Lineaarvõrrandisüsteemid Põhikoolis lahendatakse põhiliselt lineaarseid võrrandisüsteeme, aga ka mõningaid lihtsamaid ruutvõrrandisüsteeme. Lineaarvõrrandisüsteeme on mõistlik lahendada kas asendusvõttega või liitmisvõttega (jätame graafilise lahendusmeetodi tähelepanu alt välja). Eespool nimetatud kahest võttest tuleks võimaluse korral eelistada liitmisvõtet. Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame võrrandisüsteemi teist võrrandit (-2)-ga, siis saame võrrandisüsteemi . Kui nüüd süsteemis olevate võrrandite vastavad pooled liita, siis saame võrrandi, kus enam tundmatut x ei ole, -3y = -3, millest y = 1. Asendame saadud y väärtuse süsteemi esimese võrrandisse, siis saame, et 2x + 1 = 3, millest x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1).
Ruutvõrrandisüsteemid Ruutvõrrandisüsteeme lahendatakse üldjuhul asendusvõttega (aga mitte alati). Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi Avaldame esimesest võrrandist x-i, saame x = 8 - y. Asendame nüüd x teise võrrandisse, saame ruutvõrrandi (8 - y)y = 15, ehk -y2 + 8y = 15, millest y2 - 8y + 15 = 0. Selle ruutvõrrandi lahendid on y1 = 3 ja y2 = 5. Leiame vastavad x väärtused: x1 = 8 - 3 = 5 ja x2 = 8 - 5 = 3. Seega võrrandisüsteemi lahendid on (5; 3) ja (3; 5). Näide 2. Lahendame võrrandisüsteemi Kõigepealt lihtsustame esimest võrrandit, seejärel saame võrrandisüsteemi . Avaldame teisest võrrandist y, siis saame y = 6 + x. Asendame nüüd y esimesse võrrandisse, siis saame x suhtes võrrandi 72 = x(6 + x), millest x2 + 6x - 72 = 0. Selle võrrandi lahendid on x1 = 6 ja x2 = -12. Seega võrrandisüsteemi lahenditeks saame (6; 12) ja (-12; -6).
kolmandal ja neljandal korral? Lineaarne võrrandisüsteem Definitsioon Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ............................................. (2) am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm Arve b1, b2 , ... , bm nimetatakse võrrandisüsteemi (2) vabaliikmeteks, arve aij aga kordajateks. Definitsioon Arve c1, c2 , ... , cn , mis rahuldavad süsteemi (2) kõiki võrrandeid, nimetatakse selle võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarne võrrandisüsteem Näide Lineaarse võrrandisüsteemi - x1 + x2 + 2 x3 = 1 2 x1 - x2 + 3 x3 = -2 üheks lahendiks on (0; 7/5; -1/5) . Lahendiks on aga ka vektorid (d; 7/5(1 + d); -1/5(1 + d), kus d on suvaline reaalarv.
Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist · Võrrandisüsteemi lahendiks on kahe sirge lõikepunkti koordinaadid Võrrandisüsteemi lahend · Üks lahend, kui sirged lõikuvad · Lahend puudub, kui sirged on paralleelsed · Lahendeid on lõpmata palju, kui sirged ühtivad Võrrandisüsteemi uurimine · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendite arvu kindlaksmääramist nimetatakse selle süsteemi uurimiseks · Selleks tuleb mõlemast võrrandist avaldada tundmatu y ja seejärel võrrelda tundmatu x kordajaid
Kuna ülesande püstituse kohaselt peab otsitava arvu numbrite summa olema 12, saame esimeseks võrrandiks x + y = 12. Numbrite ümberpaigutamisel saame arvu 10y + x. Kuna see arv peab olema esialgsest 18 võrra väiksem, saame siit teise võrrandi: x + 10 y = 10 x + y - 18 x + 10 y - 10 x - y = -18 - 9 x + 9 y = -18 x - y = 2. Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... Kaks võrrandit koos moodustavad võrrandisüsteemi. Kuna kumbki võrrand on lineaarne, on ka saadud võrrandisüsteem lineaarne: x + y = 12, x - y = 2. Võrrandisüsteemi lahendamiseks liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled: x + y = 12 + x- y =2 2 x = 14 Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ... Saadud võrrandi vasaku ja parema poole jagame kahega
Näide 3: Olgu vaja lahendada lineaarvõrrandisüsteem a2 b2 a2 b2 ¦ a1 x b1 y c1 Murru nimetajas olev determinant koosneb tundmatute ees olevatest § ¨a2 x b2 y c2 , kordajatest. Seda determinanti nimetatakse võrrandisüsteemi determinandiks kus a1, b1, c1, a2, b2 ja c2 on antud arvud ja x ning y on tundmatud. ja tähistatakse tähega D. Murru lugejas olevate determinantide elemendid on aga saadud süsteemi determinandist vastava tundmatu kordajate asendamisel a 2 ab b 2 ab u v u v u 2 v 2
tundmatutena ja ülesande tingimuste põhjal tuletatakse võrrandisüsteem tundmatute leidmiseks. Tähistame esimese arvu sümboliga x ja teise sümboliga y. Tingimusest, et arvude korrutis on 30, saame esimese võrrandi: x y = 30 Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ... Tingimusest, et arvude summa on 11, saame teise võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30, x + y = 11. NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses võrrandis esineb tundmatute korrutis!). Seetõttu ei saa seda lahendada determinantide abil. Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... Võrrandisüsteemi lahendame asendusvõttega: avaldame ühe tundmatu (ükskõik kumma) lineaarsest võrrandist
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve c1 , c 2 ,..., c n , mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel
80 80 + = 9. v1 + v2 v1 - v2 Otsitavate v1 ja v2 määramiseks saime murdvõrrandite süsteemi: 80 + 80 = 9, v + v v - v 1 2 1 2 100 + 64 = 9. v1 + v2 v1 - v2 Ülesanne 2 (4) Lahendus jätkub ... Võrrandisüsteemi lahendamiseks tähistame tundmatud teisiti: 1 (laeva absoluutkiiruse pöördväärtus x= , v1 + v2 pärivoolu sõitmisel) 1 y= (laeva absoluutkiiruse pöördväärtus v1 - v2 vastuvoolu sõitmisel) Uute tundmatute x ja y suhtes saame esialgse süsteemi asemele juba lineaarse võrrandisüsteemi: 80 x + 80 y = 9,
