Sellist diagonaalimaatriksit mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed nim skalaarmaatriksiks; S()= ·E; S()·I=(·E)= T=·ET=·T. Ruutmaatriksit mille determinant |A|0 nim regulaarseks maatriksiks. Ruutmaatriksit mille determinant on samaselt 0(|A|=0) nim singulaarseks maatriksiks. Regulaarne maatriks on regulaarse pöördmaatriksi P regulaarse maatrikisi A pöördmaatriks, A-1 on samuti regulaarne. |A -1|=1/|A|; singulaarsel maatriksil pole pöördmaatriksit . AT on saadud A selle ridade ja veergud ümber vahetamise teel, A T nim A transponeeritud maatriksiks (AT)T=A. Ruutmaatriksit A nim sümmeetriliseks maatriksiks kui ta rahuldab tingimust AT=A. Ruutmaatriksit A nim kaldsümmeetriliseks maatriksiks kui ta rahuldab tingimust A T=-A. Ruutmaatriksit A nim ortogonaal maatriksiks kui rahuldab tingimust A -1=AT. Ruutmaatriksit A nim nilpotentseks kui ta rahuldab tingimust A N=; vähimat naturaalarvu N mille korral
Arv n on vähim naturaalarv, mille korral võrdus on tõene ja seda nimetatakse nilpotentsuse astmeks. Nullmaatriksist erinevaid maatrikseid, milliste korrutis aga on nullmaatriks, nimetatakse nulliteguriteks. Kahte maatriksit nimetatakse sarnasteks maatriksiteks, kui leidub teatav regulaarne maatriks C nii, et on täidetu tingimus A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht. Kõik kolm maatriksit peavad olema sama järku. A~B. Suurimat naturaalarvu, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed
. . xts . . . xnn ] = P (1,2,...,n) =- (-1)I(1 ,...,t ,...,s ,...,n ) x11 . . . xst . . . xts . . . xnn = -|X|. P (1,2,...,n) Saime |X(s,t) | = -|X|. T~oestame n¨uu¨d omaduse, kui vahetame veerud s ja t. T¨ahistame maat- riksist X saadud maatriksit taas X(s,t) abil. Omaduse 1 ja omaduse 2 t~oestatud osa alusel saame |X(s,t) | = |X(s,t) | = -|X | = -|X|. J¨ areldus 3.1. Kui maatriksil kaks rida (veergu) on v~ ordsed, siis tema determinant on null. 29 T~oestus. Olgu maatriksis omavahel v~ordsed read (veerud) indeksitega s ja t. Seega X = X(s,t) . Viimase omaduse t~ottu |X| = -|X(s,t) | = -|X| = 2|X| = 0 = |X| = 0. 3 Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada arvuga, siis tema determinant korrutub sama arvuga. T~ oestus
=− (−1)I(α1 ,...,αt ,...,αs ,...,αn ) x1α1 . . . xsαt . . . xtαs . . . xnαn = −|X|. P (1,2,...,n) Saime |X(s,t) | = −|X|. T˜oestame n¨uu¨d omaduse, kui vahetame veerud s ja t. T¨ahistame maat- riksist X saadud maatriksit taas X(s,t) abil. Omaduse 1◦ ja omaduse 2◦ t˜oestatud osa alusel saame |X(s,t) | = |X(s,t) | = −|X | = −|X|. ♠ J¨ areldus 3.1. Kui maatriksil kaks rida (veergu) on v˜ ordsed, siis tema determinant on null. 29 T˜oestus. Olgu maatriksis omavahel v˜ordsed read (veerud) indeksitega s ja t. Seega X = X(s,t) . Viimase omaduse t˜ottu |X| = −|X(s,t) | = −|X| =⇒ 2|X| = 0 =⇒ |X| = 0. ♠ 3◦ Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada arvuga, siis tema determinant korrutub sama arvuga. T˜oestus
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja
Valemeid (3) ja (4) nimetatakse determinantide teooria põhivalemiteks. 9. Maatriksi pöördmaatriks Olgu ning n-ndat järku ühikmaatriks. Determinantide omaduse 7 kohaselt det E = 1 1 K 1 = 1. Definitsioon 1. Maatriksit A nimetatakse regulaarseks, kui detA 0. Definitsioon 2. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit A-1 , mille korral A -1 A = AA -1 = E . Teoreem. Kui maatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. Tõestus. Olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmaatriksid, st AB = E = BA ja AC = E= CA. Siis maatrikskorrutise assotsiatiivsuse tõttu B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. Lause. Kui maatriksil A on pöördmaatriks A-1 olemas, siis maatriks A on regulaarne. Tõestus. Eelduse kohaselt A -1 nii et AA-1 = E . Kuna maatriksite korrutise determinant
8) Kui det mingi rea/veeru kõik elemendid on nulid, siis võrdub ka det enda väärtus nulliga 9) Kui det peadiagonaalist ülal- või allpool kõik elemendid võrduvad nulliga, siis det väärtus võrdub peadiangonaali elementide korrutisega e pealiikmega 10) Det väärtus võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui tema ridada/veergude hulk on lineaarselt sõltuv (üks avaldub teiste kaudu kasut lineaarseid tehteid) Maatriksi astak DEF 1: suurimat nat arvu k, mille korral maatriksil A leidub 0 erinev k-järku miinor nim selle maatriksi A astakuks ja märgitakse üles sümboliga rank(A) Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst
Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas Maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksit, milles on m rida ja n veergu, nimetatakse täpsemalt (m, n)-maatriksiks. Maatriksi mõõtmed Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Ruutmaatriksit mõõtmetega (n, n) nimetatakse ka n-järku maatriksiks. Kui on ruutmaatiks, siis näitab mitu rida ja veergu maatriksil on. Näiteks kolmandat järku ruutmaatriksil on 3 rida ja 3 veergu. Maatriksi elemendid Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c.. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega A, B, . . . , X, Y, Z.
Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV (skalaar), mis on selle maatriksi poolt üheselt määratud. Determinandi abiga saab määrata ridade lineaarset sõltumatust. Determinant aitab leida pöördmaatriksit. N-järku determinanti arvutatakse Laplace'i arendusega: n A = a i j C i j .Determinantide põhiomadused: |A|=|A T| . Vahetades 2 rida [veergu] j =1
Def lvsi üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, millest on parameetritele arvväärtuste omistamise teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks
3 % mis on iga kihi % neuronite aktiveerimisfunktsioon. % Piisab ka 1-2 neuronist % suurendades neuronite arvu mittelineaarse akt % funktsiooniga, täpsus % kasvab. 5 neuronit on juba 10'-10, mis on piisavalt % hea. Lineaarse aktiveerimis % funktsiooniga on 1 neuron sama täpne. net.trainFcn = 'trainlm' %treenimisfunktsioon Levenberg % Marquardt teist järku tuletiste maatriksil põhinev net.trainParam.epochs=5000 %iteratsioonide arv Treenime selle loodud närvivõrgu valitud parameetritega ja algoritmiga. net=train(net,P,T) %sim(net,[-1;2]) - närvivõrk oskab mitteilmutatult arvutada 0.3*x1 + 0.9*x2 %ans = % 1.5000 W1=net.IW{1,1} %sisendite kaalukoefitsendid W2=net.LW{2,1} %kihi kaalukoefintsendid B1=net.b{1} %iga neuroni nihe (bias), aktiveerimisfunktisooni nihe B2=net.b{2} W2*B1+B2 % peaaegu null - järelikult W_2*0_1-0_2
MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM
MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM
(90kraadi). Tagant langeb ekraanile polariseerimata valgus, mis läbib filtri, mis hoolitseb veelkord polarisatsiooni nullistamise eest, siis läbib valgus LC kihi, mis kas polariseerib selle või mitte, olenevalt elektroodide pingest. Vedekristallist teisel pool asub 90 kraadi polariseeriv filter, mille läbib ainult polariseeritud valgus. Jagunevad: Passiivne maatriks passiivsel maatriksil toimub ridade ja veergude juhtimine ridade kaupa. Teatud aja möödudes on vaja kujund uuesti joonistada. Probleemiks on naaber pixelite läbikostmine s.t. naabrid mõjutavad üksteist. Aktiivmaatrikskuvar LCD Parima tulemuse saab TFT (Thin Film Transistor) kuvaris (üks LCD alaliik) kus käsutatakse aktiivset maatriksit. Siin on analoogiliselt DRAMle iga
Need on põhivead ka kirjutamisel. Loetu mõistmiseks viiakse läbi funktsionaalse lugemisoskuse teste ajaleheväljalõigete jm tekstide põhjal. Õpilased peavad oskama tekstidest küsimustele vastuseid leida. (Lukanenok & Kasper, 2004) Õpilaste tulemusi analüüsitakse ning selgitatakse välja keskmine tulemus ja standardhälve, tulemused lisatakse maatriksile, kus on näha iga õpilase positsioon. Kui testida süstemaatiliselt igal aastal, näeb, kas ja kuidas laps on maatriksil liikunud, milline on tema areng. Kui on selgunud lisaabi vajavad õpilased, kutsutakse nad eripedagoogi juurde vestlusele. Laps on kaasatud otsustamisse, kuidas edasi töötada. Lapsega lepitakse kokku eesmärk, milleni tuleks jõuda. Määratud aja lõpus istutakse jälle kokku, et arutada, mida on 10 saavutatud. Kui laps on otsustaja, on ta ka oma õppimise eest vastutav. Õpilase eesmärk on
alluvad vastava olukorraga suudavad toime tulla ja kui motiveeritud nad on. 5. Kirjeldage eestvedamise protsessi Eestvedamise protsess hõlmab endas ühe inimese positiivset mõju paljude käitumisele ja toimub valdavalt läbi eeskuju ja veenmise protsessi ning seetõttu on liidri ja tema järgijate vaheline mõjusuhe. 6. Mille poolest sarnanevad ja mille poolest erinevad Hershey Blanchardi ja Blake mountoni mudelid? Blake-Moutoni maatriksil on 5 juhtimisstiili Hersey-Blanchardil 4. Blake-Moutoni maatriks näitab juhtimisstiili juhi enda hinnangute järgi, Blanchardi maatriks aga vastavalt tegelikule olukorrale, kuidas juht mingis situatsioonis käitub. Sarnased: Mõlemad on maatriksstiilis. 7. Millised on põhilised eestvedamisstiilid? Milles seisneb nende sisuline erinevus? Autoritaarne - kõik õigused ja vastutus on liidril, töötajatele antakse selgelt määratletud tööülesanded
Adjungeeritud maatriks Aik maatriksi A elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transporeerime selle. Saame A=(Aki) ja niisugune maatriks kannab maatriksi A adjengeeritud maatriksi nime. Regulaarne maatriks Maatriksit, mille determinant erineb nullist nim regulaarseks ehk kõdumata maatriksiks. Maatriksit, mille determinant võrdub nulliga, nim singulaarseks ehk kõdunud maatriksiks. Pöördmaatriks A = 1/ A A kus A on maatriksi A determinant nim maatriksi A pöördmaatriksiks. Maatriksil A on olemas pöördmaatriks A parajasti siis kui ta on regulaarne st kui A0. Maatriksi korrutamisel tema pöördmaatriksiga ühikmaatriksi so AA = A A =E Tehted ristkülikmaatriksitega Arvutusoperatsioonid ruutmaatriksitega on ülekantavad ka teatavatele ristkülikmaatriksitele. 1. A=B, kui aik=bik 2.A+B=(aik+bik) Seega on maatriksite A ja B võrdsus ning summa A+B defineeritav vaid juhul kui maatriksite A ja B ridade ja veergude arvud on vastavalt võrdsed.
