GRAAFIKUD(9. klassi 0-kursus) 1. Joonestage koordinaatteljestik. Märkige koordinaattasandile punktid A(4; 2), B(0; 5), C(3; 4), D(3; 0), E(3; 2), F(2; 5), G(0; 3) ja H(1; 0). 2. Lahendage võrrandisüsteem graafiliselt. x- y= 2 y = - 3x + 4 1) 2) 3x + y = 2 y= x 3. Lisage joonisele kummagi sirge juurde tema võrrand ning lahendage see võrrandisüsteem joonise abil. x + y = 3 x - 2y = 0
ühest võrrandist üks tundmatu ja 3x+3y=48+2x-2y asendada see teise võrrandisse; lahendada x+5y=48 saadud ühe tundmatuga võrrand ühe teisendan II võrrandi normaalkujule tundmatu väärtuse leidmiseks; nn. 2y-2x=132-4x+4y avaldamise reast arvutada teise tundmatu 2x-2y=132 |:2 väärtus x-y=66 võrrandisüsteem normaalkujul x+5y=48 x-y=66 avaldan II võrrandist tundmatu x NB kasutada juhul, kui süsteemi pole x=y+66 võimalik lahendada liitmisvõttega asendan selle I võrrandisse, nii saan y (võrrandites esinevad tundmatute ruudud väärtuse või korrutised) y+66+5y=48
kukkesid, kanu ega tibupoegi tohtinud olla niisama palju, kui eelmisel korral. Ja jällegi lahendanud poeg ülesande. Veel kolmas ja neljaski kord küsinud valitseja talupojalt 100 mündi eest 100 lindu, kusjuures nii kukkesid, kanu kui tibupoegi pidanud igaühte taas uus kogus olema. Poiss lahendanud ülesande seegi kord. Mitu kukke, kana ja tibupoega tõi talumees valitsejale esimesel, teisel, kolmandal ja neljandal korral? Lineaarne võrrandisüsteem Definitsioon Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ............................................. (2) am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm Arve b1, b2 , ... , bm nimetatakse võrrandisüsteemi (2) vabaliikmeteks, arve aij aga kordajateks. Definitsioon Arve c1, c2 , ..
Ülesanded arvutil lahendamiseks ja vormistamiseks 1. Arvuta avaldise täpne väärtus 2.) 3.) 2. Lihtsusta avaldised 3. Lahenda võrrandid 4. Lahenda võrrandisüsteem
Võrrandisüsteemide lahendamine 8.klass Võrrandisüsteemi lahendamine · On antud võrrandisüsteem. · Vali lahendusvõte · Liitmisvõte · Asendusvõte Liitmisvõte · Valin, millise liikme välja koondan · Liidan võrrandid · Leian x · Panen x väärtuse algvõrrandisse ja leian y · Kirjutan vastuse Asendusvõte · Avaldan x · Panen x väärtuse teise võrrandisse asemele · Leian y · Leian x · Kirjutan vastuse
siis laguneb paremal pool) lineaarse Segakorrutis Kolme vektori determinant kahe sama järku võrrandisüsteemi saab kirjutada segakorrutiseks nimetatakse kahe determinandi summaks, kus esimeses maatrikskujul AX = B, Teoreem vektori skalaarset korrutist determinandis koosneb vaadeldav rida (Kronecker-Capelli). Lineaarne kolmanda vektoriga esimestest liidetavatest ja teises võrrandisüsteem on lahenduv II järku jooned. Ellips Ellipsiks determinandis teistest liidetavatest; parajasti siis, kui võrrandisüsteemi nimetatakse tasandi nende ülejäänud read jäävad aga endisteks. 6. omadus maatriksi A ja laiendatud maatriksi punktide hulka , milliste kauguste Determinant ei muutu kui determinandi AB astakud on võrdsed (Öeldakse summa kahest antud punktist, mida
5 4,6 5,4 1116,6 951,18 1,14 1,30 6 4,5 5,5 1161,0 949,91 2,41 5,81 952,32 l = 10,0 R1 ja R5 arvutatud väärtused R1 ja R5 saamiseks vaja R1 = 478,51 lahendada võrrandisüsteem: R5 = 473,81 Rj=R1+R5 Rp = R1R5 / R1 + R5 R1||R5 määramatus Ua = 0,47 R1 ja R5 jadamisi määramatus Ua = 1,65 Vastus R1 = 478,51 R5 = 473,81 R1 || R5 235,24 ± 0,47 R1R5 jada = 952,3 ± 1,7
Võrrandid ja võrratused Põhiteadmised · Võrdus, võrrand, samasus; · võrrandisüsteem ja selle lahendusvõtted; · arvvõrratus, selle omadused; · võrratus, mis sisaldab muutujat, ja selle lahendamisel kasutatavad teisendused. Põhioskused · Lineaar-, ruut- ja murd- ja nendeks taanduvate võrrandite ning võrratuste lahendamine; · kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; · ühe tundmatuga lineaarvõrratuste süsteemide lahendamine;
kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring, sektor l – sektori kaare pikkus S – sektori pindala korrapärane kuusnurk Ruumilised kujundid risttahukas
Võrrandid ja võrrandisüsteem Ruutvõrrandi lahendamine 1.Lahenda võrrand: a) 3x2 20x + 25 = 0 b) x2 + 4x 5 = 0 Lahendus a: x,= 20±20²-4 2 3 *3*25 * x,= 20±100 6 20±10 x,= 6 x= 20+10 6 = 30 6 =5 x= 20-10 6 = 10 6 = 1 23 Kontroll a: x=5 Vasak pool: 3 . 52 20 . 5 + 25 = 75 100 + 25 = 0 Vasak pool on võrdne parema poolega. x=1 23 Vasak pool: 3*( 53 )²-20* 53 +25= 3*925 - 100 3 +25= - 75 3 +25= -25+25=0Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x= 5 ja x= 53 Lahendus b: x,= -2 ± 2² + 5 = -2 ± 9 = -2 ± 3 x= -2+3= 1 x= -2-3= -5 Kontroll: x, = 1 Vasak pool: 12 + 4 . 1 5 = 1 + 4 ...
