Otsi
Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse ☰

Matemaatiline maailmapilt (0)

Tartu Ülikool - Matemaatika - Matemaatika
3 HALB
Punktid

Esitatud küsimused

  • Millised on gf ja f g ?
  • Kui jah siis milline on f -1 ?
  • Mille võimsus on suurem kui hulga R võimsus?
  • Mis on funktsiooni f X Y definitsioon?
  • Mis see eeskiri ikkagi on?
  • Millal R-1 rahuldab tingimusi 1 ja 2?
  • Milline element kuulub seosesse R ?
  • Milline element kuulub seosesse R ?
  • Milles on n elementi Kui palju on erinevaid seoseid hulgal A ?
  • Millised sõnad kuuluvad hulka ?
  • Millised järgmistest seostest on ekvivalentsusseosed hulgal 0 1 23 ?
  • Millised klassid moodustavad hulga 1 23 4 5 6 klassijaotuse?
  • Millised järgmistest seostest on järjestusseosed hulgal 0 1 23 ?
  • Millised elementide paarid on võrreldavad osaliselt järjestatud hulgas ?
  • LOENG
    Sissejuhatus
    Lausearvutus :
    Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: „Kui A, siis B“. Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks , ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks.
    Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null.
    Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o.
    Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest.
    Vahetades teoreemis „Kui A, siis B“ eelduse ja väite, saame lause „Kui B, siis A“. Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida.
    Näide: Lause: „Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega “ (kehtib).
    Pöördlause: „Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga“ (ei kehti).
    Näide: Lause: „Kui kolmnurga küljed on võrdsed, siis on ta nurgad võrdsed“(kehtib).
    Pöördlause: „Kui kolmnurga nurgad on võrdsed, siis ta küljed on võrdsed“ (kehtib).
    Kui pöördlause juhtub olema tõene, siis nimetatakse seda pöördteoreemiks.
    Asendades teoreemis „Kui A, siis B“ eelduse ja väite nende eitustega (sümbolid ¬A ja ¬B), saame lause „Kui ¬A, siis ¬B“. Nii moodustatud lauset nimetatakse antud teoreemi vastandlauseks. Jällegi, antud teoreemi kehtivusest ei järeldu tema vastandlause kehtivus.
    Näide: Lause: „Kui kujund on kolmnurk , siis ta on hulknurk “ (kehtib).
    Vastandlause: „Kui kujund ei ole kolmnurk, siis ta ei ole hulknurk“ (ei kehti).
    Näide: Lause: „Kui arv jagub üheksaga, siis ka tema ristsumma jagub üheksaga“ (kehtib)
    Vastandlause: „Kui arv ei jagu üheksaga, siis ka tema ristsumma ei jagu üheksaga“ (kehtib).
    Kui vahetada teoreemis „Kui A, siis B“ eeldus ja väide ning asendada nende eitustega, saame lause „Kui ¬B, siis ¬A“. Seda lauset nimetatakse antud teoreemi pöördvastandlauseks Antud teoreemi kehtivusest järeldub alati selle teoreemi pöördvastandlause kehtivus ning vastupidi ehk sümbolites: Kui A, siis B ⇔ Kui ¬B, siis ¬A.
    Öeldakse ka, et need laused on loogiliselt samaväärsed.
    Näide1: Lause: „Kui nelinurk on rööpkülik, siis tema diagonaalid poolitavad teineteist.“
    Pöördvastandlause: „Kui nelinurga diagonaalid ei poolita teineteist, siis nelinurk ei ole rööpkülik.“
    Kehtigu teoreem : Kui A, siis B.
    Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B.
    Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A.
    Näide: Lause: Kui tuleb riiklik toetus, siis saame ürituse läbi viia.
    Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia.
    Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus.
    Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse tavaliselt need teoreemid kokku üheks lauseks, kasutades ühte väljenditest „on tarvilik ja piisav,“ „siis ja ainult siis,“ „ parajasti siis, kui.“.
    Näide: Teoreem: Nelinurk on rööpkülik parajasti siis, kui tema diagonaalid poolitavad
    teineteist.
    Näide: Definitsioon: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille diagonaalid poolitavad
    teineteist.
    Olemasolu ja üldistuse kvantorid
    Paljudes matemaatika lausetes esinevad sõnad „kõik,“ „iga,“ „leidub,“ „eksisteerib,“ „on olemas,“ „vähemalt üks.“. Osa neist lausetest on tõesed, osa väärad.
    Selliste lausete kirjutamisel kasutatakse loogikas kahte märki. Üks neist on olemasolu kvantor ∃ (loetakse ka „leidub“), teine üldisuse kvantor ∀ (loetakse ka „iga“). Kvantori märgi taha tuleb alati kirjutada muutuja , millele see kvantor rakendub.
    Näide: ∃x, x3 − 27 = 0 tähendab, et leidub x, mille korral x3 − 27 = 0.
    Üldisel kujul: „Leidub x, mille korral kehtib P(x)” ehk „vähemalt ühel objektil x on omadus P(x)”
    „Leiduma“ = leidub vähemalt üks objekt (s.t võib leiduda ka mitu), mis rahuldab antud tingimust.
    Väljendit „leidub täpselt üks“ tähistatakse tavaliselt sümboliga ∃!.
    Näiteks, ∃!x ∈ , 2x − 4 = 0.
    Näide: ∀x ∈ , x2 + 1 > 0 tähendab, et iga reaalarvu x korral on x2 + 1 suurem
    nullist.
    Kui lauses kasutatakse üldisuse kvantorit, siis selle lausega väidetakse midagi kõigi antud liiki objektide kohta ja seetõttu peab neid väiteid tõestama ka üldkujul. Seevastu lause ümberlükkeks piisab ainult ühest kontranäitest.
    Näide: Eitame lauset: „Kõik naturaalarvud on algarvud .“
    1. Antud juhul P(x) = „x on algarv “
    2. ¬(∀x ∈ , x on algarv)
    3. ∃x ∈ , ¬(x on algarv)
    4. ∃x ∈ , x ei ole algarv
    Leidub naturaalarv , mis ei ole algarv.
    Näide: Eitame lauset: „Leidub selline reaalarv x, et x2 = 1.“
    1. Antud juhul P(x) = „x2 = 1“
    2. ¬(∃x ∈ , x2 = 1)
    3. ∀x ∈ , ¬(x2 = 1)
    4. ∀x ∈ , x2 ≠ 1
    Iga reaalarvu x korral x2≠ 1
    Näide: Eitame lauset: „Iga reaalarvu x korral leidub reaalarv y nii, et x
    1. Antud juhul P(x, y) = „x
    2. ¬(∀x ∈
    ∃y ∈ , x
    3. ∃x ∈
    ∀y ∈ , ¬(x
    4. ∃x ∈
    ∀y ∈ , x ≥ y
    Leidub reaalarv x nii, et mis tahes reaalarvu y korral x ≥ y.
  • LOENG
    Lausearvutuse põhimõisted
    Loogika (kr. logiké techne – mõtlemiskunst, logos – sõna, mõiste, mõistus) on teadus õigest mõtlemisest, selle vormidest ja struktuuridest.
    Traditsioonilise loogika aluseks on mõtlemisseadused, mida kutsutakse ka loogika aksioomideks:
    1. samasuse seadus
    2. vasturääkivuste lubamatuse seadus
    3. välistatud kolmanda seadus
    4. küllaldase aluse seadus
    Matemaatiline loogika on loogika haru, milles loogikaprobleemide käsitlemiseks kasutatakse matemaatilisi meetodeid.
    Kokkulepped:
    Lausearvutuse lauseks võib olla igasugune lause, mille puhul saame rääkida selle sisu vastavusest tegelikkusele. Seejuures eeldame, et
  • Iga lause on kas tõene või väär (välistatud kolmanda seadus)
  • Ükski lause ei ole korraga tõene ja väär (mittevasturääkivuse seadus).
    Leidub loomuliku keele lauseid , mis neid tingimusi ei rahulda:
    • küsi- ja hüüdlaused, mis midagi ei väida
    • paradoksaalsed laused, millele ei saa üheselt omistada tõeväärtust
    • mõnes valdkonnas ei mõelda kahevalentselt
    Vastavatel juhtudel ja valdkondades ei saa lausearvutust kasutada.
    Näide: Lausearvutuse laused on:
    „Tallinn on Eesti pealinn.”
    „Sead suudavad lennata.”
    „Mis tahes reaalarvude a ja b korral a + b = b + a.“
    Näide: Lausearvutuse laused ei ole:
    „Kuidas läheb?”
    „Ma valetan praegu.”
    „Korrutage arvud 5 ja 9.“
    Analoogia saavutamiseks algebraliste operatsioonidega lepitakse veel kokku:
  • Liitlauseid võib moodustada suvalistest komponentidest, eeldamata nendevahelist sisulist seost.
  • Liitlause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest, mitte sisust.
    Nendest neljast kirjeldatud tingimusest järeldub, et lausearvutuse tehete defineerimiseks on piisav kindlaks määrata, missuguste komponentlausete tõeväärtuste korral loetakse tehte tulemus tõeseks.
    Lausearvutuse eesmärk ei ole uurida lausete sisulist tähendust, vaid antud lausetest uute lausete moodustamist.
    Lihtlausete sisu ning see, millised lihtlaused on tegelikult tõesed ja millised väärad, loogika uurimisobjektiks ei ole. Eeldame vaid, et lihtlausete tõeväärtused on põhimõtteliselt leitavad ja liitlausete tõeväärtused nende kaudu arvutatavad.
    Põhiprobleemina uurib lausearvutus küsimust, kuidas sõltub antud lausetest ühel või teisel viisil moodustatud liitlause tõeväärtus komponentlausete (või nendest moodustatud teiste liitlausete) tõeväärtustest.
    Liitlausete matemaatiliseks uurimiseks defineeritakse lausearvutuse tehted .
    Tähistusi:
    • Lauseid tähistame suurte ladina tähtedega: A, B, C, ....
    • Grammatilistele seostele vastavad lausearvutuse tehted.
    • Kokkulepetest 1 ja 2 järeldub, et igale lausele vastab tema tõeväärtus tõene või väär.
    • Neid tähistame tähtedega t ja v.
    • Muudes allikates kasutatakse ka 1 ja 0, samuti t ja f , kasutatakse ka suurtähti T ja V või F.
    Näide: Vaatleme lauset: Kui planeedil on atmosfäär ja seal ei leidu vett, siis planeedil ei ole elu.
    Võtame kasutusele tähised lihtlausete märkimiseks:
    A = Planeedil on atmosfäär
    B = Planeedil leidub vett
    C = Planeedil on elu
    Veel olgu ¬ eitus , ∧ sidesõna „ja,“ ∨ sidesõna „või“ ning ⇒ seos „kui . . . , siis . . . .“
    Vaadeldava lause võime kirja panna valemiga: (A ∧ ¬B) ⇒ ¬C
    Lausearvutuse tehted:
    • Eitus (märk ¬) „ei“
    • Konjunktsioon (märk ∧ või &) „ja“ või „ning“
    • Disjunktsioon (märk ∨) „või“ (mittevälistav)
    • Ekvivalents (märk ⇔ või ↔) „parajasti siis, kui“ ehk „siis ja ainult siis, kui“
    • Implikatsioon (märk ⇒ või →) „kui . . . , siis . . . .“

    Implikatsiooni saab sõnastada mitmel eri viisil:
    1. Kui A, siis B
    2. Väitest A järeldub väide B
    3. A on B piisav tingimus
    4. B on A tarvilik tingimus
    5. A ainult siis, kui B
    Tehete järjekord:
    • Valemi definitsioonis kasutatakse tehete järjekorra määramiseks sulge .
    • Üleskirjutuse lihtsustamiseks lepitakse kokku, et need sulud , mis tehete järjekorda ei mõjuta, võib ära jätta.
    • Tehteid teostatakse prioriteedi nõrgenemise järjekorras vasakult paremale: ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔

    Lausearvutuse valemid:
    Lausemuutuja on sümbol lausearvutuse lausete hulga mis tahes elemendi tähistamiseks. Lausemuutujaid tähistame X, Y , Z, ...
    Definitsioon
    Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada järgmiste reeglite abil:
    1. iga lausemuutuja on lausearvutuse valem;
    2. tõeväärtused t ja v on valemid;
    3. kui 𝓕 on lausearvutuse valem, siis ka ¬ 𝓕 on lausearvutuse valem;
    4. kui 𝓕 ja 𝓖 on lausearvutuse valemid, siis ka 𝓕 ∧ 𝓖, 𝓕 ∨ 𝓖, 𝓕 ⇒ 𝓖 ja 𝓕 ⇔ 𝓖 on lausearvutuse valemid;
    5. kui 𝓕 on lausearvutuse valem, siis ka (𝓕) on lausearvutuse valem.
    Lausearvutuse valemeid tähistame 𝓕, 𝓖, 𝓗 ... .
    Kõiki antud valemi konstrueerimise käigus tekkinud valemeid nimetatakse selle valemi osavalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud tehet aga valemi peatehteks.
    Näide: Olgu antud valem (((X ∧ ¬Y ) ∧ (Z ⇒ ¬X))⇔ (Y ∨ X)).
    Lausemuutujad X, Y , Z on lausearvutuse valemid definitsiooni esimese punkti põhjal. Kolmanda punkti põhjal on lausearvutuse valemid ka näiteks ¬X ja ¬Y ning neljanda punkti põhjal Y ∨ X. Edasi on lausearvutuse valemid X ∧ ¬Y , Z ⇒ ¬X ja (X ∧ ¬Y ) ∧ (Z ⇒ ¬X) ning samuti ((X ∧ ¬Y ) ∧ (Z ⇒ ¬X))⇔ (Y ∨ X). Viimase valemi peatehe on ⇔ ja tema osavalemid on parajasti kõik loetletud valemid.
    Näide: Vaatleme taas valemit (((X ∧ ¬Y ) ∧ (Z ⇒ ¬X))⇔ (Y ∨ X)).
    Jättes ära välimised sulud, saame ((X ∧ ¬Y ) ∧ (Z ⇒ ¬X))⇔ (Y ∨ X).
    Tehete prioriteete arvestades võime loobuda sulgudest ümber valemi peatehte kummagi poole: (X ∧ ¬Y ) ∧ (Z ⇒ ¬X)⇔ Y ∨ X
    Samuti pole tarvis ka esimesi sulge: X ∧ ¬Y ∧ (Z ⇒ ¬X)⇔ Y ∨ X.
    Väärtustus:
    Kui lausemuutuja X on tõene, siis kirjutame X = t või X = 1; kui lausemuutuja X on väär, siis kirjutame X = v või X = 0.
    Kui omistame korraga tõeväärtused mitmele lausemuutujale, siis seda tõeväärtuste komplekti nimetame väärtustuseks.
    Näiteks muutujate X, Y, Z üks võimalik väärtustus on X = t, Y = v, Z = t ehk (t, v, t).
    Ülesanne:
    Leida valemi X ∧ ¬Y ∧ (Z ⇒ ¬X) ⇔ Y ∨ X tõeväärtus muutujate X, Y , Z väärtustusel (t, v,t).
    Kõigepealt teame, et X = t, Y = v ja Z = t. Seejärel saame, et ¬X = v ja ¬Y = t ning Y ∨ X = t. Edasi leiame analoogilisel viisil, et X ∧ ¬Y = t ning Z ⇒ ¬X = v, mistõttu X ∧ ¬Y ∧ (Z ⇒ ¬X) = v. Lõpuks näeme, et X ∧ ¬Y ∧ (Z ⇒ ¬X) ⇔ Y ∨ X = v. Vaadeldaval väärtustusel on valem järelikult väär.
    Definitsioon
    Lausearvutuse valemit 𝓕 nimetatakse
    • samaselt tõeseks, kui ta on igal väärtustusel tõene.
    • samaselt vääraks, kui ta on igal väärtustusel väär.

    Definitsioon
    Lausearvutuse valemit 𝓕 nimetatakse
    • kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel tõene.
    • kummutatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel väär

    • Iga samaselt tõene valem on ka kehtestatav.
    • Iga samaselt väär valem on ka kummutatav.
    • Valem on samaselt väär parajasti siis, kui ta pole kehtestatav.

