Tõenäosusteooria ja Matemaatilise Statistika Kodutöö (1)

Simuleerimine
Olgu meil juhuslik vektor . Juhuslikud suurused X ja Y on antud juhul tunnused, mis koosnevad 40 objektist.
Tunnused X ja Y olgu alljärgnevad:
~ ) , kus keskväärtus
lahendaja vanusega aastates ja standardhälve = ning Y = aX+U, kus konstant a võrdub lahendaja kinga numbriga ning ), kus .
Ülesanne
1) Leidke lineaarne korrelatsioonikordaja corr(X,Y).
2) Leidke juhuslike suuruste X+Y keskväärtusele 0.95 usaldusintervall . Mis on selle intervalli suurim ja vähim väärtus?
Lahendus
Ülesanne on lahendatud MS Exceli abil.
Lahendaja andmed: ~ (21;8.4) Y = 42X + U U ~ N (0, 42)
X ja U väärtuste saamise jaoks kasutan NORM.INV( RAND ();0;42) funktsiooni.
Nr
X
U
Y=42X+U
1
33.21065
16.70783
1411.555
2
14.16184
-5.25895
589.5383
3
25.88236
-7.52205
1079.537
4
27.97544
-21.5244
1153.444
5
11.71199
27.18304
519.0868
6
27.67134
-51.4732
1110.723
7
27.30613
-47.6051
1099.253
8
25.59172
-17.2505
1057 .602
9
24.23053
38.20982
1055.892
10
16.68502
-32.6694
668.1015
11
31.75124
-11.6524
1321 .9
12
16.45943
-63.3635
627.9327
13
24.34155
9.217023
1031.562
14
25.64773
22.52515
1099.73
15
18.78465
-21.4266
767.5287
16
14.64555
38.38217
653.4954
17
19.67323
-29.9828
796.293
18
9.801957
36.43506
448.1173
19
20.31124
35.44689
888.519
20
27.98887
6.685521
1182 .218
21
26.93297
-17.3128
1113.872
22
24.82851
33.82793
1076.625
23
32.32882
-15.7845
1342.026
24
32.81288
-24.0893
1354.052
25
4.743562
21.07553
220.3051
26
10.88546
3.571477
460.7607
27
17.4158
45.07658
776.5402
28
20.80261
18.93926
892.6488
29
26.54058
-6.7031
1108.001
30
22.25243
-0.10792
934.4942
31
27.82048
19.35414
1187.814
32
25.2077
11.78219
1070 .505
33
25.55225
42.6843
1115.879
34
32.43117
-37.6328
1324.476
35
9.568054
77.70795
479.5662
36
29.08422
-3.75811
1217 .779
37
21.88111
36.06151
955.0683
38
20.80474
37.44328
911.2422
39
18.41697
-17.163
756.3499
40
2.864192
-4.10186
116.1942
Lineaarse korrelatsioonikordaja leian funktsiooniga CORREL().
corr
X
Y
X
1
0.995699
Y
0.995699
1
Suuruste kovariatsiooni leian funktsiooniga COVAR().
cov
X
Y
X
58.07651
2367.182
Y
2367.182
97321.07
Keskväärtuse leian funktsiooniga Average(), E(X+Y) = E(X) + E(Y).
E(X)
E(Y)
E(X+Y)
21.92517
924.4057
946.3309
Dispersiooni X ja Y vahel leian valemiga.
= D(X) + D(Y) +
Dispersiooni leiame valemiga VAR.S().
Standardhälbe X ja Y vahel leian .
D(X)
D(Y)
D(X+Y)
Standardhälve(X+Y)
β
59.56565
99816.48
104610.4
323.4353
1.959964
Usaldusintervalli leian valemiga: ɛ = β* . => ɛ = 1,96 *
= 100.23
Suurima ja vähima intervalli väärtuse leian alljärgnevalt:
Intervalli suurim väärtus : E(X+Y)+ ɛ
Intervalli vähim väärtus: E(X+Y)- ɛ
Intervall
100.2318
Suurim
1046.563
Vähim
846.0991
Ülesanded
1. Tallinnas fikseeriti 100 päeva jooksul kiirabi väljakutsete sagedused . Saadi järgmised tulemused:
Väljakutsete arv
Sagedus
0
10
1
26
2
31
3
18
4
8
5
7
Mis jaotusega on teie meelest väljakutsete sagedus? Leidke selle jaotuse parameetr(te)le suurima tõepära (STP) hinnang. Konstrueerige teststatistik kontrollimiseks, kas empiiriline jaotus vastab teie poolt pakutud teoreetilisele tõenäosusele. Olulisusnivooks võtke 0.05.
Lahendus
Väljakutsete arv i
sagedus
0
10
0.123687136
12.36871358
0.453628746
1
26
0.258506114
25.85061139
0.000863305
2
31
0.270138889
27.0138889
0.588181945
3
18
0.188196759
18.81967593
0.03570033
4
8
0.098332807
9.833280675
0.341790105
5
7
0.041103113
4.110311322
2.031549438
XValem = 3.451713868
STP
XParem = 9.487729037
Minu meelest on väljakutsete arv Poissoni jaotusega.
H0: „Väljakutsete arvu on Poissoni jaotusega.“
H1: „Väljakutsete arv ei ole Poissoni jaotusega“
Leian Poissoni jaotuse parameetrile
STP hinnangu.
= 2.09
Teoreetilised tõenäosused
leiame valemist
Teoreetilised sagedused
leiame valemist
XValem
= 3.451713868
Kuna jaotusel on 1 parameeter siis vabadusastmete arv k= 6-2 = 4
XParem(0.05, 4) = 9.487729037
Kuna XValem XParem siis tõenäosusega 0.95 võime pole vaja H0 ümber lükata. Järelikult on väljakutsete arv on Poissoni jaotusega.
2. Olgu meil sündmus A=“Tuleb kuus silma“. Me viskame 180 korda täringut ning saame 26 korral kuus silma. Leidke 0.95-usaldusintervall sündmuse A tõenäosusele. Kas väärtus
kuulub sellesse intervalli? Mida arvata leitud usaldusintervalli põhjal täringu aususe kohta?
Lahendus
Punkthinnang täringuvisetele:
0.95-usaldusintervalli puhul
Usaldusintervalli leian valemiga : ɛ = β* =
ɛ = 1.96 *
Intervalli suurim väärtus:
= 0.144 + 0.051 = 0.196
Intervalli vähim väärtus:
= 0.144 - 0.051 = 0.093
0.093