Majandusstatistika (1)

Sisekaitseakadeemia - Majandus - Majandusstatistika

5 VÄGA HEA

Majandusstatistika eksamiküsimused
FK100

Statistika mõiste. Üldkogum ja valim . Rühmitatud andmed. Statistilise materjali graafiline esitamine ( histogramm ja kumulatiivse sageduse graafik ).
Statistika on andmete kogumine ja töötlemine, statistilised andmekogumid, teadusharu , mille põhiülesandeks on massinähtuste vaatlemine, nende kohta andmete kogumine ja analüüsimine ning selle põhjal järelduste ja üldistuste tegemine ning praktiliste lahenduste pakkumine
Üldkogum – antud tunnustega elementide hulk (nt. koolis õpilaste hulk), N
Valim- juhuslik alamhulk üldkogumist (nt õpilaste seast tüdrukute hulk), valimi vaatluse läbi püütakse teha järeldusi üldkogumi kohta.
Rühmitatud andmed- korrastamata statistilise rea andmed, mida rühmitatakse klassidesse e. intervallidesse skaalal
Statistilise materjali graafiline esitamine:

Valimi elementide korrastatud hulk e. variatsioonirida (sageli rühmitatakse klassidesse e. tekib intervall )

Klassides arvutatakse kokku olevat hulka v

Sagedus, mis kogu üldkogumis peab võrduma 1-ga (Intervalli jäävate valimite arv jagatakse üldkogumi arvuga)

Sageduse suhteline tihendus saadakse kui sagedus jagatakse intervalli vahesummaga ( )

Kumulatiivne sagedus saadakse liites väärtuste juurde järgmise rea sageduse () väärtus
Histogramm on astmeline kujund, mis kujundab endal ristkülikuid, mille alused on võrdsed intervalli vahesummaga ( ) ning kõrgus võrdne sageduse suhtelise tihedusega . Pindala on alati võrdne 1-ga.
Kumulatiivse sageduse graafik kujundab endal ristkülikuid, mille alused on võrdsed intervalli vahesummaga ( ) ja kõrgus võrdne kumulatiivse sagedusega , kasvades 0-st 1-ni.

Juhuslik sündmus. Tehted sündmustega. Sündmuse sagedus ja tõenäosus.
Juhuslik sündmus – võib toimida või mitte (täringu viskamisel võib tulla 3, võib ka mitte). Sündmuse A + B summa on sündmus, mille toimumine seisneb neist vähemalt ühe (A v B) toimumises. Sündmuse A x B korrutis on sündmus, mille toimumine seisneb mõlema (A ja B) toimumises.
Sündmuse sagedus on sooritatud (n) katsete ja katseseeriate (m) arvu vahejagatis
Sündmuse tõenäosus on juhuslik sündmuse konstant, mille ümber grupeerub selle sündmuse sageduse katsete arvu suurenedes (m- soodsate sündmuste arv, n- võrdvõimalike sündmuste arv)

Juhusliku suuruse keskväärtus (). Keskväärtuse punkthinnang (aritmeetiline keskmine ). Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse mood ja mediaan.
Juhusliku suuruse keskväärtus grupeeritud juhuslike suuruse võimalikud väärtused. Juhuslike võrdvõimalike sündmuste arvu (N) soodsate sündmuste protsendilise tõenäosuse korrutis
E(X) = n * p p = 1 – q
Võrdvõimalike sündmuste sageduse tiheduse () korrutise summa
... *
Keskväärtuse punkthinnang () e arit. keskmine on keskväärtuse parim hinnang. Püüame hinnata tajuvust, selleks moodustatakse hälbed aritm. keskmise suhtes.
++ ... + )
Juhusliku sündmuse mood (M0 X) on kõige suurem tõenäosuse väärtus.
= max
Juhusliku sündmuse mediaan – variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või paariarvulise valimi korral kahe keskmise elemendi poolsumma.

