Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika kordamisküsimused (2)

SÜNDMUSE TÕENÄOSUS
1.
Mis on sündmus tavaelus?
2.
Mis on juhuslik sündmus?
3.
Millisest aspektist me tahame sündmusi uurida?
4. Sündmuse matemaatiline definitsioon (elementaarsündmus, elementaarsündmuste ruum, sündmus).
Elementaarsündmus on mingi vaadeldava protsessi või läbiviidava katse tulemus.
Elementaarsündmuste ruumi moodustavad kõik elementaarsündmused ehk kõikvõimalike tulemuste hulk.
Sündmuseks nimetatakse mingit suvalist elementaarsündmuste ruumi alamhulka.
5. Sündmuse toimumise kriteerium.
Sündmuse toimumise juures on meile oluline vaid see, kas toimub või mitte. Sündmus toimub, kui toimub sündmust määravatest elementaarsündmustest üks.
6. Mitu erinevat sündmust saab moodustada n-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põh jal? Tõesta!
N-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal saab moodustada 2n sündmust, mille hulka on arvestatud ka tühihulk.
7. Sündmuste liigitus (kindel, võimatu, vastandsündmus)
Kindel sündmus on sündmus A, kui ta on määratud kogu elementaarsündmuste ruumil .
Võimatu sündmus on sündmus A, kui ta ei sisalda ühtegi elementaarsündmust.
Vastandsündmuseks nimetatakse sündmust, mis toimub ainult siis kui sündmus A ei toimu. Tähistatakse .
8. Otsustused sündmuste hulga kohta: ainuvõimalikud, üksteist välistavad, sündmuste täielik süsteem)
Sündmusi nimetatakse ainuvõimalikeks, kui katse sooritamisel vähemalt üks neist toimub.
Sündmusi nimetatakse üksteist välistavateks, kui ühe toimumine välistab ülejäänud sündmuste toimumise ehk ühe toimumisel ei saa teised toimuda.
Sündmused moodustavad sündmuste täieliku süsteemi kui nad on üksteist välistavad ainuvõimalikud sündmused.
9. Tehted sündmustega (summa, korrutis). Nendes sisuline ja formaalne definitsioon.
Sündmuste summaks nimetatakse sündmust (sündmuste ühend), ehk sündmus A sisaldab kõiki neid elementaarsündmusi, mis kuuluvad vähemalt ühte sündmustest . Seega toimub sündmus A parajasti siis kui toimub vähemalt üks sündmustest
(i=1, 2, ..., n).
Sündmuste korrutiseks nimetatakse sündmust (sündmuste ühisosa ), ehk sündmus A sisaldab neid ja ainult neid elementaarsündmusi, mis kuuluvad kõigisse sündmustesse . Sündmus A toimub sel juhul parajasti siis, kui toimuvad kõik sündmused .
10. Mida näitab sündmuse tõenäosus, milliseid omadusi me tõenäosuselt eeldame?
Tõenäosus näitab arvulist karakteristikut, mis lubab võrrelda eri sündmusi nende toimumise võimalikkuse seisukohalt. Eeldame, et saaksime arvuliselt võrrelda sündmuste toimumiste võimalikkust.
11. Tõenäosuse klassikaline definitsioon.
Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse tõenäosust, mille arvutame jagades soodsad võimalused kõikide võimalustega(sündmust A väljendavate elementaarsündmuste hulk jagatud kõigi elementaarsündmuste hulgaga ).
12. Kombinatoorika mõisted (kombinatsioonid, variatsioonid, permutatsioonid).
Kombinatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad.
Järjekord ei ole oluline, erinevad vaid siis kui elementide hulgad on erinevad.
Variatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad.
Arv hulgas on fikseeritud ning mitu erinevat järjestust saab olla.
Permutatsioon on mingi n-elemendilise hulga n-elemendilised järjestatud osahulgad.
Erinevad järjestused.
13. Üksteist välistavate sündmuste summa tõenäosus.