    Seosed valemiklasside vahel:
    Lause:
    Valem 𝓕 on samaselt tõene parajasti siis, kui tema eitus ¬ 𝓕 on samaselt väär.
    TÕESTUS:
    Andes valemis 𝓕 esinevatele lausemuutujatele suvalise väärtustuse, näeme, et valemite 𝓕 ja ¬𝓕 tõeväärtused on vastupidised.Järelikult kui 𝓕 on igal väärtustusel tõene, siis ¬𝓕 on igal väärtustusel väär ja sama kehtib ka ümberpöördult. ∎
    Lause:
    Valem 𝓕 on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus ¬𝓕 ei ole samaselt tõene.
    TÕESTUS:
    Kui 𝓕 on kehtestatav, siis väärtustusel, kus 𝓕 on tõene, on valem ¬𝓕 väär ja ei saa seetõttu olla samaselt tõene. Ümberpöördult, kui ¬𝓕 ei ole samaselt tõene, siis leidub väärtustus, kus ¬𝓕 on väär ja 𝓕 on järelikult tõene. ∎
  • LOENG
    Järeldumine. Valemite teisendamine. TDNK
    Definitsioon
    Öeldakse, et valemitest , ... ,
    järeldub valem 𝓖, kui igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel, millel , ... ,
    on tõesed, on ka 𝓖 tõene.
    Asjaolu, et valemitest , ... ,
    järeldub valem 𝓖, tähistatakse sümbolites nii:
    , ... , ╞ 𝓖,
    kus sümbolit ╞ loetakse sõnaga „järeldub.“
    Näide: Teha kindlaks, kas valemitest ¬(X ∧ Y ) ja Y ⇒ X järeldub valem ¬Y .
    Koostame tõeväärtustabeli:
    X
    Y
    (X
    ∧
    Y)
    Y
    ⇒
    X
    ¬Y
    t
    t
    v
    t
    t
    v
    t
    v
    t
    v
    t
    t
    v
    t
    t
    v
    v
    v
    v
    v
    t
    v
    t
    t
    Kaks esimest valemit on mõlemad tõesed ainult teises ja neljandas reas. Et ka kolmas valem on nendes ridades tõene, siis järeldumine leiab aset ehk ¬(X ∧ Y ), Y ⇒ X ╞ ¬Y .
    Teoreem
    Valemitest , . . . ,
    järeldub valem 𝓖 parajasti siis, kui valem
    ∧ . . . ∧
    ⇒ 𝓖 on samaselt tõene.
    TÕESTUS
    Kui valemitest , . . . ,
    järeldub valem 𝓖, siis neil väärtustustel, millel valemid , . . . ,
    on tõesed, on ka valem 𝓖 tõene, mistõttu
    ∧ . . . ∧
    ⇒ 𝓖 on tõene. Väärtustustel, millel mõni valemitest , . . . ,
    on väär, on valem
    ∧ . . . ∧
    ⇒ G tõene seetõttu, et implikatsiooni eesliige on väär. Ümberpöördult, kui valem
    ∧ . . . ∧
    ⇒ 𝓖 on samaselt tõene, siis igal väärtustusel, millel valemid , . . . ,
    on tõesed, on ka
    ∧ . . . ∧
    tõene, mistõttu valem 𝓖 on samuti tõene. ∎
    Näide: Kordame uuesti ülesannet, kus pidi kindlaks tegema, kas valemitest ¬(X ∧ Y ) ja Y ⇒ X järeldub valem ¬Y . Kasutades teoreemi piisab kontrollida, kas valem ¬(X ∧ Y ) ∧ (Y ⇒ X) ⇒ ¬Y on samaselt tõene. Selleks koostame vastava tõeväärtustabeli:
    X
    Y
    ¬(X ∧ Y )
    ∧
    (Y ⇒ X)
    ⇒
    ¬Y
    t
    t
    v
    v
    t
    t
    v
    t
    v
    t
    t
    t
    t
    t
    v
    t
    t
    v
    v
    t
    v
    v
    v
    t
    t
    t
    t
    t
    Viimasest implikatsiooni veerust näeme, et valem on samaselt tõene ja seega järeldus kehtib.
    Definitsioon
    Valemeid 𝓕 ja 𝓖 nimetatakse loogiliselt samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel.
    Asjaolu, et valemid 𝓕 ja 𝓖 on samaväärsed, märgib kirjutis 𝓕 ≡ 𝓖.
    Näide: Näitame, et valemid ¬(X ∨ Y ) ja ¬X ∧ ¬Y on samaväärsed. Selleks võrdleme nende tõeväärtusi kasutades tõeväärtustabelit:
    X
    Y
    ¬(X ∨ Y )
    ¬X
    ∧
    ¬Y
    t
    t
    v
    v
    v
    v
    t
    v
    v
    v
    v
    t
    v
    t
    v
    t
    v
    v
    v
    v
    t
    t
    t
    t
    Samaväärsed võivad olla ka erinevaid muutujaid sisaldavad valemid.
    Näiteks, kui: 𝓕 = (Y ⇒ X) ∧ (¬Y ⇒ X) ja 𝓖 = (X ∨ Z) ∧ (X ∨ ¬Z), siis 𝓕 ≡ 𝓖.
    Teoreem
    Valemid 𝓕 ja 𝓖 on samaväärsed parajasti siis, kui valemist 𝓕 järeldubvalem 𝓖 ja valemist 𝓖 järeldub valem 𝓕.
    TÕESTUS
    Kui 𝓕 ≡ 𝓖, siis suvalisel valemites 𝓕 ja 𝓖 esinevate lausemuutujate väärtustusel on need valemid kas mõlemad tõesed või mõlemad väärad. Seepärast kehtivad järeldused 𝓕╞ 𝓖 ja 𝓖╞ 𝓕.
    Ümberpöördult, kui 𝓕╞ 𝓖 ja 𝓖╞ 𝓕, siis ei saa leiduda väärtustust, kus 𝓕 ja 𝓖 tõeväärtused oleksid erinevad, mistõttu 𝓕 ≡ 𝓖. ∎
    Teoreem
    Valemid 𝓕 ja 𝓖 on samaväärsed parajasti siis, kui valem 𝓕 ⇔ 𝓖 on samaselt tõene
    TÕESTUS
    Eeldame, et valemid 𝓕 ja 𝓖 on samaväärsed. Valime valemites 𝓕 ja 𝓖 esinevatele muutujatele suvalise väärtustuse. Kui valitud väärtustusel valem 𝓕 on tõene ja valem 𝓖 on tõene, siis 𝓕 ⇔ 𝓖 on samuti tõene, kui aga valitud väärtustusel valem 𝓕 on väär ja valem 𝓖 on väär, siis jällegi 𝓕 ⇔ 𝓖 on tõene. Järelikult on valem 𝓕 ⇔ 𝓖 tõene sõltumata väärtustusest ehk samaselt tõene.
    Eeldame nüüd ümberpöördult, et valem 𝓕 ⇔ 𝓖 on samaselt tõene. Valime selles valemis esinevatele muutujatele suvalise väärtustuse. Et ekvivalents on tõene, siis kas 𝓕 ja 𝓖 on mõlemad tõesed või 𝓕 ja 𝓖 on mõlemad väärad. See tähendab, et valemite 𝓕 ja 𝓖 tõeväärtused on suvalisel väärtustusel samad. Vastavalt definitsioonile on valemid 𝓕 ja 𝓖 samaväärsed. ∎
    Täielik disjunktiivne normaalkuju
    Lihtkonjunktsioon on muutujate või nende eituste konjunktsioon. Näiteks X ∧ ¬Y, X ∧ Y ∧ ¬Y ja X on lihtkonjunktsioonid. Täielik lihtkonjunktsioon on lihtkonjunktsioon, milles iga muutuja esineb täpselt ühe korra. Näiteks muutujate X, Y ja Z korral on ¬X ∧ Y ∧ ¬Z täielik lihtkonjunktsioon. Valemi disjunktiivne normaalkuju (DNK) on loogiliselt samaväärne valem, mis esitub lihtkonjunktsioonide disjunktsioonina. Näiteks X ∧ Y ∨ ¬X ∧ ¬Y on disjunktiivsel normaalkujul olev valem. Valemi täielik disjunktiivne normaalkuju (TDNK) koosneb täielikest lihtkonjunktsioonidest. TDNK leidub, kui valem on kehtestatav.
    Loogiliselt samaväärsed valemid:
    1) ¬ ¬X ≡ OX
    2) a) X ∧ Y ≡ Y ∧ X
    b) X ∨ Y ≡ Y ∨ X
    c) X ⇔ Y ≡ Y ⇔ X
    3) a) (X ∧ Y ) ∧ Z ≡ X ∧ (Y ∧ Z)
    b) (X ∨ Y ) ∨ Z ≡ X ∨ (Y ∨ Z)
    c) (X ⇔ Y ) ⇔ Z ≡ X ⇔ (Y ⇔ Z)
    4) a) (X ∨ Y ) ∧ Z ≡ X ∧ Z ∨ Y ∧ Z
    b) X ∧ Y ∨ Z ≡ (X ∨ Z) ∧ (Y ∨ Z)
    5) a) X ∧ X ≡ X
    b) X ∨ X ≡ X
    6) a) X ∧ t ≡ X
    b) X ∧ v ≡ v
    c) X ∨ t ≡ t
    d) X ∨ v ≡ X
    7) a) ¬(X ∧ Y ) ≡ ¬X ∨ ¬Y
    b) ¬(X ∨ Y ) ≡ ¬X ∧ ¬Y
    8) a) X ⇒ Y ≡ ¬Y ⇒ ¬X
    b) X ⇒ Y ≡ ¬X ∨ Y
    c) X ⇒ Y ≡ ¬(X ∧ ¬Y )
    9) a) X ∧ Y ≡ ¬(X ⇒ ¬Y )
    b) X ∨ Y ≡ ¬X ⇒ Y
    10) a) X ⇔ Y ≡ (X ⇒ Y ) ∧ (Y ⇒ X)
    b) X ⇔ Y ≡ X ∧ Y ∨ ¬X ∧ ¬Y
    Täielikule disjunktiivsele normaalkujule teisendamine.
    1. Asenda implikatsioonid ja ekvivalentsid samaväärsete valemitega – 8b), 10b)
    2. Vii eitused vahetult muutujate ette – 7a), 7b), 1)
    3. Vii konjunktsioonid disjunktsioonidest sügavamale – 4a)
    4. Eemalda samaselt väärad ja võrdsed lihtkonjunktsioonid – X ∧ ¬X ≡ v, 6d), 5b)
    5. Tee lihtkonjunktsioonid täielikeks – K ≡ K ∧ t ≡ K ∧ (X ∨ ¬X) ≡ K ∧ X ∨ K ∧ ¬X
  • LOENG
    Hulga mõiste ja osahulk
    • Hulga all mõistetakse üksteisest erinevate objektide kogumit, mida vaadeldakse ühe tervikuna ja kus iga objekti korral on võimalik üheselt kindlaks määrata, kas ta kuulub antud hulka.
    • Hulki tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega A, B, C, X, Y, ... .
    • Hulga elemente aga väikeste ladina tähtedega a, b, c, x, y, ... .
    • Kui element a kuulub hulka A, siis kirjutame a ∈ A.
    • Kui a ei ole hulga A element, siis kirjutame a ∉ A.
    • Hulga element ja hulk ise loetakse alati erinevateks. Näiteks, a ≠.
    • Kahte hulka A ja B loetakse võrdseteks, kui nad koosnevad ühtedest ja samadest elementidest. Tähistame A = B.

    Näide:<. See oleks „kõikide hulkade hulk“. Kui A oleks hulk, siis ta oleks üks oma elementidest, seega A     ∈ A. Viimane on aga võimatu, mistõttu A ei ole hulk. Antud juhul räägitakse kõikide hulkade klassist või kõikide hulkade kogumist.
    • Kui hulgas on vähe elemente, siis võib need elemendid looksulgude vahel komadega eraldatult üles loetleda .
      • Näiteks A
    • Elementide järjekord ei ole oluline. Seega Amainitud hulka A.
    • Mõnedes hulkades on aga liiga palju elemente, et neid kõiki üles loendada.
      • Näiteks XY
    • Antud kirjaviisis mõttepunktid (kolm punkti) tähendavad seda, et jätka loendust „samal viisil“.
    • Hulga elementide loendi esitamise asemel võib hulga määrata ka temasse kuulumise tingimuse abil.
    • Sellistel juhtudel kasutame kirjeldusviisi AAp(x) tähistab tingimust või tingimuste loetelu, mida vaadeldavasse hulka kuuluvad elemendid x peavad rahuldama.
      • Näiteks, kui uurime võrrandi reaalarvulisi lahendeid, siis:
    • on kõigi selliste reaalarvude x hulk, mis rahuldavad võrrandit ehk A on selle võrrandi reaalarvuliste lahendite hulk. Me oleks võinud ka kirjutada, et A

    Tähtsamad arvuhulgad
    • Naturaalarvude hulk
    • Täisarvude hulk
    • Ratsionaalarvude hulk = ;
    • Reaalarvude hulk ;
    • Irratsionaalarvude hulk ;
    • Kompleksarvude hulk = .

    Olgu a ja b reaalarvud , kus a ≤ b.
    • Lõik ;
    • Vahemik ;
    • Poollõigud .