Kui meil on n × m maatriks A, siis r(A) min(n,m). Öeldakse, maatriks on täisastakuga, kui ruutmaatriksi astak võrdub tema ridade ja veergude arvuga. Kui ruutmaatriks ei ole täisastakuga, siis tema determinant võrdub nulliga. Vahel defineeritakse maatriksi astak maatriksi miinorite (ehk alamdeterminantide) kaudu. Nimelt, maatriksi astak on nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. St. kui maatriksil leidub vähemalt üks i- järku miinor, siis on maatriksi astak i. See definitsioon ütleb, et maatriks on täisastakuga, kui tema kõrgeimat järku miinor (determinant) erineb nullist Kronecker-Capelli teoreem. Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis, kui süsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga. Lahenduvuse uurimiseks moodustatakse laiendatud maatriks ja kontrollitakse, kas
Def2. n- järku determinanadi |A| elemendi aik alamdeterminanat Aik saadakse seosest Aik=(-1)i+k · Mik Maatriks, tehted maatriksitega Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis sisaldab arvusid. Neid arve nimetatakse maatriksi elementideks. Elemendid on ridades ja ka veergudes. m realist ja n veerulist maatriksit nimetatakse mxn-maatriksiks. Siis maatriksi dimensioon (mõõde) on mxn. Maatriksi elemente märgitakse aik, kus i on rea indeks ja k on veeru indeks. Oluline on teada, et maatriksil ei ole väärtust, see on ainult arvude tabel. Determinandi korrutamisel arvuga korrutatakse mingit rida (või veergu) selle arvuga, maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse sellega kõik elemendid.Maatriksite liitmisel ja lahutamisel peavad maatriksite järgud olema samad. Maatriksi A veergude arv peab olema sama kui maatriksi B ridade arv. Vastasel juhul ei saa maatriksite korrutist arvutada. Üldiselt AB BA (omadus). Maatriksi astak, selle leidmine. Näide Def
(3. kahe rea omavaheline vahetamine) Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisendustega, siis r(A) = r(B) Maatriksi A astaku r(A) leidmiseks teisendatakse see maariks ridade ja veergude elementaarteisendustega selliseks maatriksiks B, mille astak r(B) on maatriksi B kujust hõlpsasti leitav. (r(B) suurune ühikmaatriks, ülejäänud nullid) 21. Teoreem maatriksi astakust (tõestusega). Järeldusi sellest. Kui maatriksi A astak on k, siis maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut reavektorit, millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik reavektorid. A = ||aij|| Kmxn. Olgu r(A) = k ja reavektorid 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ; ...; m = (am1; am2; ...; amn) Kn => leidub k-ndat järku nullist erinev miinor M i1, ...;ikj1;...jk 0 ja kõrgemat järku miinorid on nullid. Üldsust kitsendamata võib eeldada M1,..,k1,..,k 0. Peame näitama, et 1. 1; ...; k on lineaarselt sõltumatud vastuväiteliselt eeldame, et 1; ..
Pöördmaatriks leidub parajasti siis, kui ta on regulaarne. Tähitatakse A−1 . Arvutamine T 1 A 11 A 12 A−1= ( | A| A 21 A 22 ) 54.regulaarne maatriks- n-järku maatriks A on regulaarne kui | A|≠ 0 55.singulaarne maatriks- n-järku maatriks A on singulaarne kui | A|=0 56.pöördmaatriksi omadused: Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatrik A kui ka tema pöördmaatrik on regulaarsed Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteie pöördarvud st. | A|∙| A−1|=1 Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem ( AB)−1=B−1 A−1
_ Uuritavaid maastikke võimalik selliste neutraalsete maastikega stabiilne Kohalikul tasemel aga väga dünaamiline protsess. Mineviku kooslused ja tuleviku kooslused ei ole üks-üheselt samad. võrrelda. Omavahel seotud allpopulatsioonide kogumit (erinevates elu- ja Liigid erinevad, sest: _ Uuritav maakasutustüüp on maatriksil esindatud 0-st 1-ni, kasvukohtades), mis funktsioneerib nagu demograafiline tervik, _ kus: nimetas Levins metapopulatsiooniks. 1. Minevikus kooslusi, mida praegu väga harva või ei maakasutustüüpi
Kaasahaaramine: · Inimeste kaasamine neid mõjutatavate otsuste tegemisse · Nõuküsimine · Üksteise ideede,nõrkuste ja tugevuste üle arutamine Selgitamine: · Otsuste tagamaade selgitamine kõikidele asjaosalistele arusaamiseni. Selgete otsuste tegemine: · Otsus tehtud, tuleb see otsekoheselt viia kõigini, keda see puutudab. 63. Mille poolest sarnanevad ja mille poolest erinevad Hershey Blanchardi ja Blake Mountoni mudelid? Blake-Moutoni maatriksil on 5 juhtimisstiili Hersey-Blanchardil 4. Blake-Moutoni maatriks näitab juhtimisstiili juhi enda hinnangute järgi, Blanchardi maatriks aga vastavalt tegelikule olukorrale, kuidas juht mingis situatsioonis käitub. SARNASUSED?? 64. Millised on põhilised eestvedmisstiilid? Milles seisneb nende sisuline erinevus? (eksamil küsin nt: kirjeldage autoritaarset juhtimisstiili) Stiil Autoritaarne Demokraatlik Passiivne
