Tallinna Tehnikaülikool Polümeermaterjalide instituut Tekstiilitehnoloogia õppetool Laboratoorsete tööde protokoll Kanga pindtiheduse määramine Õppejõud: Tiia Plamus Üliõpilane: Marco Oolo Õpperühm:KAOB51 Üliõpilaskood: 134416 Teostatud: 13.11.15 Kaitstud: Tallinn 2015 Kogu eelneva edastasin teile kirjalikul kujul , siin on ainult arvutused ja järeldus.. 4. Arvutuskäik Pindala S(cmxc
25. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 26. Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil. Tuletada vastav valem. 27. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (tuletada vastav valem). 28. Tuletada tasandilise kujundi massi valem pindtiheduse kaudu. Tuletada tasandilise kujundi masskeskmete koordinaatide valemid pindtiheduse kaudu. 29. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. Massi arvutamine ruumtiheduse kaudu (tuletada vastav valem). 30. Kolmekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 31. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 32. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 33. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega
jaoks saame: J(,)= x '(, ) x '(, ) = cos - sin = cos2 + sin2 = y '(, ) y '(, ) sin cos Muutuja vahetuse esimeses valemis esineb jakobiaani (J) absoluutväärtus. Kuna polaarkaugus on mittenegatiivne , siis J(, )== . Järelikult (x,y)dxdy= (a + cos , b + sin ) d d D D 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu. Olgu antud aine pindtihedus (P) kogupiirkonnas D. Jaotame piirkonna D osapiirkondadeks S1, S2, ..., Sn ja valime igas osapiirkonnas Si ühe punkti Pi. Tähistagu Si samaaegselt nii I-ndta tükki kui i-nda tüki pindala. Olgu S i mass mi. Kui osapiirkond Si on väike, siis võib aine pindtiheduse Si peal lugeda ligikaudselt konstatntseks ja võrdseks arvuga (Pi)Si saame funktsiooni integraalsumma n
11. Tuletada valem tasandilise kujundi masskeskme koordinaatide V punkt, kusjuures Pi[Mi-1,Mi], piirväärtust protsessis n0, kus arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu Olgu xy-tasandil antud n masspunkti P1(x1,y1), P2(x2,y2),... ,Pn(xn,yn). 13. Tuletada valem ruumilise kujundi massi arvutamiseks aine ruumitiheduse kaudu xu' xv' xw' n=max{d1, d2,...,dn}, kus di=|Mi-1,Mi|
10.8d Gaussi teoreemi teine rakendus: lõpmata suure, ühtlaselt laetud tasandi poolt tekitatud elektriväli Käesolevas näites arvutame Gaussi teoreemi kasutades niisuguse elektrivälja tugevuse, mille tekitab lõpmata suur, ühtlaselt laetud tasand. Külgvaates kujutab olukorda järgmine joonis: 17 Tähistame sümboliga tasandil oleva laengu pindtiheduse, see on tasandi laeng jagatud tema pindalaga. Arvutame Gaussi teoreemi kaudu elektrivälja tugevuse punktis P, mis asub tasandit kaugusel r. Nagu eelmises näites varda kohta, tähendab ka siin mõiste "lõpmata suur tasand" tegelikult seda, et 1) tasandi mõõtmed on väga palju suuremad kaugusest r, 2) punkt P ei asu tasandi serva läheduses. Ka selle näite juures vaatleme sümmeetriast tulenevaid kitsendusi. Ühtlaselt laetud lõpmata suur tasand on samapotentsiaalipind (s.t
koguvoog läbi selle pinna. Elektriväljatugevuse voog läbi kinnise pinna on võrdeline laenguga, mis asub kinnise pinnaga piiratud ruumi osas. see kinnine pind on geomeetriline pind, gaussi pind. Kui laengu tihedused on võrdsed, siis: q= σ* S Φ=E∗S∗cos α 5. Ühtlaselt laetud lõpmatu tasandi, kahe erinimeliselt laetud paralleelse lõpmatu tasandi, laetud sfääri ja kera elektriväljad (Gaussi teoreemi kasutamine). Lõpmatu tasandi laetust kirjeldatakse laengu pindtiheduse mõiste abil. Pindtihedus σ on laenguhulk pinnaühikul. SI-süsteemis on mõõtühikuks C/m2. Elektrivälja määramiseks asetatakse mõlemale poole ja paralleelselt lõpmatut tasandit kaks pinnatükki pindalaga S, näiteks kaks ristkülikut. Neile ristkülikutele ehitatakse risttahukas, mille külgtahud lõikavad lõpmatust tasandist välja ristkülikukujulise pinnatüki. Nüüd on meil mõõtmetega kinnine pind, mida elektriväli läbib ning saab rakendada Gaussi teoreemi: Φ=4 π kS σ
annaabi.ee 