Dispersioon ja standardhälve ( ja ). Dispersiooni ja standardhälbe punkthinnangud ( ja ).
Dispersioon (DX) juhusliku suuruse ja tema keskväärtuse vahe ruudu keskväärtus DX=E(X-EX)². Praktikas kasutatava binoomjaotuse dispersioon on arvutatav lihtsama valemiga D(x)=npq
Standardhälve on ruutjuur dispersioonist - σ(X)= ruutjuur DX.
Dispersiooni punkthinnang on valiku uuringu korral. Dispersiooni hindamiseks kasutatud kõikse uuringu andmetel põhinevat üldkogumi dispersiooni arvutus:
( ² * ²)
Standardhälve punkthinnang on praktilise kasutamise vajadusi rahuldav väga väikese nihkega hinnang

Bernoulli valem. Binoomjaotus (definitsioon, jaotusrida, keskväärtus ja dispersioon ). Poissoni jaotus.
Bernouli valem
Bernoulli valem on tõenäosus teoorias valem, mis näitab n ühesuguse ja sõltumatu katse korral sündmuse A toimumise tõenäosust täpseltk korda kui sündmuse tõenäosus igal katsel on p=P(A).
kus q on sündmuse A vastandsündmuse toimumise tõenäosus q = 1 − P(A).
Tuletus: Sündmus A toimub n katse korral m korda, siis sündmuse A vastandsündmus toimub n – m korral.
Binoomjaotus
Juhuslikku suurust X, mille võimalikeks väärtusteks on naturaalarvud 0,1,2... n ja mille vastavad tõenäosused arvutatakse Bernoulli valemiga, nim binoomjaotusega juhuslikeks suurusteks.
Binoomjaot. keskväärtus EX=np , dispersioon DX=npq, standardhälve √DX.
Keskväärtus:
Dispersioon:
Poissoni jaotus
Poissoni jaotus – harva esinevate sündmuste jaotusseadus. Poissoni jaotust kasutame kui katseseeriate arv n∞ st. n≥30 ja tõenäosus p≤5. m on antud arv.
Poissoni jaotusega juhuslikuks suuruseks nimetame juhuslikku suurust, mille väärtuste hulgaks on täisarvud 0,1,2 .. ja mille jaotus on määratud valemiga . Poissioni jaotusega juhuslikku suurust tähistame X~P(λ).
Keskväärtus EX= λ=np, dispers DX= λ=np, standardälve √DX=√ λ.

Normaaljaotus . Normaaljaotuse jaotustihedus ja selle graafik. Normaaljaotusega juhusliku suuruse antud vahemikku sattumise tõenäosuse arvutuseeskiri. Laplace ’i funktsiooni graafik ja omadusi.
Kui pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks on funktsioon
siis öeldakse, et see suurus on normaaljaotusega e. Gaussi jaotusega.
Tähistus: X~N(m;σ)
Normeeritud normaaljaotus on juhul kui m=0 ja σ =1.
Normaaljaotus tekib järgmistel tingimustel:
1) tunnuse väärtusel on olemas mingi fikseeritud keskmine tase
2) tunnuse väärtus kujuneb paljude üksteisest sõltumatute nõrgalt mõjuvate faktorite toimel.
3) tunnuste väärtuste suurenemine üle keskmise taseme ja vähenemine alla keskmise taseme on võrdvõimalikud.
Keskväärtus EX=m; Dispersioon DX= σ2; Standardhälve σ(x)= σ
Normjaotuse näited: detailide kulumine teatud mehhanismides, juhuslikud mõõtmisvead.
Laplace funktsioon e. tõenäosuse integral.
Laplace’i funktsiooni omadused:
1) Ф(0)=0
2) Ф(∞)=0,5
3) Ф(-X)=- Ф(X).(paarisfun)

Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkonna leidmine. Studenti jaotus.
k= n-1 ;
β- Usaldusnivoo
k=n-1 (vabadusastme ARV)
-dispersiooni usalduspiirkond

Juhusliku sündmuse tõenäosuse usalduspiirkonna leidmine.
Juhuslik sündmus on sündmus, mis antud katse korral võib toimuda või mitte toimud
juhuslik sündmus leidis n katsel aset m korda, st saame sündmuse toimumise tõenäosusele p hinnangu .
2kus
ja β usaldusnivoo. Kokku tõenäosusega β .
Tähelepanu, kasutades tabelit teeme seda tagurpidi , st esiteks otsime tabelist vastava tõenäosuse (enamasti 0.95) ja siis sellele tõenäosusele vastava tunnuse väärtuse tabeli äärtest (β=0.95 korral on selleks 1.96).
Et kasutamist leiavad vähesed usaldusnivoo β väärtused saab valemi avaldada
Näide: Küsitleti 100 inimest ja neist 54 toetas uue tuumaelektrijaama ehitust. Leiame 99% usalduspiirid tuumajaama toetusele. p*=54/100=0,54, q*=0,46, n=100.
vaatame tabelisse ja leiame
lahendades leiame ε = 0,128. Ehk tõenäosusega 0.99 on tuumajaama toetajaid (kogu rahvastikus) 41 kuni 67%. (0.54-0.128)*100%41.
Näite järg: Uurime mitu inimest tuleks küsitleda, et samadel andmetel ja usaldusnivooga jääks toetajate osatähtsus üle 50 %. Erinevalt eelmisest lahendusest on nüüd teada ε = 0.04 (54%-50% ja jagame 100, sest ε on tõenäosus) ja pole teada n.
Saame ja lahendades n suhtes n > 1030.

