Tõenäosusteooria (0)

Sündmused. Kindel sü ndmus  (tähistatakse K) - sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub.Kindlateks sündmusteks on kooliaasta algus 1. septembril, igahommikune päikesetõus, vesi on ämbris vedelas olekus kui temperatuur on 10 kraadi. Võimatu sündmus (tähistatakse V) - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; vesi ei saa tahkes olekus olla, kui temperatuur on +10 kraadi.Kindla sündmuse vastandsündmus on võimatu sündmus.Juhuslik sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. Juhuslikeks  sündmusteks on 6 silma tulek täringu viskel , loteriiga võidu saamine, tuttava kohtamine tänaval.Juhuslik katse on tõenäosusteooria jaoks kirjeldatud, kui on loetletud tema võimalike tulemuste hulk. Seda hulka nimetatakse lühidalt elementaarsündmuste hulgaks ja tähistatakse sümboliga S.Näide 1. Katse võimalikuks tulemuseks täringu viskel loetakse teatava tahu peale­langemist. Sellel katsel on 6 võimalikku tulemust ja vastav elementaarsündmuste hulk on:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.Katsetulemuste hulk moodustab elementaarsündmuste ruumi, tähistatakse   Ω . Eelnevas näites S =Ω. Näide 2. Kui meid huvitab paarituarvulise tahu pealetulek, siis sellele katsele vastav elementaar­sündmuste hulk on:S = {1, 3, 5}.Siin sündmuseks A on paarituarvulise tahu pealetulek. Näiteks, A = 1. Juhul kui tuleb paarisarvuline tahk, siis see on antud sündmuse vastandsündmus, tähistatakse AC, näiteks AC = 2.Elementaarsündmuste ruum Ω= {S, SC}.Näide 3. Kui katseks on auto eluea pikkuse mõõtmine, siis elementaar­sündmuste hulgaks on kõik mittenegatiivsed arvud:S = [0, µ ).Juhusliku katse tulemus, mille korral toimub meid huvitav sündmus, nimetatakse selle katse jaoks soodsaks. Sündmus A toimub, kui juhusliku katse tulemus on tema jaoks soodne. Näide 4.  Tulistatakse märklauda. Olgu juhuslik sündmus A, et toimub üks tabamine ja üks möödalaskmine. Sellele katsele vastav elementaar­sündmuste hulk S = {s1, s2, s3, s4} on: 
s1 – esimesel ja teisel lasul tabatakse ; 
s2 – esimesel tabatakse, teisel lastakse mööda; 
s3 - esimesel lastakse mööda, teisel tabatakse; 
s4 - esimesel ja teisel lastakse mööda.Sündmuse A soodsad sündmused on s2, s3. A ja B summaks kui toimub kas sündmus A või sündmus S või mõlemab,tähistatakse AᴜB. AᴜB=A+B. Sündmus A ja B Korrutiseks kui toimuvad üheaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B tähistatakse AᴖB.AᴖB=AB. Vahe on sündmus, mis toimub siis, kui toimuvad sündmus A aha sündmus B ei tomu . Tähistatakse A/B.Näide5. olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A ᴜ B = A + B = {1, 2, 3, 5}.Näide6. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A  B = AB = {1, 3}.Sündmusi, mille korrutiseks on võimatu sündmus, nimetatakse üksteist välistavateks.Kui A = {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB = , siis öeldakse sündmused A ja B on teineteist välistavad. Näide7. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A\B = {5}.Kaht sündmus nim sõltumatuteks, kui neist ühe toimumune ei muuda teise tõenäosust Näide8.Kui suur on tõenäosus, et tõmbame 52kraadiga kaardipakist ruutu ? Ruutusid on selles pakis 13, kokku kaarte 52, seega P(ruutu)=13/52=0.25eht 25%.Näide9.Vaatleme loteriid,mille korral trükiti 1 miljon piletit ja võidab ainult ühe piletiga. Seega pileti omanikul on võidu tõenäosus 1/ 1000000 =0.000001.Näeme,et see on praktiliselt võimatu sündmus p(A)=0.Sõltiv sündmus, kui sündmus tõenäosus sõltuv mingist teisest sündmusest.Näide10. Oletame näiteks, et meil on urnis viis kuuli-kolm vaglet ja kaks musta. Mis ontõenäsust,et pimesi valides saame esimesel korral valge kuuli?P(A)=P(valge)=3/5=0.6eht60%. Mis on tõenäosus, et ka teisel korral saame valge kuuli? Kui esimest kuuli tagasi ei pane, siis järgi on neli kuuli (kaks valget, kaks musta) ning valge kuuli valimise tõenäosus on P(B) = P(BA) = P(valge) = 2/4 = 0,5 e. 50%. Sama loogikaga jätkates on kolmanda valge kuuli valimise tõenäosus vaid P(C) = P(CP(B)) = P(CA  B) P(valge) = 1/3 = 0,333 ehk 33,3%. Sõltuvad juhuslikud sündmused on üksteisest sõltivad. Näide11. Viskame kahte täringud. Tähistame E1 sündmus,et saadav punktisummaon 6 ja sündmus F,et esimene täringuga saime 4 silma. P(E1F)=P({4,2})=1/36 kuna P(E1)P(F)=5/36×1/6=5/216.Näide12. Urnis on 4 nummerdatud palli(1,2,3,4).olgu sündmus E={1,2} F={1,3} G={1,4}. Kui kõogi nelja palli võtmine on võrdtõenäoline,siis P(EF)=P(E)P(F)=1/4, P(EG)=P(E)P(G)=1/4, P(FG)=P(F)P(G)=1/4. Aga ¼=P(EFG)≠ P(E)P(F)P(G).ei ole üldse sõltumatud.Tinglik tõenäosus P(B|A). Sündmus B tõenäosust,mis on arvutatud tingimusel,et sündmus A toimus,nim sündmus B tinglik tõenäosus P(B|A)= P(ᴖA)/P(A)= P(AB)/ P(A).Näide13. Urnis on 7 valget ja 3 musta kuulikest. Urnist võetakse üksteise järel kaks kuulikest. Esimesena välja võetud kuulike on must. Milline on tõenäosus, et teisena välja võetud kuulike on valge?Lahendus. Esimesena välja võetud kuulike on must, tähistame selle sündmuse A-ga.Peale sündmuse A toimumist , jäi urni 7 valget ja 2 musta kuulikest. Kõikide võimaluste arv tingimusel, et sündmus A toimus on 9. Teisena võetakse urnist valge kuulike – see on sündmus B. Tingimusel, et sündmus A toimus on sündmuse B jaoks soodsaid võimalusi 7. P(B|A) = 7/9 0,78. Näide14. Perekonnas on kaks last. Mis on tingimuslik tõenäosus, et perekonnas on mõlemad poisid, teades, et vähemalt üks nendest on poiss.Lahendus. Eeldame, et elementaarsündmuste hulk on S={(t, t); (t, p); (p, t); (p, p)} ja kõik tulemused on võrdtõenäolised. Siin (t, p) tähendab, et vanem laps perekonnas on tüdruk ja noorem on poiss.Tähistame sündmuse B, et mõlemad on poisid ja sündmuse A, et vähemalt üks on poiss. P(B|A)= P(BA)/P(A)=P({p,p})/P({t,b);(p,t); (p,p)})=1/4:3/4=3/4.sõltumatud on alati kahe niisugune järhestikuse katsega seotud sündmused, kus esimese katse tulemus ei mõjusta teise katse võimalike tulemuste hulka ega tulemuste võimalikkust. Sõltumatuse sündmuste korral kehtib võrdus P(AᴖB)=P(A)P(B). Liitmistulause P(AᴜBᴜC)=P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)- P(AC)- P(BC)+ P(ABC) ühe ja sama katse seotud sündmus.Korrutamine P(AᴖBᴖCᴖD)= P(A)P(B|A)P(C|AᴖB)P(D|AᴖBᴖC). P(AᴖBᴖC)= P(A)P(B|A) P(C|AᴖB).Näide15. Märklauda tulistatakse kaks korda. Tõenäosus tabada esimesel lasul on 0,6 ja tabada teisel lasul on 0,8. Leida tõenäosus, et märklauda tabatakse vähemalt üks kord.Lahendus. Olgu sündmus A märklaua tabamine esimesel lasul ja sündmus B olgu märklaua tabamine teisel lasul. Seega ülesande tingimuste kohaselt P(A) = 0,6 ja P(B)= 0,8.Kuna sündmused A ja B on mittevälistavad ja sõltumatud, siis tõenäosus,et märklauas oleks vähemalt üks tabamus