Viie kooli kohtumine matemaatikas 14.12.2012 1. Antud on 2 joont võrranditega (1) ja (2) a) Tee kindlaks, kuidas need jooned asetsevad teineteise suhtes b) Leia lükkevektor joone (1) nihutamiseks nii, et joon (2) paikneks täpselt joone (1) ja uue joone vahel 2. Kaks sirget s ja t lõikuvad punktis A. Olgu B ja C kaks suvalist sirgel s asuvat punkti ning D ja E kaks suvalist sirgel t asuvat punkti. Tõesta, et 3. Lihtsusta avaldis ja arvuta selle väärtus , kui 4. Matemaatik palus tuttavaks saanud neiult tema töökoha telefoninumbrit. Neiu aga ei soovinud seda avaldada ja sellepärast ütles ta: „Asutuses, kus ma tööta...
arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist · Võrrandisüsteemi lahendiks on kahe sirge lõikepunkti koordinaadid Võrrandisüsteemi lahend · Üks lahend, kui sirged lõikuvad · Lahend puudub, kui sirged on paralleelsed · Lahendeid on lõpmata palju, kui sirged ühtivad Võrrandisüsteemi uurimine · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendite arvu kindlaksmääramist nimetatakse selle süsteemi uurimiseks · Selleks tuleb mõlemast võrrandist
10. Esitage seos nurkkiirenduse ja joonkiirenduse vahel. v = ω ∙ r ja sellest tuletis 11. Sõnastage pöördliikumise dünaamika põhiseadus. Jäiga keha dünaamika põhiseaduse järgi võrdub keha välisjõudude peamoment ehk kõigi kehale rakendatud jõudude moment liikumatu punkti suhtes M keha impulsimomendi sama punkti suhtes L tuletisega aja järgi: dL/dt = M. 12. Lahendage võrrandisüsteem (3), leides niidi pinged. Lahendada viimast vist....
Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal I osa © T. Lepikult, 2003 Leida kaks arvu, ülesanne 1 Ülesanne 1 Kahe arvu korrutis on 30, nende arvude summa 11. Leida need arvud. Lahendus Seda tüüpi ülesannetes vaadeldakse otsitavaid arve tundmatutena ja ülesande tingimuste põhjal tuletatakse võrrandisüsteem tundmatute leidmiseks. Tähistame esimese arvu sümboliga x ja teise sümboliga y. Tingimusest, et arvude korrutis on 30, saame esimese võrrandi: x y = 30 Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ... Tingimusest, et arvude summa on 11, saame teise võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30,
|A|=detA 0 e. Nxn maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui tema astak r=n Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju, Kronecker-Capelli teoreem. Näide. Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on võrdusmärgi paremal pool) lineaarse võrrandisüsteemi saab kirjutada maatrikskujul AX=B, kus võrrandisüsteemi maatriks A, tundmatute maatriks X ja vabaliikmete maatriks B. Teoreem (Kronecker-Capelli) Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi A ja laiendatud maatriksi AB astakud on võrdsed (Öeldakse ka, et süsteem on kooskõlas). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv r = r´ (see on nn. astakutingimus). Gaussi ja Gauss-Jordani meetod. Näited Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi AB kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides sealjuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Veergusid on vaid
4) Varrasahela siirete skeem: Baasvarda pööre be,1=1=1 2 lbo=6·3/1=18m lbebe,1= -lbo·bc,1 lbebe,1 3 1 1 bc,1 1 lbo 18 6 -lcobc,1=lcdcd,1 lcobc,1 1/ 6 62 182 cd ,1 1 af ,1 be,1 1 ab,1 0 lcd 32 12 5) Deformatsioonimeetodi kanooniline võrrandisüsteem (mitte arvuline): raaa rabb ra1 1 rap 0 rbaa rbbb rb1 1 rbp 0 r1aa r1bb r11 1 r1 p 0 3 6) Kanoonilise võrrandisüsteemi tundmatute kordajate ja vabaliikme arvutus: a b 1 3ibc 2iab
parameetrite fikseerimise teel, nimetatakse SÜSTEEMI ERILAHEN- DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse süsteemi LAHENDUVAKS, vastasel korral aga MITTELAHENDUVAKS ehk vastuoluliseks. 16 DEFINITSIOON 5. Lineaarseid võrrandisüsteeme, millel on samad lahendite hulgad, nimetatakse EKVIVALENTSETEKS. LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDUVUSTINGIMUS KRONECKER-CAPELLI TEOREEM (1864). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi A astak on võrdne laiendatud maatriksi A|B astakuga, st rank A = rank A|B. HOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON 1. Lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse HOMO- GEENSEKS, kui tema vabaliikmete veerg koosneb nullidest, st maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1. Homogeenne võrrandisüsteem on alati lahenduv. JÄRELDUS. Lahendit X = 0, mille puhul x1 = x2 = . . . = xn = 0,