Teineteist välistavate sündmuste A ja B summa tõenäous võrdub nende tõenäosuste summaga
ehk ühendiga.
14. Sündmuste sõltumatus ja tinglik tõenäosus.
Sündmused on sõltumatud, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist .
Tinglikuks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A toimumise tõenäosust juhul, et toimus sündmus B.
15. Korrutamislause.
Sündmuste A ja B korrutise tõenäosuseks nimetatakse arvu, mis saadakse ühe sündmuse tõenäosuse korrutamisel teise sündmuse tingliku tõenäosusega esimese suhtes. Korrutamislauset kasutatakse tihti sündmuste sõltuvuse ja sõltumatuse kontrollimiseks.
16. Kas sündmus ja tema vastandsündmus on teineteist välistavad? Kas nad on sõltumatud?
Sündmus ja tema vastandsündmus on teineteist kindlasti välistavad, sest ühe toimumisel ei saa teine toimuda. Samuti on nad ka sõltuvad, sest ühe toimumine mõjutab teise sündmuse toimumist.
17. Sündmuste summa tõenäosus.
Sündmuste summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summa ja korrutise tõenäosuse vahega.
18. Situatsioon, millal me peame kasutama täistõenäosust.
Täistõenäosust peame kasutama situatsioonis, kus sündmus A saab toimuda koos ühega ja ainult ühega sündmuste täielikku süsteemi moodustavatest sündmustest H1, H2, ..., Hn.
19. Täistõenäosuse valemi leidmine.
ehk kuna tegu on üksteist välistavate sündmustega,
ehk ,
kasutades seejuures iga liidetava juures korrutamisteoreemi, saame valemi
mida nimetatakse täistõenäosuse valemiks .
20. Bayesi valem ja tema tähendus.
Bayesi valem näitab tinglikku tõenäosust P(Hk|A), et sündmus A toimus just nimelt sündmusega Hk.
DISKREETNE JUHUSLIK SUURUS
21. Mis on juhuslik suurus?
Juhuslik suurus on suurus, mis sõltuvalt juhusest võib omandada erinevaid väärtusi.
22. Mis on erinevus diskreetse ja pideva juhusliku suuruse vahel?
Diskreetseks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omandada lõpliku arvu või loenduva hulga väärtusi.
Pidevaks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omandada lõpmatu hulga väärtusi(reaalarvud mingite reaalarvude vahemikust).
23. Mis on diskreetse juhusliku suuruse jaotus, kuidas seda anda?
Diskreetse juhusliku suuruse jaotuseks nimetatakse eeskirja P(X), mis seab igale juhusliku suuruse väärtusele vastavusse selle väärtuse omandamise tõenäosuse. Seda võib anda tabeline, funktsioonina , diagrammina või muul sarnasel viisil, mis määrab ära vastavuse juhusliku suuruse väärtuse ja selle omandamise tõenäosuse.
24. Kuidas on diskreetse juhusliku suuruse jaotus seotud sündmuse tõenäosusega?
Diskreetse juhusliku suuruse jaotus määrab ära juhusliku suuruse ja selle omandamise tõenäosuse ning seega ka teatud sündmuste tõenäosuse saab jaotusest lihtsalt leida.
25. Mis on jaotusfunktsioon? Sõnasta korrektne definitsioon.
Jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x), mis näitab tõenäosust, kus juhuslik suurus on väiksem või võrdne x-i väärtusest.
26. Kuidas leitakse diskreetsete juhuslike suuruste summa X+Y ja tema jaotus.
Kahe määratud(on antud jaotus) juhusliku suuruse summaks X+Y loeme juhuslikku suurust Z, mille korral zk=xi+yj ja p(zk)=p(xi, yj). Kui X ja Y on sõltumatud(ühe juhusliku suuruse omandamise tõenäosus ei sõltu teise juhusliku suuruse väärtuse omandamisest), siis tulenevalt üksikväärtustele vastavusse seatavate südmuste sõltumatusest saame väita, et p(zk)=p(xi)p(yj). Sõltuvate juhuslike suuruste puhul peab arvestama tinglikke tõenäosusi.