on:P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) = 0,6 + 0,8 – 0,6 * 0,8 = 0,92. Näide16. Seadmes on kaks releed , mis tõenäosusega 0,9 töötavad garantiiaja jooksul tõrgeteta. Releed töötavad üksteisest sõltumatult. Leida tõenäosus, et vähemalt üks neist releedest töötab garantiiaja jooksul tõrgeteta.Olgu sündmus A - esimene relee töötab gasrantiiaja jooksul tõrgeteta, sündmus B - teine relee töötab garantiiaja jooksul tõrgeteta. Meid huvitav sündmus  vähemalt üks (st kas esimene või teine või mõlemad) releedest töötab garantiiaja jooksul tõrgedeta  on sündmuste A ja B summa, AB. Tõenäosuste liitmislause kasutamiseks peame teadma ka nende sündmuste korrutise AB tõenäosust. Kuna eelduse kohaselt on sündmused sõltumatud, siis P(AB) = P(A)P(B) = 0,90,9 = 0,81. Kirjutades välja tõenäosuste liitmislause, same P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) = 0,9 + 0,9  0,81 = 0,99. Näide17. Tuginedes esindusliku ankeetküsitluse andmetele on teada, et 10% N riigi valimisõiguslikest kodanikest on hea tervisega ja 5% selle riigi valimisõiguslikest kodanikest on rikkad (olgu klassi “rikas” kuulumiseks kasutusele võetud teatud objektiivne kriteerium ). Oletame, et need omadused esinevad üksteisest sõltumatult (st sisuliselt eeldame, et rikaste protsent nii hea tervisega kui ka halva tervisega kodanike hulgas on ühesugune). Leida tõenäosus, et juhuslikult valitud kodanik selles riigis on kas hea tervisega või rikas. Olgu sündmuseks A juhuslikult valitud valimisõiguslik kodanik on hea tervisega. Selle sündmuse statistiliseks tõenäosuseks on P(A) = 0,1.Olgu sündmuseks B — juhuslikult valitud valimisõiguslik kodanik on rikas. Selle sündmuse statistiliseks tõenäosuseks on P(B) = 0,05. sündmused sõltumatud. siisP(AB) = P(A)P(B) = 0,1 0,05 = 0,005,ehk tõlkides saadud tõenäosuse protsentide keelde: N riigi valimisõigulike kodanike hulgas on vaid 0,5% nii hea tervisega kui ka rikkad.Kuna sündmus, mille tõenäosust on vaja leida on sündmuste A ja B summa, siis P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) = 0,1 + 0,05  0,005 = 0,145.Tõenäosus, et huupi valitud valimisõiguslik kodanik on kas hea tervisega või rikas on 0,145.Näide18. Ühel peol peavad kolm meest oma mütsi ruumi keskele viskama. Alustuseks pannakse mütsid kotti ja segatakse. Seejärel mehed võtavad kotist mütsi ja viskavad. Kui suur on tõenäosus, et ükski mees ei viska oma mütsi? Leiame kõigepealt tõenäosuse, et vähemalt üks mees viskab oma mütsi. Tähistame sündmuse Ei, i = 1, 2, 3, et i-s mees võtab oma mütsi. Tõenäosuse P(E1  E2  E3) arvutamiseks, teame, et P(Ei )=1/3 i = 1, 2, 3: P(EiEj)=1/6Näide19. Oletame, et katses on kaks kasti, millel on sildid paaris ja paaritu. Paaris kast sisaldab palle, millel on numbrid 4, 6. Paaritu kast sisaldab palle numbritega 1, 3, 5. Visatakse münti kasti valimiseks, kui tuleb „kull“ võtame juhuslikult palli paaris kastist, „kirja“ korral võtame palli teisest kastist. Kui suur on tõenäosus, et saame palli numbriga 3? sündmuste tõenäosuste korrutamise reeglitP(3) = P(paaritu ja 3) = P(paaritu)*P(3) =1/2×1/3=1/6 Näide20. Vaatluse all on kaks elektrilist komponenti. Tõenäosus, et üks komponent läheb rikki on 10%. Kui esimene komponent läheb rikki, siis tõenäosus, et ka teine komponent läheb rikki on 20%. Aga kui esimene komponent töötab, siis tõenäosus, et teine komponent läheb rikki on 5%.