Kui vedelkristalli ei mõjutata polariseeriva pingega ei läbi valgus teist filtrit. Mõjutades vedelkristalli polariseeriva pingega muutub ka valguse polaarsus peale kristalli läbimist ja ta läbib ka teise filtri. Tihti on LCD kuvarite puuduseks aeglus, ebaselge kujund ja vajalik täpne vaatenurk. Tehnoloogia areng on muidugi neid puudusi oluliselt parandanud. Suurimaks energia tarbiaks on paneeli taga olev valgustus. Passiivne maatriks (Passive matrix) Passiivsel maatriksil toimub ridade ja veergude juhtimine ridade kaupa. Teatud aja möödudes on vaja kujund uuesti joonistada. Probleemiks on naaber pixelite läbikostmine s.t. naabrid mõjutavad üksteist. Aktiivmaatrikskuvar LCD (active-matrix display) Parima tulemuse saab TFT (Thin Film Transistor) kuvaris (üks LCD alaliik) kus käsutatakse aktiivset maatriksit. Siin on analoogiliselt DRAM-le iga pixeli juures suure mahtuvusega transistor mis teatud ajaks säilitab pixeli oleku
polarisatsiooniga valgust. Kui vedelkristalli ei mõjutata polariseeriva pingega ei läbi valgus teist filtrit. Mõjutades vedelkristalli polariseeriva pingega muutub ka valguse polaarsus peale kristalli läbimist ja ta läbib ka teise filtri. Tihti on LCD kuvarite puuduseks aeglus, ebaselge kujund ja vajalik täpne vaatenurk. Tehnoloogia areng on muidugi neid puudusi oluliselt parandanud. Suurimaks energia tarbiaks on paneeli taga olev valgustus. Passiivne maatriks (Passive matrix) Passiivsel maatriksil toimub ridade ja veergude juhtimine ridade kaupa. Teatud aja möödudes on vaja kujund uuesti joonistada. Probleemiks on naaber pixelite läbikostmine s.t. naabrid mõjutavad üksteist. Aktiivmaatrikskuvar LCD (active-matrix display) Parima tulemuse saab TFT (Thin Film Transistor) kuvaris (üks LCD alaliik) kus käsutatakse aktiivset maatriksit. Siin on analoogiliselt DRAM-le iga pixeli juures suure mahtuvusega transistor mis teatud ajaks säilitab pixeli oleku
20. Translatsiooni terminatsioon valguahela sünteesi lõpetamine. https://nukleiinhapped.weebly.com/transkriptsioon.html 21. Geeniekspressiooni regulatsioon Geeniekspressiooni käigus avaldub geenides sisalduv pärilik materjal RNA või valguna. Geeniekspressiooni algprodukt on DNA, vaheprodukt on RNA ja lõppprodukt on valk. Selle 3 olulisemat etappi: 1. Geenist mRNA jäljendi loomine ehk transkriptsioon (RNA süntees DNA maatriksil) 2. MRNA-st nitronite (mittevajalike osade) väljalõikamine ehk splaising 3. Ribosoomides toimuv translatsioon ehk mRNA põhjal valguahela sünteesimine. 22. Mida kutsutakse molekulaarbioloogia põhidogmaks (Dogma on religioonis väide, milles ei kahelda, mida usutakse? translatsiooni ja replikatsiooni, geneetiline informatsioon liigub DNA-lt RNA-le ja RNA-lt valgule. 23. Ribosüüm - ribonukleiinhape, millel on katalüütilised (reaktsiooni kiirust
Kaasahaaramine - Inimeste kaasamine neid mõjutatavate otsuste tegemisse, nõuküsimine, üksteise ideede, nõrkuste ja tugevuste üle arutamine Selgitamine – Otsuste tagamaade selgitamine kõikidele asjaosalistele arusaamiseni. Selgete otsuste tegemine – Otsus tehtud, tuleb see otsekoheselt viia kõigini, keda see puutudab. 6. Mille poolest sarnanevad ja mille poolest erinevad Hershey Blanchardi ja Blake Mountoni mudelid? Blake-Moutoni maatriksil on 5 juhtimisstiili, Hersey-Blanchardil 4. Blake-Moutoni maatriks näitab juhtimisstiili juhi enda hinnangute järgi, Blanchardi maatriks aga vastavalt tegelikule olukorrale, kuidas juht mingis situatsioonis käitub. Mõlemad mudelid kujutavad juhi orienteeritust inimestele (kõrge- madal) ning teisel teljel orienteeritust tulemustele ja eesmärkidele (kõrge-madal). 8 7. Millised on põhilised eestvedamisstiilid? Milles seisneb nende sisuline erinevus?
n = k on süsteemil ainult üks lahend k < n aga on süsteemil lõpmata palju lahendeid Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Erilahendi korral on C-le antud konkreetne arvuline väärtus. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. maatrikskuju: AX = B. võrrand, kus maatriks ise on otsitavaks. süsteemil on üks lahend, kui süsteemi maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 (detA on nullist erinev) ja võrrandeid ja tundmatuid on ühepalju (m = n). lahend avaldub: X = A-1B näiteks: Crameri valemid: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule: a) Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi.
