MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2
Olgu antud funktsioon (x,y) 0. Vaatleme pinna z = (x,y) ja tasandi z=0 vahel paiknevat keha Q ruumalaga V. Üks võimalus on eelnevates teadmistest saadud valem V = (x,y)dxdy Järgnevalt käsitleme pisut teistsugust juhtu. Vaatleme keha Q, mis on alt pinnaga z= 1(x,y) ja ülalt pinnaga z= 2(x,y). Olgu Q projektsioon xy-tasandil tähistatud D-ga. Meid huvitab Q ruumala. Näitame, et V saab esitada 1 ja 2 vahe integraalina, st V= [ 2(x,y) 2(x,y)] dxdy D 8. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordne integraal (x,y)dxdy ja kaks funktsiooni u= u(x,y) ja v=v(x,y), mis on määratud piirkonnas D. Eesmärgiks on sooritada muutuja vahetus, mille tulemusl asendatakse x ja y u ja v-ga. Kuna funktsioonid u ja v on ühesed kujutsied, siis seavad nad igale punktile P=(x,y) hulgastt D vastavusse ühe kindla punkti P'=(u,v) uv-tasandil. Kui P jookseb läbi kogu
Olgu =max{y , integraalsumma, seega D a 1 ( x) yx,...,y , y )},dxdy i l 1 siis piirväärtus Kui piirkond D on regulaarne x-telje suhtes ja antud võrratustega n0 c
..,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahuldab tingimust PA, funktsiooni väärtus f(P) läheneb arvule b Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi
1. Kahje muutuja funktsioonid(definitsioon, määramis- ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näiteid) DEF: Kahe muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvupaarile (x,y) ∈ D vastavusse ühe reaalarvu z= f ( x , y ) Nende punktide (x,y) hulka D, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik, nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtuste z hulka Z nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Esitusviis : z=f (x , y ) z- sõltuv muutja, (x,y)- sõltumatud
n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn
Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne ƒ integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy єn →0 D Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c ϵ R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P ϵ D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6. Kui eksisteerib integraal ja piirkonnas D kehtib võrratus m<=f(P)<=M, siis . 2
t. teatud ,,treppkeha" ruumala. Vaatleme funktsiooni z=f(x,y) integraalsummade suvalist jada Vn1, Vn2, Vn3,..., Vnn, mis on saadud antud piirkonna D jaotamisel osadeks si mitmel erineval viisil. Oletame, et osapiirkonna si maksimaalne läbimõõt läheneb nullule, kui nk. Siis ositab õigeks järgmine väide: kui funktsioon z=f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade s i maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada pihi, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkonnas si. Tähistame osapiirkondade si maksimaalset läbimõõtu sümboliga , s.t. Piirväärtust nim. funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga Piirkonda D nim. integreerimispiirkonnaks.
Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks.
Muutuja vahetus kahekordses integraalis x = x(u; v) f ( x, y )dxdy 1)need on ühesed; 2)võrrandisüst. On üheselt avaldatav u ja v suhtes; 3)f-nid y = y(u; v) D peavad olema pidevad; 4)peavad olema pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi. (joon) f ( x; y ) = f [ x (u; v ); y (u; v )] = F (u; v ) * f ( x; y ) dxdy = F (u; v) J dudv D xu xv J = Jacobi determinant e jakobiaan. yu yv Kahekordne integraal polaarkoordinaatides x = cos f ( x; y )dxdy = f ( cos; sin ) dd
Kordamisküsimused 1. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid (tarvilikud ja piisavad tingimused ekstreemumite leidmiseks) o Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused: Olgu funktsioonil f punktis A(a1;...; an) lokaalne ekstreemum ning eksisteerigu gradient (f )(A). Siis A on funktsiooni f statsionaarne punkt st (f )(A) = 0. o piisavad tingimused: Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused antakse tavaliselt teist järku tuletiste abil
Contents 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne................................................................................ 5 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand.