.......................................................................................................(lisage ise sobiv variant) 3. Esitage iteratsioonimeetodile vastav koonduvushinnang Harilik iteratsioonimeetod............................................................................................... Newtoni meetod.............................................................................................................. 4. Crameri valemid on võrrandisüsteemi Ax=b lahendamiseks kujul det A ... x j = det A , j=1,2,... j det A j ... x j = , j=1,2,... det A Det A on ......................................................................................................................... Det Aj on......................................................................................................................... 5
x 3y 6 3x - 5y 32 (a) (b) 2x 3y 12 2x y 4 y 0,2x 1 2x y 7 (c) (d) y 0,6x 5 4x 2y 5 Lahenda lineaarvõrrandisüsteemid 1. Lahenda võrrandisüsteemi graafiliselt. y - x 4 y 4x 1 (a) y 2x - 5 b) y 2x - 3 2. Lahenda järgmised lineaarvõrrandisüsteemid liitmisvõttega. y x 1 x - y 10 2x y 5 0 2x - y 16
Kasutame aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valemit 2 . Saame 99 + 3 S 33 = 33 = 1683 2 Vastus: kõigi sajast väiksemate kolmega jaguvate positiivsete arvude summa on 1683. 7. Aritmeetilise jada kolmas liige on 8 ja seitsmes liige 18. Leia esimese üheteistkümne liikme summa. Lahendus: Antud on a3 = 8 ja a7 = 18. Teame, et a3 = a1 + 2d ja a7 = a1 + 6d. Saame moodustada võrrandisüsteemi: a1 + 2d = 8 a1 + 6d = 18 . Lahendame selle süsteemi. Kasutame liitmisvõtet. Enne aga tuleb teine võrrand korrutada -1-ga. Saame a1 + 2d = 8 a1 + 2d = 8 - a1 - 6d = -18 a1 + 6d = 18 ( - 1) - 4d = -10 d = 2,5 Asendame nüüd d = 2,5 esimesse võrrandisse. Saame a1 + 2 . 2,5 = 8;
Et mähisjoon on sama puutuja ja tõus, kui parve joonel, siis (9.3) saame: (9.4) . Kuid mähisjoonel see ei ole konstant ja seega . Järelikult (9.5) . Järelikult on joonparve mähisjoon määratud kahe võrrandiga. (9.6) Kui võrrandisüsteemist õnnestub elimineerida C, siis saame mähisjoone võrrandi või . Märkus: Kui joon on joonparve iseäraste punktide geomeetriline koht, siis selle joone punktid rahuldavad samuti võrrandisüsteemi (9.6). Def 9.2 Joonparve iseärasteks punktideks on punktid, milles ja . Tõepoolest, iseäraste punktide koordinaadid saab avaldada joonparve parameetri C kaudu ehk ja . Seega . Diferentseerides leiame . Et iseärases punktis ja , siis saame . See annabki süsteemi (9.6). 10. Tuletise suhtes ilmutamata kujul olev võrrand Vaatleme üldist esimest järku võrrandi erijuhte, kus y' ei avaldu x ja y kaudu. (10.1) (10.1)'
n_n-maatriks. Definitsioon. n2- nimetatakse vektorit y , mille 4. omadus maatriksi A pöördmaatriks on n2- pikkus on arvuliselt võrdne Kui determinandis on kaks rida maatriks A_1,mille jaoks A_A_1 _ niisuguse rööpküliku pindalaga omavahel võrdsed, siis determinant A_1 _A _ I. mis on ehitatud vektoritele alfa ja võrdub nulliga. Lineaarse võrrandisüsteemi beeta kui külgedele ja mis on risti Seega on eelmise omaduse tõttu maatrikskuju, Kronecker-Capelli nende vektoritea ning suunatud nii, determinant võrdne nulliga ka siis, kui teoreem. Näide. et lühem pööre vektorist alfa determinandi Kaks rida on võrdelised. Üldise korrastatud (tunmatud on vektorini beeta ümber vektori y 5. omadus.
3 2 -1 0 2 3 4 3 -5 1 2 -3 4 1 1 4 2 -1 0 2 2 3 2. Arvutada: D = 2 - 1 0 5 ; DA = A 1 -1 6 5. -3 1 2 0 4 3 2 1 1. Crameri valemid ehk lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine determinantide abil. Dk Xk = , k = 1,2 ....n, DA kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ;