    Tühi hulk
    Hulgas ei pea aga olema ühtegi elementi.
    Sellised hulgad kerkivad esile väga tihti ning väga erinevates olukordades .
    Näiteks, kui A on võrrandi x2 + 1 = 0 reaalarvuliste lahendite hulk, siis hulgas A ei ole ühtegi elementi.
    Näiteks, kõigi reaalarvude x hulk, mis rahuldavad võrratust x2 Definitsioon
    Tühjaks hulgaks ∅ nimetatakse hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi.
    Lõplikud ja lõpmatud hulgad
    Kui hulgas on mingi naturaalarvuga võrdne arv elemente, siis nimetatakse seda hulka lõplikuks.
    Kuna tühjas hulgas pole ühtegi elementi, siis loetakse ka tema tavaliselt lõplikuks.
    Hulka, mis ei ole lõplik (ega tühi), nimetatakse lõpmatuks hulgaks.
    Näiteks,
    ja
    on lõpmatud hulgad.
    Lõpliku hulga A korral tähistame sümboliga |A| hulgas A olevate elementide arvu ja nimetatame seda hulga A võimsuseks.
    Kui ABA| = 2 ja |B| = 4.
    Samuti |∅| = 0.
    Osahulk
    Definitsioon
    Hulka A nimetatakse hulga B osahulgaks, kui kõik hulga A elemendid on hulga B elementideks (ehk hulga A iga element kuulub hulka B).
    Kui hulk A on hulga B osahulk, siis kirjutame A ⊂ B.
    Kui hulk A ei ole hulga B osahulk, siis kirjutame A ⊄ B.
    Kvantorite abil saame osahulgaks olemist ja mitteolemist kirja panna järgmiselt:
    A ⊂ B tähendab, et ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ja A ⊄ B tähendab, et ∃x (x ∈ A ∧ x ∉ B)
    Näide: 1. (0, 1) ⊂ [0, 1].
    < on järgmised osahulgad:     ∅<.
    3.
    ⊂
    < ⊂ <}
    Sisalduvusseose omadused
    Lause
    Hulkade sisalduvusseosel ⊂ on järgmised omadused:
    1. Refleksiivsus : Iga hulga A korral A ⊂ A;
    2. Antisümmeetrilisus: Kui A ja B on sellised hulgad, et A ⊂ B ja B ⊂ A, siis A = B;
    3. Transitiivsus: Kui A, B ja C on sellised hulgad, et A ⊂ B ja B ⊂ C, siis A ⊂ C;
    4. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulk.
    TÕESTUS
    2. Eeldame, et A ⊂ B ja B ⊂ A. Peame näitama, et A = B. Oletame vastuväiteliselt, et A ≠ B. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et leidub element x nii, et x ∈ A ja x ∉ B. Kuna A ⊂ B, siis x ∈ B. Sellega tekib vastuolu Järelikult meie vastuväiteline eeldus oli väär ehk hulgad peavad olema võrdsed. ∎
    3. Eelduseks on, et A ⊂ B ja B ⊂ C. Peame näitama, et A ⊂ C. Viimase väite tõestamiseks võtame suvalise elemendi x hulgast A ja näitame, et siis x ∈ C. Kuna esimesest eelduses A ⊂ B, siis sellest, et x ∈ A järeldub, et x ∈ B. Teise eelduse kohaselt B ⊂ C, seega iga hulga B element on ka hulga C elemendiks . Kuna meil x ∈ B, siis järeldame, et ka x ∈ C. Olemegi näidanud, et suvalise elemendi x korral hulgast A see element kuulub ka hulka C. Seega A ⊂ C. ∎
    4. Oletame väite vastaselt, et leidub mittetühi hulk A nii, et ∅ ⊄ A. Definitsiooni kohaselt peab siis leiduma element x hulgast ∅, mis ei kuulu hulka A. See on aga võimatu, sest hulgas ∅ ei leidu ühtegi elementi. Seega ∅ ⊂ A iga hulga A korral. ∎
    Lause
    Tühi hulk ∅ on üheselt määratud.
    TÕESTUS
    Olgu ∅1 ja ∅2 kaks tühja hulka. Peame näitama, et ∅1 = ∅2. Kuna ∅1 on tühihulk siis transitiivsuse omaduse tõttu ∅1 ⊂ ∅2. Samuti selle sama omaduse tõttu ∅2 ⊂ ∅1. Ja Antisümmeetrilisuse omaduse põhjal need tühjad hulgad on võrdsed ehk see näitab ära, et tühjad hulgad on üheselt määratud. ∎
    Pärisosahulk
    Definitsioon
    Hulka A nimetatakse hulga B pärisosahulgaks ja kirjutatakse A ⊊ B, kui hulk A on hulga B osahulk ja A ≠ B.
    Näide: <, siis S ⊊ T.
    2. Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused
    ⊊
    ⊊
    ⊊
    ⊊ .
    3. Kui a ⊊ (a, b] ⊊ [a, b].
    Kõigi osahulkade hulk
    Hulga A kõigi osahulkade hulka tähistatakse tavaliselt
    Ülesanne:
    Iga hulga korral leia tema kõigi osahulkade hulk. Samuti määra |A| ja |𝒫(A)|.
  • A = ∅
  • <
    LAHENDUS
    1. A = ∅, 𝒫(∅)=?
    |A| = 0, 𝒫(∅) = ⊂ ∅, |𝒫(∅)| = 1
    2. <
    |A| = 2, 𝒫(a, b) }}, |𝒫(∅)| = 4
    Lause
    Kui hulgas A on n elementi, siis hulgal A on 2n erinevat osahulka
    TÕESTUS
    Olgu A hulk, milles on n elementi. Siis A on kujul . Iga elemendi juurde käib mõtteliselt 1 või 0 ehk kas võtan osahulka või mitte, seega osahulki on 2*2*2* ... ehk 2n. ∎
  • LOENG
    Tehted hulkadega
    Definitsioon
    Hulkade A ja B ühendiks nimetatakse hulka A ∪ B, mille moodustavad kõik elemendid, mis kuuluvad vähemalt ühte hulkadest A või B, s.t
    A ∪ BMärgime, et alati A ⊂ A ∪ B ja B ⊂ A ∪ B.
    Tehete abil moodustatud hulkadest piltliku ettekujutuse saamiseks kasutatakse nn Venni diagramme .
    Näide:
    <, siis A     ∪<;
    2. [0, 1) ∪ (0, 1] = [0, 1];
    3.
    ∪
    = .
    Definitsioon
    Hulkade A ja B ühisosaks ehk lõikeks nimetatakse hulka A ∩ B, mille moodustavad kõik elemendid, mis kuuluvad nii hulka A kui ka hulka B, s.t
    A ∩ BMärgime, et alati A ∩ B ⊂ A ja A ∩ B ⊂ B.
    Venni diagrammil on kahe hulga ühisosa kujutatud järgmiselt
    Näide:
    <, siis A ∩;
    2. [0, 1) ∩ (0, 1] = (0, 1);
    3.
    = .
    Kui kahel hulgal A ja B ei ole ühiseid elemente, siis A ∩ B = ∅ ning hulki A ja B nimetatakse lõikumatuteks.
    Näiteks, ratsionaalarvude ja irratsionaalarvude hulgad on lõikumatud.
    Hulkade ühendi ja ühisosa omadused
    Teoreem
    Hulkade ühendil ja ühisosal on järgmised omadused:
    1. Idempotentsus: A ∪ A = A, A ∩ A = A;
    2. Kommutatiivsus : A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A;
    3. Assotsiatiivsus : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
    4. Distributiivsus: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
    TÕESTUS
    4. Tõestame teise distributiivsuse võrduse ehk (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
    (i) Olgu x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Siis x ∈ A ∩ B või x ∈ C. Kui x ∈ C, siis x ∈ A ∪ C ja x ∈ B ∪ C, mistõttu x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Kui aga x ∉ C, siis x ∈ A ∩ B ehk x ∈ A ja x ∈ B. Siis aga x ∈ A ∪ C ja x ∈ B ∪ C, s.t x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Sellega on näidatud, et (A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
    (ii) Olgu nüüd x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Siis x ∈ (A ∪ C) ja x ∈ (B ∪ C). Kui x ∈ C, siis x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Kui aga x ∉ C, siis x ∈ A ja x ∈ B ehk x ∈ A ∩ B ning x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Sellega on näidatud ka (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ C ning ühtlasi tõestatud teine distributiivsuse võrdus.
    Hulkade ühendi ja ühisosa üldistamine
    Kahe hulga ühendi ja ühisosa definitsioone saab üldistada:
    • lõplikule arvule hulkadele A1, . . . , An, kus n ∈ ;
    • hulkade jadale A1, A2, . . . ;
    • ja koguni suvalisele hulkade süsteemile Aα, kus α ∈ 𝓘.
    Üldistuste läbiv idee on sama, mis kahe hulga puhul:
    • ühendi moodustavad objektid, mis kuuluvad vähemalt ühte liidetavatest hulkadest;
    • ja ühisosa need objektid, mis kuuluvad igasse vaadeldavasse hulka.
    Nii saame n hulga (n ∈ N) ühendi ja ühisosa defineerida võrdustega
    Näide: Olgu<,< ja<. Siis
    Hulkade jada , , , ... ühendi ja ühisosa saame defineerida võrdustega
    Olgu nüüd 𝓘 mingi hulk ja vaatame hulkade süsteemi (Aα)α∈ 𝓘, siis saame selle süsteemi hulkade ühendi ja ühisosa defineerida järgmiselt:
    Näide:
    Näide:
    Olgu iga i
    korral . Siis
    Näide:
    Olgu
    ja iga
    korral . Siis näiteks ,
    ja
    ning
    Definitsioon
    Hulkade A ja B vaheks nimetatakse hulka A \ B, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad hulka A, aga ei kuulu hulka B, s.t
    Üldiselt
    Venni diagrammil on kahe hulga vahe kujutatud järgmiselt:
    Näide:
    <, siis A \ ja B \;
    2. [0, 1) \ (0, 1);
    3. N \ Z = ∅.
    Lause
    Olgu A, B ja C hulgad. Siis
    TÕESTUS
    ∎
    Definitsioon
    Hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse hulka A ∆ B, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad parajasti ühte kahest hulgast A ja B, s.t
    Sümmeetrilist vahet illustreerib järgmine Venni diagramm:
    Sümmeetrilise vahe omadused
    Näide: <, siis A<.
    Lause
    Olgu A ja B hulgad. Siis A
    B     = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
    Lause
    Olgu A ja B hulgad.
    1. Kommutatiivsus: A
    B = B
    A    ;
    2. Assotsiatiivsus: (A
    B    )
    C = A
    (B
    C    );
    3. Distributiivsus: (A
    B    ) ∩ C = (A ∩ C)
    (B ∩ C);
    4. A
    B = A     ∪ B ⇔ A ∩ B = ∅.
    Olgu U universaalhulk ja A ⊂ U.
    Definitsioon
    Hulga A täiendiks A’ nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik need universaalse hulga U elemendid, mis ei kuulu hulka A, s.t
    Hulga A täiendit saab Venni diagrammi abil kujutada järgmiselt:
    Näide:
    1. Kui U = , siis ’;
    2. Kui U = , siis ’ = .
    Lause
    Olgu U universaalhulk ja A, B ⊂ U. Hulga täiendi moodustamisel kehtivad järgmised omadused:
    1. ∅’ = U;
    2. U’ = ∅;
    3. A ∪ A’ = U;
    4. A ∩ A’ = ∅;
    5. A’’ = A;
    6. (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’;
    7. (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’.
    TÕESTUS
    5. A’A ⊂ U
    Näitame, et A’’ = A
    ∎
    7. Kahe hulga võrdsuse näitamiseks peame näitama mõlemad sisalduvused, esiteks (A ∩ B)’ ⊂ A’ ∪ B’ ja teiseks A’ ∪ B’ ⊂ (A ∩ B)’. Olgu x ∈ (A ∩ B)’. Siis x ∉ A ∩ B. See aga tähendab, et x ∉ A või x ∉ B. Seega peab kehtima, et x ∈ A’ või x ∈ B’ ehk teiste sõnadega, x ∈ A’ ∪ B’.
    Vastupidiselt, olgu nüüd x ∈ A’ ∪ B’. Siis x ∈ A’ või x ∈ B’, mis omakorda tähendab, et x ∉ A või x ∉ B. Kuna x ei kuulu vähemalt ühte hulkadest A või B, siis ta ei saa olla nende ühisosas ehk x ∉ A ∩ B. See on aga sama mis x ∈ (A ∩ B)’. Seega saame mõlemapidisest arutelust järeldada, et hulgad (A ∩ B)’ ja A’ ∪ B’ on võrdsed. ∎
    Definitsioon
    Hulkade A ja B otsekorrutiseks A × B nimetatakse kõikide paaride (a, b) hulka, kus a ∈ A ja
    b ∈ B, seejuures elementide järjekord paarides on oluline.
    Seega
    Paaride võrdsus tähendab vastavate paariliste võrdsust
    Hulkade otsekorrutamine pole üldjuhul kommutatiivne, s.o kui A ≠ B, siis A × B ≠ B × A.
    Näide: <. Siis A × ja B ×, seega A × B ≠ B × A.
    Näide: Ristkü võime esitada lõikude [a, b] ja [c, d] otsekorrutisena R = [a, b] × [c, d].
    Teoreem
    Hulkade A, B, C ja D jaoks kehtivad järgmised võrdused:
    1. A × ∅ = ∅, ∅ × A = ∅;
    2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C);
    3. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C);
    4. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D);
    5. A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C)
    TÕESTUS
    2.
    Kahe hulga otsekorrutise mõiste on lihtsalt üldistatav mis tahes lõplikule arvule hulkadele. Olgu n ∈ , siis
    Otsekorrutist
    tähistatakse An ja nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks.
    Näide:
    ×
    ×
    = 3
  • LOENG
    Arvuteooria elemente. Matemaatiline induktsioon
    Definitsioon
    Öeldakse, et täisarv a jagab täisarvu b (ja tähistatakse a | b), kui leidub selline täisarv c, et ac = b.
    Näide: ,
    Fakti, et a | b võib tähistada ka kujul
    ehk arv b jagub arvuga a.
    Lause
    Olgu a, b ja c täisarvud. Siis
    1. a | a
    2. Kui a | b ja b | c, siis a | c.
    3. Kui a | b ja a | c, siis a | (b ± c).
    4. Kui a | b, siis ac | bc iga c ∈
    korral.
    5. a | 1 parajasti siis, kui a = 1 või a = −1.
    Lemma
    Mis tahes täisarvu a korral a2 + a ≥ 0.
    Teoreem
    Olgu a täisarv ja b naturaalarv. Siis leiduvad üheselt määratud täisarvud q ( jagatis ) ja r (jääk) nii, et
    ja .
    TÕESTUS
    • Olgu a ∈ , b ∈ ja vaatleme hulka A
    • Esmalt paneme tähele, et A ≠ ∅. Tõepoolest, a – b (−a2) ∈ A, sest a – b (−a2) = a + ba ≥ a + a2 ≥ 0.
    • Et hulga ∪ igas mittetühjas osahulgas leidub vähim element, siis leidub ka hulga A vähim element r = a − bq ∈ A, kus q ∈ .
    • Leidsime , et hulgas Ar = a − bq ∈ A.
    • Näitame, et r . Selleks oletame vastuväiteliselt, et r ≥ b. Siis 0 ≤ r’ := r − b = a − b(q + 1) ∈ A ja r’ , mis on vastuolus r valikuga. Olemegi leidnud q,r ∈ nii, et a = bq + r ja 0 ≤ r .
    • Näitame, et q ja r on üheselt määratud. Selleks oletame, et leiduvad täisarvud , , , nii, et a = b + = b + ja 0 ≤ , b
      • .
    • Seega b( − ) = − .
    • Kuna b ≥ 1, | − | b
      •  ja − ∈ , siis võrdusest | − | = |b| · | − | järeldub, et − = 0 ja ka − = 0.
    • Olemegi näidanud, et = ja = .

    Definitsioon
    Algarvuks nimetatakse naturaalarvu p > 1, mille ainsad naturaalarvulised jagajad on 1 ja p. Naturaalarvu, mis on suurem kui 1 ja mis pole algarv, nimetatakse kordarvuks.
    Teoreem (Aritmeerika põhiteoreem)
    Iga naturaalarvu n > 1 saab esitada algarvude korrutisena (st leiduvad r ∈
    ja , . . . ,
    nii, et n = , . . . , ) ning see esitus on ühene tegurite järjekorra täpsuseni.
    Teoreem
    Algarvude hulk on lõpmatu.
    TÕESTUS
    • Olgu algarvud tähistatud = 2, = 3, = 5, = 7, . . .
    • Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv
    • Vaatleme naturaalarvu a = . . . + 1
    • Et a > 1, siis aritmeetika põhiteoreemi tõttu peab leiduma algarv, mis arvu a jagab.
    • Kuna oletasime, et , ... , on ainsad algarvud, siis peab leiduma selline i ∈ nii, et | a.
    • Jaguvuse omaduste põhjal saame, et | (a − . . . ) = 1, mis on vastuolus sellega, et > 1.