element . Nt, jaguvusrelatsioon. c. Graaf: Relatsioone lõpliku hulga X elementide vahel saab kujutada suunatud graafi abil. Kujutame hulga X elemente graafi tippudena ja joonistame tipust x tippu y kaare, kui kehtib xRy. Nt, jaguvusrelatsioon d. Avaldis: algebralised avaldised, nt võrratused. 22) Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse a. refleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt samasusrelatsioon. Maatriksil on peadiagonaalis kõik ühed, graafis on iga tipu juures silmus. b. antirefleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt relatsioon . Maatriksi peadiagonaal koosneb nullidest, graafis ei ole ühegi tipu juures silmust. c. sümmeetriliseks, kui (x, y) R korral alati (y, x) R. Nt relatsioonid = ja . Maatriks on sümmeetriline peadiagonaali suhtes, suunatud graafis iga kaare jaoks on olemas ka vastupidise suunaga kaar. d
Kaasahaaramine - Inimeste kaasamine neid mõjutatavate otsuste tegemisse, nõuküsimine, üksteise ideede, nõrkuste ja tugevuste üle arutamine Selgitamine – Otsuste tagamaade selgitamine kõikidele asjaosalistele arusaamiseni. Selgete otsuste tegemine – Otsus tehtud, tuleb see otsekoheselt viia kõigini, keda see puutudab. 6. Mille poolest sarnanevad ja mille poolest erinevad Hershey Blanchardi ja Blake Mountoni mudelid? Blake-Moutoni maatriksil on 5 juhtimisstiili, Hersey-Blanchardil 4. Blake-Moutoni maatriks näitab juhtimisstiili juhi enda hinnangute järgi, Blanchardi maatriks aga vastavalt tegelikule olukorrale, kuidas juht mingis situatsioonis käitub. Mõlemad mudelid kujutavad juhi orienteeritust inimestele (kõrge- madal) ning teisel teljel orienteeritust tulemustele ja eesmärkidele (kõrge-madal). 8 7. Millised on põhilised eestvedamisstiilid? Milles seisneb nende sisuline erinevus?
A-1 = , (2) A M M O M A1n A2 n K Ann kus Aij on maatriksi A determinandi A elemendi aij alamdeterminant. Tõestus. Oletame, et maatriksil A leidub pöördmaatriks. Siis AA-1 = E ning omaduse 10 (VI peatükk § 3) põhjal 1 0 K 0 0 1 K 0 A A-1 = AA-1 = E = =1 0 .
Kaasahaaramine Inimeste kaasamine neid mõjutatavate otsuste tegemisse, nõuküsimine, üksteise ideede, nõrkuste ja tugevuste üle arutamine. Selgitamine Otsuste tagamaade selgitamine kõikidele asjaosalistele arusaamiseni. Selgete otsuste tegemine Otsus tehtud, tuleb see otsekoheselt viia kõigini, keda see puutudab. 6. Mille poolest sarnanevad ja mille poolest erinevad Hershey Blanchardi ja Blake Mountoni mudelid? Blake-Moutoni maatriksil on 5 juhtimisstiili, Hersey-Blanchardil 4. Blake-Moutoni maatriks näitab juhtimisstiili juhi enda hinnangute järgi, Blanchardi maatriks aga vastavalt tegelikule olukorrale, kuidas juht mingis situatsioonis käitub. Mõlemad mudelid kujutavad juhi orienteeritust inimestele (kõrge-madal) ning teisel teljel orienteeritust tulemustele ja eesmärkidele (kõrge-madal). 7. Millised on põhilised eestvedmisstiilid? Milles seisneb nende sisuline erinevus? (eksamil küsin nt:
7 1 3 -1 1 ! 4 1 8 1 1 ! 13 11 11!6 Mittestabiilse süsteemi korral: Kasutusele tuleb Crameri valem. X1=x1(maatriks)/kogumaatriks Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea. Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0. Def: Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 peab rahuldama võrrandit A*A-1=A-1*A=E, kus E on vastavat järku ühikmaatriks. Lahendskeem: (A!E)- >Gaussi teisend->(E!A-1). N: 248 -2 0 2 468 2. Leontjevi staatiline mudel 1 2 lõpptoodang y kogutoodang x 1 100=x11 160=x12 240 500
Inimeste kaasamine neid mõjutavate otsuste tegemisse Nõuküsimine Üksteise ideede, oletuste tugevate ja nõrkade külgede üle arutamine SELGITAMINE: Otsuste tagamaade selgitamine kõikidele seotud osapooltele SELGETE OTSUSTE TEGEMINE: Kui ükskord on otsus tehtud, tuleb see selgelt ja otsekoheselt viia kohale kõigini, keda see puudutab 6. Mille poolest sarnanevad ja mille poolest erinevad Hershey- Blanchardi ja Blake-Mountoni mudelid? Blake-Moutoni maatriksil on 5 juhtimisstiili, Hersey-Blanchardil 4. Blake-Moutoni maatriks näitab juhtimisstiili juhi enda hinnangute järgi, Blanchardi maatriks aga vastavalt tegelikule olukorrale, kuidas juht mingis situatsioonis käitub. Mõlemad mudelid kujutavad juhi orienteeritust inimestele (kõrge-madal) ning teisel teljel orienteeritust tulemustele ja eesmärkidele (kõrge-madal). 19 7
kandjat kiiritatakse läbi spets. fotolitograafilise ekraani, toimub teatud prk aktiveerimine kaitsva rühma eemaldamise kaudu kogu kandja pinnale kantakse fotolabiilse kaitsva rühmaga reagent, reaktsioon saab toimuda vaid I etapis deblokeeritud piirkonnas aktiveeritakse teine piirkond sünteesi kordamine uue reagendiga kindlas piirkonnas kindla struktuuriga ühendi saamine kuni 40 000 ühendit/cm2 kogu maatriksil saab määrata interaktsiooni retseptoriga (fluorestsents) aktiivsuse määramine toimub tahkele kandjale seotud ühenditega (puudus) Kombinatoorse sünteesi olemus ja eelised. Kombinatoorne süntees - suure hulga erinevate keemiliste ühendite segu üheaegne süntees ühes minireaktoris, kasutades kindlaid reaktsioone ja reagente, kuid erinevaid lähteaineid. Ühendite segu. Kombinatoorne süntees on väga kiire ning skriining on eriti kiire, vajalik aktiivse ühendi leidmine.