Statistilised hüpoteesid. Esimest ja teist liiki vead. Kriitilised piirkonnad. Statistiliste hüpoteeside kontrollimise metoodika.
Statistiliseks hüpoteesiks nimetatakse teatud teineteist välistavate väidete paari üldkogumi(te) või tema.
Statistilisteks hüpoteesideks võivad olla näiteks oletused:

jaotusseaduse tüübi kohta;
kahe jaotuse parameetrite võrdsusest või olulisest erinevusest;
juhuslike suuruste vahelise lineaarse seose olemasolust või puudumisest.

Alternatiivsete hüpoteeside paar

H0 – nullhüpotees, mis tavaliselt väljendab uurijat mittehuvitavat juhtu (üldkogumi vastamine teatud standardile). Nullhüpoteesi ei ole võimalik tõestada. Selle vastuvõtmine tähendab, et kui uurija tahab mingit erinevust, mõju või seose olemasolu tõestada, siis tuleb tal mõõtmisi jätkata.
H1 – sisukas e. alternatiivne e. konkureeriv hüpotees, mida uurija soovib tõestada (tavaliselt mingi erinevuse, mõju või seose olemasolu). Üks kahest hüpoteesist peab kindlasti kehtima.

Statistilise hüpoteesi kontrollimine
Lähtudes valimi karakteristikutest kontrollitakse statistiliste hüpoteesidega teatud oletuste paikapidavust kas üldkogumite või valimite suhtes. Hüpoteeside kontrollimisel püütakse tõestada sisukas hüpotees nullhüpoteesi kummutamise teel, kasutades teststatistikut.
Hüpoteesi kontrolli eeskirja (meetodit) nimetatakse testiks e. kriteeriumiks, hüpoteesi paikapidavuse kontrollimist – testimiseks. Iga testi aluseks on teatud valem, millega arvutatud suurust nim. teststatistikuks e. statistikuks.
Statistilise hüpoteesi kontrollimine
Eeldatakse, et uuritava kogumi andmed jaotuvad sarnaselt testi aluseks olevale teoreetilisele jaotusele Eeldatava teoreetilise jaotusena kasutatakse sageli normaaljaotust või sellega sarnaseid jaotusi. Juhul kui leitud teststatistiku väärtus on ebatõenäoline, võrreldes tema teoreetilise jaotusega, loetakse nullhüpotees kummutatuks ja sisukas hüpotees tõestatuks. Kui sisukat hüpoteesi tõestada ei õnnestu, jäädakse nullhüpoteesi juurde, mis võib tähendada, et
1) olukord vastas nullhüpoteesile või
2) valimi maht oli liiga väike sisuka hüpoteesi tõestamiseks.
Vead hüpoteeside kontrollimisel
Kuna statistiliste hüpoteeside kontrollimisel tehakse valimi põhjal järeldusi üldkogumi kohta, on võimatu vältida vigu. Vigu saab olla kaht liiki.

Esimest liiki viga tekib siis, kui võetakse vastu sisukas hüpotees, aga tegelikult on õige nullhüpotees. See on raske viga, mis tähendab, et uurija “tõestas” erinevuse, mõju või seose mida tegelikult ei ole, vaid mis juhuslikult ilmnes mõõdetud valimis.
Teist liiki viga tekib siis, kui jäädakse nullhüpoteesi juurde, ehkki tegelikult on õige sisukas hüpotees. See on kergem viga, mis enamasti tähendab, et soovitu tõestamiseks tuleb mõõtmisandmeid juurde koguda.

