Lineaar II (0)

Tallinna Ülikool - Matemaatika - Lineaaralgebra

1 Hindamata

Determinandid
DEF 1: Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nim kujutuseks hulgast V hulka W ning märgitakse üles järgmiselt: f:V→Wvõi V (f)→W või x→y või y=f(x)
DEF 2: Kui iga x korral hugast V on eeskirja f abil vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et tegemist on ühese kujutamisega hulgast V hulka W
Determinant – reaalarv , millele on vastavusse seatud ruutmatriks.
DEF 3: Determinandi arvutuseeskiri:

Determinantide omadusi

Det väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada (transponeeritud maatriks )

Kui det teatavad 2 rida/ veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub det märk vastupidiseks

Det mingi rea/ veeru kõigi elementide läbi korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu det läbi sama arvuga

Kui det on teatavad kakse rida/veergu kas võrdsed või võrdelised, siis võrdub kogu det väärtus nulliga

Kui det mingi rea/veeru iga element kujutab kahe liidetava summat , siis on võimalik seda det esitada kahe sama järku det summana, kusjuures esimene det koosneb vaadeldava rea/veeru esmestest liid ja teine teistest liid ja ülejäänud liid jäävad oma kohtadele

Det väärtus ei muutu, kui tema mingile reale/veerule liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud teine rida/veerg

Kahe n-järku det A ja B korrutis osutub võrdseks teatava uue n-järku det C, mille üldelement c ij saadakse det A i-nda rea ja det B j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja kõigi vastavate elementide liitimisel

Kui det mingi rea/veeru kõik elemendid on nulid, siis võrdub ka det enda väärtus nulliga

Kui det peadiagonaalist ülal- või allpool kõik elemendid võrduvad nulliga, siis det väärtus võrdub peadiangonaali elementide korrutisega e pealiikmega

Det väärtus võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui tema ridada/veergude hulk on lineaarselt sõltuv (üks avaldub teiste kaudu kasut lineaarseid tehteid)

Maatriksi astak

DEF 1: suurimat nat arvu k, mille korral maatriksil A leidub 0 erinev k-järku miinor nim selle maatriksi A astakuks ja märgitakse üles sümboliga rank (A)

Maatriksi elementaarteisendused

M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga
M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu
2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada

DEF 2: m A mk≠0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk
KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed
CRAMERI peajuhtum – m= n ja D ≠ 0
Xn = Dn / D
Lugejas olev det Dn tuletatakse det D kindla rea kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga.
Kompleksarvud
X2 + 1 = 0 → X2 = -1 → x=i → i2 = -1 → i = sqrt(-1) =
α = a + b * i
kui b ≠ 0, siis α on imaginaararv ( kompleksarv )
kui a = 0, siis α on puhtimaginaararv
kui b = 0, siis α on reaalarv
DEF 1: Kui hulga H korral on määratud teatav tehe või arvutusop f ning kui siis selle hulga H elementide a ja b korral on nendega sooritatud tehte f(a;b) tulemus uuesti hulga H element, siis öeldakse, et hulk H on vaadeldava tehte suhtes kinnine
kompleksarvude hulk on kinnine kõigi 4 aritmeetikatehte suhtes ( + ; - ; * ; / )
Hulgas C kehtivad järgmised arvutusseadused: [α=a ja β=b]

a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a + ( nullmaatriks ) = a
a + (-a) = (nullmaatriks)
(a * b) * c = a * (b * c)
a * b = b * a
a * (b + c) = a * b + a * c
E * a = a
Kui a ei ole nullmaatriks siis a-1 * a = E

Lõpus olev tõestus võib tulle töösse
EULERI VALEM: e i φ = cos φ + i * sin φ
i on kaldsümmeetriline maatriks
DEF 2: hulka C, mille elementideks on 2x2 järku maatriksid , kus iga maatriksi korral tema peadiag elemendid on võrdsed ning kõrvaldiag elemendid on vastandarvud nim kompleksarvude hulgaks ning neid nim kompleksarvudeks
Arvutustes komplekarvudega tuleb arvestada järgmiste arvutusseadustega:
Kehtivad järgmised omadused:

Kompleksarvu geomeetriline kuju

φ = kompleksarvu argument/amplituut
|a|= r ( moodul )
Cos φ = a/b sin φ = b/a
α = r (cos φ + i sin φ)
kolmpleksarvu a moodul on geomeetriliselt tõlgendatav sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena nullpunktist.