27. Kuidas leitakse diskreetsete juhuslike suuruste korrutis XY ja tema jaotus.
Kahe määratud(on antud jaotus) juhusliku suuruse summaks XY loeme juhuslikku suurust Z, mille korral zk=xiyj ja p(zk)=p(xi, yj). ). Kui X ja Y on sõltumatud(ühe juhusliku suuruse omandamise tõenäosus ei sõltu teise juhusliku suuruse väärtuse omandamisest), siis tulenevalt üksikväärtustele vastavusse seatavate südmuste sõltumatusest saame väita, et p(zk)= p(xi)  p(yj). Sõltuvate juhuslike suuruste puhul peab arvestama tinglikke tõenäosusi.
28. Mis on juhusliku suuruse mood?
Diskreetse juhusliku suuruse moodiks nimetame juhusliku suuruse kõige suurema tõenäosusega esinevat väärtust.Seega väärtus xmo on mood, kui . Vastavalt kas on üks või mitu moodi, on unimodaalne või multimodaalne.
29. Mis on juhusliku suuruse keskväärtus?
Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtuseks EX nimetatakse matemaatilist ootust ehk ooteväärtuseks ehk arvu
30. Keskväärtuse omadused.
Ec=c; E(cX)=cEX; E(X+Y)=EX+EY; E(X-Y)=EX-EY; sõltumatute juhuslike suuruste korral ka E(XY)=EXEY
31. Mis on dispersioon?
Diskreetse juhusliku suuruse dispersiooniks DX nimetatakse hälbe ruudu keskväärtust keskväärtuse suhtes ehk arvu DX=E(X-EX)2. Puuduseks on see, et hälbd mõõtmiseks kasutatav ühik on seega ruudus. Selle vältimiseks kasutatakse standardhälvet .
32. Dispersiooni omadused koos tõestustega.
Dc=0; D(cX)=E(E(cX)-cX2)=c2E(EX-X)2=c2DX; DX=E(X-EX)2=EX2-(EX)2; D(X+Y)=E(X+Y)2=EX2-(EX)2+EY2-(EY)2=DX+DY; D(X-Y)=DX+DY
DISKREETNE ÜHTLANE JAOTUS
33. Defineerida diskreetse juhusliku suuruse ühtlane jaotus
Diskreetne juhuslik suurus on ühtlase jaotusega, kui kõikide väärtuste esinemistõenäosused on võrdsed.
34. Leida diskreetse ühtlase jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus.
ehk väärtuste aritmeetiline keskmine
35. Leida diskreetse ühtlase jaotusega juhusliku suuruse dispersioon.
ehk ruutkeskmise ja aritmeetilise keskmise ruudu vahe
BINOOMJAOTUS
36. Anda binoomjaotusega juhusliku suuruse definitsioon ja näidata kasutatava eeskirja sobivus olema juhusliku suuruse jaotuseeskirjaks.
Juhuslik suurus on antud binoomjaotusega, kui tema iga väärtuse X=k tõenäosus on antud valemiga , kus p on reaalarv vahemikus nullist üheni.
Kasutatava eeskirja sobivuseks lähtume Newtoni binoomvalemist, mille üldkuju on (x+y)n ehk summa n liikmega kus k=0 ja x=p ja y=1-p, sellisel juhul saame (p+(1-p)n=1. Et vastaks juhusliku suuruse tõenäosuse jaotuseks peab olema summa 1 ehk sobib.
37. Leida binoomjaotusega juhusliku suuruse keskväärtuse arvutamise valem.
EX=np, leidmise valem on prinditud konspektis tähistatud.
38. Millise valemiga avaldub binoomjaotusega juhusliku suuruse dispersioon?
DX=npq=np(1-p)
39. Millise juhusliku suuruse korral võime väita, et ta on jaotunud binoomjaotuse järgi?
Binoomjaotusega on tegemist, kui juhuslikuks suuruseks X=k on sündmuse esinemise kordade arv 0, 1, ..., n katseseerias pikkusega n ja igal katsel vaadeldav sündmus toimub tõenäosusega p, mis on muutumatu kõikide n katse korral ja katsete tulemused sõltumatud.
POISSONI JAOTUS
40. Anda Poissoni jaotusega juhusliku suuruse definitsioon ja näidata kasutatava eeskirja sobivus olema juhusliku suuruse jaotuseeskirjaks.
Täisarvulisi väärtusi omav juhuslik suurus k=0, 1, ..., n on Poissoni jaotusega, kui iga väärtuse tõenäosus on leitav valemiga , kus jaotuse parameeter λ>0 on konstant.
Kasutava eeskirja sobivuseks juhusliku suuruse jaotuseeskirjaks peab võrduma kõikide tõenäosuste summa ühega ning selle tõestus on prinditud konspektis.
41. Leida Poissoni jaotusega juhusliku suuruse keskväärtuse arvutamise valem.
EX=λ
42. Millise valemiga avaldub Poissoni jaotusega juhusliku suuruse dispersioon?
DX=λ
43. Millise juhusliku suuruse korral võime väita, et ta on jaotunud Poissoni jaotuse järgi?
Poissoni jaotusega on tegu siis, kui juhuslikuks suuruseks on vaadeldavas ajavahemikus toimuvate sündmuste arv, sündmuste toimumine teatud ajavahemikus ei sõltu selle ajavahemiku algus- ja lõppmomendist, kaks sündmust ei toimu samaaegselt ja sündmuste toimumise arv vahemikus ei sõltu nende arvust eelmises vahemikus.
44. Poissoni piirteoreem ja millal teda kasutada.
Kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega B(n,p), siis katsete arvu piiramatul suurendamisel on binoomjaotus lähendatav Poissoni jaotusega P(λ), kus λ=np. Seda saab kasutada siis, kui sündmuste toimumise tõenäosused on väiksed(alla 0,1) ja eeldatakse piisavalt suurt katsete arvu.
Piirteoreem :
PIDEV JUHUSLIK SUURUS
1. Milliseid juhus likke suurusi nimetame pidevateks.
Pidevaks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omada väärtusi mingist reaalarvude vahemikust. Kuna seal on lõpmata palju erinevaid väärtusi, siis ei pole võimalike väärtuste hulk piiratud ja mingi konkreetse väärtuse omandamise tõenäosus võrdub nulliga.
2. Defineerida pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon .
Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis annab tõenäosuse, et juhuslik suurus X on väiksem funktsiooni argumendi väärtusest x.
3. Millega võrdub jaotusfunktsioon juhusliku suuruse väärtuste piirjuhul.
Jaotusfunktsioon võrdub juhusliku suuruse väärtuste piirjuhul: argumendi x lähenemisel - on 0 ja lähenedes  on 1.
4. Näidata, et jaotusfunktsioon on mittekahanev. Leida eeskiri juhusliku suuruse vahemikku langemise tõenäosuse arvutamiseks.
Jaotusfunktsioon on mittekahanev a ja b korral kui a jagame vaadeldavad arvuvahemikud sündmustega: A, et X≤a; B, et a 0 ( hajuvus ) ja μ on reaalarv( keskväärtus ). Tähistatakse X~N(μ,σ).
14. Kuidas avalduvad normaaljaotusega juhusliku suuruse keskvää rtus ja dispersioon?
Normaaljaotusega juhusliku suuruse tihedusfunktsioon on positiivne ning integraal temast võrdub ühega.
Normaaljaotusega juhusliku suuruse keskväärtus on
Normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersioon on
15. Tulenevalt tihedusfunktsiooni omadustest visandada tema graafik.
Tihedusfunktsiooni graafik on sümmeetriline sirge x=μ suhtes, moodiks on punkt x=μ ja asumptoodiks on x- telg . Nimetatakse ka Gaussi kõveraks.
16. Üleminek standardiseeritud normaaljaotusele ja mida see sisuliselt tähendab.
Üleminekul standardiseeritud normaaljaotusele teeme integraalis muutujavahetuse , mis sisuliselt tähendab koordinaattelgede alguspunkti nihutamist juhusliku suuruse keskväärtusele vastavasse punkti μ ja jagamine σ-ga muudab skaalat võttes kasutatavaks ühikuks standardhälbe.
. Tänu sellele saame normaaljaotuse tabelist vaadates lihtsustada vastuse leidmist.
17. 3σ – reegel (tuletada ja sõnastada!)
3-σ reegel: X~N(μ,σ) ja normaaljaotuse puhul P(a ≤ X ≤ b)=F(b)-F(a) ehk
3-σ korra, kui a=μ-3σ ja b=μ+3σ saame:
ehk normaaljaotusega juhuslik suurus praktiliselt ei hälbi oma keskväärtusest rohkem kui kolmekordse standardhälbe võrra.
18. Normaaljaotusega juhusliku suuruse iseloomulikud tunnused.
Normaaljaotusega juhusliku suuruse iseloomulikud tunnused on: sümmeetrilised keskväärtuse suhtes, koonduvad keskväärtuse ümber ja ei erine keskväärtusest praktiliselt rohkem kui kolmekordse standardhälbe võrra ja tihedusfunktsioonil on Gaussi kõverale sarnanev kuju.
19. Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotusega, Laplace´i piirteoreemid selle kohta.
Poissioni piirteoreemi kohaselt, kus juhuslik suurus X on binoomjaotusega B(n,p), siis katsete arvu piiramatul suurendamisel on binoomjaotus lähendatav Poissoni jaotusega P(λ), kus λ=n*p. Osutub, et kui sündmuse esinemise ja mitteesinemise kordade arvu tõenäosused on ligikaudu võrdsed, võib binoomjaotuse ligikaudseks arvutamiseks kasutada normaaljaotust. Nimelt kehtivad Laplace 'i lokaalne ja integraalne piirteoreem. Sellisel juhul on normaaljaotuse keskväärtus ja standardhälve määratud binoomjaotusega N(np, )
Laplace'i lokaalne piirteoreem: Tõenäosus, et n sõltumatu katse tulemusena, milles igaühes toimub sündmus tõenäosusega p, toimub sündmus täpselt k korda on piisavalt suure katsete arvu korral ligikaudu võrdne:
Laplace'i integraalne piirteoreem: Tõenäosus, et n sõltumatu katse tulemusena, milles iga ühes sündmus toimub tõenäosusega p, toimub sündmus vähemalt k1 korda ja ülimalt k2 korda on piisavalt suure katsete arvu korral ligikaudne võrdne:
TEISI JAOTUSI
20. Kuidas, millise jaotuseeskirja järgi jaotub juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine?
Juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise jaotus liidetavate arvu n kasvamisel läheneb normaaljaotusele, kui ühesuguse jaotusega sõltumatud juhuslikud suuurused X1 kuni Xn on ühise keskväärtusega μ ja dispersiooniga σ2.
21. Kuidas jaotub standardse normaaljaotusega juhuslike suuruste ruutude summa?
Standardse normaaljaotusega sõltumatute juhuslike suuruste X1 kuni Xy ruutude summa Y=( X1)2 +( X2)2 +...+( Xy)2 on χ2-jaotusega (hii-ruut jaotusega) juhuslik suurus Y~ χ2(v), kus liidetavate arv v on χ2-jaotuse parameeter, mida nimetatakse vabadusastmete arvuks.
MATEMAATILINE STATISTIKA
ÜLDKOGUMI KARAKTERISTIKUTE PUNKIHINNANG
22. Mõisted: üldkogum, objekt, tunnus, tunnuse jaotus, üldkogumi karakte rist ik, valim, valimi statistik, üldkogumi karakteristiku hinnang, hinnangu tüübid.
Ülkogum - mingil printsiibil määratletud, vaatluse alla võetav objektide koguhulk.
Tunnus - iga objekti iseloomustavad temal mõõdetud tunnused.
Tunnuse jaotus - iga arvulist tunnust võib vaadelda kui juhuslikku suurust, mis omandab väärtusi kindlast vahemikust. Iga tunnuse kui juhusliku suuruse korral saame leida tema jaotuse.
Karakteristik - üldkogumi iga tunnuse korral võib leida seda tunnust iseloomustavad karakteristikud , näiteks keskmine väärtus. Kõik karakteristikud arvutatakse kindlate eeskirjade järgi ja nende väärtused on konkreetse üldkogumi korral üheselt määratud arvulised suurused.
Valim - üldkogumist valitud objektide hulk.
Hinnang - valimi põhjal arvutatud arvuline väärtus (punktihinnang) või väärtuste vahemik ( vahemikhinnang ), mis seatakse vastavusse üldkogumi karakteristikutega.
23. Mis on üldkeskmine ja mis on üldkeskmise ruuthälve?
Üldkeskmine on karakteristik, mis oma olemuselt on tunnuse väärtuste aritmeetiline keskmine . Üldkeskmiste ruuthälve ehk dispersioon on karakteristik, mis iseloomustab tunnuse väärtuste hajuvust üldkeskmise suhtes .
24. Mis on valimikeskmine ja mis on tema standardhälve?
Valimikeskmine on määratud vaid konkreetse valimi korral . Valimidispersioon on määratud vaid konkreetse valimi korral . Standardhälve on ruutjuur dispersioonist ehk s. Kui valim on juhuslik, siis on ka need väärtused juhuslikud. Valimikeskmist kasutatakse üldkeskmise hindamisel. Valimikeskmise põhiparameetrite keskväärtus, dispersioon ja jaotus abil saab määrata hinnangu täpsust.
25. Leia valimikeskmise keskväärtus.
Valimikeskmise keskväärtus on võrdne üldkeskmisega. Kus tulenevalt keskväärtuse definitsioonist ja kasutades üldkeskmise definitsiooni saame:
ning asendades selle keskväärtuse valemisse saame .
26. Kuidas avaldub valimikeskmise standardhälve?
Valimikeskmise dispersioon avaldub , kus [] ja standardviga on ruutjuur sellest ehk
27. Milline on valimikeskmise jaotus?
Valimikeskmise jaotus on vaadeldav vastavalt tsentraalsele piirteoreemile valimikeskmise ja aritmeetilise keskmise piisavalt suure liidetavate arvu korral ehk piisavalt suure valimi korral.
28. Millist hinnangut nimetatakse üldkogumi karakte rist iku efektiivseks hinnanguks?
Üldkogumi karakteristiku efektiivseks hinnanguks nimetatakse hinnangut , kui see on nihketa ja hinnangu standardhälve väheneb valimi mahu kasvades. Nihketa on hinnang kui hinnatava karakteristiku juhusliku suuruse keskväärtus on võrdne hinnatava karakteristikuga. Valimikeskmine on üldkeskmise efektiivseks hinnanguks.
29. Mis on üldkeskmise efektiivseks punktihinnanguks?
Üldkeskmise efektiivseks punktihinnanguks nimetatakse nihketa hinnangut, mille standardhälve väheneb valimi kasvades.
ÜLDKOGUMI KARAKTERISTIKUTE VAHEMIKHINNANG
30. Mis on vahemikhinnang ja mille poolest ta erineb punktihinnangust. Defineeri vahemikhinnang.
Vahemikhinnangu korral leitakse vahemik, millesse hinnatav karakteristik kuulub ning antakse hinnang usaldatavusele. Võrreldes punktihinnangule on usaldusväärsem ja sisaldab rohkem informatsiooni.
31. Üldkeskmise vahemikhinnangu eripära väikese valimi korral.
Väikese valimi korral üldkeskmise vahemikhinnangu eripära on selles, et kui uuritav tunnus on normaaljaotusega, siis kasutatakse nn. Studenti jaotust, kus on sõltuvalt valimi mahust suurendatud normaaljaotuse täiendkvantiili
väärtust. Nimelt mida väiksem on valimi maht, seda suurem on Studenti jaotuse täiendkvantiili väärtus ja seda laiemad usalduspiirid saadakse.
32. Millal on vaja leida vajalik valimimaht ja kuidas seda teha?
Vajaliku valimimahu peame leidma, kui on tegemist ülesandega, kus peame leidma valimimahu, mille uuritava karakteristiku olulisusnivool α hinnatav karakteristik ei erine tegelikust väärtusest rohkem kui lubatava vea εα võrra.
Selle saame leida sõltuvalt lähtetingimustest. Kui meil on tunnuse standardhälve σ teada või kui ei ole, siis kasutame valimi standardhälvet s. Esimesel juhul avaldub hinnangu viga εα kujul
ehk valimi maht . Teisel juhul kasutame valimi standardhälvet , kust avaldub , kus on paraku n mõlemal pool võrdusmärki. Sellisel juhul kasutatakse katse- eksitus meetodit ja proovitakse lihtsalt läbi.
33. Suhteline sagedus kui üldkeskmise erijuht, tema ruuthälve.
Suhtelise sageduse puhul üldkeskmise hindamiseks eeldame, et uuritav tunnus on arvuline ja võib omandada väärtusi 1 või 0. Sellisel juhul leiame üldkeskmise definitsiooni abil
ja vastavalt standardhälbe definitsioonile avaldub üldkogumi standardhälve .
34. Valimikeskmine kui suhteline sagedus, tema keskväärtus ja dispersioon.
Suhteline sagedus
kui valimikeskmine on juhuslik suurus , mille keskväärtus avaldub valemiga
ja dispersioon avladub valemiga .
35. Suhtelise sageduse vahemikhinnang.
Asendades saadud avaldised üldkeskmise hindamise valemisse, saame
36. Valimi suuruse määramine suhtelise sage duse vahemikhinnangus.
Saame ka suhtelise sageduse hinnangus leida valimi suuruse, mis usaldusnivool 1-α tagab, et usalduspiirid jäävad etteantud lubatavast veast ε väiksemaks. Lähtume veahinnangust , kust saab leida . Siinkohal võib võtta ka
väärtuse asemel tema maksimaalne väärtus, mis saavutatakse
korral. See annab tegelikust veidi suurema valimi, kuid võimaldab lihtsamalt valimi suurust määrata.
HÜPOTEESID
37. Hüpoteeside püstitamise ja kont rollimise olemus
On olemas üldkogum , millel on meid huvitava karakteristiku väärtus w, mida me aga ei tea. Teeme oletuse, et selle karakteristiku väärtus on meie poolt eeldatavas suhtes oletatava arvuga w0, st on võrdne arvuga w0, on arvust w0 suurem või väiksem. Oletatav väärtus w0 on mingil määral meie veendumus . Moodustame valimi(kontrollvalimi) ja arvutame valimi statistiku kui üldkogumi vaadeldava karakteristiku w hinnangu. Sõltuvalt sellest, millises suhtes on valimi põhjal arvutatud statistik meie poolt pakutud arvuga w0 võime anda hinnangu oma väitele , st kas on võrdne, väiksem või suurem. meie oletatava väärtusega.
38. Hüpoteeside tüübid
Kahepoolne hüpotees :
H0: w = w0
H1: w ≠ w0
Hüpotees “suurem” :
H0: w≤w0
H1:w>w0
Hüpotees “väiksem” :
H0: w≥w0
H1:w