koondub Arvrea tingimisi Kui rida koondub, aga ei koondu absoluutselt, siis nimetatakse seda rida koonduvus tingimisi koonduvaks D'Alambert'i |u ( n+1 )| { ¿1, siis rida koondub absoluutselt koonduvustunnus Kui leidub piirväärtus ¿ u ( n )¿ ¿ 1, siis rida hajub lim ¿ ¿1, siis ei saa otsustada n Cauchy { ¿1, siis rida koondub absoluutselt
Kordamisküsimused matemaatilise analüüsi (II) II osaeksamiks 2013 1. Kahekordne integraal (integraalsumma, kahekordse integraali definitsioon, kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1
30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine
ruumala, mis pealt on piiratud funktsiooni z=f(x,y) graafikuga, alt funktsiooni z=g(x,y) graafikuga ja küljelt Definitsioon 2. Öeldakse, et kahe muutuja funktsioonil on punktis P2(x2, y2) lokaalne miinimum, kui sellel ∭∆ 𝑓(𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧)𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜌𝑑𝑧 .Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul
"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4
2 ν 1 ν ¿ ¿ 2 D ( X )=E ( X )−E2 ( X ) = 2 −¿ 2 ν 18. Eksponentjaotuse rakendused a. Sündmuste vaheline aeg lihtsa sündmuste voo korral b. Patarei ja lambipirni eluiga c. Tulude jaotus absoluutselt reguleerimata ühiskonnas d. I järku protsesside juures dy/dt = aeg 19. Tuletada 2 sündmuse vahelise aja jaotus lihtsa sündmuste voo korral Toimugu meil sündmused lihtsa sündmuste voo eelduste kohaselt. Olgu 1 ν ( ) sündmuste voo intensiivsus ja X sündmuste arv lõigul [t;t+τ]. T – t
· Algebralised funktsioonid on funktsioonid, mis saadakse lõpliku arvu algebraliste tehte rakendamise teel. a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x )
monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. ........................................ 10 13
. . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 37 4.1 Jada piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Funktsiooni piirväärtuse mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Ühepoolsed piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Funktsiooni piirväärtuse omadused . . . . . . . . .
teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g’(c) = 1 ja järeldubki (3.26). Lagrange’i teoreemi geomeetriline sisu. Lagrange’i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 26. Sõnastada ja tõestada l’Hospitali reegel 0/ 0 tüüpi määramatuse korral. Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g’(x) 0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0. Kui eksisteerib piirväärtus lim x→a f’(x) /g’(x), siis eksisteerib ka piirväärtus lim x→a f(x)/ g(x) ja kehtib valem lim x→a f(x)/ g(x)= lim x→a f’(x)/ g’(x) Tõestus. Valime suvalise punkti x a teoreemi sõnastuses mainitud arvu a ümbrusest. Tekib kaks võimalust: 1. x > a. Siis Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et f(x) − f(a) /g(x) − g(a)=f’(c) /g’(c) 2. x < a. Jällegi, Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (x,a) punkt c nii, et f(a) − f(x) /g(a) −
Seepärast on otstarbekohane teada, et sin x 0 x n , cos x 0 x n , 2 tan x 0 x n , n Z . 4. MATEMAATILINE ANALÜÜS 4.1 Funktsiooni üldised omadused 22 Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja vastavalt funktsiooni y ka sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna Y.
f(x)-f(x1) 0 Vaatleme juhtu, kus funktsioonil on lokaalne maksimum, mistõttu peab kehtima võrratus järelikult On võimalik võtta -i -st paremalt või vasakult. Võtame ta vasakult. Jagame võrratuse selle negatiivse arvuga. Negatiivse arvuga jagamine muudab võrratust, Võrratus jääb ka siis kehtima, kui võtta temast piirväärtus piirprotsessis . Seega tuletise definitsiooni põhjal: Võtame -i -st paremalt Ja piirväärtuse Järeldub, et ja Mis tähendab, et see on võimalik ainult siis, kui 3. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a
2 2 Dispersioon: ( )= ∫ = ( |+ ∫ )= ∫ = ( )= ( )= ( ) ( )= ( ) = = ( ) 19. Eksponentjaotuse rakendused a. Sündmuste vaheline aeg lihtsa sündmuste voo korral b. Patarei ja lambipirni eluiga c. Tulude jaotus absoluutselt reguleerimata ühiskonnas d. I järku protsesside juures dy/dt = aeg 20. Tuletada 2 sündmuse vahelise aja jaotus lihtsa sündmuste voo korral Toimugu meil sündmused lihtsa sündmuste voo eelduste kohaselt. Olgu ( ) sündmuste voo intensiivsus ja X sündmuste arv lõigul [t;t+τ]. T – kahe sündmuse vaheline aeg