    Matemaatiline induktsioon
    Alustame näitega probleemist, mille tõestamiseks läheb vaja matemaatilist induktsiooni.
    Hüpotees. Esimese n paaritu arvu summa on n2.
    Illustreerime seda väidet tabeliga:
    Aga siiski jääb õhku rippuma küsimus, et kas tõesti 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + (2n − 1) on võrdne arvuga n2?
    Kas meie väide on tõene kõigi naturaalarvude korral?
    Sõnastame oma väite ümber järgmiselt. Iga naturaalarvu n korral (tabelis iga rea korral) olgu meil antud väited Sn järgmiselt:
    Küsime:Kas kõik need väited on tõesed?
    Matemaatilise induktsiooni illustratsioon
    Väited on reastatud nagu doominod:
    Oletame, et esimene väide on tõestatud (esimene doomino lükatakse ümber):
    Oletame, et doomino
    põhjustab alati
    ümberkukkumise:
    Kõik doominod peavad kukkuma (ehk kõik väited peavad kehtima):
    Definitsioon
    Matemaatilise induktsiooni meetod. Olgu antud mingi seeria väiteid
    , , . . . , , . . . . Antud seerias iga väide
    on tõene, kui
    1. Induktsiooni baas.
    on tõene, s.t seerias esimene väide on tõene;
    2. Induktsiooni samm.
    ⇒ , s.t oletusest, et suvaline väide
    on tõene, järeldub, et järgnev väide
    on tõene.
    Märkused:
    1. Pole oluline, et kõige esimene väide, mida kontrollitakse, vastab juhule n = 1. Piisab, kui väide kehtib mingi naturaalarvu korral ning üldistamine toimub sellele arvule järgnevatele arvudele.
    2. Matemaatilist induktsiooni saab rakendada ainult siis, kui mõlemad eeldused (induktsiooni baas ja induktsiooni samm) on rahuldatud.
    Tõestame nüüd sissejuhatuses tutvustatud väite n esimese paaritu arvu summa kohta.
    TÕESTUS:
    Tõestada matemaatilise induktsiooni abil, et n esimese paaritu naturaalarvu summa on n2.
    1. Kui n = 1, siis valemi vasakpool VP = 1 ja parem pool PP = 12 = 1. Järelikult VP = PP ning valem kehtib, kui n = 1.
    2. Eeldame, et valem kehtib n = k korral, s.t 1+3+5+...+(2k-1)=k2. Näitame, et sel juhul valem kehtib ka n = k + 1 korral, s.t näitame, et .
    Seega oleme matemaatilise induktsiooni abil tõestanud, et valem kehtib kõigi naturaalarvude korral. ∎
    Definitsioon
    Tugeva matemaatilise induktsiooni meetod. Olgu antud mingi seeria väiteid , , . . . , , . . . . Antud seerias iga väide
    on tõene, kui
    1. Induktsiooni baas.
    on tõene, st seerias esimene väide on tõene;
    2. Induktsiooni samm.
    ∧ · · · ∧
    ⇒ , st oletusest, et kõik eelnevad väited , . . . ,
    on tõesed, järeldub, et järgnev väide
    on tõene.
    Teoreem (Aritmeetika põhiteoreem)
    Iga naturaalarvu n > 1 saab esitada algarvude korrutisena (st leiduvad r ∈
    ja algarvud , . . . ,
    nii, et n = , . . . , ) ning see esitus on ühene tegurite järjekorra täpsuseni.
    TÕESTUS
    Induktsiooni baas:
    • Väide on õige n = 2 puhul, sest 2 on algarv.
    Induktsiooni samm:
    • Oletame, et n > 2 ja iga naturaalarvu 1 m saab esitada algarvude korrutisena.
    • Naturaalarv n peab olema kas algarv või kordarv .
    • Kui n on algarv, siis pole midagi tõestada.
    • Kui n on kordarv, siis leidub k ∈ nii, et k | n, kusjuures 1 k .
    • Olgu n = kl, kus l ∈ N. Siis ka 1 .
    • Induktsiooni eelduse põhjal avalduvad k ja l algarvude korrutisena ning järelikult ka n avaldub algarvude korrutisena.
    • Ühesuse näitamiseks oletame, et n saab algarvude korrutisena esitada kahel viisil:

    n =
    . . .
    . . . ,
    kus üldisust kitsendamata r ≤ s ja algarvud
    ja
    on mittekahanevas järjekorras, st
    ≤
    ≤ · · · ≤
    ja
    ≤
    ≤ · · · ≤ .
    • Kuna | . . . ja on algarv, siis = mingi k ∈ korral. Seega kehtib ka, et ≥ . Samamoodi arutledes saame, et ≥ ning kokkuvõttes = .
    • Arvu taandades saame . . . = . . . . Korrates seda mõttekäiku saame = ja . . . = . . . .
    • Kui r , siis niimoodi jätkates jõuame võrduseni 1 = + 1 + 2 . . . , mis on aga võimatu, sest > 1 iga i ∈ korral.
    • Seega r = s ja = , . . . , = .

  • LOENG
    Tõestamise erinevad meetodid
    • Otsene tõestus
      • Matemaatiline induktsioon
      • Tõestus alamjuhtude põhjal
    • Kaudne tõestus
      • Kontrapositiivne tõestus
      • Vastuväiteline tõestus
    • Ekvivalentsi tõestus
    • Mitme samaväärsuse tõestus
    • Olemasolu tõestus
      • Konstruktiivne olemasolu tõestus
      • Mittekonstruktiivne olemasolu tõestus

    Otsene tõestus
    P ⇒ Q
    Eeldame, et P on tõene ja näitame, et siis on ka Q tõene
    Iga järgmine samm toetub eelnevalt näidatud sammule või olemasolevale faktile.
    Loogiliselt õiges järjekorras arutledes jõutakse lõpuks tulemuseni.
    Lause
    Olgu m ja n täisarvud. Kui m ja n on paarisarvud , siis on seda ka m + n.
    TÕESTUS
    Olgu m ja n paarisarvud. Siis saame nad esitada kujul m = 2k1 ja n = 2k2, kus k1 ja k2 on mingid täisarvud. Nende summa m+n saame esitada kujul m+n = 2k1+2k2 = 2(k1+ k2) = 2k. Kuna k = k1+ k2 on täisarv, siis on 2k paarisarv ehk m + n on paarisarv. ∎
    Lause
    Olgu a, b ja c täisarvud. Kui a | b ja b | c, siis a | c.
    Otsene tõestus alamjuhtude põhjal
    P ⇒ Q
    Tegemist on meetodiga, kus väide tõestatakse kõigil võimalikel alamjuhtudel, kus P on tõene.
    Lause
    Iga naturaalarvu n korral on n3 + n paarisarv.
    TÕESTUS
    Jaotame naturaalarvude hulga omakorda paaris- ja paarituteks arvudeks ehk saame kaks alamjuhtu.
    1. Kui n on paarisarv, siis ...
    2. Kui n on paaritu arv, siis ...
    Meenutame, et reaalarvu x absoluutväärtus on
    Lause
    Mis tahes reaalarvude x ja y korral kehtib |xy| = |x||y|.
    TÕESTUS
    Antud tõestuses vaatleme nelja alamjuhtu.
    1. x ≥ 0 ja y ≥ 0
    2. x ≥ 0 ja y 3. x y
    • ≥ 0
    4. x y Kontrapositiivne tõestus
    Mõnikord on raske näidata otse, et P ⇒ Q.
    Teame, et P ⇒ Q on loogiliselt samaväärne oma pöördvastandlausega ehk kontrapositiiviga ¬Q ⇒ ¬P
    Näitame hoopis, et kehtib ¬Q ⇒ ¬P.
    Lause
    Olgu n täisarv. Kui n2 on paaritu täisarv, siis n on paaritu täisarv.
    Kontrapositiiv on: Kui n on paaris täisarv, siis n2 on paaris täisarv.
    TÕESTUS
    Veendume antud lausega samaväärse lause kehtivuses: Kui n on paaris täisarv, siis n2 on paaris täisarv. Tõepoolest, kui n on paarisarv, siis leidub k ∈
    nii, et n = 2k. Nüüd saame, et n2 = (2k)2 = 4k2, mis on kindlasti paarisarv.
    Vastuväiteline tõestus
    • Matemaatikas kasutatakse teoreemide tõestamisel sageli vastuväitelist tõestusviisi ehk absurdsusele taandamist.
    • Selle aluseks on välistatud kolmanda seadus:

    Iga väite V korral on tõene kas väide ise V või selle eitus ¬V, kolmandat võimalust ei ole.
    • Oletame, et V on väär ehk ¬V on tõene
    • Kui me jõuame niimoodi edasi arutledes vastuoluni mingi varem teadaoleva fakti või tulemusega, siis oli meie oletus, et ¬V on tõene, tegelikult väär.
    • Järelikult, V peab olema tõene

    Näide: Kui väide, mida me tahame tõestada on kujul P ⇒ Q, siis saame eituseks ¬(P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q.
    Lause
    Kui positiivne reaalarv x on irratsionaalarv , siis ka
    on irratsionaalarv.
    TÕESTUS
    • Oletame vastuväiteliselt, et väide „Kui reaalarv x on irratsionaalarv, siis ka on irratsionaalarv“ ei kehti.
    • Ehk oletame, et x on irratsionaalarv ja on ratsionaalarv
    • Kuna on ratsionaalarv, siis leiduvad täisarvud a ja b, b ≠ 0, nii, et
    • Seega x = ()2 = =
    • Saime, et x on ratsionaalarv, mis on vastuolus meie oletusega, et x on irratsionaalarv
    • Seega peab kehtima meie esialgne väide: „Kui reaalarv x on irratsionaalarv, siis ka on irratsionaalarv“ ∎

    Lause
    Reaalarv
    on irratsionaalarv.
    TÕESTUS
    • Oletame vastuväiteliselt, et on ratsionaalarv.
    • Järelikult leiduvad täisarvud r ja s ≠ 0 nii, et . Üldisust kitsendamata võime eeldada, et on taandumatu murd .
    • Võttes selle võrduse ruutu saame , millest .
    • Seega on paarisarv, mistõttu on ka r paarisarv. Niisiis, leidub täisarv k nii, et r = 2k.
    • Nüüd saame võrduse kirjutada kujul , seega ka s on paarisarv.
    • Et s ja r on mõlemad paarisarvud, siis nad sisaldavad tegurit 2, mis on vastuolus meie eeldusega, et on taandumatu murd.
    • Järelikult on irratsionaalarv. ∎

    Ekvivalentsi tõestus
    P ⇔ Q
    Teame, et P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)
    Seega ekvivalentsi tõestamine hõlmab kahe implikatsiooni P ⇒ Q ja Q ⇒ P tõestust
    Lause
    Olgu a täisarv. Siis a2 | a parajasti siis, kui a ∈.
    TÕESTUS
    „⇐“ Kuna 1 | -1, 0 | 0, 1 | 1, siis ∀a ∈ korral a2 | a.
    „⇒“ Olgu a2 | a, siis ∃c ∈ : a2 * c = a. Nüüd a(ac – 1) = 0.
  • a = 0
  • ac = 1 ⇒ a = 1 ∧ c = 1 ∨ a = -1 ∧ c = -1 ∎
    Mitme samaväärsuse tõestus
    Sageli on teoreemides samaväärseid tingimusi antud rohkem kui kaks ja teoreemi üldine sõnastus võib näha välja nii:
    Teoreem (...eeldused...)
    Järgmised väited on samaväärsed:
    (a)
    (b)
    (c)
    Teoreem
    Olgu n täisarv. Järgmised väited on samaväärsed:
    (a) n on paarisarv
    (b) n + 1 on paaritu arv
    (c) n2 on paarisarv
    Näide: Teoreem. Olgu A n-järku ruutmaatriks. Järgmised väited on samaväärsed:
    (a) Maatriksil A leidub pöördmaatriks
    (b) Iga b ∈ n korral on maatriksvõrrand Ax = b üheselt lahenduv
    (c) Maatriksvõrrandil Ax = 0 on ainult triviaalne lahend
    (d) Maatriksi A determinant on nullist erinev
    Olemasolu tõestus
    Väide on kujul ∃x P(x)
    Olemasolu tõestused jagunevad kaheks: konstruktiivsed ja mittekonstruktiivsed
    Konstruktiivse olemasolu tõestuse puhul leiame konkreetse elemendi y, mille korral P(y) on tõene.
    Mittekonstruktiivse olemasolu tõestuse puhul näitame, et ∃x P(x) on tõene mingil muul viisil. Näiteks, kui oletada, et kehtib ¬(∃x P(x)) ehk ∀x ¬P(x), siis tekib vastuolu.
    Lause
    Tõesta, et leiduvad reaalarvud a ja b nii, et .
    TÕESTUS
    Kuigi antud seos ei ole üldjuhul õige, saame leida arvupaare, mis ka sellist võrdust rahuldavad. Seega, olgu a, b ∈
    sellised, et (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 + b2. Siis peab 2ab = 0.
    Üks võimalik lahend oleks a = 1 ja b = 0, sest siis (a+b)2 = (1+0)2 = 12 = 12+02 = a2+b2. ∎
    Lause
    Leiduvad irratsionaalarvud x ja y nii, et xy on ratsionaalarv.
    TÕESTUS
    Teame, et
    on irratsionaalarv
    Uurime arvu
    Vaatame nüüd kahte alamjuhtu:
    1. Kui
    on ratsionaalarv, siis olemegi oma väite tõestanud
    2. Kui
    on irratsionaalarv, siis
    Seega leiduvad irratsionaalarvud x ja y nii, et on ratsionaalarv.
    Olemasolu ja ühesuse tõestus
    Väide on kujul ∃!x P(x) ehk leidub täpselt üks element x nii, et kehtib P(x)
    Peame tõestama kahte asja:
    1. Olemasolu ehk leidub vähemalt üks element x, millel on omadus P
    2. Ühesus ehk mitte ühelgi teisel elemendil y, kus y ≠ x, pole omadust P. Teisisõnu, kui elemendil y on ka omadus P, siis x = y.
    Lause
    Kui k ja b on reaalarvud ja k ≠ 0, siis leidub täpselt üks reaalarv x, mis rahuldab võrrandit kx + b = 0.
    Lause
    Leidub täpselt üks maatriks O nii, et iga maatriksi A puhul A + O = O + A = A.
    Väidete ümberlükkamine
    Väite ümberlükkamiseks piisab tuua üks konkreetne näide elemendist, mille puhul see väide ei kehti. Sellist näidet nimetatakse kontranäiteks.
    Väide kujul ∀x P(x) on väär parajasti siis, kui ¬(∀x P(x)) ehk ∃x ¬P(x) on tõene.
    Väide kujul ∀x P(x) ⇒ Q(x) on väär parajasti siis, kui ∃x P(x) ∧ ¬Q(x) on tõene.
  • LOENG
    Funktsiooni mõiste ja graafik . Kujutis, originaal ja nende omadused
    Definitsioon
    Olgu X ja Y hulgad. Kui on antud eeskiri , mis seab hulga X igale elemendile vastavusse täpselt ühe hulga Y elemendi, siis öeldakse, et on defineeritud funktsioon f , ja kirjutatakse f : X → Y.
    Märkus. Aines Kõrgem matemaatika I tegeletakse põhiliselt funktsioonidega f : X → Y, kus X, Y ⊂ .
    • Hulka X nimetatakse funktsiooni f lähtehulgaks ehk määramispiirkonnaks ja hulka Y nimetatakse funktsiooni f sihthulgaks.
    • Hulka nimetatakse funktsiooni f väärtuste piirkonnaks ehk muutumispiirkonnaks.
    • Funktsiooni asemel räägitakse abstraktsemate hulkade korral ka operaatorist või kujutusest.
    • Kujutust f : X → X nimetatakse hulga X teisenduseks.

