Matemaatiline analüüs II, II teooriaküsimused 2013 (0)

Kordamisküsimused matemaatilise analüüsi (II) II osaeksamiks 2013 
 
1.  Kahekordne  integraal  ( integraalsumma , kahekordse integraali definitsioon, 
kahekordse integraali omadused (vastavad  teoreemid  tõestuseta)). 
 
n
Moodustame summa: V = f (P )∆s + f (P )∆s + ... + f (P )∆s =
f (P ) s  
n
1
1
2
2
n
n
∑
∆
i
i
i=1
Seda  summat  nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D.  
 
Teoreem  1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis 
integraalsummade jadal leidub osapiirkondade ∆si maksimaalse läbimõõdu  nullile  
lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada puhul, 
s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks ∆si jaotamise viisist ega punkti Pi 
valikust piirkoonas ∆si. Seda piirväärtust nimetatakse funktsioonif (x,y) 
kahekordseks  integraaliks  üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga  ∫∫ f (P)ds  ehk 
D
n
∫∫ f (x, y)dxdy  s.t lim ∑ f (P )∆s = f (x, y)dxdy Piirkonda D nimetatakse 
dia ∆
m s →
i
i
0
∫∫
i
D
i=1
D
integreerimispiirkonnaks. 
Teoreem 2. Kahe funktsiooni summaϕ(x, y) +ψ (x, y)  kahekordne integraal üle 
piirkonna D võrdub summaga, mille liidetavateks on funktsioonide ϕ(x, y)  ja 
ψ (x, y) , kahekordsed  integraalid  üle sama piirkonna D. 
[ϕ(x, y) +ψ (x, y)]
∫∫
ds = ∫∫ϕ(x, y)ds +∫∫ψ (x, y)ds  
D
D
D
Teoreem 3. Konstantse teguri võib tuua kahekordse integraali märgi ette:  
kui a= const , siis:  ∫∫aϕ(x, y)ds = a∫∫ϕ(x, y)ds  
D
D
Teoreem 4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks  piirkonnaks  D1 ja D2, millel pole 
ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon f(x,y) on pidev piirkonna D kõikides 
punktides, siis  ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy  
D
D
D
1
2
 
2.  Kahekordse integraali arvutamine ( regulaarne  piirkond, kaksikintegraal, 
teoreem kahekordse integraali ja kaksikintegraali vahelisest seosest tõestusega). 
 
Piirkonda, mis on regulaarne nii x- kui ka y-telje sihis, nimetatakse lihtsalt 
regulaarseks piirkonnaks. 
 
b
ϕ ( x

2

 Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D.  Vaatleme  avaldist  
f (x, y)dy d
 x
∫ ∫
 , 
a
ϕ ( x

1

mida nimetame funktsiooni f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D.  
Teoreem: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D 
võrdub selle funktsiooni kaksikintegraaliga üle sama piirkonna D (eeldame, et 
piirkond D on piiratud joontega  y = ϕ x ,  y = ϕ x , x=a  ja x=b) s.t. 
1
2
b ϕ (x)
2

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ ∫

f (x, y)dy dx .Tõestus. Jaotame piirkonna D koordinaat 
D
a  ϕ (x)
1

telgedega paralleelsete sirgete abil n regulaarseks (täisnurkseks) piirkonnaks 
n
s
∆ , s
∆ ,... s
∆ . Omasuse 1 põhjal:  I = I
+ I + ... + I
I
(2). Teisendame 
D
∆s
∆
∆s
1
2
n
∑
1
2
n
∆si
i=1
seda summat, rakendades iga liidetava suhtes kaksikintegraali kohta käivat  
keskväärtuse teoreemi  I
= f (P
s
∆
∆
. Võrdus (2) saab kuju 
s
i
i
i
n
I = f (P )∆s + f (P )∆s + ... + f (P )∆s =
f (P ) s , (3) kus Pi 
d
1
1
2
2
n
n
∑
∆
i
i
i =1
 on osapiirkonna s
∆ mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) 
i
integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist 
järeldub, et kui n → ∞ ja osapiirkondade  s
∆  suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on 
i
sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse 
integraaliga üle piirkonna D. 
 
 
 
3.  Muutujate vahetus kahekordses  integraalis  (koordinaatide teisendamise valem, 
funktsionaaldeterminant, ülemineku valem ristkoordinaatidelt 
polaarkoordinaatidele). 
 
