mis seisneb nii ühe kui teise toimumises. Tähistatakse AB.

Sündmuse klassikaline tõenäosus – sündmuse A tõenäosus on võrdne murruga, mille lugejaks on sündmuse A jaoks soodsate juhtude (võim.)arv m ja nimetajaks kõigi juhtude (võimal.) arv n. P(A) = M/n kusjuures m – sündmuse A jaoks soodsate juhtude arv ja n – kõigi võimaluste arv. Tõenäosuse põh. Omadused: 1.) Juhusliku suuruse tõenäosus on alati vahemikus 0 ..1. 2)võimatu sündmuse tõenäosus on 0.; 3) kindla sündmuse tõenäosus on 1; 4) sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on võrdne ühega, st P(A)+P(Akriipsüleval)=1 Tõenäosuse puudused: def. on rakendatav ainult siis kui kõigi juhtude arv n on lõplik ja on teada, et praktikas see enamasti nii ei ole; soodsate juhtude arv m ei pruugi olla teada; def.eeldab et kõik juhud on võrdtõenäosed, praktikas sageli nii ei ole.

Sündmuse tõen. statistiline def. – Suhteline sagedus, m/n kusjuures n – katsete arv, m – sündmuse toimumiste arv n katsete korral. P(A) = lim m/n seda nimetatakse sündmuse statistiliseks tõenäosuseks. Puudus- seda täpset väärtust ei ole võimalik praktikas kasutada, sest kellelegi ei anta aega ega raha lõpmata arv kordi katseid sooritada , kasutatakse ligilähedasi väärtusi. P(A)=w=m/n.

Sündmuse tinglik tõenäosus – Kui kaks sündmust A ja B toimuvad järjestikku siis tekib küsimus, kas esimese sündmuse toimumine mõjutab hilisema sündmuse toimumist . Kui hilisema sündmuse B tõen. sõltub eelneva sündmuse toimumisest on sellise olukorra jaoks kasutusele võetud sündmuse tingliku tõen. mõiste. Tinglikku tõen. tähistatakse P(B/A), kusjuures loetakse seda järgmiseks ’’ sündmuse B tõenäosus tingimusel, et on toimunud sündmus A’’

Tõenäosuste liitmisteoreem – Kahe teineteist mittevälistava sündmuse A ja B summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud mõlema osasündmuse ühise esinemise tõenäosus, st P(A+B) =P(A)+P(B)-P(AB). Kahe teineteist välistava sündmuse A ja B summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P(A+B) =P(A)+P(B).

Tõenäosuste korrutamisteoreem - Kahe sündmuse A ja B korrutise tõenäosus on võrdne ühe sündmuse tõenäosuse ja teise sündmuse tingliku tõenäosuse korrutisega, st
P(AB) = P(A) *P(B/A)=P(B)*P(A/B). Kui sündmused on sõltumatud, siis P(AB)=P(A)*P(B).

Täistõenäosuse valem – on ühe keerulise sündmuse tõenäosuse arvutamiseeskiri. Saagu sündmus A kaasneda ühega sündmustest B1,B2..Bn, mis moodustavad sündmuste täieliku süsteemi. Sündmuste Bi(i=1..n) tõenäosused P(Bi) olgu teada. Samuti olgu teada ka sündmuse A sündmustega Bi koostoimumise tinglikud tõenäosused P(A/Bi). Sündmuse A tõenäosus P(A) leidmiseks kehtib täistõenäosuse valem.
P(A)=P(B1)*P(A/B1)+P(B2)*P(A/B2)+..+P(Bn)*P(A/Bn).

Bayesi valem – Olgu teada sündmuste B tõenäosused ning samuti olgu teada ka sündmuse A tinglikud tõenäosused tingimusel, et mingi sündmus Bi on toimunud tingliku tõenäosusena P(A/B). Sooritame katse ja selle käigus toimub sündmus A. See sunnib ümber hindama sündmuste B tõenäosusi. Tuleb leida sündmuse Bi tõenäosus pärast seda kui sündmus A on juba toimunud. Seda tõenäosust võimaldabki arvutada bayesi valem.
P(Bi/A) = P(Bi)*P(A/Bi)/∑P(Bi)*P(A/Bi)

Juhusliku suuruse mõiste - suurust nim juhuslikuks kui see omab antud tingimustes ühe oma võimalikest väärtustest, mis sõltub juhuslikest põhjustest.

Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon – tõenäosust selleks, et juhuslik suurus X omandab mingist konkreetsest väärtusest x väiksemaid või võrdseid väärtusi nimetatakse juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks. F(x)=P(X≤x). Jaotusf.on üks juhusliku suuruse jaotuse esitusviise. Iseloomustab täielikult juhusliku suuruse väärtuste jaotumist nende esinemise tõenäosuse järgi. Kui jaotusf.F(x) on teada siis iga x korral on võimalik leida, kui tõenäone on, et juhusliku suuruse väärtused on väiksemad kui x. OMADUSED: kuna jaotusf. on oma olemuselt tõenäosus, siis on tal kõik tõenäosuse omadused, st jaotusfunkts.väärtused saavad olla vahemikus 0≥F(x)≤1. ; Jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon; F(-∞)=0; F(+∞)=1. Jaotusfunktsiooni graafik sõredate suuruste korral on trepiastmete kujuline. Pidevate juhuslike suuruste korral on sujuvalt ülesminev, mitte astmik.

Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon – nimetatakse jaotusfunktsiooni esimest tuletist, st P(x)=F’(x). OMADUSED: Tihedusfunkts.on ainult pidevatel juhuslikel suurustel!; mittenegatiivne funktsioon p(x)≥0, st tihedusf. on kas võrdne nulliga v omab positiivseid väärtuseid. ; P(-∞)=0, st tihedusf.kohal -∞ on võrdne nulliga. JA p(+∞)=0. Määratud integraal tihedusf. lõpmatutes rajades on võrdne ühega. Tihedusf. graafik ei saa asuda allpool x-telge ning kogu kõvera ja x-telje vahele jääva kujundi pindala on võrdne ühega. (graafik läheb üles ja siis alla).

Juhusliku suuruse antud vahemikku langemise tõenäosus – Kui on tarvis leida kui tõenäone on, et juhuslik suurus omandab väärtuse antud x1 ja x2 vahel. Sellisel juhul räägitakse sündmusest ,,juhusliku suuruse sattumine antud vahemikku’’ ja tähistame P(x1

.DOCX Laadi alla originaalfail 10 lk · .docx · 155 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 10 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2015-09-08 Kuupäev, millal dokument üles laeti

155 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

kkairii Õppematerjali autor

Statistika eksami jaoks küsimuste vastused.

Sarnased õppematerjalid

docx

Tõenäosusteooria ja statistika konspekt

Tõenäosusteooria ja statistika eksam 1) Üldkogum – (ka populatsioon) looduse või ühiskonna või objektide hulk, mille kohta soovitakse teha järeldusi teda esindava valimi põhjal. Valim – väljavõtukogum; liikmed tuleb valida juhuslikult, st igal üldkogumi liikmel peab olema võrdne võimalus saada valitud valimisse. Valimi maht – vaatluste arv Tunnused: Kvalitatiivsed (sõnadega) – nominaalsed (värvid, rahvused, tõud) – järjestus e ordinaalsed (ei meeldi, pigem meeldib) Kvantitatiivsed e arvtunnused (mõõdame, loendame) – sõredad e diskreetsed – saavad omandada väärtusi ainult kindlate ajavahemike järel (laste arv peres). – pidevad – teatud piires võivad omandada, mistahes väärtusi ainult kindlate ajavahemike järel (nisu saagikus). 2) Statistilise uurimistöö etapid Uuringu ettevalmistamine (eesmärk, plaan, andmete vajadus, andmete kogumisviis, töötlemisviis, võimalikud järeldused). Statistiline

Statistika

docx

Statistika kordamisküsimused

1. MÕÕTMINE Mõõtmine on objektide võrdlemine - Korraga saab võrrelda ainult kaht objekti omavahel. Kui objekte palju, valitakse välja üks (etalon) ning teisi võrreldakse sellega. Otsene mõõtmine ja kaudne mõõtmine – otseste mõõtmiste kaudu Nimi- ehk nominaalskaala – objektide eristamiseks – sugu, rahvus, huvid, kaubakood, ettevõtte registrinumber Järjestusskaala – võimaldab objekte järjestada mingi tunnuse alusel – nt ettevõtted: väikesed, keskmised, suured – küsitlus: "poolt", pigem poolt kui vastu", "pigem vastu kui poolt", "vastu" – intervallid skaalajaotuste vahel pole võrdsed Intervallskaala – skaalajaotuste intervallid on võrdsed  Vahemikskaala – nullpunkti asukoht kokkuleppeline – ajaskaala, Celsiuse skaala temperatuuri mõõtmiseks – võib leida vahesid, ei tohi leida suhteid  Suhteskaala – nullpunkt fikseeritud absoluutselt – objekti pikkus, kaal, töötajate arv, käive, m

Statistika

pdf

Kordamisküsimuste vastused

Statistika teooria I 1. Kirjeldava statistika põhimõisted: aritmeetiline keskmine, mediaan, kvartiilid, mood, dispersioon, standardhälve, haare. Esitada definitsioonid ja osata antud andmeväärtuste puhul neid mõisteid rakendada N x + x 2 + ... + x N xi Aritmeetiline keskmine: µ = 1 = i =1 N N