Kui vedelkristalli ei mõjutata polariseeriva pingega ei läbi valgus teist filtrit. Mõjutades vedelkristalli polariseeriva pingega muutub ka valguse polaarsus peale kristalli läbimist ja ta läbib ka teise filtri. Tihti on LCD kuvarite puuduseks aeglus, ebaselge kujund ja vajalik täpne vaatenurk. Tehnoloogia areng on muidugi neid puudusi oluliselt parandanud. Suurimaks energia tarbiaks on paneeli taga olev valgustus. Passiivne maatriks (Passive matrix) Passiivsel maatriksil toimub ridade ja veergude juhtimine ridade kaupa. Teatud aja möödudes on vaja kujund uuesti joonistada. Probleemiks on naaber pixelite läbikostmine s.t. naabrid mõjutavad üksteist. Aktiivmaatrikskuvar LCD (active-matrix display) 61 Parima tulemuse saab TFT (Thin Film Transistor) kuvaris (üks LCD alaliik) kus käsutatakse aktiivset maatriksit. Siin on analoogiliselt DRAM-le iga pixeli juures suure
Kui vedelkristalli ei mõjutata polariseeriva pingega ei läbi valgus teist filtrit. Mõjutades vedelkristalli polariseeriva pingega muutub ka valguse polaarsus peale kristalli läbimist ja ta läbib ka teise filtri. Tihti on LCD kuvarite puuduseks aeglus, ebaselge kujund ja vajalik täpne vaatenurk. Tehnoloogia areng on muidugi neid puudusi oluliselt parandanud. Suurimaks energia tarbiaks on paneeli taga olev valgustus. Passiivne maatriks (Passive matrix) Passiivsel maatriksil toimub ridade ja veergude juhtimine ridade kaupa. Teatud aja möödudes on vaja kujund uuesti joonistada. Probleemiks on naaber pixelite läbikostmine s.t. naabrid mõjutavad üksteist. Aktiivmaatrikskuvar LCD (active-matrix display) 60 Parima tulemuse saab TFT (Thin Film Transistor) kuvaris (üks LCD alaliik) kus käsutatakse aktiivset maatriksit. Siin on analoogiliselt DRAM-le iga pixeli juures suure
korrutisega X,Y Mat(n,n) => |XY|=|X||Y| *kehtivad valemid: |XYT|=|X||Y| ja |XTY| =|X||Y| PÖÖRDMAATRIKS: Pöördmaatriks Me nimetame n-järku maatriksi A pöördmaatriksiks sellist n-järku maatriksit X, mis rahuldab kahte maatriks võrrandit: AX=E ja XA = E Regulaarne (Singulaarne) maatriks - Me nimetame n-järku maatriksit Y regulaarseks (singulaarseks), kui |Y| 0, (|Y |= 0). OMADUSED: *Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema pöördmaatriks on regulaarsed *Maatriksi ja tema pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud *Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis ainult üks. * Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)-1 = B-1A-1. * Maatriksi A-1 pöördmaatriksiks on maatriks A, s. t.(A- 1)-1 = A. *Ühikmaatriksi E pöördmaatriks on ta ise, s. t. E-1 = E.