Ag = 0 1 0 1 0 0 1 3 Ag := rref ( Ab ) Lahend: X := submatrix( Ag , 1 , 3 , 4 , 4) 2 X = 1 3 · Ühe muutuja funktsiooni monotoonsuse piirkonnad ja ekstreemumid, joone kumerus ja nõgusus. 1.Ekstreemumid ja monotoonsuse piirkonnad (kasvav, kahanev). 2 3 <-funktsioon f ( x) := 2 - 3 x - x d 2 <-tuletis f ( x) -3 x - 6 x dx 2 -6 x - 3 x
Matemaatiline analüüs I Eksamiteemad 1. Muutuvad suurused: Muutuja x on argument ehk sõltumatu muutuja. Muutuja y on sõltuv muutuja. 2. Funktsioon- Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus Tähistused: y=f(x); y=g(x); y=H(x) Näited: s(t)=3-0,5gt²( s- kaugus maapinnast langemisel; g- raskuskiirendus) Funktsiooni esitlusviis: a. Piltlik- d. Nooldiagrammine- b
Mitmemõõtmeline ruum kui afiinne ruum. Samasuunalised ja vastassuunalised vektorid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy- Schwartzi võrratus. 3. Lahtised ja kinnised kerad. Punkti ümbrus. Sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidus hulk. Tõkestatud hulk. 4. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Suuruse muutumispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja ja määramispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline sisu ja omadused. 5. Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Mitmemuutuja liitfunktsiooni mõiste. Parameetrilised pinnad. Parameetrilised kahemuutuja funktsioonid. Nivoopinnad ja nivoojooned. 6. Järjestatud mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Piirprotsessi PA seos
trigonomeetrilise funktsiooni väärtus on null. Seepärast on otstarbekohane teada, et sin x = 0 x = n , cos x = 0 x = n + , 2 tan x = 0 x = n , n Z . 4. MATEMAATILINE ANALÜÜS 4.1 Funktsiooni üldised omadused 22 Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja vastavalt funktsiooni y ka sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna Y.
1. Vektorite liitmine ja lahutamine (graafiline meetod ja vektori moodulite kaudu). Kuidas leida vektorite skalaar- ja vektorkorrutis? Graafiline liitmine: Kolmnurga reegel – eelmise vektori lõpp-punkti pannakse uue vektori algpunkt. Vektorite liitmisel tuleb aevestada suundasid. Saab kuitahes palju vektoreid kokku liita. Rööpküliku reegel – vektorite alguspunkt paigutatakse nii, et nende alguspunktid ühtivad. Saab ainult kahte vektorit kokku liita. ax – x-telje projektsioon ay – y-telje projektsioon az – z-telje projektsioon i, j, k – vektori komponendid ⃗a + b⃗ =i⃗ ( a x + bx ) + ⃗j ( a y +b y ) + ⃗k (a z +b z ) Skalaarkorrutis: ⃗a ∙ ⃗b=|⃗a||b⃗| cosα=a x b x +a j b j +a z b z Kui suudame ära näidata, et vektorid on risti, siis võime öelda, et skalaarkorrutis on 0. ⃗ ⃗ Vektorkorrutis: |a⃗ × b|=¿ ⃗a∨∙∨b∨sinα Vektorid on võrdsed, kui suund ja siht on sama. Samasihilised võivad olla eri
Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Uksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. Kui aga pöördfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad vahetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis
Kordamisküsimused Staatika, kinemaatika ja dünaamika 1. Mida nimetatakse jõuks? Jõud on vektoriaalne suurus, mis väljendab ühe materjaalse keha mehaanikalist toimet teisele kehale ja mille tulemuseks on kehade liikumise muutus või keha osakeste vastastikuse asendi muutus ehk deformatsioon. Jõu iseloomustamiseks peab tal olema rakenduspunkt, suund ja moodul. 2. Mis on jõu mõjusirge? Jõu mõjusirge on sirge, mille peal jõu vektor asetseb. 3. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäigaks kehaks nimetatakse sellist keha, mille mis tahes kahe punkti vaheline kaugus jääb alati muutumatuks. 4. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks?' Kahte jõusüsteemi võib nimetada ekvivalentseks, kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega nii, et keha liikumises või paigalseisus midagi ei muutu. 5. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks, ja millisel tingi
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