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

doc

Majandusstatistika

Majandusstatistika eksamiküsimused FK100 1. Statistika mõiste. Üldkogum ja valim. Rühmitatud andmed. Statistilise materjali graafiline esitamine (histogramm ja kumulatiivse sageduse graafik). Statistika on andmete kogumine ja töötlemine, statistilised andmekogumid, teadusharu, mille põhiülesandeks on massinähtuste vaatlemine, nende kohta andmete kogumine ja analüüsimine ning selle põhjal järelduste ja üldistuste tegemine ning praktiliste lahenduste pakkumine Üldkogum antud tunnustega elementide hulk (nt. koolis õpilaste hulk), N Valim- juhuslik alamhulk üldkogumist (nt õpilaste seast tüdrukute hulk), valimi vaatluse läbi püütakse teha

Majandusstatistika

docx

Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika kokkuvõte

suuremaid väärtuseid. Sümmeetrilise jaotuse korral on asümmeetriakordaja enam- vähem võrdne nulliga: AsX 0. Valem: ekstsess - arvkarakteristik, mis kirjeldab JS-te väärtuste jaotumist. Ekstsess ehk ekstsessikordaja näitab tihedusfunktsiooni f(x) tõusu ehk tema graafiku tipu teravust võrreldes normaaljaotusega. Normaaljaotuse korral ExX = 0. Kui ExX > 0, siis on graafiku tipp järsem, kui ExX < 0, siis laugem. Valem: 16. Statistika mõisted Valim, - uuringusse kaasatud üldkogumi objektid n üldkogum, - kõik objektid, kelle kohta soovitakse saada infot, tihti täpne arv teadmata, kui teada tähistame N. tunnus, - iseloomulik omadus, mille poolest objektid (nähtused) üksteisega sarnanevad või üksteisest erinevad, tunnuse väärtus omandab erinevatel objektidel erinevaid väärtusi. tunnuste liigid. Arvtunnused ehk kvantitatiivsed tunnused 1. Pidevad 2. Diskreetsed 0, 1, 2, ...

Matemaatika

docx

ÜLEVAADE TÕENÄOSUSTEOORIA PÕHIMÕISTETEST

elementaarsündmused sisalduvad ka sündmuses B (nt A: ärtu sõdur, B: ärtu piltkaart, C: piltkaart korral A B C) Vastandsündmus A : sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, A : punane kaart) sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus- sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenäosusteooria seisukohalt on tõenäosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast : 1.Normeeritusaksioom: 0 P(A) 1 2 Liitmisaksioom: vastastikkku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = Ø (-aditiivsus) 3.Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A

Rakendusstatistika

docx

Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika kordamisküsimused

ühise keskväärtusega μ ja dispersiooniga σ2. 21. Kuidas jaotub standardse normaaljaotusega juhuslike suuruste ruutude summa? Standardse normaaljaotusega sõltumatute juhuslike suuruste X 1 kuni Xy ruutude summa Y=( X1)2 +( X2)2 +...+( Xy)2 on χ2-jaotusega (hii-ruut jaotusega) juhuslik suurus Y~ χ2(v), kus liidetavate arv v on χ2-jaotuse parameeter, mida nimetatakse vabadusastmete arvuks. MATEMAATILINE STATISTIKA ÜLDKOGUMI KARAKTERISTIKUTE PUNKIHINNANG 22. Mõisted: üldkogum, objekt, tunnus, tunnuse jaotus, üldkogumi karakteristik, valim, valimi statistik, üldkogumi karakteristiku hinnang, hinnangu tüübid. Ülkogum - mingil printsiibil määratletud, vaatluse alla võetav objektide koguhulk. Tunnus - iga objekti iseloomustavad temal mõõdetud tunnused. Tunnuse jaotus - iga arvulist tunnust võib vaadelda kui juhuslikku suurust, mis omandab väärtusi kindlast vahemikust

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

docx

Rakendusstatistika kokkuvõte

Juhuslik sündmus on midagi, mis mingi katse tulemusel võib toimuda. Katse on mingi tingimuste kompleksi realiseerumine. Elementaarsündmused on mingid üksteist välistavad sündmused, millest iga katse korral üks tingimata toimub. Juhuslikud sündmused: *vastastikku välistuvad sündmused- ei sisalda samu elementaarsündmusi *vastastikku mittevälistuvad sündmused- sisaldavad samu elementaarsündmusi *sündmuste sisalduvus- kui toimub A, toimub ka B *vastansündmus- kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes. Tõenäousese määramisviisid: klassikalised(kombinatoorne, geomeetriline, statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike

Rakendusstatistika

Rohkem sarnaseid