Valem koordinaatide teisendamiseks:  ∫∫ f (x,d)dxdy =∫∫ F(u,v) I dudv . Selles 
D
D'
valemis  determinant  I on funktsioonide  χ (u, v) ja ψ (u, v) nn. 
x
∂
x
∂
Funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan ja ta on järgmine: 
. Üleminek 
u
∂
v
∂
y
∂
y
∂
u
∂
v
∂
ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele on üks  enamlevinud  juhtum  
muutujate vahetusest kahekordses integraalis. Sel juhul u = ϕ  ja  v = ρ :  x = ρ cosϕ , 
y = ρ sin ϕ . Leiame ristkoordinaatide x ja y polaarkoordinaatideks ϕ  ja ρ  
∂x ∂x
teisendamise jakobiaani: 
− ρ sinϕ cosϕ
∂
Järelikult 
u ∂
I =
v =
= −ρ
2
sin ϕ −
2
cos ϕ = −ρ
∂y ∂y
ρ cosϕ sinϕ
∂u ∂v
β φ ϕ
ρ2φ (ρ
2

I = ρ ja seetõttu: 
 ( )
2


või 


 
f (x, y)dxdy =
F (ϕ, ρ )
∫∫
∫
ρ ρ ϕ
f (x, y)dxdy =
F (ϕ, ρ )ρdρ dϕ
 ∫

d d
∫∫
∫ ∫

D
α  φ (ϕ)
D
ρ1 φ (ρ
1

1

 
4.  Kolmekordse integraali definitsioon, regulaarne kolmemõõtmeline piirkond, 
kolmikintegraal, teoreem kolmekordse integraali ja kolmikintegraali vahelisest 
seosest tõestuseta. 
 
Seda piirväärtust, mis ei sõltu ei piirkonna V jaotamisviisist ega punktide  P  valikust, 
1
tähistatakse sümboliga ∫∫∫ f (P)dv ja nimetatakse kolmekordseks integraaliks. 
V
Seega definitsiooni järgi:  ∫∫∫ f (P)dv = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz . Olgu ruumiline 
v
V
(kolmemõõtmeline) piirkond V piiratud kinnise pinnaga S, millel on  
järgmised omadused: 1) iga sirge, mis on paralleelne z-teljega ja läbib piirkinna V 
seesmist (mitte pinnal S asetsevat) punkti, lõikab pinda S kahes punktis; 2) piirkonna 
V projektsioon xy-tasandil on regulaarne (kahemõõtmeline) piirkond D; 3) piirkonna 
V iga osa, mis on sellest ära lõigatud ühe koordinaattasandiga (xy, xz või yz) 
paralleelse tasandiga. Selliste omadustega piirkona V nimetatakse regulaarseks 
kolmemõõtmeliseks piirkonnaks. Sellisteks piirkondadeks on näiteks  ellipsoid , 
risttahukas, tetraeeder. Kolmikintegraalil on järgmised omadused. Omadus 1. Kui 
piirkond V jaotada kaheks piirkonnaksV  ja V  tasandiga, mis on paralleelne ühe 
1
2
koordinaattasandiga, siis kolmikintegraali saamiseks üle piirkonna V tuleb liita 
kolmikintegraalid üle piirkondadeV  ja V . Omadus 2 (kolmikintegraali tõkked). Kui 
1
2
m ja M on vastavalt funktsiooni  f (x, y, z) vähim ja suurim väärtus piirkonnas V, siis 
kehtib võrratus  mV ≤ I ≤ MV , kus V on antud piirkonna ruumala ja  I  on 
V
V
funktsiooni  f (x, y, z) kolmikintegraal üle piirkonna V. 
 
5.  Muutujate vahetus  kolmekordses  integraalis (koordinaatide teisendamise valem, 
funktsionaaldeterminant, ülemineku valemid ristkoordinaatidelt 
silinderkoordinaatidele ja sfäärikoordinaatidele). 
 
Koordinaatide teisendamis valem: 
f (x, y, z)dxdydz =
f [χ u
( , t, w),τ u
( ,t, w), λ u
( , t, w)]I dudtdw
∫∫∫
∫∫∫
  
V
V ′
Funktionaaldeterminant: 
x
∂
x
∂
x
∂
u
∂
v
∂
w
∂
y
∂
y
∂
y
∂
I =
 
u
∂
v
∂
w
∂
z
∂
z
∂
z
∂
u
∂
v
∂
w
∂
Ülemineku valem ristkoordinaatidelt silinderkoordinaatidele: 
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cosϕ,ρ sinϕ, z)ρdρd d
ϕ z  
V
V
Ülemineku valem ristkoordinaatidelt silinderkoordinaatidele: 
f (x, y, z)dxdydz
(ρ cosϕ sinψ , ρ sin ϕ sinψ , ρ co ψ
s )ρ 2 sinψ ρ
d
ϕ
d dψ
∫∫∫
= ∫∫∫
 
V
V