Edastamaks geneetilist infot valgusünteesiks sünteesitakse komplementaarne ribonukleiinhappe (RNA) ahel. Antud protsessi nimetatakse transkriptsiooniks ja seda katalüüsib ensüüm RNA-polümeraas. Järgnevalt RNA-molekul lahkneb DNA-ahelast ja liigub raku tsütoplasmas asuvatele ribosoomidele, kus valgusüntees tegelikult toimub. Kuna sisuliselt on tegemist geneetilise materjali edasitoimetamisega, nimetatakse DNA-maatriksil sünteesitud RNA-d informatsiooni-RNAks (mRNA). 15 Seejärel aktiveritakse vabad aminohapped rakus. Need seonduvad teist liiki RNA-ga, mida nimetatakse transpordi RNAks (tRNA). tRNA on varustatud antikoodoniga, mis on komplementaarne mRNA-le DNA-lt ülekantud koodoniga. Iga aminohape seondub vaid teatud antikoodoniga varustatud tRNA molekuliga. Järgneb translatsioon: geneetilise info tõlkimine valgu aminohappeliseks järjestuseks
Liim ei kannata õli ja kütust. 27. Kõrglegeeritud teraste kaitse korrosiooni eest. 28. Komposiidi nihketeim. Komposiit koosneb kahest faasist, mis on erineva struktuuri ja tugevusega. On vajalik määrata komposiidi vastupanu nihkedeformatsioonile ja nihkepurunemisele sõltuvalt kasutatud armatuuri tüübist. Teimikutena kasutatakse pingekontsentraatoritega plaate. Mõlemal juhul on deformatsioonis peamine osa maatriksil. Nihketeimiga määratletud omadused sõltuvad oluliselt teimiku suurusest ja neid võib vaadelda kui suhtelisi suurusi, mida saab kasutada erinevate materjalide võrdlemisel. 29. Lennukil kasutatavad liimimisvõtted. a) Orgaanilise klaasi liimimine. Orgaanilise klaasi materjali laastud lahustatakse diklooretaanis. Läbipaistvuse vähenemiseks kaetatakse mitteliimitavad kohad kaseiinliimiga
juures efekti ei anna mitte pulbikujuline tugevdav faas nagu dispersioontugevdatud metallkomposiitides (näit. kõvasulamites), vaid kiuline. Näiteks tuleb ühesuguse tugevusega kermise valmistamisel viia sellesse 3 korda vähem metallikiudu kui sama koostise korral metallipulbrit. Keraamilise maatriksi tugevdamist metallarmatuuriga saab realiseerida kahel viisil: a) kasutades armatuuriks materjali, millel on suurem elastsusmoodul kui maatriksil, b) kasutades armatuuriks materjali, millel on maatriksiga võrreldes suurem joonpaisumistegur. Esimesel juhul annab elastsem maatriks deformeerimisel suurema osa pingetest üle jäigale arma- tuurile, teisel juhul tekivad survepinged keraamilises maatriksis jahtumise käigus armatuuri suurema kaha- nemise tõttu. Keraamilise komposiitmaterjali näitena võib tuua volframtraadiga armeeritud fajansskeraamika
Tõestus. Näitame seda. Tähistame A · B = C. Siis A = A · (B · B -1 ) = (A · B) · B -1 = C · B -1 , B = (A-1 · A) · B = A-1 · (A · B) = A-1 · C. Siit saame, et C = A · B = C · B -1 · A-1 · C = (C · B -1 · A-1 ) · C. Seega peab kehtima võrdus C · B -1 · A-1 = I ehk C -1 = B -1 · A-1 . Viimast oligi vaja näidata. Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis saab selle leida Gauss'i- Jordan'i meetodiga, teisendades maatriksi A ühikmaatriksiks I ja ühik- maatriksi pöördmaatriksiks A-1 . (A I) (I A-1 ). Ridade elementaarteisendused. Definitsioon 2.4 Maatriksi A ridade elementaarteisendusteks nimetatakse ülemi- nekut maatriksilt A maatriksile B järgmiste reeglite abil: 1. Maatriksi kahte rida võib omavahel vahetada. 2
mingi elemendi takistust: ridade ja veergude pingete skaneerimisega on võimalik kindlaks teha, kuhu vajutati. Alalisvool. Resisitive system) kasutatakse 56 % vastavates seadmetes. Ekraanil on läbipaistev takistite maatriks, mille peal on elektrit juhtiv kile. Vajutades mingis punktis sellele kilele, tekib ühendus mingi punktiga takistite maatriksis. Kui nüüd sellele maatriksile on antud külgedel mingi pinge, siis selle puutekoha pinge näitabki tema asukohta maatriksil nii X kui ka Y suunal. Mahtuvusel põhinev: Ekraani igas nurgas on vahelduvvool. Kui asetada sõrm vastu monoliitset klaasist ekraanipinda, muutub selle mahtuvus. Nurkade kaudu mahtuvusi arvutades ja trianguleerides, saab leida vajutuskoha koordinaadid. (Capacitive sensing) põhimõtetet kasutatakse umbes 25 % vastavates seadmetes. Ekraani pinnal on kaks läbipaistvat juhtivat kihti mis on eristatud isolaatoriga (klaas). Need juhtivad kihid moodustavad mahtuvuse (kondensaator)
antis¨ummeetriline maatriks. Siis ilmselt AT = B T + C T = B - C. V~orranditest A =B+C AT = B - C j¨areldub, et B = 21 (A + AT ) ja C = 12 (A - AT ). 5 Po ¨o¨rdmaatriks, selle omadusi ja arvutamine 5.1 Po ¨o ¨rdmaatriks Ruutmaatriksi A p¨o¨ ordmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mis rahuldab tingimust AB = I = BA. Lause 13 (p¨ o¨ordmaatriksi ainsus). Kui maatriksil on olemas p¨ o¨ordmaatriks, siis on ta m¨ a¨aratud u ¨heselt. T~ oestus. Olgu B ja C maatriksi A p¨o¨ordmaatriksid, s.t AB = I = BA ja AC = I = CA Arvutame kasutades maatrikskorrutise assotsiatiivsust B = I B = (CA)B = C(AB) = C I = C 14 II. Maatriksarvutus 5.2 Po ¨o ¨ratavus
Orienteeritus ülesandele 5.6 Mis on Blake-Mouton maatriks? Blake-Mouton'i maatriks on 5 peamisest juhtimisstiilist koosnev maatriks. Teljed näitavad suhetele ja tegevusele orienteerituse tähtsust. (1,9) CCM (9,9) TeamM (5,5) MotR (1,1) IM (9,1) TaskM 5.7 Mille poolest erinevad Hersey-Blanchard ja Blake-Mouton maatriksid? VASTUS!!! Blake-Moutoni maatriksil on 5 juhtimisstiili Hersey-Blanchardil 4. Blake-Moutoni maatriks näitab juhtimisstiili juhi enda hinnangute järgi, Blanchardi maatriks aga vastavalt tegelikule olukorrale, kuidas juht mingis situatsioonis käitub. 5.8 Mis liiki otsustamise stiile esineb erineva juhtimisstiiliga organisatsioonides? Mis on nende konkreetsete otsustamise stiilide plussid ja miinused? PLUSSID/MIINUSED!!! Tehnilised, asutuslikud, kordumatu/korduv, programmeerimata/programmeeritud; tagajärgede
paigutada Lahtrid 7, 8, 9 halvim positsioon. Leida sobiv väljumisstrateegia (sulgemine, müük, saagikoristus). Erand tegevuste ümberkorraldamine 54 Maatriksi eelised ja puudused: Võimalikud vahepealsed (keskmised) hinnangud Arvesse võetakse palju muutujaid, konstrueerimine keerukam, tulemus pole nii näitlik kui Bostoni maatriksil Rõhutatakse ressursside suunamist äriüksustesse, mille konkurentsieelis ja majandustulemused on paremad Vaadeldakse äriüksusi eraldiseisvatena, ei arvestata seotud diversifitseerimise eripära Perspektiivide hindamine ja prioriteetsus investeeringute seisukohalt Tegevusharude atraktiivsuse hindamisel saab kasutada: PEST analüüs M.Porteri 5 konkurentsijõu mudel Tegevusharu liikumapanevad jõud Kriitilised edutegurid Bostoni maatriks McKinsey maatriks
LCD), varasemal ajal ka passiivmaatrikskuvareid. Aktiivmaatriks- ja passiivmaatrikstehno- loogia erinevad selle poolest, et viimasel kasutatakse ainult juhtivaid radasid pikslitele sig- naali andmiseks, esimesel on aga pikslite juures ka transistorid ja kondensaatorid, mis hoia- vad pikslil mõnda aega ise signaali. Selle tulemusena saadakse aktiivmaatrikskuvaritel kõrge kontrastsuse ja hea reaktsiooniajaga pilt. Igal aktiivmaatrikskuvaril on pikslite arv maatriksil fikseeritud, st. kuvaril on olemas füüsiline lahutusvõime. Füüsilisest kõrgema lahutusvõime seadmine pildile kvaliteeti tegelikult ei lisa. Sülearvutite juures ei saa kasutada tavalisi (PCI, AGP jmt.) laiendusplaate. Tarvitusel on spetsiaalne laiendusseadme standard, PC Card54 , mis varem oli tuntud ka PCMCIA nime all. Tüüpiliselt lisatakse sülearvutile PC Card välkmälu, modem, võrgukaart, traadita võrgu adapter või SCSI-kettakontroller
Mitme samaväärsuse tõestus Sageli on teoreemides samaväärseid tingimusi antud rohkem kui kaks ja teoreemi üldine sõnastus võib näha välja nii: Teoreem (...eeldused...) Järgmised väited on samaväärsed: (a) (b) (c) Teoreem Olgu n täisarv. Järgmised väited on samaväärsed: (a) n on paarisarv (b) n + 1 on paaritu arv (c) n2 on paarisarv Näide: Teoreem. Olgu A n-järku ruutmaatriks. Järgmised väited on samaväärsed: (a) Maatriksil A leidub pöördmaatriks (b) Iga b n korral on maatriksvõrrand Ax = b üheselt lahenduv (c) Maatriksvõrrandil Ax = 0 on ainult triviaalne lahend (d) Maatriksi A determinant on nullist erinev Olemasolu tõestus Väide on kujul x P(x) Olemasolu tõestused jagunevad kaheks: konstruktiivsed ja mittekonstruktiivsed Konstruktiivse olemasolu tõestuse puhul leiame konkreetse elemendi y, mille korral P(y) on tõene.
.. a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ... ai1 ai2 ... aij ... ain ... ... ... ... ... ... am1 am2 ... amj ... amn Maatriksi dimensiooni märgitakse ka tähekombinatsiooniga dim. Näiteks, kui dim A = 2 × 3, siis maatriksil A on 2 rida ja 3 veergu. Kui ridade arv ja veergude arv on võrdsed, m = n, on tegemist ruutmaatriksiga. Näiteks järgmised maatriksid on ruutmaatriksid: 23 2 4 5 9 2 14 6 0
juures efekti ei anna mitte pulbikujuline tugevdav faas nagu dispersioontugevdatud metallkomposiitides (näit. kõvasulamites), vaid kiuline. Näiteks tuleb ühesuguse tugevusega kermise valmistamisel viia sellesse 3 korda vähem metallikiudu kui sama koostise korral metallipulbrit. Keraamilise maatriksi tugevdamist metallarma- tuuriga saab realiseerida kahel viisil: a) kasutades armatuuriks materjali, millel on suurem elastsusmoodul kui maatriksil, b) kasutades armatuuriks materjali, millel on maatriksiga võrreldes suurem joonpaisumistegur. Esimesel juhul annab elastsem maatriks defor- meerimisel suurema osa pingetest üle jäigale arma- tuurile, teisel juhul tekivad survepinged keraamilises maatriksis jahtumise käigus armatuuri suurema kaha- nemise tõttu. Keraamilise komposiitmaterjali näitena võib tuua volframtraadiga armeeritud fajansskeraamika (50% kaoliini, 30% ränioksiidi, 20% päevakivi), mida
annaabi.ee 