Kahe normaaljaotuse keskväärtuse võrdlemine.
Kahe normaaljaotusega juhusliku suuruse keskväärtuste võrdlemist (väikeste valimite korral)
Esiteks leiame mõlema valimi keskväärtused ning püstitame nullhüpoteesi (H0: EX=EY) ja alternatiiv hüpoteesi (H1: EX != EY)
Valimi andmetel arvutame statistilise kriteeriumi empiirilise väärtuse.
Etteantud olulisuse nivoo a =1 -b korral leitakse kriitiline punkt Zkr Studenti jaotuse kvantiilide tabelist.
Juhul kui |Zemp| >Zkr siis lükatakse nullhüpotees tagasi, ja sellega on konkureeriv esimene hüpotees tõestatud; vastupidisel juhul jäädakse nullhüpoteesi juurde.

n˃30 m ˃30 = ˃ kasut. Normaaljaotust

n≤30 m≤30 = ˃ kasut. Studenti jaotust
Statistilise kriteeriumi empiiriline väärtus:

.DOC Laadi alla originaalfail 6 lk · .doc · 55 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 6 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2012-01-30 Kuupäev, millal dokument üles laeti

55 laadimist Kokku alla laetud

1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

dixy_m Õppematerjali autor

Eksami küsimuste vastused

majandusstatistika statistika eksam majandus juhuslik sündmus

Sarnased õppematerjalid

docx

Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika kordamisküsimused

ühise keskväärtusega μ ja dispersiooniga σ2. 21. Kuidas jaotub standardse normaaljaotusega juhuslike suuruste ruutude summa? Standardse normaaljaotusega sõltumatute juhuslike suuruste X 1 kuni Xy ruutude summa Y=( X1)2 +( X2)2 +...+( Xy)2 on χ2-jaotusega (hii-ruut jaotusega) juhuslik suurus Y~ χ2(v), kus liidetavate arv v on χ2-jaotuse parameeter, mida nimetatakse vabadusastmete arvuks. MATEMAATILINE STATISTIKA ÜLDKOGUMI KARAKTERISTIKUTE PUNKIHINNANG 22. Mõisted: üldkogum, objekt, tunnus, tunnuse jaotus, üldkogumi karakteristik, valim, valimi statistik, üldkogumi karakteristiku hinnang, hinnangu tüübid. Ülkogum - mingil printsiibil määratletud, vaatluse alla võetav objektide koguhulk. Tunnus - iga objekti iseloomustavad temal mõõdetud tunnused. Tunnuse jaotus - iga arvulist tunnust võib vaadelda kui juhuslikku suurust, mis omandab väärtusi kindlast vahemikust

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

doc

Tõenäosusteooria

Kombinatoorika valemeid ja mõisteid · Variatsioonideks n erinevast elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi antud n elemendist ning erinevad kas elementide või nende järjestuse poolest. Erinevaid variatsioone on A =n(n-1) ...(n-k+1)=n!/(n-k)! · Permutatsioonideks n elemendilisest hulgast nimetame ühendeid, mis sisaldavad kõiki n elementi (üks kord) ja erinevad järjestuse poolest. Erinevaid permutatsioone on Pn=n (n-1) ...1 = n! · Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi (antud n elemendi hulgast) ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! · Erinevaid kombinatsioone on C =A /Pk C nk = ( n - k )!k! Tõenäosusteooria · Sündmuste hulka, kus alati üks sündmus toimub ja see välistab teiste toimumise nimetame sündmuste täissüst

Matemaatika ja statistika

pdf

Kordamisküsimuste vastused

Statistika teooria I 1. Kirjeldava statistika põhimõisted: aritmeetiline keskmine, mediaan, kvartiilid, mood, dispersioon, standardhälve, haare. Esitada definitsioonid ja osata antud andmeväärtuste puhul neid mõisteid rakendada N x + x 2 + ... + x N xi Aritmeetiline keskmine: µ = 1 = i =1 N N