Arvuta tõenäosused järgnevatele sündmustele:
vähemalt üks komponent töötab;
täpselt üks komponent töötab;
teine komponent töötab.
Siin aitab jällegi puudiagramm, mis näitab kõiki võimalusi
P(vähemalt üks töötab) = 1 – P(mõlemad ei tööta) = 1 – 0,1 * 0,2 = 0,98
P(täpselt üks töötab) = P(I töötab ja II on rikkis) + P(I on rikkis ja II töötab) =
= 0,9 * 0,05 + 0,1 * 0,8 = 0,125
P(II töötab) = P(I töötab ja II töötab) + P(I on rikkis ja II töötab) = 0,9 * 0,95 + 0,1 * 0,8 = 0,935
N’ide21. Urnis on 5 punast 3 sinist ja 2 rohelist kuulikest. Urnist võetakse üksteise järel kolm kuulikest. Milline on tõenäosus, et saadakse roheline, sinine ja punane kuulike.Olgu sündmus A1 - saadakse roheline kuulike,P(A1) = 2/10=0,2.Olgu sündmus A2 - rohelise kuulikese järel saadakse sinine kuulike, P(A2|A1) = 3/9=0,33. Olgu sündmus A3 - rohelise ja sinise kuulikese järel saadakse punane kuulike, P(A3|A1A2) = 5/8 =0,625. Kasutame tõenäosuste korrutamise lauset. P(A1A2A3) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) = 2/10×3/9×5/8  0,042. Vastandsündmuse tõenäosus.P(Ac)=1-P(A) A×ᴜAc=Ω P(A)+P(Ac)=1N’ide23. Seadmes on relee, mis tõenäosusega 0,9 töötab garantiiaja jooksul tõrgeteta. Milline on tõenäosus, et garantiiaja jooksul tekib tõrge?Olgu tõrgeteta töö garantiiaja jooksul sündmus A. Tõrke tekkimine on tõrgeteta töötamise vastandsündmus Ac. Kasutame vastandsündmuse tõenäosuse leidmise valemit P(Ac) = 1 - P(A) = 1 – 0,9 = 0,1.N’ide24. Vaatame näites 23 kirjeldatud ülesannet. Leiame tõenäosuse, et nelja huupi üksteise järel valitud detaili hulgas on vähemalt üks defektiga. Paneme tähele, et meid huvitav sündmus on sündmuse A1A2A3A4 vastandsündmuseks, st (A1A2A3A4)c. Kasutame teoreemis 2 tõestatud valemit, P((A1A2A3A4)c) = 1  P(A1A2A3A4)  1  0,647  0,353. Täistõenäosuse valem P(A)=P(Hi)P(A|Hi) Näide25. Tsehhis töötab kolm automaattööpinki H1, H2, H3, millede panus tsehhi kogutoodangusse jaguneb suhtes 25:35:40. Praagiprotsent on erinevatel tööpinkidel erinev, see on 5%, 4% ja 2%. Valminud detailid satuvad segamini tellijale saadetavasse konteinerisse. Leida tõenäosus, et konteinerist juhuslikult valitud detail osutub praagiks. Lahendus. Valime sündmuseks Hi sündmuse, et detail on toodetud i-ndal tööpingil. Meid huvitavaks sündmuseks A on praakdetaili valimine. Vastavalt ülesande tingimustele
P(H1) = 0,25, P(H2) = 0,35 ja P(H3) = 0,40. P(A) = 0,25·0,05 + 0,35·0,04 + 0,40·0,02 = 0,0345. Bayesi valem. antud hüpoteeside täielik süsteem H1 ,... , Hn ning olgu teada nende hüpoteeside tõenäosused P(H1), ... , P(Hn). Tehakse katse, mille tulemuseks on mingi sündmus A, mille tinglikud tõenäosused P(A|H1), ... P(A|Hn) olgu teada. Siis avaldub hüpoteesi Hi tinglik tõenäosus Bayesi valemi kujul:
Pidevat juhuslikku suurust esindab jaotusfunktisoon ja tihedusfunktsioon . Diskreetset juhuslikku suurust esindab jaotusfinktisoon ja tõenäosusfunktisoon. 1.Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus on:EX=(a+b)/22. Poissoni jaotusega juhusliku suuruse dispersioon on:DX=lamda 3.Binoomjaotusega juhusliku suuruse keskväärtus on:EX=np 4.Binoomjaotusega juhusliku suuruse dispersioon on:DX´=ńpq 5. Poissoni jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus on:EX=lamda6. Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse dispersioon on: DX=(b-a)*(b-a)/12
Tõenäosuse geomeetriline tähendus ühemõõtmelises ruumis väljendub lõigu pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana ja kolmemõõtmelises ruumis ruumalana.Kui juhusliku katse võimalike tulemuste arv on mitteloenduv, kuid tulemused võrdvõimalikud saab sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kasutada geomeetrilise tõenäosusevalemit.P(A)=S(A)/S(V)
Asümmeetriakordaja on juhusliku suuruse kolmandat järku tsentraalse momendi ja standardhälbe kuubi suhe, mille valem diskreetsel juhul on ja analoogiliselt eelnevaga ka pideval juhul.
Binoomjaotus on diskreetse juhusliku suuruse soodsatest sündmustest moodustuv tõenäosusjaotus.
Katseseeria korduste arv on fikseeritud, iga katse katseseeria peab olema sõltumatu, iga katse tulemusel seerias on kaks võimalikku väärtust ja tema tõenäosus on konstantne. Edutõenäosus P(S) = p ja ebaedu tõenäosus P(F) = 1 – p = q
Üldistades, meil on n sõltumatut katset, kus P(S) = p ja P(F) = q.
Tõenäosuste korrutamise reeglit kasutades, saame px *qn-x. Tõenäosus P(x) on edutõenäosus, kus x on valitud n katsest suvalises järjekorras. Jõuamegi binoomilise tõenäosuse valemini
P(x)= 
Excelis kasutada funktsiooni BINOMDIST(x;3;0,9;0). Viimane parameeter kumulatiivsus on tõenäosusfunktsiooni korral 0 ja kumulatiivse tõenäosuse korral 1.
Diskreetne juhuslik suurus. Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks. Diskreetset juhuslikku suurust kirjeldatakse tema tõenäosusjaotuse kaudu.
Jaotusfunktsioon . Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks 
Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust X, kui iga x  R korral eksisteerib tõenäosus P(X Juhusliku suuruse teist järku tsentraalset momenti µ 2 nimetatakse juhusliku suuruse dispersiooniks DX (esimest järku tsentraalne  moment on keskväärtus),DX=u2=E(X-EX)2. Seega dispersioon diskreetsel juhul avaldub DX=∑(Xk –EX)2Pk ja pideval juhul DX=|(X-DX)2f(X)dx. Dispersioon on juhusliku suuruse keskväärtuse suhtes arvutatud hälbe ruudu keskväärtus. See arv kirjeldab juhusliku suuruse hajutatust tema keskväärtuse suhtes.Dispersiooni mõõtühikuks on esialgse mõõtühiku ruut, dispersioon on keskväärtuse suhtes arvutatud hälbe ruudu keskväärtus.Dispersiooni definitsioonist järelduvad järgmised omadused.1. Konstandi dispersioon on null D(C) = 0.2. D(aX + b) = a2DX.
Juhusliku suuruse keskväärtuseks (matemaatiliseks ootuseks) nimetatakse arvu, mis on määratud eeskirjaga. Keskväärtus on olemas, kui vastav summa või integraal omab lõplikku väärtust. Keskväärtus on juhusliku suuruse paiknemise karakteristik. Seega, juhusliku suuruse keskväärtus diskreetsel juhul on selle juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutise summa. Pideval juhul võib tõenäosusjaotust kujutleda “ühikulise tõenäosusmassina”, mis arvteljel teataval viisil paigutatud, siis keskväärtus on jaotuse raskuskeskme x koordinaadiks.
Diskreetse juhusliku suuruse X mediaaniks (tähistame Med) nimetatakse juhusliku suuruse niisugust väärtust, mille puhul on võrdtõenäoline, et juhuslik suurus on kas suurem või väiksem mediaanist, soP(X Med). Geomeetriliselt on mediaan punkt, mille puhul sirge x = Med jaotab jaotuskõvera ja x-teljega piiratud joontrapetsi pindala kaheks pindvõrdseks osaks.
Diskreetse juhusliku suuruse X moodiks nimetatakse selle juhusliku suuruse väärtust, millel on suurim tõenäosus. Pideva juhusliku suuruse moodiks nimetatakse juhusliku suuruse niisugust väärtust, mille puhul jaotustihedusel on maksimum.
Pidev juhuslik suurus Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitte­loenduvalt lõpmatu (st väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks. Seega pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev hulgal R.
Standardhälve. Juhusliku suuruse mõõtühiku skaalas kasutatakse dispersiooni kõrval hajuvuse näitajana standardhälvet, 6=√DX.
Poissoni jaotus. Diskreetse juhusliku suuruse X esinemise tõenäosus ajaühikus on Poissoni jaotuse järgi. Sellel jaotusel on üks parameeter - keskmine - määr et sündmus esineb (tähist lamda -kreeka täht). lamda=2,3 näitab, et keskmiselt oli panka tulijaid 2,3 ühes ajaühikus. Lamda peab olema enne teada. P(X=x){e--^Jx/X!
Tõenäosusjaotus. Diskreetse juhusliku suuruse X tõenäosusjaotuseks nimetatakse funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x). See funktsioon omandab positiivseid väärtusi ainult nende argumentide korral, mis on juhusliku suuruse võimalikeks väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas valemina või tabeli abil, milles loetletakse juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja nende omandamise tõenäosused.
Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2. Tähistatakse N(µ, s 2). 
Ta on sümmeetriline, kelluka kujuline. Normaaljaotuse tihedusfunktsioon avaldub. Normaaljaotuse korral matemaatiline ootus e keskväärtus EX = µ ja dispersioon on s 2. Normaaljaotuse on oma keskpunkti suhtes sümmeetriline jaotus, seetõttu ühtivad mediaan ja keskväärtus. 
• Sümmeetrilisuse tõttu on asümmeetriakordaja võrdne nulliga. 
• Normaaljaotuse järskus on samuti võrdne nulliga. 
Kindlate tingimuste korral Poissoni ja binoomjaotus lähenevad normaaljaotusele.
Standardiseerimine Seda on vaja, et saaks võrrelda erinevate jaotusparameetritega juhuslikke suurusi, standardiseerimine viib need ühesugusele võrreldavale skaalale. Z=(x - µ)/ s .
Tihedusfunktsioon Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks, tähistatakse tähegaf(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0.2) Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. |f(x)dx=1 Tihedusfunktsioon kannab endaga kaasas kõikvõimalike intervallide tõenäosusi, intervalli (a,b) tõenäosus on võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni alla selle intervalli kohale.P(a