teise tundmatu väärtuse arvutan võrrandi x=3 korral y=-1 (3+y=2) järgi); joonestada läbi saadud punktide Need kaks punkti kanda graafikule, sirge ja kirjutada juurde antud võrrand; tõmmata neist sirge läbi. lugeda punkte sirge pealt võrrandi Leida jooniselt võrrandile neli lahendit lahendite leidmisel (lugeda sirgel olevate punktide koordinaate): NB vaja võrrandisüsteemi graafilisel x=1;2;0;-2 lahendamisel y=1;0;2;4 7.Sirge võrrandi puuduva kordaja leidmine Ül.924,925 - asendada lõikepunkti koordinaadid sirge sirge võrrand on 2x + by = 4 võrrandisse; lahendada saadud ühe y-teljega lõikepunkt on (0;-2) tundmatuga võrrand, kus tundmatu on leida kordaja b väärtus otsitav kordaja 2 0+ b (-2)=4
Võrrandisüsteemide lahendamine 8.klass Võrrandisüsteemi lahendamine · On antud võrrandisüsteem. · Vali lahendusvõte · Liitmisvõte · Asendusvõte Liitmisvõte · Valin, millise liikme välja koondan · Liidan võrrandid · Leian x · Panen x väärtuse algvõrrandisse ja leian y · Kirjutan vastuse Asendusvõte · Avaldan x · Panen x väärtuse teise võrrandisse asemele · Leian y
Ülesanded lahendustega 1. Maalil ja Juulil on kokku 480 krooni. Kui Maali annaks Juulile 120 krooni, siis jääks talle niisama palju raha, kui oli enne Juulil. Kui palju oli raha Maalil ja Juulil? Lahendus: Olgu Maalil x krooni ja Juulil y krooni. Kokku on neil siis x + y = 480 krooni. Kui Maali annaks Juulile 120 krooni, siis jääb talle x - 120 krooni, mis on niisama suur summa, kui oli enne Juulil x 120 = y. Saame võrrandisüsteemi: Kontroll: Maalil ja juulil on kokku 300 + 180 = 480 krooni. Kui Maali annaks Juulile 120 kooni, siis talle endale jääks 300 120 = 180 krooni, mis on samapalju kui Juulil esialgu. Vastus: Maalil oli 300 krooni ja Juulil 180 krooni. 2. Arvuta kujundi pindala, mida piiravad jooned x = 0; y = -2; y = 5; y = -2x + 10. Lahendus: Leiame joonte lõikepunktid. 1) Joonte x = 0; y = -2 lõikepunkt on A(0;-2). 2) Joonte y = 5 ja y = -2x + 10 lõikepunkt. Koostame võrrandisüsteemi:
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine graafiliselt: Võtame näiteks võrrandisüsteemi: Tuleta meelde! Viies liikme teisele poole x - 2 y = 1 võrdusmärki, muutub tema märk vastupidiseks. Tuleta meelde!
y 0 20.1. Täida tabeli tühjad lahtrid 20.2. Joonesta antud ruutfunktsiooni graafik 20.3. Joonesta samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = -x +2 graafik 20.4. Märgi saadud graafikute lõikepunktid ja kirjuta välja nende koordinaadid 20.5. Kontrolli eelmises punktis leitud koordinaatide õigsust vastava võrrandi (võrrandisüsteemi) lahendamise teel. 21. Joonesta koordinaatteljestik ja selles funktsiooni y = -2x + 3 graafik. Joonesta samas teljestikus veel funktsiooni y = x graafik. Tähista funktsioonide y = -2x + 3 ja y = x graafikute lõikepunkt ja kirjuta jooniselt välja selle punkti koordinaadid. Kontrolli eelmises punktis leitud lõikepunkti koordinaatide õigsust vastava võrrandi (võrrandisüsteemi) lahendamise teel. 22. Jooesta koordinaatteljestik ning täida järgmised ülesanded: 22
LINEAARSED VÕRRANDISÜSTEEMID DEFINITSIOON 1. Tundmatuid x1, x2, . . . , xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nimetatakse LINEAARSETEKS. Süsteemi m lineaarsest võrrandist n tundmatu suhtes esitame detailselt kujul a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1, ......................... (1) am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm . DEFINITSIOON 2. Lineaarse võrrandisüsteemi (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse selle SÜSTEEMI MAATRIKSIKS Am×n = || ai j ||, kus i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . . . , xn )T, siis saab süsteemi (1) esitada MAATRIKSKUJUL
LINEAARSED VÕRRANDISÜSTEEMID DEFINITSIOON 1. Tundmatuid x1, x2, . . . , xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nimetatakse LINEAARSETEKS. Süsteemi m lineaarsest võrrandist n tundmatu suhtes esitame detailselt kujul a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1, ......................... (1) am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm . DEFINITSIOON 2. Lineaarse võrrandisüsteemi (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse selle SÜSTEEMI MAATRIKSIKS Am×n = || ai j ||, kus i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . . . , xn )T, siis saab süsteemi (1) esitada MAATRIKSKUJUL
6. Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist maatriksit A -1, mille korral AA-1 = A-1A = E. Täh A-1. Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. Ruutmaatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. Transponeeritakse alamdeterminante. Nt: detA = -45 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nim lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: Laiendatud maatriks: · Kahe rea asukoha vahetamine · Rea korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga
· arvvõrratus, selle omadused; · võrratus, mis sisaldab muutujat, ja selle lahendamisel kasutatavad teisendused. Põhioskused · Lineaar-, ruut- ja murd- ja nendeks taanduvate võrrandite ning võrratuste lahendamine; · kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; · ühe tundmatuga lineaarvõrratuste süsteemide lahendamine; · tekstülesannete lahendamine võrrandi ja võrrandisüsteemi abil. Valemid b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a · Ruutvõrrand 2 p p x + px + q = 0 x 1;2 = - ± - q 2 2 2 x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q ( Viete´i valemid)
Fourth level Fifth level Kontroll: Vastus: Tekstülesanne Stiina töötas juunist augustini kohalikus kohvikus ettekandjana. Töögraafik oli kuude lõikes erinev. Kokku sai tüdruk 825 palka. Juuni ja augusti eest sai Stiina 450 ning juuni ja juuli eest 575. Palju maksis ülemus Georg Stiinale juulis, juunis ja augustis? Lahendus: Saagu Stiina juunis x , juulis y ning augustis z palka. Vastavalt ülesande tekstile saan võrrandisüsteemi: Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Kontroll: Stiina sai juunis 200, juulis 375 ja augustis 250 palka. Juuni ja augusti eest sai tüdruk 200 + 250 = 450 ning juuni ja juuli eest 200 + + 375 = 575
võrrandite tuletamine. Maatriksi mõiste Maatriksi mõiste, lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vektorruum. Maatriksite korrutamine ja selle omadused. Determinandi mõiste ja omadused n-järku determinandi mõiste. Determinantide omadused ja arvutamine. Determinantide arendusteoreem. Pöördmaatriks, maatriksvõrrandid Pöördmaatriksi mõiste ja selle leidmine. Erinevat tüüpi maatriksvõrrandite lahendamine. Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste. Carmeri valemid.Maatriksi astak. Üldise lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine, Kronecker Capelli teoreem. Teist järku pinnad Teist järku pindade kanoonilised võrrandid. Teist järku pindade sirgjoonelised moodustajad.
Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0.
6.) Kirjutan vastuse. x=3 Vastus: x=3 y=4 Lahendame liitmisvõttega lineaarvõrrandisüsteemi 3x+2y=7 5x2y=1 1.Vaadates antud võrrandisüsteemi,näeme,et tundmatu y kordajateks 3x+2y=7 on vastandarvus 2 ja 2. Nende summa on null. Liidame võrrandite 5x2y=1 vasakud ja paremad pooled. 8x+0y=8 8x=8 :8 x=1 2