    Definitsioon
    Vaatleme funktsiooni f : X → Y . Hulka
    nimetatakse funktsiooni f graafikuks.
    Näiteid funktsioonidest:
  • Elementaarmatemaatikast tuntud lineaarne funktsioon , ruutfunktsioon ja trigonomeetrilised funktsioonid ning on funktsioonid reaalarvude hulgast reaalarvude hulka: f : → .
  • Konstantne funktsioon seab igale hulga X elemendile x vastavusse ühe ja sama elemendi .
  • Samasus - ehk identsusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f : X → X, kus iga korral.
  • Olgu funktsioon f : 2 → 2 antud võrdusega iga 2 korral, s.t f seab tasandi punktile vastavusse tema esimese koordinaadi x- teljel . Sellist funktsiooni nimetatakse projekteerimisteisenduseks x-teljele ehk projektoriks x-teljele. Analoogiliselt võib vaadelda projektorit y-teljele.
  • Funktsioon põrand seab reaalarvule x vastavusse suurima temast väiksema või võrdse täisarvu, s.t
    Näiteks, ja .
  • Funktsioon lagi seab reaalarvule x vastavusse väikseima temast suurema või võrdse täisarvu, s.t
    Näiteks,
    ja .
    Olgu U mingi universaalhulk.
  • Funktsiooniks on , kus
    iga
    korral.
  • Funktsiooniks on , kus
    iga
    korral.
  • Olgu 2-järku ruutmaatriks. Siis maatriksit A võib vaadelda kui funktsiooni A:2 → 2, kus
    iga x ∈ 2 korral.
    Näiteks, maatriks
    pöörab kujundit nurga
    võrra vastupäeva.
    Tähistame sümbolitega C[0, 1] ja C1[0, 1] vastavalt kõigi lõigus [0, 1] pidevate funktsioonide ja kõigi pidevalt diferentseeruvate funktsioonide hulka.
  • Funktsiooniks on D: C1[0, 1] → C[0, 1], kus
    D: f ↦ f ’ iga f ∈ C1[0, 1] korral.
  • Funktsiooniks on I: C[0, 1] → , kus
    iga f ∈ C[0, 1] korral.
    Definitsioon
    Funktsioone
    ja
    nimetatakse võrdseteks, kui ,
    ja
    iga
    korral.
    Definitsioon
    Olgu U universaalne hulk ja vaatleme tema osahulka . Hulga A karakteristlikuks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , kus
    Universaalse hulga U kaks alamhulka A ja B on võrdsed parajasti siis, kui neil on sama karakteristlik funktsioon, s.t
    Näide: Tühja hulga karakteristlik funktsioon on konstantne funktsioon 0;
    Näide: Universaalhulga U karakteristlik funktsioon on konstantne funktsioon 1.
    Karakteristliku funktsiooni omadused
    Lause
    Olgu U universaalne hulk ja . Siis iga
    korral
    1. χA(x) · χA(x) = χA(x);
    2. χA’(x) = χU\A(x) = 1 − χA(x);
    3. χA∩B(x) = χA(x) · χB(x);
    4. χA∪B(x) = χA(x) + χB(x) − χA(x) · χB(x);
    5. χA\B(x) = χA(x) − χA(x) · χB(x);
    6. χA∆B(x) = χA(x) + χB(x) − 2χA(x) · χB(x);
    7. χA×B((x, y)) = χA(x) · χB(y).
    TÕESTUS
    Nende võrduste kontrolliks piisab, kui vaadatakse läbi kõik võimalused elemendi
    jaoks ( kuulub mõlemasse hulka, ainult hulka , ainult hulka , mitte kumbagi hulka) ja võrreldakse paremal esitatud avaldise väärtust vajaliku väärtusega. Näiteks, võrdus 1) järeldub sellest, et
    ja . Olgu . Omaduse 3) tõestamisel tuleb arvestada nelja erineva võimalusega:
    Siit järeldub, et
    millest omakorda saame, et. ∎
    Kuna hulgad ja nende karakteristlikud funktsioonid on üksüheses vastavuses, siis saame eeltoodud valemeid kasutada ka hulgateoreetiliste samasuste tõestamiseks.
    Näide: Olgu U universaalne hulk ja . Tõestada, et .
    TÕESTUS
    Tõestuseks piisab näidata, et χ(A∩B)’(x) = χA’∪B’(x) iga x ∈ U korral. Fikseerime x ∈ U. Rakendades eelmise lause omadusi täiendi, ühisosa ja ühendi kohta saame,
    χ(A∩B)’(x) = 1 − χA∩B(x)
    = 1 − χA(x) · χB(x)
    = (1 − χA(x)) + (1 − χB(x)) − (1 − χA(x)) · (1 − χB(x))
    = χA’(x) + χB’(x) − χA’∩B’(x)
    = χA’∪B’(x) ∎
    Definitsioon
    Olgu antud funktsioon f : X → Y. Kui x ∈ X ja y ∈ Y on sellised, et y = , siis elementi y nimetatakse elemendi x kujutiseks.
    Igal määramispiirkonna X elemendil on parajasti üks kujutis.
    Näide: Vaatleme funktsiooni , . Siis arvu 0 kujutis on 0, sest . Arvude −1 ja 1 kujutis on 1, sest .
    Näide: Vaatleme funktsiooni , . Siis arvu 4 kujutis on 2, sest .
    Definitsioon
    Hulga
    kujutiseks nimetatakse hulga Y osahulka , mis koosneb kõikide hulga A elementide kujutistest, s.t
    NB! Kujutis ≠ kujutus . Sõna „kujutus“ tähistab funktsiooni (kujutamise viisi), sõna „kujutis“ tähendab aga funktsiooni väärtust, s.t kujutamise tulemust.
    Näide: Vaatleme funktsiooni , . Siis
    ja .
    Näide: Vaatleme funktsiooni , . Siis , aga ka .
    Kujutise omadused
    Teoreem
    Olgu f funktsioon hulgast X hulka Y . Siis
    1. ;
    2. ;
    3. Kui , siis ;
    4. ;
    5. .
    TÕESTUS
  • Vastavalt hulga kujutise definitsioonile . Kuna aga ükski tühja hulka ei kuulu, siis pole paremal olev tingimus rahuldatud ühegi elemendi korral. Seega on parempoolne hulk tühi.
  • Olgu . Hulga kujutise definitsioonist . Seega .
  • Olgu ja . Väite 3. tõestamiseks tuleb meil vastavalt osahulga definitsioonile näidata, et kui , siis . Olgu . Siis hulga kujutise definitsiooni järgi eksisteerib , nii et . Kuna , siis saame . Seega eksisteerib , nii et , mistõttu hulga kujutise definitsiooni järgi .
  • Võrduse tõestamiseks näitame, et kumbki võrduse pooltest on teise poole osahulk.
  • Olgu . Siis hulga kujutise definitsiooni järgi eksisteerib , nii et . Ühendi definitsiooni järgi kehtib või . Kui , siis hulga kujutise definitsiooni järgi , millest tõttu saame ja lõpuks ühendi definitsiooni järgi . Kui , siis saame samal viisil , ja lõpuks . Seega kehtib mõlemal juhul , millega oleme tõestanud, et on hulga alamhulk.
  • Teistpidi , olgu . Siis ühendi definitsiooni järgi kehtib või . Kui , siis hulga kujutise definitsiooni järgi leidub selline , et . Siis ühendi definitsioon järgi ka ja järelikult hulga kujutise definitsiooni järgi . Kui , siis on tõestus analoogiline. Oleme jälle mõlemal juhul saanud ja seega on hulk hulga osahulk.
  • Olgu . Hulga kujutise definitsiooni järgi eksisteerib , nii et . Ühisosa definitsiooni järgi kehtib siis ja . Et , siis hulga kujutise definitsiooni järgi saame konjunktsiooni esimesest poolest ja teisest poolest . Siit saame hulkade ühisosa definitsiooni põhjal . ∎
    Märkus. Üldiselt 2. ja 5. omaduses võrdused ei kehti.
    • Üldiselt
    Näide: Selleks vaatleme funktsiooni , kus
    ja
    iga
    korral.
    Nüüd
    , sest
    • Üldiselt
    Näide: Selleks vaatleme funktsiooni , kus
    ja f iga
    korral.
    Võrduse mitte kehtimises veendumiseks vaatleme hulki
    ja . Siis , kuid.
    Järelikult,
    Definitsioon
    Olgu antud funktsioon . Kui
    ja
    on sellised, et , siis elementi
    nimetatakse funktsiooni
    elemendi
    originaaliks    . Elemendi
    originaalide hulka tähistame sümboliga .
    Mõnel hulga Y elemendil võib originaale olla üks, mõnel rohkem ja mõnel mitte ühtegi.
    Definitsioon
    Hulga
    originaaliks nimetatakse hulka , mis koosneb kõigist nendest hulga X elementidest, mis kujutuvad hulga B elemendiks, s.t
    Tähistus
    ei tähenda siin, et funktsioonil f peaks leiduma pöördfunktsioon. Küll aga, kui funktsioonil f leidub pöördfunktsioon, siis need mõisted – hulga B originaal ja hulga B kujutis pöördfunktsiooniga – ühtivad.
    Teiseks, pane tähele, et
    Näide: Vaatleme funktsiooni , f:→. Siis
    ja .
    Näide: Vaatleme funktsiooni , . Siis .
    Näide: Vaatleme funktsiooni , . Siis .
    Originaali omadused
    Teoreem
    Olgu f funktsioon hulgast
    hulka
    ja
    . Siis
    1. ;
    2. ;
    3. Kui, siis );
    4.;
    5.
    6. .
    TÕESTUS
  • Vahetult originaali definitsioonist saame . Kuna pole selliseid hulga elemente, mis kujutuvad tühihulga elementideks, siis võrdus kehtib.
  • Vahetult originaali definitsioonist saame . Funktsiooni definitsiooni järgi kujutub hulga iga element mingiks hulga elemendiks. Seega võrdus kehtib.
  • Olgu . Originaali definitsioonist saame, et siis . Eelduse kohaselt on hulk hulga osahulk, ehk siis ka . Hulga originaali definitsiooni järgi kehtib .
  • Näitame, et suvalise korral kehtib parajasti siis, kui .
  • Näitame, et suvalise korral kehtib parajasti siis, kui .
  • Näitame, et suvalise korral kehtib parajasti siis, kui .
    kusjuures viimane ekvivalents kehtib varem tõestatud seose
    tõttu. ∎
    Hulga kujutise originaal ja originaali kujutis
    Teoreem
    Olgu
    funktsioon. Siis
    1. Kui , siis ;
    2. Kui
    , siis .
    TÕESTUS
  • Olgu ja olgu . Meil on vaja näidata, et . Hulga kujutise definitsiooni põhjal võime kirjutada . Et saaksime kasutada hulga originaali omadusi, asendame elemendi üheelemendilise hulgaga ja vastavalt seose „element“ seosega „osahulk“. Saame . Nüüd rakendame sellele seosele eelmise teoreemi omadust 3 ja saame: . Aga , sest (vt hulga originaali definitsiooni). Kahest viimasest seosest saame, et .
  • 2.Olgu ja olgu . Meil on vaja näidata, et . Siis kujutise definitsiooni põhjal leidub , nii et kehtib . Seos tähendab originaali definitsiooni põhjal, et . Seega . ∎
    Märkus. Üldiselt kummaski omaduses võrdused ei kehti.
    • Üldiselt
    Näide: Olgu ,
    ja . Iga
    korral kehtib , s.t . Teisalt , .
    • Üldiselt
    Näide: Olgu ,
    ja . Funktsiooniga
    kujutuvad hulka
    hulga
    elemendid, mida funktsiooniga
    kujutades saame
  • LOENG
    Funktsiooni injektiivsus ja sürjektiivsus. Liit- ja pöördfunktsioon.
    Definitsioon
    Olgu
    ja
    hulgad. Funktsiooni
    nimetatakse injektiivseks ehk üksüheseks, kui iga paari , korral .
    Märkused.
    • Injektiivsus tähendab, et ühelgi hulga elemendil pole rohkem kui üks originaal.
    • Injektiivsust saame samaväärselt defineerida ka nii: iga korral, kui , siis .
    Näide:
    • Funktsioon on injektiivne .
    • Funktsioon ei ole injektiivne.
    • Funktsioon , on injektiivne.
    • Funktsioon , ei ole injektiivne.

    Definitsioon
    Olgu
    ja
    hulgad. Funktsiooni
    nimetatakse sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui iga
    jaoks leidub selline , et .
    Märkus. Sürjektiivsus tähendab, et igal hulga
    elemendil leidub vähemalt üks originaal.
    Näide:
    • Funktsioon on sürjektiivne, aga pole injektiivne.
    • Funktsioon ei ole sürjektiivne, aga on injektiivne.
    • Funktsioon , on sürjektiivne, aga pole injektiivne.
    • Funktsioon , ei ole sürjektiivne, aga on injektiivne.

    Definitsioon
    Olgu
    ja
    hulgad. Funktsiooni
    nimetatakse bijektiivseks ehk üksüheseks vastavuseks, kui
    on nii injektiivne kui ka sürjektiivne.
    Märkus. Bijektiivsus tähendab, et igal hulga
    elemendil leidub täpselt üks originaal.
    Näide:
    • Funktsioon on bijektiivne.
    • Funktsioon , on bijektiivne.

    Tuvipuuri printsiip
    Olgu meil
    tuvide ja
    tuvipuuride hulk. Võime vaadelda funktsiooni , kus tuvi
    lendab puuri .
    • Joonisel (a) on tuvisid rohkem kui tuvipuure, seega sel juhul vähemalt kaks tuvi peavad lendama ühte puuri. Teisisõnu, pole injektiivne.
    • Joonisel (b) on tuvisid vähem kui tuvipuure, seega sel juhul jääb vähemalt üks puur tühjaks. Teisisõnu, sürjektiivne.

    Tuvipuuri printsiip
    Olgu
    ja
    lõplikud hulgad ning
    funktsioon.
  • Kui , siis pole injektiivne.
  • Kui , siis pole sürjektiivne.
    Näide:
    Kui valida juhuslikult kuus naturaalarvu, siis kaks neist annavad viiega jagades sama jäägi.
    Näide:
    Tõestada, et leidub vähemalt kaks eestlast, kellel on täpselt sama palju juuksekarvu.
    Definitsioon
    Olgu
    ja
    mingid hulgad. Funktsioonide
    ja
    kompositsiooniks ehk korrutiseks nimetatakse niisugust funktsiooni , et
    iga
    korral.
    Märkused.
    • Funktsioonide kompositsiooni on võimalik leida vaid siis, kui funktsiooni lähtehulk on sama mis funktsiooni sihthulk.
    • Võib juhtuda, et on võimalik defineerida nii kui ka , kuid üldiselt .
    Näide:
    Olgu
    ja
    sellised funktsioonid hulgast
    hulka , et
    ja
    iga
    korral. Millised on
    ja ?
    Lahendus: Kõigepealt märkame, et seekord on mõlemad kompositsioonid
    ja
    defineeritud. Seega
    ja
    Pane tähele, et kuigi
    ja
    olid defineeritud, siis näeme, et antud juhul .
    Funktsioonide kompositsiooni omadusi
    Lause
    Olgu
    ja
    hulgad. Kui ,
    ja , siis .
    Definitsioon
    Olgu
    hulk. Samasusteisenduseks ehk identsusteisenduseks
    nimetatakse funktsiooni, mis hulga
    igale elemendile seab vastavusse sama elemendi, s.t
    iga
    korral.
    Lause
    Kui , siis .
    TÕESTUS
    Lonegu videos? Ei leidnud.
    Lause
    Kui
    ja
    on injektiivsed, siis ka
    on injektiivne.
    TÕESTUS
    Olgu
    sellised, et . Siis funktsiooni
    injektiivsuse tõttu . Viimasest aga järeldub funktsiooni
    injektiivsuse tõttu, et
    ehk . Järelikult on
    injektiivne. ∎
    Lause
    Kui
    ja
    on sürjektiivsed, siis ka
    on sürjektiivne.
    TÕESTUS
    Valime vabalt . Siis
    sürjektiivsuse tõttu leidub
    nii, et . Nüüd
    sürjektiivsuse tõttu leidub
    nii, et . Seega , mis ütleb, et
    on sürjektiivne. ∎
    Järeldus
    Kui
    ja
    on bijektiivsed, siis ka
    on bijektiivne.
    Definitsioon
    Olgu
    ja
    hulgad. Bijektiivse funktsiooni
    pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis seab igale
    vastavusse täpselt ühe elemendi , mille korral .
    Paneme tähele, et kui
    on funktsiooni
    pöördfunktsioon, siis iga
    ja iga
    korral kehtib
    Näide: Olgu
    selline funktsioon, et
    iga
    korral. Kas leidub , kui jah, siis milline on ?
    Lahendus: Esiteks, paneme tähele, et
    on bijektiivne (kontrolli!) ja seega leidub .
    Teiseks, tähistame esmalt . Siis saame, et
    ehk . Viimane tähendab aga seda, et
    on täpselt see element, mille
    viib elemendiks . Seega, .
    Lause
    Olgu
    ja
    hulgad ning
    bijektiivne funktsioon. Siis
    ja .
    Pöördfunktsiooni kujutis on võrdne selle hulga originaaliga.
    Olgu
    bijektiivne funktsioon. Tähistust
    kasutasime me eespool hulga
    originaali jaoks, defineerides.
    Teisalt, pöördfunktsiooni definitsioon võimaldab aga mõista nüüd vasakul
    ka kui funktsiooni hulgast
    hulka
    ja
    kui hulga
    kujutist selle funktsiooniga. Veendume, et selline mõistmine on kooskõlas varasemaga.
    kus esimene ja viimane võrdus kehtivad vastavalt kujutise ja originaali definitsioonile ning keskmine võrdus
    tänu tähistusele
    ehk .
    Pöördfunktsiooni omadusi
    Teoreem
    Kui
    ja
    on sellised funktsioonid, et
    ja , siis eksisteerib
    ja .
    TÕESTUS
    Kõigepealt näitame, et eksisteerib . Selleks peame veenduma , et
    on bijektiivne. Esiteks,
    on injektiivne, sest kui , siis
    Teiseks,
    on sürjektiivne, sest iga
    korral
    ehk elemendil
    leidub originaal . Niisiis,
    on bijektiivne. Viimaks, kompositsiooni omaduste põhjal saame, et
    Teoreem
    Kui
    ja
    on sellised funktsioonid, et
    ja , siis eksisteerib
    ja .
    Järeldus: Kui
    on pööratav, siis ka
    on pööratav ja .
    Teoreem
    Kui funktsioonidel
    ja
    leiduvad pöördfunktsioonid, siis ka funktsioonil
    leidub pöördfunktsioon ja .
    TÕESTUS
    Kuna funktsioonid
    ja
    on pööratavad ehk bijektiivsed, siis ka
    on bijektiivne ehk pööratav.
    Näitame nüüd, et . Eelmise teoreemi põhjal piisab näidata, et
    ja .
    Tõepoolest,
    ja
  • LOENG
    Lõplikud ja lõpmatud hulgad. Hulkade ekvivalentsus
    Definitsioon
    Hulka
    nimetatakse lõplikuks, kui
    on tühi või leidub selline naturaalarv
    nii, et
    saab seada üksühesesse vastavusse naturaalarvude hulga osahulgaga .
    Definitsioon
    Lõpliku hulga võimsuseks nimetatakase tema elementide arvu ja tähistatakse sümboliga .
    Näide:
    Tühi hulk
    on lõplik hulk ja .
    Kui , siis .
    Lause (Võimsuse omadusi)
    Olgu
    ja
    lõplikud hulgad. Siis




