Matemaatika konspekt 11. klassi arvestus (0)

MATEMAATIKA ARVESTUS
1. Kombinatoorika põhiprintsiibid- liitmis ja korrutamisprintsiip.
Liitmisprintsiip- „kas üks või teine“ .
kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m.
Korrutamisprintsiip- „ nii üks kui ka teine“
kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B
m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis
kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m.
2. Permutatsiooni
permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende
elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi.
Pn = n!
3. Variatsioonid
Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise
hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide
erinevaid järjestusi.

Vnk = n!/(n-k)! k
0! = 1
Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest.
Variatsioone on 2x rohkem kui kombinatsioone.
4. Kombinatsioonid.
Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse
n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki.
Vnk =Cnk ⋅Pk .
Cnk =n! / k! (n-k)!
5. Newtoni binoomvale
Nt: (a+b)2 = a2 +2ab +b2
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
Püramiid :
1 1=2 0
1 1 2= 2 1
1 2 1 4= 2 2
1 3 3 1 8= 2 3
1 4 6 4 1 16=2 4
1 5 10 10 5 1 32= 2 5
OMADUSED:
1. Kordajad on Pascali kolmnurgas.
2. Esimene ja viimane kordaja on alati 1.
3. Järgmise rea saame eelmise rea liitmisel.
4. Algusest ja lõpust võrdsel kaugusel olevad liikmed on võrdsed.
5. Liikmsed igas reas on n+1
6. Esimese ja viimase aste on n.
7. teine ja eelviimane kordaja on alati n.
8. Astmete liikmete suuma on alati n.
9. Kordajate summa on 2 n
10. a- kasvavad astmed .
b- vähenevad astmed
6. Sündmusemõiste.
Sündmuseks nim elementaarsündmuste ruumi U iga osahulka.
Juhuslikud sündmused- sündmused võivad esile tulla, kuid need võivad ka mitte tulla.
Võimatu sündmus- Sõndmus mis ei ole võimalik .
NÄIDE :
Loeme täringu viskamisel sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu
(3 või 6 silma) tuleku. Sündmuse A vastandsündmuseks A on kolmega mitte jaguva
silmade arvu tulek, st. 1, 2, 4 või 5 silma tulek.
Kindla sündmuse vastandsündmuseks loetakse võimatut sündmust, st. U V ja
võimatu sündmuse vastandsündmuseks kindlat sündmust, st. V U .
7. Klassikaline tõenäosus.
sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A soodsate
võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n suhet k/n
Sündmuse tõenäosust tähistatakse tähega p või sümboliga P(A).
Rõhutame: selle definitsiooni korral eeldatakse kõigi elementaarsündmuste
1) arvu (n) lõplikkust,
2) välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elementaarsündmus),
3) võrdvõimalikkust.
Tõenäosuse definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused:
1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 P(A) 1.
2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1, st. P(U) = 1.
3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0, st. P(V) = 0.
4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa
on 1, st. P(A) + P( A ) = 1.
N ä i d e 2. Eelmises näites leidsime paarisarvu silmade tuleku tõenäosuse täringu viskel ,
P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskel on sündmuse A vastandsündmus
A , siis selle tõenäosus P(A) 1−P(A) 1−0,5 0,5.
8. Sündmuste korrutis, vahe ja summa.
sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises,
nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks .
Ühisosa peab olema.
N ä i d e 2. Kaardipakist, milles on 36 kaarti , võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu
sündmuseks A risti saamine ja sündmuseks B pildi saamine. Leiame sündmuste
A ja B korrutise tõenäosuse.
Et sündmus AB tähendab ristimastist pildi saamist, siis soodsaid juhte on 3: ristisoldat,
ristiemand ja ristikuningas. Otsitav tõenäosus P (AB) 3 /36=0,08.
Kahte sündmust, mis ei saa katse tulemusena toimuda (st ei saa esineda üheaegselt) nim teineteist välistavaks sündmuseks.
Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis seisneb kas sündmuse A või B toimumises.
Sündmuste A ja B vahe on A/b nim sündmust, mis seisneb A toimumises ja B mitte toimumises
9. Tõenäosuste liitmise lause.
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Kahe sündmuse summa tõenäosus võrdub, nende sündmuste tõenäosuste summaga , millest on lahutatud samade sündmuste korrutiste tõenäosus.
Välistavate sündmuste summa tõenäosus võrdub liidetavate
sündmuste tõenäosuste summaga, st. P(A + B) = P(A) + P(B).
P(E1) + P(E2) + … + P(En) = 1.
10. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused.
sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuteks, kui neist ühe toimumine
või mittetoimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise
tõenäosust.
sündmusi A ja B nimetatakse sõltuvateks, kui neist ühe toimumine
või mittetoimumine mõjutab teise toimumise tõenäosust.
P(AB) = P(B) · P(A / B),
11. Geomeetriline tõenäosus.
Kui mingi geomeetrilise piirkonna D (lõik, tasandi või ruumi osa),
mille mõõde (pikkus, pindala, ruumala) on S, tabamine on kindel,
siis selle piirkonna osapiirkonna d, mille mõõde on s, tabamise
tõenäosus on s/S.
12. Statistiline tõenäosus.'
Sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A
suhtelist sagedust m/n küllalt suure katsete arvu n korral.
mida rohkem tehakse katseid, seda tõenäosem on, et sündmuse
suhteline sagedus m/n erineb sündmuse tõenäosusest p järjest vähem.
Sündmuse statistilise tõenäosuse korral kehtivad samad omadused, mis sündmuse
klassikalise tõenäosuse korral:
13. Juhuslik suurus.
Juhus määrab ära milline väärtus tuleb esile.
Juhusliku suuruse x tõenäosusfunktsiooniks nim eeskijra, mis sseab juhusliku suuruse x igale võimalikule väärtusele xi vastavusse tõenäosusega pi (ehk P(xi)).
Kui juhusliku suuruse tõenäoususfunktsioon on leitud , on ka leitud juhusliku suuruse jaotus.
14. Juhusliku suuruse krakteristikud.
EX = p1x1 + p2x2 + … + pnxn.
Juhusliku suuruse X dispersiooniks nimetatakse keskväärtuse suhtes
arvutatud hälvete ruutude keskväärtust
DX = E(X – EX)2
DX = p1(x1 – EX)2 + p2(x2 – EX)2 + … + pn(xn – EX)2.
Juhusliku suuruse X standardhälbeks nimetatakse ruutjuurt dispersioonist,
σ= √DX .
DX = EX2 – (EX)2
σ=√ EX2−(EX)2 .
15. Bernoulli jaotus
1. Ühtlane jaotus. Diskreetne ühtlane jaotus defineeritakse tõenäosusfunktsiooniga
P(X = i)=1/n, kui i = 1, 2, …, n.
See tähendab, et juhusliku suuruse X võimalikele väärtustele 1, 2, …, n vastavad
tõenäosused on võrdsed ja võrduvad arvuga 1/n
2. Bernoulli1 jaotus*. Olgu sündmuse A tõenäosus P(A) = p. Bernoulli jaotusega
juhuslik suurus on niisugune suurus X, mille väärtus on 1, kui sündmus A
toimub, ja väärtus on 0, kui sündmus A ei toimu (toimub A ). Seega on Bernoulli
jaotusega juhuslikul suurusel kaks võimalikku väärtust: 1 ja 0, millele vastavad
tõenäosused on p ja 1 – p, st.
P(X = 1) = p ja P(X = 0) = 1 – p.
16. Binoomjaotus .
binoomjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X jaotust, kui juhuslikuks
suuruseks on sündmuse A esinemiste arv n sõltumatust
katsest koosnevas katseseerias.
P X =k =C kn ⋅ pk⋅q n-k.
EX = np.
DX = npq ning σ= √npq .