parameetrite fikseerimise teel, nimetatakse SÜSTEEMI ERILAHEN- DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse süsteemi LAHENDUVAKS, vastasel korral aga MITTELAHENDUVAKS ehk vastuoluliseks. 16 DEFINITSIOON 5. Lineaarseid võrrandisüsteeme, millel on samad lahendite hulgad, nimetatakse EKVIVALENTSETEKS. LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDUVUSTINGIMUS KRONECKER-CAPELLI TEOREEM (1864). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi A astak on võrdne laiendatud maatriksi A|B astakuga, st rank A = rank A|B. HOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON 1. Lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse HOMO- GEENSEKS, kui tema vabaliikmete veerg koosneb nullidest, st maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1. Homogeenne võrrandisüsteem on alati lahenduv. JÄRELDUS. Lahendit X = 0, mille puhul x1 = x2 = . . . = xn = 0,
3. Milliste parameetrite a ja b väärtuste korral on võrrandisüsteemil lõpmata 12 x + ay = 8 palju lahendeid? 2ax + 3 y = 15 4. Millise parameetri a väärtuse korral võrrandisüsteemil lahend puudub? 4x - 5y = 5 5. Lahenda võrrandisüsteem xy + y 2 = 5 x 2 - y 2 = 24 1) ; 2) . 2 x + 3 y = 7 x+ y=6 6. Kui arv x jagada arvuga y, siis jagatis on 4 ja jääk 30. Kui nüüd liita jagatav, jagaja, jagatis ja jääk, siis see summa on 574. Leia jagatav x ja jagaja y. 7. Kolme paaki mahub kokku 1440 l vett. Kaks nendest paakidest on veega täidetud, kolmas on tühi
Determinandid, lineaarsed võrrandisüsteemid Ülesanne 1 Lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. x + y + z = 26 3x - y + z = 20 - x + 7 y - 2 z = 15 1 1 1 1 1 D = 3 - 1 1 3 - 1 = 2 - 1 + 21 - 1 - 7 + 6 = 20 -1 7 - 2 -1 7 26 1 1 26 1 Dx = 20 - 1 1 20 - 1 = 52 + 15 + 140 + 15 - 182 + 40 = 80 15 7 - 2 15 7 1 26 1 1 26 Dy = 3 20 1 3 20 = - 40 - 26 + 45 + 20 - 15 + 156 = 140 - 1 15 - 2 - 1 15 1 1 26 1 1 Dz = 3 - 1 20 3 - 1 = - 15 - 20 + 546 - 26 - 140 - 45 = 300 - 1 7 15 - 1 7 Dx 80 x = D = 20 = 4
Süsteemi determinant on D 4 7 4 2 1 7 1, ¨ 3,4 x 2,8 2,64 ¨ 6,7 x 2,9 y 31,8 1 2 478. Lihtsusta ja seejärel lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. 2 7 determinant Dx 2 2 1 7 3 ja ¦ p q ¦ 4( x 2 ) 1 5 y ¦© x © 1
kogumassi kurkidel ) Vastus : Kurke on laos , peale veesisalduse vähenemise , 500 kg 4. Lahendage graafiliselt ülesanne : y = 6 x ; y = 2 + 2x y = 2 + 2x y x 0 -1 6 y 2 0 2 6 x -1 y=6x x 0 6 y 6 0 5. Lahendage võrrandisüsteem : y = -15 + 3x y = 28-4x y = -15 + 3x y = 28-4x · Lahendus asendusvõttega ( asendan ühe tundmatu ühes võrrandis , teise võrrandiga ) 28 4x = -15 + 3x 28 + 15 = 4x + 3x 43 = 7x x = 6,14 ( kui üks muutuja on arvutatud , siis saadus väärtus tuleb panna ükskõik kumba võrrandisse , arvutamaks teist muutujat ) y = -15 + 3*6,14 y = 3,42
kuidas jätta meelde, kumb on lugeja ning kumb nimetaja? x + y 2+ y 3 2 13 - = 2 3 2 3. Korruta ülesse märgitud arvuga läbi lugejad. 3x + 3 y - 4 + 2 y = 3 4. Vii normaalkujule 3x+5y=7 5. Lahenda võrrandisüsteem vastavalt oma valikule kolmest lahendusviisist 3 x - y = 5 3 x + 5 y = 7
numbrite summa olema 12, saame esimeseks võrrandiks x + y = 12. Numbrite ümberpaigutamisel saame arvu 10y + x. Kuna see arv peab olema esialgsest 18 võrra väiksem, saame siit teise võrrandi: x + 10 y = 10 x + y - 18 x + 10 y - 10 x - y = -18 - 9 x + 9 y = -18 x - y = 2. Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... Kaks võrrandit koos moodustavad võrrandisüsteemi. Kuna kumbki võrrand on lineaarne, on ka saadud võrrandisüsteem lineaarne: x + y = 12, x - y = 2. Võrrandisüsteemi lahendamiseks liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled: x + y = 12 + x- y =2 2 x = 14 Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ... Saadud võrrandi vasaku ja parema poole jagame kahega ning saame ühe otsitava väärtuse: x = 7.
Ühe kuuga müüdi kokku 360 jalgratast, saame võrrandi x+y=360. Teisel kuul müüdi jalgrattaid vastavalt esimeses filiaalis 12% rohkem ehk 0,12x tükki rohkem, seega x+0,12x=1,12x tükki, ja teises filiaalis 10% rohkem ehk 0,1y tükki rohkem, seega y+0,1y=1,1y tükki. Kokku müüdi teisel kuul 400 jalgratast, siit saame võrrandi 1,12x+1,1y=400 { x+y=360 Lahendada tuleb võrrandisüsteem 1,12x+1,1y=400 Saame, et x=200 ja y=160. küsiti aga teisel kuul müüdud jalgrataste arvu, seega esimeses filiaalis müüdi 200+200*0,12=224 jalgratast ja teises filiaalis 160+160*0,1=176 jalgratast Vastus: teisel kuul müüdi esimeses filiaalis 224 ja teises 176 jalgratast. 1 Margit Arro Türi Gümnaasium 3
19. Energiaallikate vastulülitus -------------------------------------------------EI TEA-------------------------------------------- 20. Liitahela arvutamine Kirchoffi seaduste abil Olgu liitahela sõlmede arv n ja harude arv m. Lahenduskäik on järgmine: * valitakse suvaliselt voolude suunad harudes, * Kirchoffi I seaduse abil koostatakse n-1 võrrand, * Kirchoffi II seaduse abil koostatakse m-(n-1) võrrand. *lahendatakse võrrandisüsteem 21. Liitahela arvutamine sõlmepinge seaduste abil ...saab kasutada siis kui liitahelas on 2 sõlme. *kõik voolud valida ühes suunas, *sõlmede A ja B vahelist pinget nim sõlmepingeks, *sõlmepinge arvutatakse valemiga: 22. Takistite kolmnurk ja tähtühenduse teisendamine ------------------------------------------EI OLE TEOORIAT---------------------------------- 23. Liitahela arvutamine kontuurvoolu meetodil Koostatakse võrrandid ainult Kirchoffi II seaduse abil
· M võib korrutada 3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem: Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi küik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega, välja arvatud tundmatute ümbernummerdamine e. veergude transponeerimine, kui see osutub vajalikuks. 4. Vektorid. Kahe vektori skalaar, vektor ja segakorrutis (defenitsioon) + valem. Parallelsuse ja risti tunnused
Kuidas saadakse kätte (tegutsejate poolt otseselt käivitatavad) põhikasutusjuhud ja nende nimed? Mis (milline sõna) peab kasutusjuhu nimes kindlasti sisalduma? Mis on mudel? Reaalse maailma piiritletud osa, esmärgipärane lihtsustatud esitus, esmärgipärane, keskendub olulisele, peidab ebaolulisi detaile, vähendab keerukust, sageli abstraheerib. Tooge mõned näited mudelite kohta? mänguauto, mat. valem või võrrandisüsteem, geograafiline kaart, filmi stsenaarium, tarkvara kood/prototüüp Milliseid erinevaid mudelitüüpe oskate nimetada? Tekstiline,graafiline, füüsiline, tarkvara Miks on hea (kasulik) osata modelleerida? Meid ümbritsev (looduslik/tehislik) (äri/IT) maailm kipub olema keeruline, inimesele vahetult (ilma abivahenditeta) ja täielikult (ilma lihtsustamata) mitte tunnetatav. Mis on ja kuidas on omavahel seotud Mudel ja mudeli Kontekst?
n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul: Olgu antud lineaarne võrrandisüsteem maatrikskujul: AX = B Avaldades sellest tundmatu X, saame: X = A-1B. Seda meetodit on eriti mugav kasutada juhul, kui mitmel erineval süsteemil on ühesugused kordajad, kuid erinevad vabaliikmed. Näide: Lahendada lineaarne võrrandisüsteem: x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2 2 x1 - x2 - 2 x3 = 2. 3x + 2 x - x = 8 1 2 3 . 1 2 3 2
n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul: Olgu antud lineaarne võrrandisüsteem maatrikskujul: AX = B Avaldades sellest tundmatu X, saame: X = A-1B. Seda meetodit on eriti mugav kasutada juhul, kui mitmel erineval süsteemil on ühesugused kordajad, kuid erinevad vabaliikmed. Näide: Lahendada lineaarne võrrandisüsteem: x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2 2 x1 - x2 - 2 x3 = 2. . 3 x + 2 x - x = 8 1 2 3 1 2 3 2
Lihtsustame arvutusskeemi ja saame põhiskeemi, selle moodustamiseks eemaldataud sidemete arvu nim staatikaga määramatuse astmeks. Rakenduspunktide siirded ei saa olle meelevaldsed: iga reaktsioon on sidemega ekvivalentne ainult sel juhul , kui ta koormusega koos mõjudes tagab tarindi puntki nullsiirde eemaldatud sideme sihis. i=0. Siirete sobivusvõrranditele antakse kanooniline kuju. Põhiskeemi tegemisel võib eemaldada nii välissidemeid kui ka sisesidemeid Jõumeetodi kanooniline võrrandisüsteem Selliselt väljendatud sobivusvõrrandite süsteemi nimetatakse jõumeetodi kanooniliseks võrrandisüsteemiks, sest see vastab kindlale tarindi iseloomust sõltumale reeglipärale. Vahel nim jõumeetodiks kan, võrrandisüsteemi arvutusviisi. Põhiskeemi sisejõudude leidmine ja kontroll 1 variant: Asendame põhiskeemis tundmatud nende arvväärtustega ja leiame sisejõud 2 variant: Kasutame ära juba koostatud paindemomendi epüürid
Ülesande algandmed: E₁ = 100 V f = 50 Hz E₂ = 100 V L₁ = 20 mH ⍺ = 30˚ L₂ = 30 mH R₁ = 4 Ω L₃ = 10 mH R₂ = 5 Ω C₁ = 200 µF R₃ = 2 Ω C₂ = 250 µF Joonis 1. Ülesande algskeem. 1. Võrrandisüsteem Kirchoffi seaduste põhjal Joonis 2. Algskeem, vattmeeter eemaldatud. Joonis 3. Lihtustatud skeem Kirchoffi seaduste põhjal saab koostada võrrandsüsteemi. Võrrandite arvu määramine: NKI = 2 - 1 = 1 NKII = 3 - 1 = 2 Differenttsiaalkujul: i₁ + i₂ - i₃ = 0 1 di di C′1 ∫ i1R′1 + i1dt + L1 1 + L 3 3 + i3 R3 = E1 dt dt 1 di di
kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ; 2) tundmatute kordajatest moodustatud determinant on nullist erinev. Carmeni peajuhul on vorrandisusteemil uksainus lahend ja tundmatud avalduvad determinantide jagatisena: Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem: 2 x1 - 4 x 2 + 3 x3 = 1 x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 4 . 3x - 5x + 4 x = 1 1 2 3 2 - 4 3 1 3 2 3 -5 4 DA = = -6; 1 - 4 3 D1 = 4 3 2 = 9; 1 -5 4 2 1 3 D2 = 1 4 2 = -3; 3 1 4 2 - 4 1 D3 = 1 3 4 = -12, 3 -5 1 9 -3 - 12 X1 = = -1,5; X2 = = 0,5; X3 = = 2. - 6 - 6 - 6
AT = ||bji|| Rnxm, mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid, st bji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui A T = A Maatriksite transponeerimise omadused 1. (AT)T = A iga maatriksi A korral 2. (A + B)T = AT + BT iga A, B Rmxn korral 3. (cA)T = cAT iga c R ja maatriksi A korral 4. (AB)T = BTAT iga A Rmxn ja B Rnxp korral 9. Lineaarne võrrandisüsteem, selle lahend ja maatrikskuju. K - mingi korpus; a1, ...,an K, b - fkseeritud arvud; x1, ..., xn - tundmatud skalaarid; ai - kordajad; b - vabaliige Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b Võrrandi lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x 1, ..., xn väärtusi c1, ..., cn R, et nende paigutamisel võrrandi vasakusse poolde tundmatute x 1, ..., xn asemele kehtiks võrdus a1c1 + ... + ancn = b
Ülesande algandmed: R₁ = 8 Ω J₇ = 2 A R₂ = 5 Ω I₁ = 4A R₃ = 4 Ω E₂ = 50 V R₄ = 6 Ω E₃ = 30 V R₅ = 6 Ω E₄ = 40 V R₆ = 7 Ω E₅ = 50 V R₇ = 2 Ω E₆ = 30 V R₈ = 3 Ω E₁ - ? Joonis 1. Ülesande algskeem. 1. Võrrandisüsteem Kirchoffi seaduste põhjal Joonis 2. Lihtustatud skeem suletud kontuuridega. Kirchoffi seaduste põhjal saan koostada võrrandsüsteemi. Võrrandite arvu määramine: NKI = 5 - 1 = 4 NKII = 6 - 3 = 3 Kirchoffi I seaduse põhjal: (1) I₁ - I₃ - I₆ = 0 (2) I₂ + I₃ - I₄ = 0 (3) I₅ - I₂ - I₁ = 0 (4) I₄ + I₆ - I₅ = 0 Kirchoffi II põhjal: I I₅R₅ + I₂R₂ + I₄R₄ = E₂ + E₄ + E₅
Ekstreemumpunktid tuleb leida ainult nende hulgast, mis rahuldavad (x,y)=0. Viimane on ühe muutuja funktsiooni ilmutamata kujuks. Selle funktsiooni tuletis: Seega on z sisuliselt ühe muutuja x funktsioon. Täistuletise valemist: Järelikult Et ekstreemumpunktid , siis Eeldades, et fy'0, saame lisatingimusega ekstreemumpunktide leidmiseks võrrandisüsteemi See võrrandisüsteem sobib kahe muutuja funktsiooni ekstreemumpunktide leidmiseks ühe lisatingimuse korral. Laiematel juhtudel, kui tuleb leida kolme või enama muutuja funktsiooni ekstreemumpunkte teatud lisatingimusel või lisatingimustel, on vaja üldisemat lahenduskirja. Toome sisse nn. Lagrange'i kordaja ja koostame Lagrange'i funktsiooni: . Lisatingimusega ekstreemumpunktideks on selle kolme muutuja funktsiooni statsionaarsed punktid ehk võrrandisüsteemi lahendid
3) (17.4) kus sõltumatuks muutujaks on t. Ja . Toome sisse maatriksi tähistuse (17.5) Ning vektorid siis ja süsteemi (17.4) saab kirjutada maatriksi kujul (17.6) Esialgu vaatleme homogeense süsteemi lahendamist. (17.7) Otsime lahendit kujul , kus , mis on tundmatu vektor. Leiame tuletise . Asendades võrrandisse (17.7) saame, et , kuid seega jääb järgi , kus on esimest järku ühikmaatriks. Siit siis (17.8) Võrrandi (17.8) on maatriks kujul esitatud homogeenne lineaarne algebraline võrrandisüsteem 1 ja 2 suhtes. Selline süsteem saab omada nullist erinevat lahendit vaid siis kui süsteemi determinant on null. (17.9) See on võrrandisüsteemi (17.7) karakteristiline võrrand, mille lahendiks on maatriksi A omaväärtused k 1 ja k2. (17.10) Vektor aga omaväärtusele k1 ( või k2) vastav omavektor, mille saab määratleda konstantse kordaja täpsusega. Kirjutame (17.10) ruutvõrrandi saame Ehk (17.11) Võrrandi (17
-1 1 2 moodust-1) valemi järgi A = =a a a A 12 22 n 2 ,2) kasutades a13 a23 an 3 ridade(veergude) elementaar teisendusi A,E ..... E, A -1 12) Lineaarne võrrandisüsteem ja selle lahendamine Crameri valemitega.! 13) Maatriksi astak. Maatriksi rea- ja veeruvektorite lineaarne sõltuvus. 14) Kronecker-Capelli teoreem. 15) Vektorite skalaarkorrutamine ja selle arvutamine. Eukleidiline vekorruum. Skalaarkorrutis on arv =a1 b 1+a 2 b 2 ...+anbn On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5
Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid, mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi erilahenditeks. 4. Kronecker-Capelli teoreem Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis kui süsteemi maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Rank A=rank A/B; r=r' 5. Sirge tasandis, sirge ja tasand ruumis Joone võrrand Vaatleme matemaatilist avaldist, mis sisadab 2 tundmatut F(x;y)=0, saame võrduse. Seda võrdust nim samasuseks kui ta on rahuldatud tundmatude x ja y kõigi väärtuste puhul. Seda võrdust nim võrrandiks kui teda rahuldavad tundmatute teatud väärtused.
Tõestus: Kuna maatriksid A ja B on regulaarsed, siis leiduvad pöördmaatriksid ja . Korrutame võrrandi mõlemad pooled vasakult maatriksiga : Nüüd kasutades Lause 2 saame võrrandi lahendiks . 11. Lineaarvõrrandite süsteemi mõiste. Olgu antud võrrandisüsteem (1) , kus , , ... , on tundmatud; , , ... , on vabaliikmed ning , , ... , on süsteemi (1) kordajad. Definistioon 1. Süsteemi (1) nimetatakse lineaarvõrrandite süsteemiks (lühidalt LVSiks). Arve , , ... , nimetatakse süsteemi (1) lahendiks, kui süsteemi (1) tundmatute asendamisel nende arvudega saame m samasust.
Kordamine II 5 x + 6 12 - x x 33. - = Lahenda võrrandid ja tee kontroll 9 6 2 1. 5 - 2( 3x +1) = 3( 2 - 3x ) + 6 Lahenda võrrandisüsteem 2. ( x + 3) - 2 x = ( x - 2 )( x + 2 ) + 1 2 3. ( 2 y - 3) + 4 = ( 2 y - 3)( 2 y + 1) 2 ( x + 2) 2 - ( y + x ) = ( x + 1)( x - 1) + 13 34. 4. ( x - 2 ) 2 + ( 3 x -1)( x + 3) = ( 2 x -1)( 2 x + 1) + 6 ( x + 3)( x - 2) - ( x - y )( x + y ) = ( y + 1) 2 - 9 5
Iga kahe erinava punkti A ja B korral afiinsest ruumist leidub parajasti üks sirge u, millel need punktid asuvad (s.t. Au ja B u ). Def. 2. Olgu U mingi punktide hulk afiinsest ruumist A (U P). Punktide hulga U võrranditeks nimetatakse n tundmatut x1 , x2 , ... , xn sisaldavat võrrandisüsteemi, mida rahuldavad parajasti tundmatute x1 , x2 , ... , xn sellised väärtused, mis on mingi hulka U kuuluva punkti P koordinaatideks (ehk võrrandisüsteem, mille lahendite hulgaks on U). Erijuhul võib võrrandisüsteem koosneda ainult ühest võrrandist. Siis räägitakse vaadeldava punktide hulga võrrandist. r Olgu u punkti A läbiv sirge sihivektoriga s ning r A ( c1 ; c2 ; ... ; cn ) , s = ( s1 ; s2 ; ... ; sn ) .
parameetrite ja arvkarakteristikute vahel kantakse üle valimile ja vastavalt valimist saadud arvkarakteristikute hinnangutele arvutatakse nende seoste järgi parameetrite hinnangud. Meetodi sammud on seega järgmised: 1) Leida üldkogumile vastava juhusliku suuruse jaotuse jaoks arvkarakteristikute avaldised/seosed sõltuvalt jaotuse parameetritest 2) Leida nendest seostest poordseosed, avaldades parameetrid arvkarakteristikute kaudu (st lahendada vastav võrrandisüsteem) 3) Arvutada valimi järgi arvkarakteristikute hinnangud 4) Arvutada valimi arvkarakteristikute järgi parameetrite hinnangud, kasutades leitud pöördseoseid. Suurima tõepära meetod: Meetodi aluseks on põhimõte leida sellised jaotuse parameetrite väärtused, et antud konkreetse valimi jaoks oleks suurim just nimelt selle valimi saamise tõenäosus. Vähimruutude meetod: Vähimruutude meetod on tavalisim meetod erinevate juhuslike suuruste
20. Aurumulli tekke ja arengu mehhanism. Keemise reziimid Keemisreziimid on mulliline ja kelmeline. Reynoldsi arv, mille puhul toimub üleminek mulliliselt kelmelisele reziimile: q kr l* Re kr * = r ' ' Mulli raadius, mille korral ta lendub: c p 't k l* = ( r ' ' ) 2 kus ' tähistab vedelikku ja '' auru. 21. Soojusvahetite klassifikatsioon ja tüübid. Soojusvaheti arvutuse võrrandisüsteem Soojusvahetid on: 1) pindsoojusvahetid 2) küttepinnata soojusvahetid e. segunemistüüpi soojusvahetid Tööprintsiibi järgi jagunevad soojusvahetid 1) Rekuperatiivseteks- töötavad kindla soojusvoolu suunaga 2) Regeneratiivseteks- soojusvoolu suund küttepinnas muutub perioodiliselt Küttepinnata soojusvahetites ülekantav soojushulk avaldub võrrandiga: Q=Vt V ( W) V - mahuline soojusülekande tegur W/(m3*K) t keskmine temp vahe soojuskandjate vahel K
D D D kus 28 d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx = d 2 b2 c2 , Dy = a2 d2 c2 , Dz = a2 b2 d2 . d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest 15 x − 9 y = 39 , Näide1. Lahendada võrrandisüsteem 7 x − 12 y = 26 . Lahendus. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Selleks korrutame esimest võrrandit 4-ga ja teist (-3)-ga, seejärel liidame võrrandite vastavad pooled. 15 x − 9 y = 39 ⋅ 4 7 x − 12 y = 26 ⋅ (− 3) 60 x − 36 y = 156 + −21x + 36 y = −78 39 x = 78 ⇒ x=2 Asetame x väärtuse esimesse võrrandisse ja arvutame y väärtuse:
Kontrollime, et y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)+y*(x) rahuldab tingimusi {y0=C1y1(x0) +C2y2(x0)+...+Cnyn(x0)+y*(x0) {y0(1)=C1y1'(x0) +C2y2'(x0)+...+Cnyn'(x0)+y*'(x0) { . . . {y0 =C1y1 (x0) +C2y2 (x0)+...+Cnyn(n-1)(x0)+y*(n-1)(x0) (n-1) (n-1) (n-1) Ci (i=1,2,...,n) määramiseks võrrandisüsteem. Kirjutame algtingimused lahti, kusjuures y* viime paremale poole võrdusmärki. Saame {C1y1(x0) +C2y2(x0)+...+Cnyn(x0)=y0-y*(x0) {C1y1'(x0) +C2y2'(x0)+...+Cnyn'(x0)=y0(1)-y*'(x0) { . . . {C1y1 (x0) +C2y2 (x0)+...+Cnyn(n-1)(x0)=y0(n-1)-y*(n-1)(x0) (n-1) (n-1) Sellest võrrandisüsteemist on vaja määrata konstandid C1,
3); kolmekordne integraal silinderkoordinaatides (vastava valemi tuletamine valemi (25.3) põhjal); kolmekordne integraal sfäärkoordinaatides (vastava valemi tuletamine valemi (25.3) põhjal). Seame eesmärgiks teisendada kolmekordne integraal üle piirkonna V xyz-koordinaadistikus kolmekordseks integraaliks üle piirkonna V' uvw-koordinaadistikus teisenduste (25.1.) abil. Eeldame, et kolme muutuja u,v ja w funktsioonid x,y ja z on ühesed ja võrrandisüsteem (25.1.) on üheselt lahenduv muutujate u,v ja w suhtes. Siis vastab igale piirkonna V' punktile üks punkt piirkonnast V ja vastupidi. Lisaks eeldame funktsioonide (25.1.) kohta, et need on pidevad ja neil on pidevad osatuletised kõigi kolme muutuja järgi piirkonnas V'. Muutuja vahetuse jakobiaan on kolmandat järku determinant: ja kolmekordne integraal üle piirkonna V teisendatakse kolmekordseks integraaliks üle piirkonna V' valemi (25.3.) abil:
Joonis 3.15 · lõigatud pingeelemendi Fx = 0 Q1 + Q sin - N cos = 0 tasakaalutingimused tulevad: ; F y = 0 Q2 + Q cos - N sin = 0 = cos 2 · võrrandisüsteem (arvestades eelnevaid avaldisi) on rahuldatud, kui: ; = sin 2 Priit Põdra, 2004 41 Tugevusanalüüsi alused 3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL · kaldpinna pingeseisund ( ja väärtused) sõltub tema kaldenurgast :
Ax+By+C=0 s=(-B;A) 7.3 Kahe sirge vastastikused asendid · Sirgete ühtimine sis kui on samad tõusunurgad ja sirged lõikavad y-telge samas punktis. · Kaks üldvõrrandiga antud sirget ühtivad, kui võrrandite kordajad on võrdelised, st kui · Kaks üldvõrrandiga antud sirget on paralleelsed, kui · Sirged lõikuvad, kui sirgete sihivektorid ei ole kollineaarsed või kui tõusud ei ole võrdsed. Lõikepunkti leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem. · Saadud valem võimaldab leida nurka sirgete vahel · Kui sirged on risti, siis on risti ka nende sihivektorid. · Kaks sirget on risti parajasti siis, kui nende tõusude korrutis on -1, st k1k2=-1 7.4 Ringjoone võrrand · Seda võrrandit rahuldavad ringjoone kõik punktid ja ainult need. Seetõttu on see ringjoone võrrand. · Kui ringijoone keskpunkt on koordinaatide alguspunktis, siis saab ringjoone võrrand kuju (sest a,b=0)
rahuldavad tingimust (x, y) = 0. Süsteem sisaldab 3 tundmatut x, y ja kuid ainult 2 võrrandit. Lisatundmatu võimaldab meil täiendada süsteemi kolmanda võrrandiga (x, y) = 0 viies sellega tundmatute ja võrrandite arvud omavahel võrdseks. Saame järgmise süsteemi: fx (x, y) + x(x, y) = 0 fy (x, y) + y(x, y) = 0 (x, y) = 0 . Tingimusliku ekstreemumülesande lahendi leidmiseks lahendataksegi 3×3 võrrandisüsteem. Siiski võib ka lahendite hulgas olla selliseid, mis ei ole esialgse ekstreemumülesande lahendiks. Õigete lahendite välja selekteerimiseks puuduvad üldised eeskirjad. Seda tuleb teha konkreetse ülesande sisust lähtuvalt.
annaabi.ee 