  • TÕESTUS
    Loengu videos
    Definitsioon
    Hulka
    nimetatakse lõpmatuks, kui ta ei ole lõplik.
    Näide: Hulgad
    ja
    on kõik lõpmatud hulgad.
    Märkus. Lõpmatu hulga võimsuse defineerime hiljem, kui oleme tutvunud ekvivalentsusseose mõistega.
    Definitsioon
    Hulgad
    ja
    on ekvivalentsed ehk sama võimsusega, kui leidub bijektsioon .
    Asjaolu, et hulgad
    ja
    on ekvivalentsed tähistatakse tavaliselt kas
    või .
    Näide: Kaks lõplikku hulka
    ja
    on ekvivalentsed parajasti siis, kui nende elementide arvud on võrdsed.
    Näide: Hulgad
    ja
    on ekvivalentsed. Bijektsiooniks
    on
    iga
    korral. Teisisõnu, paarisarve on täpselt sama palju kui naturaalarve.
    Näide: Hulga
    ja täisarvude hulga
    vahel saab üksühese vastavuse üles seada järgmise funktsiooni
    abil, kui defineerida:
    Seega, täisarve on sama palju kui naturaalarve.
    Näide: Olgu . Kui
    ja , siis ,
    ja . Bijektsiooniks kõigil juhtudel sobib lineaarne funktsioon
    Näide: Vahemik
    ja arvsirge
    on sama võimsusega, sest funktsioon
    on bijektsioon.
    Näide: Reaalarvude paaride hulk
    ja kompleksarvude hulk
    on sama võimsusega. Bijektsiooniks on funktsioon , kus
    iga , kus .
    Lause (Hulkade ekvivalentsuse omadusi)
    Olgu
    ja
    hulgad. Siis
  • (Refleksiivsus) ;
  • (Sümmeetrilisus) Kui , siis ;
  • (Transitiivsus) Kui ja , siis .
    TÕESTUS
  • Hulgal defineeritud samasusteisendus seab hulga üksühesesse vastavusse iseendaga;
  • Kui , siis leidub bijektsioon . Funktsiooni pöördfunktsioon on siis samuti bijektsioon (kontrolli seda!);
  • Kui ja , siis leiduvad bijektsioonid ja . Nende kompositsioon on siis samuti bijektsioon. ∎
    Definitsioon
    Hulka
    nimetatakse loenduvaks, kui leidub bijektsioon hulga
    ja naturaalarvude hulga
    vahel.
    Märksus.
    • Loenduvad hulgad on lõpmatud hulgad
    • Leidub lõpmatuid hulki, mis ei ole loenduvad.

    Näide:
    • on loenduv
    • on loenduv
    • ei ole loenduv!
    • (0, 1) ei ole loenduv!

    David Hilbert (1862–1943) tutvustas 1924. aastal ühes oma loengus järgmist lõpmatust illustreerivat näidet.
    Näide: Oletame, et meil on üks hotell , milles on loenduv arv tubasid ja selle hotelli igas toas on üks inimene.
    • Kas hotelli mahub veel üks külaline?
    • Kas hotelli mahub veel lõplik arv külalisi?
    • Kas hotelli mahub veel loenduv arv külalisi?

    Lause (Loenduvate hulkade omadusi)
    Hulk
    on loenduv parajasti siis, kui hulga
    elemendid saab esitada paarikaupa erinevate elementide lõpmatu jadana: .
    TÕESTUS
    Kui
    on loenduv, siis leidub bijektsioon . Nüüd saame hulga
    esitada lõpmatu jadana nii .
    Vastupidi, kui , siis funktsioon , kus
    iga
    korral, on bijektsioon. Seega
    on loenduv. ∎
    Teoreem
    Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduva osahulga.
    TÕESTUS
    Olgu
    suvaline lõpmatu hulk (seega ta pole lõplik, sealhulgas ). Seetõttu leidub temas elemente ja järgnevalt kirjeldamegi, kuidas hulga
    elemente valides saab moodustada paarikaupa erinevate elementidega lõpmatu jada.
  • Valime elemendi . See on võimalik, sest ei ole tühi.
  • Valime elemendi . See on võimalik, sest kui hulk oleks tühi, siis peaks kehtima, et ja seega olema lõplik.
  • Valime elemendi . See on võimalik, sest kui hulk oleks tühi, siis peaks kehtima, et ja seega olema lõplik.
    Seda valikut saab piiramatult jätkata ja tekib lõpmatu jada , mille elemendid on paarikaupa erinevad, sest konstruktsiooni järgi erineb iga valitud element kõigist eelmistest. Olemegi saanud loenduva osahulga . ∎
    Teoreem
    Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on loenduv.
    Ratsionaalarvude hulga loenduvus. Intuitiivselt tundub meile, et ratsionaalarve peaks olema palju rohkem kui täisarve, sest iga kahe täisarvu vahel on lõpmata palju ratsionaalarve. Georg Cantor (1845–1918) oli aga see mees, kes esimesena näitas, et ratsionaalarvude hulk on loenduv.
    Lause
    Ratsionaalarvude hulk
    on loenduv.
    Selle väite tõestamiseks kasutame järgmist tulemust:
    Lause
    Hulk
    on loenduv parajasti siis, kui hulga
    elemendid saab esitada paarikaupa erinevate elementide lõpmatu jadana: .
    Ratsionaalarvude hulga loenduvus
    Teoreem
  • Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv.
  • Kahe loenduva hulga ühend on loenduv.
  • Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv, st kui hulgad , on loenduvad, siis on loenduv.
  • Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv, st kui hulgad , on loenduvad, siis on loenduv
    TÕESTUS
    Loengu videos
    Lause
    Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv.
    Lause
    Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv.
    Järeldus: Lõpliku arvu loenduvate hulkade otsekorrutis on loenduv. (Järeldub matemaatilise induktsiooni abil.)
    Lause
    Olgu
    ja
    sellised lõpmatud hulgad, et . Kui
    on mitteloenduv, siis ka
    on mitteloenduv.
    TÕESTUS
    Loengus
    Näide:
  • Kui on lõplik tähestik , siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus on loenduv.
  • Programmide hulk igas programmeerimiskeeles on loenduv.
  • Kui on loenduv tähestik , siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus on loenduv.
    Öeldakse, et funktsioon on arvutatav, kui leidub arvutiprogramm mingis programmeerimiskeeles, mis suudab leida selle funktsiooni väärtusi.
    Kuna
    • programmide hulk igas programmeerimiskeeles on loenduv ja
    • kõikide funktsioonide hulk on mitteloenduv,
    siis sellest järeldub, et on olemas mittearvutatavaid funktsioone.
  • LOENG
    Kontiinumi võimsusega hulgad. Cantor–Bernsteini teoreem. Võimsuste hierarhia
    Meenutame:
    Hulki
    ja
    nimetatakse ekvivalentseteks, kui leidub bijektsioon .
    Olgu . Kui
    ja , siis ,
    ja .
    Lause
    Tõestada, et .
    TÕESTUS
    Olgu
    ja .
    Siis , sest , kus , on bijektsioon.
    Otsitavaks bijektsiooniks sobib , kus
    ∎
    Meenutame:
    Hulk X on loenduv parajasti siis, kui hulk
    on esitatav kujul.
    Teoreem
    Vahemik
    ei ole ekvivalentne hulgaga .
    Cantori diagonaalprotsess:
    TÕESTUS
    Oletame vastuväiteliselt, et hulgad
    ja on ekvivalentsed. Sellisel juhul peab vahemik
    esituma loenduva hulgana :
    kus
    on arvude
    kümnendnumbrid . Moodustame nüüd uue arvu , , kus iga
    korral ,
    ja . Seega, saadud reaalarv
    ja
    iga
    korral, mis on vastuolu eeldusega, et . ∎
    Seega leidub lõpmatuid hulki, mis ei ole võrdse võimsusega.
    Definitsioon
    Kontiinumi võimsusega hulgaks nimetatakse hulka, mis on ekvivalentne hulgaga .
    Näide:
  • Olgu sellised, et . Iga vahemik , lõik ja poollõik on kontiinumi võimsusega;
  • Kõigi irratsionaalarvude hulk on kontiinumi võimsusega;
  • on kontiinumi võimsusega;
  • , kus , on kontiinumi võimsusega.
    Cantor–Bernsteini teoreem
    Definitsioon
    Ütleme, et hulga
    võimsus ei ületa hulga
    võimsust, kui leidub injektsioon .
    Asjaolu, et hulga võimsus ei ületa hulga
    võimsust tähistatakse tavaliselt nii .
    Näide:
  • Vaatleme lõplikku hulka . Funktsioon , kus , , on injektsioon, seega hulga võimsus ei ületa hulga võimsust.
  • Kui , siis funktsioon , kus , , on injektsioon. Seepärast osahulga võimsus ei ületa hulga enda võimsust. Näiteks, hulga , aga ka võimsus, ei ületa hulga võimsust.
    Efektiivne vahend hulkade ekvivalentsuse tõestamiseks on järgmine tulemus, mille tõestuse võib leida näiteks P. Oja õpikust Hulgateooria .
    Cantor–Bernsteini teoreem
    Kui hulga
    võimsus ei ületa hulga
    võimsust ja hulga
    võimsus ei ületa hulga
    võimsust, siis hulgad
    ja
    on sama võimsusega.
    Teisisõnu, Cantor–Bernsteini teoreem ütleb, et kui eksisteerivad injektiivsed funktsioonid
    ja , siis hulgad
    ja
    on sama võimsusega.
    Või veel lühemalt, kui
    ja , siis .
    Näide: Tõestada, et .
    TÕESTUS
    Lahendus 1. Kõigepealt märgime, et ei ole üldse ilmne, kuidas konstrueerida bijektsiooni hulkade
    ja
    vahel. Tänu Cantor–Bernsteini teoreemile piisab meil konstrueerida ainult kaks injektsiooni, mis on palju lihtsam ülesanne.
    Esiteks, injektsiooniks hulgast
    hulka
    sobib
    iga
    korral, sest .
    Teistpidi, injektsiooniks hulgast
    hulka
    sobib
    iga korral, sest
    on injektiivne ja .
    Kuna oleme konstrueerinud injektsioonid
    ja , siis Cantor–Bernsteini teoreemi põhjal . ∎
    Lahendus 2. Olgu
    Siis , sest , kus , on bijektsioon (kontrolli!). Otsitavaks bijektsiooniks sobib (kontrolli!) , kus
    ∎
    Teoreem
    Lause
    Teoreemi ja lause tõestused on leitavad näiteks õpikust Hulgateooria.
    Järeldus: iga
    korral.
    TÕESTUS
    Loengus?
    Lõpmatute hulkade otsekorrutise võimsus
    Lause
    Mis tahes hulkade A ja B korral |A × B| = |B × A|.
    TÕESTUS
    Loengus?
    Teoreem ( Tarski teoreem)
    Mis tahes lõpmatu hulga
    korral .
    Järeldus: Kui
    on lõpmatu hulk ja , siis .
    Varasemast teame, et
    Lause
    Kui
    ja
    on lõplikud hulgad, siis .
    Võimsuste hierarhia
    Olgu
    ja
    hulgad. Siis
  • , kui leidub bijektsioon .
  • , kui leidub injektsioon , aga ei leidu sürjektsiooni .
  • , kui või .
    Näide:
  • Iga lõpliku hulga A korral .
  • .
  • .
  • iga korral.
    Kas on olemas hulki, mille võimsus on suurem kui hulga
    võimsus?
    Cantori teoreem
    Iga hulga
    kõigi osahulkade hulga
    võimsus on suurem kui hulga
    võimsus, s.t .
    Märkus. Varasemast juba teame, et see väide kehtib lõplike hulkade korral. Kui , siis
    Cantori teoreemist järeldub, et:
    Peame näitama, et
    ja .
  • , sest funktsioon , kus iga korral, on injektiivne.
  • Oletame vastuväiteliselt, et . Siis leidub bijektsioon .
    • Olgu , . Seejuures kas või .
    • Tähistame .
    • Tähistame veel , siis .
    • Kuna , siis .
    • Kas ?
      • Kui oletada, et , siis saame hulga definitsiooni põhjal, et ehk , vastuolu.
      • Kui aga oletada, et , siis saame hulga definitsiooni põhjal, et ehk , vastuolu.
    • Seega viivad mõlemad võimalused vastuoluni, mis näitab, et bijektsiooni ei eksisteeri.

    Hulga
    võimsust tähistatakse sümboliga
    või card
    ning nimetatakse kardinaalarvuks.
    Kui , siis kirjutame , samuti .
    Loenduva hulga võimsust tähistatakse sümboliga
    (loe: alef-null) ehk .
    Kontiinumi võimsusega hulki tähistatakse sümboliga
    ehk .
    Kokkuvõtvalt teame, et iga
    korral
    Kontiinumi probleem
    Kas leidub hulk
    nii, et ?
    Kontiinumi hüpotees: sellist hulka
    ei leidu.
    Georg Cantor (1878): Ei leidu hulka, mis oleks võimsam kui , kuid vähem võimas kui .
    Kurt Gödel (1940): Tavalisest aksiomaatikast lähtudes, ei saa tõestada, et vahepealseid võimsusi ei ole.
    Paul Cohen (1963): Vahepealsete võimsuste olemasolu, samuti mitteolemasolu ei ole vastuolus teiste aksioomidega.
    Lihtsustatult võib öelda, et saab vaadelda kahesugust hulgateooriat: üht, milles kontiinumi hüpotees kehtib, ja teist, milles kehtib kontiinumi hüpoteesi eitus.
    Eeldusel, et kontiinuumi hüpotees on tõene, defineeritakse
    hulga
    võimsusena. See kardinaalarv on võimsuselt järgmine
    järel ja kehtib:
  • LOENG
    Seose mõiste ja omadused
    Meenutame:
    Hulkade
    ja
    otsekorrutiseks nimetatakse hulka
    Definitsioon
    Olgu
    ja
    hulgad. Seoseks ehk relatsiooniks hulkade
    ja
    vahel nimetatakse otsekorrutise
    mis tahes osahulka.
    Olgu . Paari
    korral öeldakse, et elemendid
    ja
    on seoses     ning tähistatakse ka .
    Seost
    nimetatakse universaalseks seoseks ja seost
    tühiseoseks.
    Kui
    ehk, kui , siis räägitakse seosest hulgal .
    Näide:
    • Olgu ja . Siis on seos hulkade ja vahel.
    • Olgu ja . Võime vaadelda veel näiteks seost , mis on antud tingimusega, et see koosneb paaridest , milled korral jagub arvuga . Siis .
    • Olgu kõigi Tartu elanike hulk. Ütleme, et elanikud ja on seoses parajasti siis, kui ja elavad teineteisest ülimalt 1 kilomeetri kaugusel.
    • Olgu mis tahes hulk, siis seost nimetatakse ühikseoseks ehk hulga diagonaaliks.
    • Seos on kujutatud järgmisel joonisel.