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

docx

Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika kokkuvõte

suuremaid väärtuseid. Sümmeetrilise jaotuse korral on asümmeetriakordaja enam- vähem võrdne nulliga: AsX 0. Valem: ekstsess - arvkarakteristik, mis kirjeldab JS-te väärtuste jaotumist. Ekstsess ehk ekstsessikordaja näitab tihedusfunktsiooni f(x) tõusu ehk tema graafiku tipu teravust võrreldes normaaljaotusega. Normaaljaotuse korral ExX = 0. Kui ExX > 0, siis on graafiku tipp järsem, kui ExX < 0, siis laugem. Valem: 16. Statistika mõisted Valim, - uuringusse kaasatud üldkogumi objektid n üldkogum, - kõik objektid, kelle kohta soovitakse saada infot, tihti täpne arv teadmata, kui teada tähistame N. tunnus, - iseloomulik omadus, mille poolest objektid (nähtused) üksteisega sarnanevad või üksteisest erinevad, tunnuse väärtus omandab erinevatel objektidel erinevaid väärtusi. tunnuste liigid. Arvtunnused ehk kvantitatiivsed tunnused 1. Pidevad 2. Diskreetsed 0, 1, 2, ...

Matemaatika

docx

Rakendusstatistika kokkuvõte

Juhuslik sündmus on midagi, mis mingi katse tulemusel võib toimuda. Katse on mingi tingimuste kompleksi realiseerumine. Elementaarsündmused on mingid üksteist välistavad sündmused, millest iga katse korral üks tingimata toimub. Juhuslikud sündmused: *vastastikku välistuvad sündmused- ei sisalda samu elementaarsündmusi *vastastikku mittevälistuvad sündmused- sisaldavad samu elementaarsündmusi *sündmuste sisalduvus- kui toimub A, toimub ka B *vastansündmus- kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes. Tõenäousese määramisviisid: klassikalised(kombinatoorne, geomeetriline, statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike

Rakendusstatistika

docx

Statistika kordamisküsimused

1. MÕÕTMINE Mõõtmine on objektide võrdlemine - Korraga saab võrrelda ainult kaht objekti omavahel. Kui objekte palju, valitakse välja üks (etalon) ning teisi võrreldakse sellega. Otsene mõõtmine ja kaudne mõõtmine – otseste mõõtmiste kaudu Nimi- ehk nominaalskaala – objektide eristamiseks – sugu, rahvus, huvid, kaubakood, ettevõtte registrinumber Järjestusskaala – võimaldab objekte järjestada mingi tunnuse alusel – nt ettevõtted: väikesed, keskmised, suured – küsitlus: "poolt", pigem poolt kui vastu", "pigem vastu kui poolt", "vastu" – intervallid skaalajaotuste vahel pole võrdsed Intervallskaala – skaalajaotuste intervallid on võrdsed  Vahemikskaala – nullpunkti asukoht kokkuleppeline – ajaskaala, Celsiuse skaala temperatuuri mõõtmiseks – võib leida vahesid, ei tohi leida suhteid  Suhteskaala – nullpunkt fikseeritud absoluutselt – objekti pikkus, kaal, töötajate arv, käive, m

Statistika

docx

ÜLEVAADE TÕENÄOSUSTEOORIA PÕHIMÕISTETEST

RAKENDUSSTATISTIKA ALUSED Mediaani hinnang: kasvavalt järjestatud valimi keskelement, kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma. Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe. Variatsioonirida- kasvavasse järjekorda reastatud valim Järkstatistik: variantsioonirea liige järjekorranumbriga i. Epiiriline jaotusfunktsioon avaldub variatsioonirea põhjal kujul: FN(x)=0, kui x=xN=xmax Statistika põhiteoreem (Glivenko-Cantelli teoreem): empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise üldkogumi jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm on enimkasutatav jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. Histogrammi koostamine

Rakendusstatistika

pdf

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

I osa Tõenäosusteooria 1. TT ja MatStat kui üksteise pöördteadused. Tõenäosusteooria on matemaatika osa, mis uurib juhuslike nähtuste üldisi seaduspärasusi sõltumatult nende nähtuste konkreetsetsest sisust ja annab meetodid nendele nähtustele mõjuvate juhuslike mõjude kvantitatiivseks hindamiseks. Juhuslikkusel põhinev lähenemine nõuab erilisi meetodeid, mida võimaldab tõenäosusteooria. Matemaatiline statistika on matemaatika osa, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja statistiliste järelduste tegemise meetodeid. Matemaatilise statistika eesmärgiks on statistiliste seaduspärasuste avastamine ja kirjeldamine. 2. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Sündmuste algebra koos tema määratud tõenäosusmõõduga moodustavad tõenäosusruumi. Mõnikord on kasulik sündmuste

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

Rohkem sarnaseid