Matemaatiline analüüs II KT teooria (0)

1. Kahekordne integraal : põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma definitsioon jne).
Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: ∆s1, ∆s2, ∆s3,…, ∆sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame ∆s1,… ,∆sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas ∆s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,…, Pn.
Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P1),…,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)∆s1:
Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D.
Kui piirkonna D igas punktis f≥0, siis saab iga liidetavat f(Pi)∆si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on ∆si ja kõrguseks f(Pi).
Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa, s.t. teatud „treppkeha“ ruumala.
Vaatleme funktsiooni z=f(x,y) integraalsummade suvalist jada Vn1, Vn2, Vn3,…, Vnn, mis on saadud antud piirkonna D jaotamisel osadeks ∆si mitmel erineval viisil. Oletame, et osapiirkonna ∆si maksimaalne läbimõõt läheneb nullule, kui nk→∞. Siis ositab õigeks järgmine väide:
kui funktsioon z=f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade ∆si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada pihi, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks ∆si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkonnas ∆si.
Tähistame osapiirkondade ∆si maksimaalset läbimõõtu sümboliga λ, s.t.
Piirväärtust nim. funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse
sümboliga Piirkonda D nim. integreerimispiirkonnaks.
Kui f(x,y)≥0 piirkonnas D, siis kahekordne integraal tähendab geomeetriliselt niisugust kõversilindri ruumala, mis alt on piiratud xy-tasandi piirkonnaga D, ülalt funktsiooni z=f(x,y) graafikuks oleva pinnaga ja küljelt silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z- teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon.
Kahekordse integraali omadusi:
1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdse nende funktsioonide kahekordsete integraalide summaga :
2. Kui c on konstant, siis:
3. Kahe funktsiooni vahe kahekordne integraal on võrdne nende funktsioonide kahekordse integraalide vahega:
4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1 ja D2, millel pole ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon z=f(x,y) on pidev piirkonna D kõikides punktides, siis:
2. Kahekordse integraali arvutamine: regulaarse piirkonna definitsioon (+joonis); kaksikintegraali definitsioon; omadus 19.2. (kaksikintegraa1i tõkked) ja omadus 19.3. (keskväärtuse teoreem ) tõestustega.
Olgu xy-tasandil asetsev piirkond D selline, et iga sirge, mis on paralleelne ühe koordinaatteljega, näiteks y-teljega, ja läbib piirkonna sisepunkti, lõikab piirkonna rajajoont kahes punktis N1 ja N2.
Eeldame, et vaadeldav piirkond D on piiratud joontega y=φ1(x), y=φ2(x), x=a ja x=b, kusjuures φ1(x)≤φ2(x) ja aSn→S
Sn-1=u1+ u2+…+ un-1 =>Sn-1→S
Kui rea n-is liige ei lähene nullile n-i tõkestamatul kasvamisel, siis rida hajub.
Rõhutame, et vaadeldud tingimus on ainult tarvilik, kuid mitte piisav, s.t. sellest, et rea n-is liige läheneb nullile, ei järeldu veel, et rida koondub, ta võib ka hajuda.
11. Positiivsete liikmetega ridade võrdlemine: teoreemid 35.1 ja 35.2 (teoreem 35.1 tõestusega).
Teoreem 35.1. Kui rea u1+ u2+…+un+… liikmed ei ole suuremad rea v1+ v2+…+vn+… liikmetest, s.t. kui un≤vn (n=1,2,…), ja rida v1+ v2+…+vn+… koondub, siis koondub ka rida u1+ u2+…+un+… .
Teoreem 35.2. Kui rea u1+ u2+…+un+… liikmed ei ole väiksemad rea v1+ v2+…+vn+… vastavatest liikmetest, s.t. kui un≥vn (n=1,2,…), ja rida v1+ v2+…+vn+… hajub, siis hajub ka rida u1+ u2+…+un+… .
Mõlemad teoreemid (35.1. ja 35.2.) kehtivad ainult positiivsete liikmetega ridade puhul. Nad kehtivad ka sel juhul, kui esimese või teise rea mõned liikmed võrduvad nulliga. Need tunnused aga ei kehti, kui rea liikmete hulgas leidub negatiivseid arve.
12. D´Alembert´i tunnus: vastava teoreemi tõestus (teoreem 36.1).
Teoreem 36.1. (D’Alambert’i tunnus). Kui positiivsete liikmetega rea u1+ u2+…+un+… (n+1)-se liikme ja n-nda liikme suhtel on n tõkestamatul kasvamisel (lõplik) piirväärtus l, s.t. kui siis:

rida koondub, kui l1.
Kui l=1, siis teoreem ei anna vastust rea koonduvuse või hajuvuse küsimusele.
13. Cauchy tunnus: vastav teoreem tõestuseta (teoreem 37.1).
Teoreem 37.1. (Cauchy tunnus). Kui positiivsete liikmetega rea u1+ u2+…+un+… korral on suurusel n n tõkestamatul kasvamisel lõplik piirväärtus l, s.t. kui , siis

rida koondub, kui l1 .
Kui l=1, siis teoreem ei anna vastust rea koonduvuse või hajuvuse küsimusele.
14. Rea koonduvuse integraaltunnus: vastav teoreem tõestusega (teoreem 37.2).
Teoreem 37.2. Olgu rea u1+ u2+…+un+… liikmed positiivsed ja mittekasvavad, s.t. u1≥ u2≥u3≥… ja olgu f(x) niisugune pidev mittekasvav funktsioon, et f(1)=u1, f(2)=u2,…, f(n)=un,… . Siis kehtivad järgmised väited:

kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida u1+ u2+…+un+…;

kui nimetatud integraal hajub, siis hajub ka rida u1+ u2+…+un+… .
15. Muutuvate märkidega read: mõiste selgitus; Leibnizi teoreem tõestuseta ja selle geomeetriline illustreerimine.
Muutuvate märkidega read, ehk read, mille liikmete märgid vahelduvad, s.t. read, millel on kuju u1-u2+u3-u4+…+u2k-1-u2k+…, kus un>0.
Teoreem 38.1. (Leibnizi teoreem). Kui vahelduvate märkidega reas u1-u2+u3-u4 (un>0) on liikmed sellised, et u1>u2> u3>… ja , siis on see rida koonduv ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea esimest liiget.
Leibnizi teoreemi saab geomeetriliselt illustreerida järgmiselt:
Kanname arvteljele osasummad.
Osamuudusummade vastavad punktid lähenevad teatud punktile s, mis kujutab rea summat. Seejuures asetsevad paarisnumbrilistele osasummadele vastavad punktid punktist s vasakul ja paaritunumbrilistele osasummadele vastavad punktid paremal.
16. Muutuvate märkidega read. Absoluutne koonduvus ja tingimisi koonduvus: vastavate mõistete selgitused ning teoreemi 39.1 tõestus.
Rida nim. muutuvate märkidega reaks , kui tema liikmete hulgas leidub nii positiivseid kui ka negatiivseid liikmeid.
Teoreem 39.1. Kui muutuvate märkidega rea u1+ u2+…+un+… liikmete absoluutväärtustest koosnev rida
│u1│+ │u2│+…+│un│+… koondub, siis koondub ka antud muutuvate märkidega rida.
Muutuvate märkidega rida u1+ u2+…+un+… nim. absoluutselt koonduvaks, kui koondub tema liikmete absoluutväärtustest moodustatud rida │u1│+ │u2│+…+│un│+… .
Kui aga muutuvate märkidega rida u1+ u2+…+un+… koondub, kuid tema liikmete absoluutväärtustest moodustatud rida │u1│+ │u2│+…+│un│+… hajub, siis nim. antud muutuvate märkidega rida
u1+ u2+…+un+… tingimisi ehk mitteabsoluutselt koonduvaks.
Absoluutse koonduvuse mõiste abil formuleeritakse teoreem 39.1. sageli järgmiselt: iga absoluutselt koonduv rida on koonduv rida.
17. Funktsionaalrida , selle koonduvuspiirkond, funktsionaalrea summa: vastavate mõistete definitsioonid .
Rida u1+ u2+…+un+… nim. funktsionaalreaks, kui tema liikmed on argumendi x funktsioonid.
Argumendi x nende väärtuste hulka, mille puhul funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks.
On ilmne, et rea koonduvuspiirkonnas on rea summa suuruse x mingi funktsioon. Seetõttu märgitakse funktsionaalrea summat sümboliga s(x).
10