    • Tasandi kõigi sirgete hulgal võime vaadelda seost , mis tähendab, et sirged ja on paralleelsed. Samuti oleksime võinud vaadata seost , mille korral sirge on risti sirgega .
    • Olgu õppeaine „Matemaatiline maailmapilt ” kuulajate hulk. Siis üheks seoseks hulgal on üliõpilane on sümpaatne üliõpilasele .
    • Olgu maakeral elavate inimeste hulk. Siis , kui inimestel ja on ühised vanemad.
    • Olgu kõigi riikide hulk. Ütleme, et riigid ja on seoses , kui neil on ühine riigipiir .

    Seose esitusviise
  • Kui hulgad ja on lõplikud ja ei sisalda väga palju elemente, siis võib seost kujutada ka tabelina.Näiteks, kui ja , siis üheks seoseks on:
    A
    2
    2
    3
    3
    B
    2
    3
    1
    5
  • Joonisel on esitatud seos hulkade ja vahel.
  • Maatriksesitus. Olgu ja ning seos hulkade ja vahel. Seame seosele vastavusse maatriksi , kus , kui ja , kui , kus ja .
    Näiteks, olgu
    ja
    ning . Siis
  • Seoseid võib kujutada ka mitmesuguste nooldiagrammide abil. Joonisel on kujutatud seos hulga elementide vahel, kus on väljendatud noolega elemendist a elementi . Seega antud juhul .
  • Eespool oli juba mainitud, et seost võib määrata ka sõnaliselt, mingi omaduse või tingimuse abil, valemina jms.
    Funktsioon kui seose erijuht
    Olgu
    ja
    hulgad. Mis on funktsiooni
    definitsioon?
    Definitsioon
    Olgu
    ja
    hulgad. Kui on antud eeskiri, mis seab hulga
    igale elemendile vastavusse täpselt ühe hulga
    elemendi, siis öeldakse, et on defineeritud funktsioon , ja kirjutatakse .
    Mis see eeskiri ikkagi on?
    Olgu
    funktsioon. Meenutame, et funktsiooni
    graafik on defineeritud võrdusega
    Teisisõnu, funktsiooni
    graafik on seos hulkade
    ja
    vahel, kusjuures
    parajasti siis, kui .
    Tähelepanek
    Seose
    puhul kehtivad järgmised väited
  • iga korral leidub nii, et
  • kui ja on sellised, et ja , siis .
    Põhjendus.
  • Võime võtta .
  • Kui ja ehk ja , siis , sest on funktsioon.
    Olgu
    selline seos, mis rahuldab tingimusi
    iga
    korral leidub
    nii, et
    kui
    ja
    on sellised, et
    ja , siis .
    Tähelepanek
    Tingimusi 1. ja 2. rahuldav seos
    määrab üheselt ära funktsiooni , mille graafik
    on .
    Põhjendus.
    Defineerime eeskirja
    hulgast
    hulka
    nii, et
    parajasti siis, kui .
    Siis
    on funktsioon, mille graafik on . ∎
    Kokkuvõttes saab tõestada, et: Kõikide funktsioonide ja kõikide seoste, mis rahuldavad tingimusi 1. ja 2., vahel on üksühene vastavus.
    Seetõttu defineeritakse funktsiooni mõiste ka nii:
    Definitsioon
    Olgu
    ja
    hulgad. Seost
    nimetatakse funktsiooniks, kui
  • iga korral leidub nii, et
  • kui ja on sellised, et ja , siis .
    Edaspidi mõtlemegi funktsioonidest kui kindlatest seostest.
    Seose omadused
    Definitsioon
    Seost
    hulgal
    nimetatakse
    (a) refleksiivseks, kui iga
    korral ;
    (b) irrefleksiivseks, kui iga
    korral ;
    (c) sümmeetriliseks, kui iga
    korral, kui , siis ;
    (d) antisümmeetriliseks, kui iga
    korral, kui
    ja , siis ;
    (e) transitiivseks, kui iga
    korral, kui
    ja , siis .
    Märkused
    • Sümmeetrilisus ja antisümmeetrilisus ei ole teineteise vastandid.
    • Samuti ei ole refleksiivsus ja irrefleksiivsus teineteise vastanditeks.

    Ülesanne
    Olgu
    ja olgu antud hulgal
    seosed
    ja . Siis seos
    on refleksiivne, sest ta sisaldab kõiki paare kujul
    ; nimelt,
    ja . Seos
    ei ole refleksiivne, sest ta ei sisalda paari . Seos
    ei ole samas ka irrefleksiivne, sest ta sisaldab paare
    ja .
    Näide:
    • Seos transitiivne .

    Seos ≤ hulgal on refleksiivne, antisümmetriline ja transitiivne.
    • Vaatleme hulga kõikide osahulkade hulka ja sisalduvuse seost hulgal . See seos on refleksiivne, antisümmetriline ja transitiivne.

    Pöördseose mõiste
    Definitsioon
    Seose
    pöördseoseks nimetatakse seost , mis määratakse samaväärsusega
    ehk .
    Märkused
    Igal seosel on olemas pöördseos.
    On lihtne näha, et .
    Näide:
    • Kui , siis .
    • Olgu . Siis .

    Millal on funktsiooni pöördseos ise funktsioon?
    Meenutame, et seos
    on funktsioon, kui
  • iga korral leidub nii, et
  • kui ja on sellised, et ja , siis .
    Olgu
    funktsioon. Siis
    on
    • injektiivne, kui ja on sellised, et ja , siis .
    • sürjektiivne, kui iga korral leidub nii, et .

    Funktsiooni
    pöördseos on .
    Millal
    rahuldab tingimusi 1. ja 2.?
  • Tahame, et iga korral leiduks nii, et ehk . Seega peab olema sürjektiivne funktsioon.
  • Tahame, et kui ja on sellised, et ja , siis . Ehk, kui ja , siis . Seega peab olema injektiivne.
    Kokkuvõttes oleme saanud, et pöördseose
    funktsiooniks olemiseks peab
    olema bijektiivne funktsioon.
    Lause
    Olgu
    funktsioon. Siis
    on bijektiivne parajasti siis, kui tema pöördseos
    on funktsioon. Veelgi enam, pöördseos
    ongi funktsiooni
    pöördfunktsioon.
    Küsimused
  • Olgu . Milline element kuulub seosesse ?
  • Olgu . Milline element kuulub seosesse ?
  • Olgu lõplik hulk, milles on elementi. Kui palju on erinevaid seoseid hulgal ?
  • Olgu seos hulgal , kus . Kas on funktsioon hulgast hulka ? Ei
  • Olgu seos hulgal , kus . Kas on funktsioon hulgast hulka ? Jah
  • Olgu . Kas on funktsioon? Ei
  • Olgu ja seos . Siis seos on irrefleksiivne, antisümmeetriline, transitiivne.
  • Olgu selline seos reaalarvude hulgal , et . Siis seos on refleksiivne, sümmeetriline, transitiivne.
  • Ekvivalentsusseos. Klassijaotus ja faktorhulk. Järjestusseos
    Definitsioon
    Seost
    hulgal
    (olgu
    suvaline mittetühi hulk) nimetatakse ekvivalentsusseoseks, kui ta on
    (a) refleksiivne, s.t kui
    iga
    korral;
    (b) sümmeetriline, s.t kui , siis ;
    (c) transitiivne, s.t kui
    ja , siis .
    Kui
    on ekvivalentsusseos ja , siis öeldakse, et elemendid
    ja
    on ekvivalentsed (seose järgi). Sageli väljendatakse ekvivalentsusseost kirjutades ka .
    Näide: Tasandil asuvate kolmnurkade sarnasuse seos on samuti ekvivalentsusseos. Olgu märgitud, et sel juhul kasutatakse just sümboolikat .
    Näide: Olgu .
    • Ühikseos on ekvivalentsusseos.
    • Universaalne seos on ekvivalentsusseos hulgal .

    Näide: Olgu
    mingi hulkade hulk. Seos
    on ekvivalentsusseos.
    Näide: Seose
    reaalarvude hulgal , kus
    parajasti siis, kui , on ekvivalentsusseos.
    Definitsioon
    Öeldakse, et mittetühjal hulgal
    on antud klassijaotus , kui
    1. iga
    korral ;
    2. iga kaks erinevat hulka on mittelõikuvad, s.t iga
    korral tingimusest
    järeldub, et ;
    3. hulk
    võrdub osahulkade
    ühendiga, s.t .
    Hulki , , nimetatakse selle klassijaotuse
    klassideks.
    Üldjuhul võib
    olla ükskõik milline indeksite hulk (lõplik või lõpmatu).
    Näide: Olgu
    mingi gümnaasiumi kõikide õpilaste hulk ning ,
    ja
    vastavalt kõikide 10. klassi, 11. klassi ja 12. klassi õpilaste hulgad. Süsteem
    on klassijaotus hulgal .
    Näide: Hulga
    kõik üheelemendilised osahulgad
    moodustavad klassijaotuse. See on kõige peenem klassijaotus hulgal .
    Näide: Ühest tervest hulgast
    koosnev klassijaotus
    on kõige jämedam klassijaotus hulgal .
    Näide: Kui , siis moodustavad klassijaotuse poollõigud .
    Meenutame, et seost
    hulgal
    nimetatakse ekvivalentsusseoseks, kui ta on
    (a) refleksiivne, s.t kui
    iga
    korral;
    (b) sümmeetriline, s.t kui , siis ;
    (c) transitiivne, s.t kui
    ja , siis .
    Definitsioon
    Olgu
    ekvivalentsusseos hulgal . Ekvivalentsiklassiks elemendi
    järgi nimetatakse hulga
    osahulka , mis koosneb hulga
    kõigist elementidest, mis on seoses
    elemendiga , s.t .
    Definitsioon
    Olgu
    ekvivalentsusseos hulgal . Hulka, mille elementideks on seosele
    vastava klassijaotuse kõik klassid , nimetatakse hulga
    faktorhulgaks ekvivalentsusseose
    järgi     ja tähistatakse .
    Seega, .
    Näide: Olgu
    eesti keele tähestik. Ütleme, et sõnad
    ja on seoses , kui nad on sama pikad. Millised sõnad kuuluvad hulka ?
    Lahendus:
    Näide: Loeme tasandi
    punktid
    ja
    ekvivalentseteks, kui nad asuvad samal vertikaalsel sirgel. Siis
    on kõigi punktide hulk, mis asuvad punktiga
    ühel ja samal vertikaalsel sirgel, ehk punkti
    läbiv vertikaalne sirge. Faktorhulk
    koosneb siin kõigist vertikaalsetest sirgetest.
    Teoreem (klassijaotuste ja ekvivalentsusseoste vaheline vastavus)
    Kui
    on ekvivalentsusseos hulgal , siis faktorhulk
    on klassijaotus hulgal .
    TÕESTUS
    Meenutame, et .
  • iga korral. Tõepoolest, seose refleksiivsuse tõttu iga korral , s.t iga korral .
  • Kui , siis . Teise tingimuse kontrollimiseks näitame, et kui, siis .
    Olgu . See tähendab, et meil on
    ja . Kuna , siis ka
    (sümmeetrilisus), seega saab kasutada transitiivsust ning saan, et . Nüüd tuleb tõestuse jaoks näidata, mõlemapidist kuuluvust (tõestus loengu videos)
  • . Kuna 1. osa põhjal iga korral , siis. Vastupidi, et iga korral, siis . ∎
    Teoreem (klassijaotuste ja ekvivalentsusseoste vaheline vastavus)
    Kui
    on klassijaotus hulgal , siis seos , kus
    tähendab, et elemendid
    ja
    kuuluvad ühte ja samasse klassi, on ekvivalentsusseos hulgal .
    TÕESTUS
    Vaatleme seost , kus .
  • on refleksiivne. Olgu . Kuna , siis leidub nii, et ehk .
  • on sümmeetriline. Kui korral ehk , siis ka ehk .
  • on transitiivne. Kui korral ja , siis leiduvad nii, et ja ning ja . Kuna nüüd , siis järeldub klassijaotuse definitsiooni 2. tingimusest, et . Järelikult , millest tuleneb, et . ∎
    Näide: Suvalises hulgas
    antud võrdusseosele vastav klassijaotus koosneb hulkadest . Seega vastab võrdusele kui kõige kitsamale ekvivalentsusseosele kõige peenem klassijaotus .
    Näide: Vaatleme hulgas
    ühehulgalist klassijaotust . Talle vastava ekvivalentsusseose R korral . Seega antud juhul , s.t kõige jämedamale klassijaotusele
    vastab kõige laiem ekvivalentsusseos ehk universaalne seos     .
    Meenutame, et hulki
    ja
    nimetatakse ekvivalentseteks, kui leidub bijektsioon . Tähis on
    või .
    Varasemast teame ka, et seos
    on ekvivalentsusseos.
    Definitsioon
    Hulga võimsuseks nimetatakse tema ekvivalentsiklassi seose
    järgi. Olgu
    mingi hulkade hulk, siis .
    Definitsioon
    Seost
    hulgal
    nimetatakse järjestusseoseks, kui ta on
    (a) refleksiivne, s.t kui
    iga
    korral;
    (b) antisümmeetriline, s.t kui
    ja , siis ;
    (c) transitiivne, s.t kui
    ja , siis .
    Kui
    on järjestusseos, siis asjaolu
    märgitakse
    või samaväärselt . Öeldakse ka, et a eelneb elemendile
    või
    järgneb elemendile .
    Definitsioon
    Kui hulgas on antud järjestusseos, siis nimetatakse seda hulka osaliselt järjestatud hulgaks.
    Definitsioon
    Osaliselt järjestatud hulka nimetatakse lineaarselt järjestatud hulgaks ehk ahelaks, kui iga elementide paari
    ja
    korral
    või , s.t kaks suvalist elementi on omavahel võrreldavad.
    Näide:
    • Võrratuse seos ≤ reaalarvude hulgal on lineaarne järjestus, sest iga kaks arvu on võrreldavad.
    • Hulkade sisaldumise seos ⊂ hulga kõigi osahulkade hulgal on järjestusseos, aga ei ole lineaarne, sest kaks hulka ei pruugi olla võrreldavad.