Kompleksarvu 5 esitust

Algebraline α = a + b * i

Vektor α = (a;b)

Maatriks α =

Trigonomeetriline α = r (cos φ + i sin φ)

Eksponent α = r * e i * φ
Algebralised süsteemid
Hulk on määratud, kui on teada eeskiri elementide leidmiseks
DEF 1: kui hulgas M on igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile ( a ; b ) seatud vastavusse mingi eeskirja f alusel teatav element f( a ; b ), siis öeldakse, et selles hulgas M on määratud arvutusoperatsioon e tehe
DEF 2: hulka M milles on def vähemalt 1 arvutusop/tehe nim algebraliseks süsteemiks
DEF 3: alg süst M milles def a.o. rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks

+ adiktiivne poolrühm
* multiplikatiivne poolrühm

DEF 4: alg süst M milles def a.o. rahuldab nii assotsiatiivsuse kui ka kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks
DEF 5: elementi e hulgast M mis iga a hulgast M korral rahuldab tingimust e * a = a ja a * e = a nim hulga M ühikelemendiks
Kui süsteemis M leidub ühikelement, siis sellist elementi a-1 hulgast M, mis teatava a hulgast M korral rahuldab tingimusi a * a-1 = e ja a-1 * a = e nim elemendi a pöödelemendiks
a-1 käitub korrutamisel neutraliseeriva elemendina

.DOCX Laadi alla originaalfail 10 lk · .docx · 131 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 10 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2013-11-25 Kuupäev, millal dokument üles laeti

131 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

easo Õppematerjali autor

Lineaaralgebra II kontrolltöö materjal

veergu rida veerg teatava rida veergu poolrühm Lineaar II

Sarnased õppematerjalid

docx

Lineaari eksami materjal

Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm: vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(*+)=*£() Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku hulgast V hulka W. elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A. Ruutvormi maatrikskuju: Def.2-kui m

Lineaaralgebra

doc

Lineaar algebra teooria kokkuvõte

Lineaarvõrrandsüsteem-nim. Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud. Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tundmatute arv võrd

Lineaaralgebra

pdf

Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahen

Algebra I

docx

Determinant

Determinant Def1 Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nimetatakse kujutiseks hulgast V hulka W. Def2 Kui mistahes x korral hulgast V on eeskirja f alusel vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et on määratud ühine kujutis hulgast V hulka W. L V = M(n × n) LW= f: M(n × n) f: Ad A M(n × n) d 1 2 n |a1 a1 ... a1 | |a21 a22 ... a2n| d = |.....................| = (-1) a11 a22 a33 ... ann permutatsioonid |an1 an2 ... ann| Selgitus: determinandi väärtust arvutav summa on võetud üle kõigi permutatsioonide, millised saab moodustada numbritest 1, 2, 3 ... n ( seega on liidetavaid n! tükki), sümbol summa avaldises tähistab inversioonide koguarvu permutatsioonis 1; 2;....; n. Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest moodustatud ning konk

Lineaaralgebra

doc

Kokkuvõte

1. Maatriksi definitsioon 2. Pöördmaatriksi definitsioon a) Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades Ruutmaatriksi A pöördmaatrksiks nimetatakse maatriksit A-1, mis rahuldab asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga võrdusi elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või AA-1=A-1A-E. kompleksarvude hulk. Üldisemalt võib selleks hulgaks olla suvaline korpus või Pöördmaatriks eksisteerib ainult siis, kui maatriks A on regulaarne (determinant isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring. A ei tohi võrduda 0ga) Maatriksi A=(aij) transporneeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT=(aij), Kui maatriksis on m rida ja n veergu, siis öeldakse, et teg

Kõrgem matemaatika

doc

Matemaatika eksamiks

Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV (skala

Informaatika1

pdf

Kõrgema matemaatika üldkursus

TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga

Kõrgem matemaatika

docx

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maatriksi vastandmaatriksiks nimeta

Kõrgem matemaatika

Rohkem sarnaseid