Tõenäosus (0)

P(A)=
1. Kindel sündmus, võimatu sündmus, juhuslik sündmus; nende tõenäosus.
Kindel sündmus (K) - sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub. P(K) = 1.
Võimatu sündmus (V) - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. P(V) = 0
Juhuslik sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda.
2. Teineteist välistavate sündmuste summa, korrutis ja vahe.
Sündmuste A ja B summaks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad. Sündmuste A ja B summat tähistatakse sümboliga A U B.
N 1. Olgu täringu viskel sü ja sü.
Sündmuste A ja B korrutiseks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad üheaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B. Sündmuste A ja B korrutist tähistatakse sümboliga A  B.
N 2. Olgu täringu viskel sü ja sü, siis A .  
Sündmusi, mille korrutiseks on võimatu sündmus, nimetatakse üksteist välistavateks.<, siis AB = Ø , siis öeldakse sündmused A ja B on teineteist välistavad.
Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub siis, kui toimub sündmus A aga sündmus B ei toimu. Sündmuste A ja B vahet tähistatakse sümboliga A\B.
N 3. Olgu täringu viskel sü ja sü, siis A\.
3. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused.
Kui sündmuse tõenäosus sõltub mingist teisest sündmusest, nimetatakse seda sõltuvaks sündmuseks
Kaht sündmust nimetatakse sõltumatuteks, kui neist ühe toimumine ei muuda teise tõenäosust.
4. Vastand sündmuse tõenäosus.
Sündmuse A ja tema vastandsündmuse
tõenäosuste summa on 1. p(A) + p() = 1
5. Tinglik tõenäosus sõltumatute ja sõltuvate sündmuste korral.
Sündmuse B tõenäosust, mis on arvutatud tingimusel, et sündmus A toimus, nimetatakse sündmuse B tinglikuks tõenäosuseks.
Kui arvutame P(B|A), siis sündmused A ja B on sõltumatud. See tugineb teadmisel, et sündmus A on toimunud ja ei mõjuta kuidagi sündmuse B toimumist . Sõltumatute sündmuste korral P(B|A) = P(B).

Sõltumatud on alati kahe niisuguse järjestikuse katsega seotud sündmused, kus esimese katse tulemus ei mõjusta teise katse võimalike tulemuste hulka ega tulemuste võimalikkust. Sõltumatute sündmuste korral kehtib võrdus P(A ∩B) = P(A) P(B). so sõltumatute sündmuste korral võrdub sündmuste korrutise tõenäosus korrutatavate sündmuste tõenäosuste korrutisega.
6. Tõenäosuste liitmislause 2 ja 3 sündmuse korral. teineteist mittevälistavate sündmuste tõenäosus

Olgu A ja B suvalised ühe ja sama katsega seotud sündmused. Kehtib järgmine avaldis.
P(A U B) = P(A + B)= P(A) + P(B) - P(AB).
Kolme sündmuse A, B, C korral on tõenäosus:
P(A + B + C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) – P(BC) + P(ABC).
7. Tõenäosuste korrutamine 2 ja 3 sündmuse korral.
kahe sündmuse korral avaldub: P(A∩B) = P(A) P(B|A).
Kolme sündmuse korral: P(A∩B∩C) = P(A)P(B|A)P(C|A∩B).
8. Kombinatsioonid, variatsioonid , nende kasutamine arvutustes.
Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on kõikvõimalike k elemendiliste valikute arv m elemendi hulgast. (NB! valimine toimub selliselt , et elementide valimise järjekord pole tähtis.) Erinevaid valikuid etteantud elementidest nimetatakse kombinatsioonideks.
Erinevaid valikuid etteantud objektidest nimetatakse variatsioonideks. (NB! valimine toimub selliselt, et objektide valimise järjekord ON tähtis.)
9. Täistõenäosus.
Olgu sündmused H1, H2, ..., Hk üksteist välistavad, nad omavad positiivset tõenäosust P(H1), P(H2), ..., P(Hk) ja need sündmused moodustavad täissüsteemi
Oletame, et sündmus A võib toimuda koos ühega sündmustest H1, H2, ..., Hk, siis on meil teada ka sündmuse A tinglikud tõenäosused P(AH1), P(A|H2), ..., P(A|Hk). Sündmuse A tõenäosus avaldub= Valemit nimetatakse täistõenäosuse valemiks.
10. Bayes ’i valem.
Küsime, millised on Hi (i = 1, 2, …, n) tõenäosused sõltuvalt sellest, et toimus sündmus A, st meid huvitab tinglik tõenäosus P(Hk|A)? Vastuse sellele küsimusele annab Bayesi valem, mis annab võimaluse pärast sündmuse A toimumist hinnata ümber sündmuste Hi tõenäosusi. Kui tõenäosusi P(Hi) nimetatakse aprioorseteks tõenäosusteks, siis Bayesi valem annab võimaluse nende sündmuste tõenäosuste ümberarvutamiseks kasutades teadmist, et sündmus A toimus. Vastavaid uusi tõenäosusi nimetatakse aposterioorseteks tõenäosusteks.
11. Grupis on 30 õpilast. Kui suur on tõenäosus, et 2 õpilasel on samal päeval sünnipäevad?
P= 2/30
12. Diskreetne ja pidev juhuslik suurus, nende jaotusfunktsioonid.
Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks. Tõenäosusjaotus.
Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitte­loenduvalt lõpmatu (st väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks. Tihedusfunktsioon .
13. Diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusjaotus.
Diskreetse juhusliku suuruse X tõenäosusjaotuseks nimetatakse funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x).
See funktsioon omandab positiivseid väärtusi ainult nende argumentide korral, mis on juhusliku suuruse võimalikeks väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas valemina või tabeli abil, milles loetletakse juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja nende omandamise tõenäosused.
14. Juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni omadused.
Juhusliku suuruse keskväärtuseks (matemaatiliseks ootuseks) nimetatakse arvu, mis on määratud eeskirjaga
Keskväärtuse omadused: Olgu a ja b suvalised konstandid, siis E(aX+b)= aEX+b. Olgu X ja Y suvalised juhuslikud suurused, siis E(X+Y) = EX+EY.
Dispersioon on juhusliku suuruse keskväärtuse suhtes arvutatud hälbe ruudu keskväärtus. See on arv, mis kirjeldab juhusliku suuruse hajutatust tema keskväärtuse suhtes.
Dispersiooni omadused: Konstandi dispersioon on null. D(aX + b) = a2DX
15. Binoom -, Poissoni -, ühtlase- ja normaaljaotuse keskväärtused ja dispersioonid .
Katsetes esineb kahesuse element, kus tulemuseks on soodsatest sündmustest moodustuv diskreetne tõenäosusjaotus, mida nim binoomjaotuseks . Keskväärtus ja dispersioon
Poissoni jaotus: kasutatakse juhusliku suuruse X esinemise tõenäosuse määramiseks ajaühikus järgnevatel juhtudel: sisestavate vigade arv, kriimustuste või muude vigade arv värskelt värvitud paneelil, külastajate arv, kes ootavad teenindamist, kaubasaadetises esinevad vigade arv.
Ühtlase jaotuse keskväärtus EX = (a + b)/2 s.o. keskväärtus on juhusliku suuruse võimalike väärtuste lõigu [a, b] keskpunkt. Dispersioon on DX = (b - a)2/12.
Normaaljaotuse keskväärtus EX = µ ja dispersioon on s2.
16. Pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsioon.
Pideva juhusliku suuruse korral on võimalik leida jaotusfunktsioonist tuletis . Jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks. Tihedusfunktsiooni tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest:
Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0.; Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega.
Tihedusfunktsioon kannab endaga kaasas kõikvõimalike intervallide tõenäosusi, intervalli (a, b) tõenäosus on võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni alla selle intervalli kohale.
17. Juhusliku vektori mõiste, tema jaotusfunktsioon ja vektori komponentide marginaaljaotused.
Juhuslikuks vektoriks nimetatakse vektorit (X, Y), mille koordinaadid ehk komponendid on juhuslikud suurused.  Juhusliku vektori jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x,y), mis on määratud eeskirjaga F(x,y) = P(X