    Ülesanne
    Olgu
    kõigi lõigus
    määratud pidevate funktsioonide
    hulk. Defineerime seose
    iga
    korral. Kas tegemist on järjestusseosega? Jah. Kas see järjestus on lineaarne? Ei ole.
    Näide:
    Määrame tähestikus
    järjestuse .
    Defineerime sõnade hulgas järjestuse
    Taolist järjestust nimetatakse alfabeetiliseks ehk leksikograafiliseks, ta on lineaarne ning teda kasutatakse sõnaraamatutes.
    Küsimused:
  • Millised järgmistest seostest on ekvivalentsusseosed hulgal ? A ja C
    • <
    <
    <
    <
  • Millised klassid moodustavad hulga klassijaotuse? B ja C
    • <
    <
    <
    <
  • Millised järgmistest seostest on järjestusseosed hulgal ? A ja C
    • <
    <
    <
    <
  • Kas jaguvusseos naturaalarvude hulgal on järjestusseos? Jah
  • Millised elementide paarid on võrreldavad osaliselt järjestatud hulgas ? B ja D
  • 6, 9
  • 8, 16
  • 4, 14
  • 7, 7
  • LOENG
    Järjestusseose Hasse diagramm, minimaalsed ja maksimaalsed elemendid
    Meenutame, et seost
    hulgal
    nimetatakse järjestusseoseks, kui ta on
    (a) refleksiivne, s.t kui
    iga
    korral;
    (b) antisümmeetriline, s.t kui
    ja , siis ;
    (c) transitiivne, s.t kui
    ja , siis .
    Näide:
    1. Hulk
    on osaliselt järjestatud hulk.
    2. Hulk
    on osaliselt järjestatud hulk.
    3. Hulk
    on osaliselt järjestatud hulk.
    Hasse diagramm
    Vaatame osaliselt järjestatud hulka , kus
    parajasti siis, kui . See järjestusseos on esitatav nii:
    Lõpliku osaliselt järjestatud hulga Hasse diagrammi leidmise algoritm:
  • Esita järjestusseos suunatud graafina
  • Kuna järjestusseos on refleksiivne, siis igas punktisesineb silmus. Eemalda need silmused .
  • Järgmisena eemalda kõik servad , mis peavad seal olema transitiivsuse tõttu. Ehk eemalda kõik servad , mille korral leidub nii, et ja .
  • Säti servad nii, et graafi algtipp oleks allpool lõpptippu.
  • Eemalda kõik suunad, sest kõik servad on nüüdseks juba suunatud üles.
    Vähim ja suurim element
    Definitsioon
    Osaliselt järjestatud hulga
    elementi
    nimetatakse vähimaks, kui
    iga
    korral. Analoogiliselt, elementi a0 ∈ P nimetatakse suurimaks, kui iga
    korral.
    Näide:
  • Hulgas ei ole vähimat ega suurimat elementi.
  • Hulgas on vähim element ja suurim .
    Lause
    Osaliselt järjestatud hulgas ei ole üle ühe vähima ega üle ühe suurima elemendi.
    TÕESTUS
    Olgu
    ja
    vähimad elemendid. Siis , sest
    on vähim element. Samuti , sest
    on ka vähim element. Kuna osalise järjestuse seos on antisümmeetriline, siis . Suurima elemendi tõestus on analoogiline. ∎
    Minimaalne ja maksimaalne element
    Definitsioon
    Osaliselt järjestatud hulga
    elementi
    nimetatakse minimaalseks, kui sellest, et
    ja
    korral järeldub, et . Analoogiliselt, elementi
    nimetatakse maksimaalseks, kui sellest, et
    ja
    korral järeldub, et .
    Märkus: Vähima ja minimaalse elemendi põhiline erinevus seisneb selles, et vähima elemendi korral nõutakse, et kõik teised vaadeldava hulga elemendid on temaga võrreldavad, kuid minimaalse elemendi puhul seda ei nõuta.
    Näide:
  • Reaalarvude hulgas, kus peetakse silmas loomulikku järjestust, ei ole minimaalseid ega maksimaalseid elemente.
  • Osaliselt järjestatud hulgas on vähim element (seega ka minimaalne) , maksimaalsed elemendid on ja , kuid suurimat elementi ei ole.
    Minimaalne ja maksimaalne element
    Märkus: Hasse diagrammil on alumised elemendid minimaalsed ja ülemised maksimaalsed.
    Näide:
    Millised elemendid osaliselt järjestatud hulgas on minimaalsed ja maksimaalsed? Kas on olemas vähim ja suurim element?
    Vastus: Minimaalsed on
    ja , maksimaalsed on ,
    ja
    ning vähimat ega suurimat elementi ei ole.
    Vähima ja minimaalse elemendi vaheline seos
    Lause
    Osaliselt järjestatud hulga vähim element on selle hulga ainus minimaalne element ja suurim element on selle hulga ainus maksimaalne element.
    TÕESTUS
    Olgu
    vähim element, st
    iga
    korral. Kui mingi
    korral kehtiks veel , siis järjestuse antisümmeetrilisuse tõttu , mis tähendab, et
    on minimaalne element.
    Viimaks veendume, et see element on ainus. Kui leiduks veel mingi minimaalne element , siis , sest
    on vähim element. Tingimuse
    korral ei oleks
    minimaalne element, seepärast . ∎
    Meenutame, et osaliselt järjestatud hulka nimetatakse lineaarselt järjestatud hulgaks, kui iga elementide paari
    ja
    korral
    või .
    Lause
    Lineaarselt järjestatud hulgas on minimaalne element vähim ja maksimaalne element suurim.
    TÕESTUS
    Olgu lineaarselt järjestatud hulgas
    element
    minimaalne, st kui
    iga
    korral, siis . Näitame, et
    iga
    korral. Oletame vastuväiteliselt, et leidub
    nii, et ei kehti . Lineaarse järjestuse tõttu
    või , seega saab kehtida ainult . Seejuures , sest
    korral oleks . Kuid
    ja
    on vastuolus elemendi
    minimaalsusega. ∎
    Järeldus
    Lineaarselt järjestatud hulgas vähima ja minimaalse elemendi ning suurima ja maksimaalse elemendi mõisted ühtivad.
    Küsimused
  • Vähim ja suurim element hulgas ({1, 2, . . . , 2017 }, |)? Vähim element 1, aga suurimat ei ole
  • Märkida kõik tõesed väited. A,B,C
    A. minimaalne element on a
    B. vähim element on a
    C. maksimaalsed elemendid on b, c, d
    D. suurimad elemendid on b, c, d
    3. Märkida kõik tõesed väited. A,C
  • minimaalsed elemendid on a, b
  • vähimad elemendid on a, b
  • maksimaalsed elemendid on d, e
  • suurimad elemendid on d, e
    • .DOCX Laadi alla originaalfail 89 lk · .docx · 54 allalaadimist
    Vasakule Paremale
    Matemaatiline maailmapilt #1 Matemaatiline maailmapilt #2 Matemaatiline maailmapilt #3 Matemaatiline maailmapilt #4 Matemaatiline maailmapilt #5 Matemaatiline maailmapilt #6 Matemaatiline maailmapilt #7 Matemaatiline maailmapilt #8 Matemaatiline maailmapilt #9 Matemaatiline maailmapilt #10 Matemaatiline maailmapilt #11 Matemaatiline maailmapilt #12 Matemaatiline maailmapilt #13 Matemaatiline maailmapilt #14 Matemaatiline maailmapilt #15 Matemaatiline maailmapilt #16 Matemaatiline maailmapilt #17 Matemaatiline maailmapilt #18 Matemaatiline maailmapilt #19 Matemaatiline maailmapilt #20 Matemaatiline maailmapilt #21 Matemaatiline maailmapilt #22 Matemaatiline maailmapilt #23 Matemaatiline maailmapilt #24 Matemaatiline maailmapilt #25 Matemaatiline maailmapilt #26 Matemaatiline maailmapilt #27 Matemaatiline maailmapilt #28 Matemaatiline maailmapilt #29 Matemaatiline maailmapilt #30 Matemaatiline maailmapilt #31 Matemaatiline maailmapilt #32 Matemaatiline maailmapilt #33 Matemaatiline maailmapilt #34 Matemaatiline maailmapilt #35 Matemaatiline maailmapilt #36 Matemaatiline maailmapilt #37 Matemaatiline maailmapilt #38 Matemaatiline maailmapilt #39 Matemaatiline maailmapilt #40 Matemaatiline maailmapilt #41 Matemaatiline maailmapilt #42 Matemaatiline maailmapilt #43 Matemaatiline maailmapilt #44 Matemaatiline maailmapilt #45 Matemaatiline maailmapilt #46 Matemaatiline maailmapilt #47 Matemaatiline maailmapilt #48 Matemaatiline maailmapilt #49 Matemaatiline maailmapilt #50 Matemaatiline maailmapilt #51 Matemaatiline maailmapilt #52 Matemaatiline maailmapilt #53 Matemaatiline maailmapilt #54 Matemaatiline maailmapilt #55 Matemaatiline maailmapilt #56 Matemaatiline maailmapilt #57 Matemaatiline maailmapilt #58 Matemaatiline maailmapilt #59 Matemaatiline maailmapilt #60 Matemaatiline maailmapilt #61 Matemaatiline maailmapilt #62 Matemaatiline maailmapilt #63 Matemaatiline maailmapilt #64 Matemaatiline maailmapilt #65 Matemaatiline maailmapilt #66 Matemaatiline maailmapilt #67 Matemaatiline maailmapilt #68 Matemaatiline maailmapilt #69 Matemaatiline maailmapilt #70 Matemaatiline maailmapilt #71 Matemaatiline maailmapilt #72 Matemaatiline maailmapilt #73 Matemaatiline maailmapilt #74 Matemaatiline maailmapilt #75 Matemaatiline maailmapilt #76 Matemaatiline maailmapilt #77 Matemaatiline maailmapilt #78 Matemaatiline maailmapilt #79 Matemaatiline maailmapilt #80 Matemaatiline maailmapilt #81 Matemaatiline maailmapilt #82 Matemaatiline maailmapilt #83 Matemaatiline maailmapilt #84 Matemaatiline maailmapilt #85 Matemaatiline maailmapilt #86 Matemaatiline maailmapilt #87 Matemaatiline maailmapilt #88 Matemaatiline maailmapilt #89
    Punktid 100 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 100 punkti.
    Leheküljed ~ 89 lehte Lehekülgede arv dokumendis
    Aeg2018-04-11 Kuupäev, millal dokument üles laeti
    Allalaadimisi 54 laadimist Kokku alla laetud
    Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
    Autor hannukas13 Õppematerjali autor
    Kontrollitud
    PDF TXT
    Tartu Ülikooli matemaatilise maailmapildi põhjalik konspekt
    Matemaatiline maailmapilt matemaatika

    Sarnased õppematerjalid

    Matemaatiline maailmapilt suuline eksam
    18
    pdf

    Matemaatiline maailmapilt suuline eksam

    Hulkade otsekorrutis on hulk, mis koosneb korrutatavate hulkade kõikide elementide paaridest. Paari esimene element on esimesest hulgast, teine element teisest hulgast ehk elementide järjekord on oluline Omadused: 1. A × ∅ = ∅ ja ∅ × A = ∅ 2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 3. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) 4. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) 5. A × (B C) = (A × B) (A × C) III. Arvuteooria elemente ja matemaatiline induktsioon 25. Jaguvuse mõiste. Nimeta vähemalt 3 jaguvuse omadust. Jaguvus on täisarvu jaotamine kahe täisarvu korrutiseks. Arv jagab esialgset arvu, kui leidub selline täisarv, millega arvu korrutades saab esialgse arvu. Omadused: 1. a | a 2. Kui a | b ja b | c, siis a | c 3. Kui a | b ja a | c, siis a | (b ± c) 4. Kui a | b siis ac | bc iga c ∈ ℤ korral. 5. a | 1 parajasti siis, kui a = 1 või a = -1 26

    Matemaatiline maailmapilt
    matemaatiline mp
    18
    pdf

    matemaatiline mp

    Hulkade otsekorrutis on hulk, mis koosneb korrutatavate hulkade kõikide elementide paaridest. Paari esimene element on esimesest hulgast, teine element teisest hulgast ehk elementide järjekord on oluline Omadused: 1. A × ∅ = ∅ ja ∅ × A = ∅ 2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 3. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) 4. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) 5. A × (B C) = (A × B) (A × C) III. Arvuteooria elemente ja matemaatiline induktsioon 25. Jaguvuse mõiste. Nimeta vähemalt 3 jaguvuse omadust. Jaguvus on täisarvu jaotamine kahe täisarvu korrutiseks. Arv jagab esialgset arvu, kui leidub selline täisarv, millega arvu korrutades saab esialgse arvu. Omadused: 1. a | a 2. Kui a | b ja b | c, siis a | c 3. Kui a | b ja a | c, siis a | (b ± c) 4. Kui a | b siis ac | bc iga c ∈ ℤ korral. 5. a | 1 parajasti siis, kui a = 1 või a = -1 26

    Kategoriseerimata
    Diskreetse matemaatika elemendid
    92
    docx

    Diskreetse matemaatika elemendid

    Diskreetse matemaatika elemendid 2013/2014 LAUSEARVUTUS. TÕESTUSED. 1. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused. [1] o Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. o Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. o Nende nõuete põhjal kuuluvad vaadeldavate hulka ainult nii sugused laused, mis midagi väidavad, kusjuures sellel väitel on olemas ühene tõeväärtus. o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord. Lausearvutuse valem. [1] Tehted o Eitus (märk ¬)

    Diskreetne matemaatika
    DME Eksamiks kordamise konspekt
    6
    doc

    DME Eksamiks kordamise konspekt

    Tingimused 1. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. 2. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause pole korraga tõene ja väär. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite järgi: 1. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. 2. Kui F on lausearvutuse valem, siis ka F on lausearvutuse valem. 3. Kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG),(F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid. Osavalem : Kõiki antud valemi konstrueerimise käigus tekkinud valemeid nimetatakse selle valemi osavalemiteks ehk alamvalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud suhet aga peatehteks. Kokkulepped sulgude kohta: 1. Tehete prioriteet kõrgemast madalamani on , &, V, ->, <->. 2. Vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse. tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsustavatest sulgudest l

    Diskreetse matemaatika elemendid
    Diskreetse matemaatika elemendid-eksami konspekt
    13
    docx

    Diskreetse matemaatika elemendid, eksami konspekt

    Lausearvutus 1) a. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused: a.i. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. a.ii. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. a.iii. Tehteid võib teostada ükskõik milliste lausetega. a.iv. Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2) a. Eitus (märk ¬). Lause mittekehtimine. b. Konjunktsioon (märk &) tähendab seost ,,ja". c. Disjunktsioon (märk ) väljendab seost ,,või". Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e. Ekvivalents (märk ) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost ,,parajasti siis, kui". f. Tehete järjekord kõrgemast madalamani ¬, &, , , . g. Def.

    Diskreetse matemaatika elemendid
    ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS
    177
    pdf

    ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

    LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1

    Algebra I
    Teoreetilibe informaatika kordamisküsimused
    37
    doc

    Teoreetilibe informaatika kordamisküsimused

    Bacus-Nauri formaat. Transleerimisprotsess: lause keeles L1 (süntaksanalüüs) lause süntaktiline struktuur keeles L1 (semantiline analüüs) Lause süntaktiline struktuur keeles L2 (teksti genereerimine) Lause keeles L2 NF ­ nimisõnafraas TF ­ tegusõnafraas OMF ­ omadussõnafraas N ­ nimisõna T ­ tegusõna OM ­ omadussõna M ­ määrsõna Tehakse puu, kus lause jagatakse üha väiksemateks tükkideks. 7. Keel kui matemaatiline objekt. Ehk keel kui stringihulk. Tähestik Kõigi stringide hulk * String: · Tühi string e · kui x on string ja a on sümbol, siis ax on string · ainult nende kahe tingimusega määratud ühendid kuuluvad Stringide konkatenatsioon (ex = xe = x). Keel L on alamhulgaks *. Keelte konkatenatsioon ­ L = L1 ühend L2, kus L on alamhulgaks 1 ühend 2 L = (xy | x kuulub L1 AND y kuulub L2) Keelte iteratsioon: L* = ühend ühest n-ni Lk L0 = e Ln = Ln-1L, (n>0)

    Teoreetiline informaatika
    Topoloogilised ruumid
    204
    pdf

    Topoloogilised ruumid

    ¨ TALLINNA TEHNIKAULIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT Peeter Puusemp TOPOLOOGILISED RUUMID Loengukonspekt Tallinn 2003 SISUKORD Eess˜ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 TOPOLOOGILINE RUUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Topoloogilise ruumi baas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Kinnised hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¨ 1.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 ¨ 2 UMBRUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Punkti u ¨mbruste s¨ usteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Topoloogia m¨a¨aramine u ¨mbruste s¨

    Matemaatiline analüüs 2


    Rohkem sarnaseid



    Meedia

    Vasakule Paremale

    Kommentaarid (0)

    Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri



    Kõik kommentaarid



    Info
    K & V
    Mäng
    Eraõpetajad
    Meist
    Kuidas saada punkte?
    KKK
    Reklaam
    Uudistevoog
    Sitemap
    Kontakt
    Saada kiri
    kiri@annaabi.ee
    Telefon: +372-569-80010
    Aadress: Tiskrevälja 33, Tallinn
    OÜ LOLSOL. Registrikood: 11450433
    Kasutustingimused
    Privaatsustingimused
    Sõnastikud
    Inglise Soome Saksa Vene Hispaania Prantsuse Rootsi Itaalia Ladina Taani Esperanto
    Püsiühendus(es)
    Facebook Instagram Twitter Reddit
    Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun