Tõenäosusteooria II (0)

Tõenäosusteooria (II)
Tihti võib sündmusi vaadelda koosnevaina lihtsamatest sündmustest.
Näiteks, olgu ühes urnis 4 valget ja 3 punast kuuli ning teises urnis 6 valget ja 3 punast palli. Kummastki urnist võetakse üks pall.
Vaatleme järgmisi sündmusi:
C – võetud pallide hulgas on vähemalt üks punane pall,
D – mõlemad võetud pallid on punased.
Me võime need sündmused esitada järgmiste osasündmuste (nn elementaarsündmuste) kaudu:
A – esimesena urnist võetud pall on punane
B – teisest võetud pall on punane
Sündmuse C võime esitada niimoodi: toimub sündmus A või toimub sündmus B või toimuvad mõlemad sündmused A ja B.
Sündmuse D võime esitada aga nõnda: toimub sündmus A ja toimub sündmus B.
Tõenäosusteoorias antakse selliselt moodustatud sündmustele omaette nimetused.
Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust C, mille korral toimub vähemalt üks sündmustest A või B (s.t toimub sündmus A või toimub sündmus B või toimuvad mõlemad sündmused).
Tähistus:
Mõned allikad kasutavad ka tähistust C = A + B
Sündmuste A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust D, mille korral toimuvad mõlemad sündmused A ja B.
Tähistus:
Mõnedes õpikutes kasutatakse ka tähistust D = AB või D = A×B
Sündmuste summa tõenäosuse arvutamisel tuleb eristada kahte varianti :

• sündmused A ja B on teineteist välistavad (puudub võimalus nende sündmuste koos toimumiseks),
  arvutusvalem: (1)
  või kujul p(A+B) = p(A) + p(B)
  
• sündmused A ja B on teineteist mittevälistavad (mõlemad saavad toimuda),
  arvutusvalem: (2)
  või kujul p(A+B) = p(A) + p(B) – p(AB)
  

Meie näite puhul on sündmused A ja B teineteist mittevälistavad (kummastki urnist võib võetuks saada punane pall), seega tuleb rakendada valemit (2).
Lahendus jääb hetkeks pooleli, sest ei ole veel selge, kuidas leida sündmuste korrutise tõenäosust .
Sündmuse korrutise tõenäosuse leidmisel tuleb eristada järgmisi võimalusi:

• sündmused on sõltumatud (kummagi sündmuse toimumine või mittetoimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist või mittetoimumist),
  arvutusvalem: (3)
  või kujul p(AB) = p(A)×p(B)
  
• sündmused on sõltuvad (ühe sündmuse toimumisest või mittetoimumisest sõltub teise sündmuse toimumise tõenäosus); sellisel juhul kasutatakse mõistet tinglik tõenäosus, mida tähistatakse sümboliga p(B|A) – sündmuse B toimumise tõenäosus eeldusel , et sündmus A on toimunud,
  arvutusvalem: (4)
  Mõnedes allikates on see valem kujul p(AB) = p(A)×p(B/A)
  

Nüüd saame lõpetada eelmise näiteülesande. Sündmused A ja B on sõltumatud, seega nende korrutise tõenäosuse leidmisel kasutame valemit (3), saades
Näiteülesande lõplik lahendus on seega:

Näiteülesanded
1. Täringut visatakse 6 korda. Kui suur on tõenäosus, et 6 silma saadakse kõigil kuuel korral?
Lahendus
Kuna täringuvisked on üksteisest sõltumatud ning uuritakse sündmused A toimumist kõikidel katsetel (igal viskel saadakse 6 silma), siis rakendame valemit (3):
2. Täringut visatakse 6 korda, kui suur on tõenäosus, et 6 silma saadakse vähemalt ühel korral.
Lahendus.
Kui sündmuse kirjelduses esineb sõnapaar “vähemalt üks”, siis on otstarbekas üle minna vastandsündmusele, leida selle tõenäosus ning kasutada seejärel tuntud seost sündmuse A ja tema vastandsündmuse tõenäosuste vahel:
Antud juhul on sündmuseks
- “6 silma kuue viske jooksul ei saada”.
Igal üksikul katsel on
tõenäosuseks arusaadavalt .
Järelikult
Ning meid huvitava sündmuse (vähemalt ühel korral saadakse 6 silma) tõenäosuse leiame järgmiselt:
3. Urnis on 5 musta, 4 punast, 3 kollast ja 2 rohelist palli. Võetakse üks pall. Kui suur on tõenäosus, et saadud kuul on punane või kollane?
Lahendus
Võib lahendada kahel erineval viisil.
1) Rakendame otseselt klassikalist valemit:
2) Vaatleme sündmust kui kahe sündmuse (A - saadakse punane kuul, B - saadakse kollane kuul) summat .
Siis kasutame valemit (1):
4. Jahimees tabab märki tõenäosusega 0,8. Teine jahimees nii täpne ei ole, tema tabab märki tõneäosusega 0,5. Kui nad lasevad üheaegselt, kui suur on siis tõenäosus, et
a) mõlemad tabavad märki
b) kumbki ei taba
c) tabab vähemalt üks jahimeestest
Lahendus
A – esimene jahimees tabab; p(A) = 0,8
B – teine jahimees tabab; p(B) = 0,5
Leida on vaja
a)
sõltumatud sündmused, valem (3)
b)
sõltumatud sündmused
c)
kasutasime valemit (2), sest sündmused on mittevälistavad
Sama ülesande puhul võime kasutada ka üleminekut vastandsündmusele:
5. Ühel riiulil on 10 saksakeelset ja 20 inglisekeelset raamatut, teisel riiulil aga 5 saksakeelset ja 15 inglisekeelset raamatut. Valitakse juhuslikul üks riiul ja sellelt üks raamat. Kui suur on tõenäosus, et saadud raamat on inglisekeelne?
Lahendus
A – valitakse esimene riiul
B – valitakse teine riiul
C – valitakse inglisekeelne raamat
Meil on vaja leida järgmise sündmuse tõenäosus:
/valitakse esimene riiul ja valitakse inglisekeelne raamat või valitakse teine riiul ja sellelt inglisekeelne raamat/
Sulgudes olevad sündmused on teineteist välistavad (kui valitakse esimene riiul, siis ei valita raamatut teiselt riiulilt), seega rakendame valemit (1):
Kummagi liidetava puhul on aga tegemist sõltuvate sündmustega (sündmuse C tõenäosus sõltub sellest, kummalt riiulilt raamat võetakse), seega tuleb kasutada valemit (4):
Ning lõplikult:
Antud ülesande lahendust võib üldistada täistõenäosuse mõiste kaudu.
Toimugu sündmus A koos üksteist välistavate sündmustega H1, H2, H3, ..., Hn (neid sündmusi nimetatakse hüpoteesideks). Sellisel juhul saame sündmuse A esitada kujul
Nüüd leiame tõenäosuse:
Saadud valem kannab täistõenäosuse valemi nime.
Näide.
Viies urnis on valgeid ja musti kuule vastavalt 3 ja 2, 4 ja 3, 5 ja 4, 6 ja 5 ning 7 ja 6.
Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud kuul on valge.
Kasutame täistõenäosuse valemit:
6. Kontserdil esinevad ansamblid A ja B, soojendajana on ansambel C. Kontsert jääb ära vaid juhul, kui kohale ei tule kumbki ansamblitest A ja B.
On teada, et ansambel A tuleb kohale tõenäosusega 0,8, ansambel B saabub kohale tõenäosusega 0,9. Soojendusansambel on kohal 100%-lise tõenäosusega. Kui suur on tõenäosus, et kontsert toimub?
Lahendus.
Vastavalt ülesande tingimustele on vaja leida sündmuse
tõenäosus.
Kuna sündmused A ja B ei välista teineteist, siis kasutame valemit (2) /või läheme üle vastandsündmusele/:
Kui lahendada vastandsündmuse kaudu (kontsert ei toimu), saaksime tulemuseks
7. Peeter lahendab tõenäosusteooria ülesande tõenäosusega 0,3. Ants on veidi parem lahendaja, tema puhul on vastav tõenäosus 0,6. Lausa “kuldlahendaja” on aga Piret, kelle puhul on sama ülesande lahendamise tõenäosus 0,95.
Kui eeldada, et õpilased istuvad kontrolltöö ajal hajutatult ning neil puudub võimalus üksteisega lahenduskäiku kooskõlastada, kui suur on siis tõenäosus, et
a) kõik kolm õpilast lahendavad antud ülesande
b) mitte ükski neist ülesannet ei lahenda
c) ülesande lahendab vähemalt üks neist
d) Ants ja Piret lahendavad selle ülesande, Peeter aga mitte
Lahendus
A – Peeter lahendab ülesande; p(A) = 0,3
B – Ants lahendab ülesande; p(B) = 0,6
C – Piret lahendab ülesande; p(C) = 0,95
Ülesande tekstist tulenevalt on sündmused A, B, C sõltumatud, kuid üksteist mittevälistavad.
a)
b)
c)
d)
8. Juku ostab poodi minnes jäätise tõenäosusega 0,9. Kui ta sööb jäätist, siis tõenäosusega 0,8 jääb ta tundi hiljaks . Tundi hilinemise korral saab ta klassijuhataja käest riielda tõenäosusega 0,6. Tõenäosusega 0,9 teatab klassijuhataja Jukuga seotud asjadest ka Juku vanematele. Kui Juku vanemad saavad teada, et koolis on Jukuga midagi juhtunud, siis tõenäosusega 0,99 jäetakse ta koduaresti. Kui suur on tõenäosus, et Juku jääb koduaresti, kui täna hommikul keeras ta enne kooli minemist poodi sisse?
Lahendus.
Ülesande tingimuste põhjal on kirjeldatud sündmused eelnevatest sõltuvad. Leida tuleb nende sündmuste korrutise tõenäosus. Vastavalt sõltuvate sündmuste korrutise tõenäosuse valemile leiame, et otsitav tõenäosus p(A) avaldub järgmiselt:
Leitud tõenäosus ei ole väga suur, nii et Jukul tasub siiski riskida!
ÜLESANDED LAHENDAMISEKS


1. On teada, et sündmused A, B ja C on sõltumatud, kuid üksteist mittevälistavad sündmused. Veel on teada järgmised tõenäosused:
Leida
2. Tõenäosus, et juhuslikult välja valitud apelsin on riknenud, on 0,1. Mandariini korral on vastav tõenäosus 0,2. Kui suur on tõenäosus, et valides ühe apelsini ja ühe mandariini, riknenud puuvilju ei saada?
3. Väikeses poekeses on 2 naist ja 1 mees. Iga naine ostab poest tõenäosusega 0,8. Mehe puhul on vastav tõenäosus 0,1. Kui suur on tõenäosus, et vähemalt üks ostjatest sooritab ostu?
4. a) Ühes karbis on 2 valget ja 4 musta kuulikest, teises karbis aga 4 valget ja 3 musta kuulikest. Valitakse üks karpidest ning võetakse sealt üks kuul. Kui suur on tõenäosus, et saadakse valge kuul?
b) Võetud kuul pannakse karpi tagasi, karpides olevad kuulid kallatakse kokku suurde kasti ning võetakse üks kuul. Kui suur on nüüd tõenäosus, et saadakse valge kuul?
5. Korvpallur tabab vabaviske tõenäosusega 0,75. Kui tal on 3 vabaviset, kui suur on siis tõenäosus, et ta tabab vähemalt ühe vabaviske?
Vastused
1. a) 9/40 b) 19/24 c) 11/12
2. 0,72
3. 0,964
4. a) 19/42 b) 6/13
5. 0,984Bernoulli valem
Vaatleme järgmist ülesannet. Täringut veeretatakse viis korda. Kui suur on tõenäosus, et neli silma saadakse kahel korral?
Lahendus
Igal üksikul katsel on nelja silma saamise tõenäosus , vastandsündmuse (ei saada nelja silma) tõenäosus on aga .
Üks võimalik seeria , mille käigus sündmus A (saadakse 4 silma) toimub kahel korral, on järgmine:
(esimesel kahel viskel saadakse 4 silma, kolmel järgmisel viskel aga mitte).
Selle sündmuse tõenäosus:
Esitatud seeria ei ole ainuke seeria, mille käigus sündmus A toimub kahel korral.
Näiteks on sobivad ka järgmised seeriad :
jne
Iga sellise seeria tõenäosus on aga sama:
Kõik need seeriad on üksteist välistavad, seega kui tahame leida tõenäosust selleks, et toimuks vähemalt üks seeriatest, peame rakendama sündmuste summa valemit (1), s.t liitma vastavate seeriate tõenäosused kokku.
Küsimus on seega selliste seeriate arvus.
Osutub, et selliseid seeriaid on täpselt
Lõplikult, vastav tõenäosus, mida tähistatakse sümboliga , avaldub järgmiselt:
Üldkujul, kui seeria pikkus on n ning sündmuse A toimumiste arv selles seerias on k, sündmuse A toimumise tõenäosus igal üksikul katsel olgu p, vastandsündmuse toimumise tõenäosus aga q, siis kehtib valem (nn Bernoulli valem):
Arvutamisel kirjutame algandmed välja ning rakendame siis Bernoulli valemit.
Näiteülesanded
1. Korvpallur tabab vabaviske tõenäosusega 0,75. Kui suur on tõenäosus, et kolmest vabaviskest ta tabab kaks?
Lahendus
p = 0,75
q = 0,25
n = 3
k = 2
2. Tõenäosus, et kauplusesse sisenev inimene on blond , on 0,5. Kui suur on tõenäosus, et viiest inimesest, kes kauplusesse sisenevad, on kolm blondid?
Lahendus
p = 0,5
q = 0,5
n = 5
k = 3
3. Ratsavõistlustel on rajal 10 takistust. Iga takistuse mahaajamise eest antakse 4 karistuspunkti. Tõenäosus iga üksik takistus ületada on võistleja A jaoks 0,7. Kui suur on tõenäosus, et võistleja A saab 8 karistuspunkti?
Lahendus
Tekstist selgub , et k = 8 (võistleja ületab 8 takistust).
Veel algandmeid:
p = 0,7
q = 0,3
n = 10
4. Tuntud kampaania “Maksa kaardiga!” tulemusena eelistab 80% ostjatest maksta pangakaardiga.
Kui järjekorras on 5 inimest, kui suur on siis tõenäosus, et nende hulgas on siiski üks inimene, kes eelistab tasumisel kasutada sularaha ?
Lahendus
n = 5
k = 1 (üks inimene maksab sularahas)
p = 0,2 (tõenäosus selleks, et juhuslikult valitud inimene eelistab sularaha)
q = 0,8
5. Statistika andmetel ületab iga teine auto lubatud sõidukiirust. Kui suur on tõenäosus, et viiest mööduvast autost vähemalt üks sõidab lubatud kiirusega?
Lahendus
Kui iga teine auto ületab lubatud kiirust, siis see tähendab, et juhuslikult valitud auto ületab sõidukiirust tõenäosusega 0,5. Sama tõenäosusega sõidab auto lubatud kiirusega.
n = 5
k ³ 1 (vähemalt üks auto sõidab lubatud kiirusega)
p = 0,5
q = 0,5
Kuna sündmuse kirjelduses esineb sõnapaar “vähemalt üks”, siis on otstarbekas üle minna vastandsündmusele (“mitte ükski”).
Seega otsitav tõenäosus, mida tähistatakse sümboliga , leitakse järgmiselt
6. Eestikeelsetes proosatekstides on a-tähe esinemissagedus ligikaudu 0,14. Kui suur on tõenäosus, et kümne juhuslikult valitud tähe hulgas on vähemalt üks a-täht?
Lahendus
n = 10
k ³ 1
p = 0,14 (see on tõenäosus, et juhuslikult valitud täht on a-täht)
q = 0,86
ÜLESANDED LAHENDAMISEKS

Laskur tabab märki tõenäosusega 0,8. Kui suur on tõenäosus, et kümnest lasust ta tabab 8?

Münti visatakse 5 korda. Kui suur on tõenäosus, et neljal korral saadakse “kiri”?

Inglisekeelsetes proosatekstides on e-tähe esinemissagedus 0,127. Kui suur on tõenäosus, et kümne juhuslikult valitud tähe hulgas on kolm e-tähte?

Tõenäosus selleks, et vastutulev inimene on blond, on 0,33. Kui suur on tõenäosus, et kuuest vastutulijast on kolm blondid?

Tõenäosus, et 8 meetri kõrguselt langev kivi kukub auku , mille diameeter on 0,2 meetrit, on 0,01. Kui suur on tõenäosus, et sooritades 10 katset, vähemalt üks kivi kukub sellesse auku?
Vastused. 1. 0,302 2. 0,156 3. 0,095 4. 0,216 5. 0,0963