kehtivad järgmised omadused: Ruutmaatriksil A=(aij) leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. pöördmaatriksi leidmine: 1) veenduda, et antud maatriks on ruutmaatriks ja selle determinant et võrdu nulliga. detA = -45 2) leida kõikide elemendite alamdeterminandid ja esialgsed elemendid nendega asendada 3) transponeerida saadud maatriks ja korrutada see läbi 1/detA 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: homogeenne süsteem kõik vabaliikmed on nullid laiendatud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis tekib süsteemi maatriksi A
kokku 14. Kui palju sai Iraan olümpiamängudelt kuld , hõbe , ja pronksmedaleid? Olgu kuldmedalite arv x, hõbemedalite arv y ja pronksmedalite arv z, kokku on medaleid 12. Kui kuldmedaleid oleks 25 % rohkem ehk 1,25x ja hõbemedaleid 40 % vähem ehk o.6y, siis oleks kokku 11 medalit. Kui pronksmedaleid oleks kaks korda rohkem ehk 2x ja hõbemedaleid viiendiku võrra vähem ehk 0.8y, oleks neid kokku 14. Koostan võrrandisüsteemi Lahendan determinandi abil Leian determinandi D = = = 1.2 + 1 + 1 0.6 0.8 2.5 = - 0.7 Leian Dx i Dx = = = 14.4 + 14 + 8.8 8.4 9.6 22 = 2.8 Leian Dy i Dy = = = 22 + 12 + 17.5 11 14 30 = 3.5 Leian Dz i
1) y=12 2) y= 4 3) y=16.8 4) y=-25.6 3x - 2 y y 1 3. Leia võrrandi + = lahendid, kui y {0;-1;-3;1,5} 2 2 2 1) x=0.33 2) x=0 3) x=-0.69 4) x=0.85 4. Leia punktid, milles sirge - 3x + 2 y = 8 lõikab koordinaattelgi. 1) x=-2.67 2) y= 4 5. Leia võrrandile 4x + y = 5 neli lahendit. 1) (2;-3) 2) (3;-7) 3) (4;-11) 4) (5;-15) 6. Leia võrrandisüsteemi lahend Süsteem Lahend 2x + 3 y = - 1 (1;-1) 3x + 2 y = 1 3x + y = 4 (1;1) 2x - y = 1 2x + 3 y = 12 (3;2) x - 3y = - 3 42 x - 25 y = 47 (1;-0,2) 28x + 45 y = 19 17 x - 9 y = - 435 (-2,14;44,29) 3x - 2 y = - 95 7
Ülesanne 1 Linnas on bensiiniliitri hind 1.43 , maal on aga bensiin odavam, 1.33 liiter. Kuu aja jooksul oli autojuht ostnud 100 liitrit bensiini ja kokku kulutanud selle peale 140 . Mitu liitrit kallimat ja mitu liitrit odavamat bensiini oli ta kuu aja jooksul ostnud? Olgu linnast ostetud bensiini hulk x liitrit ning maalt ostetud bensiini hulk y liitrit. Siis kokku on ostetud x +y =100 liitrit ja kokku on kulutatud 1,43x + 1,33y = 140 . Lahendame võrrandisüsteemi. Saame, et x=70 ning y=30. Kontroll: 70*1,43+30*1,33=140. Vastus: Kuu aja jooksul osteti kallimat bensiini 70 liitrit ja odavamat 30 liitrit. Ülesanne 2 Hinnaga 7000 eurot müüdi toodet 40 tk, hinnaga 5700 eurot müüdi 65 tk. Kulud olid vastavate tootmismahtude juures 22 000 eurot ja 33 000 eurot. Eeldades, et nii kulufunktsioon kui nõudlusfunktsioon on lineaarsed, leida a) kulufunktsioon; b) nõudlusfunktsioon; c) kasumifunktsioon; d) optimaalne tootmismaht ja vastav kasum.
Muutuja avaldamine: 1) avaldatavat muutujat sisaldav liige või liikmed vasakule poole ja kõik ülejäänud paremale poole võrdusmärki. 2) Koonda, kui saab või tegurda. 3) Jagada avaldatava muutuja kordajaga Graafiline võte: 1)Võtan esimese võrrandi ja avaldan muutuja y. 2) Teen tabeli graafiku joonestamiseks 3) Võtan teise muutuja ja avaldan muutuja y ja teen tabeli. 4) joonistan sirged ühele ja samale koordinaatteljestikule nii, et tekib lõikepunkt,kui võimalik. 5) Võrrandisüsteemi lahendiks on lõikepunkti koordinaadid. Asendusvõte: 1) Valin millist muutujat avaldada (nt y) ja kumbast võrrandist. Kirjutan selle võrrandi uuesti välja. Soovitus: valida avaldamiseks see muutuja, mille kordaja on 1 või -1; 2 või -2; 4 või -4; 5 või -5; 8 või -8; 10 või -10. 2) Panen saadud y värtuse sellesse võrrandisse, millest ei avaldanud, saan x väärtuse. 3) Panen saadud x väärtuse y avaldisse ja avaldan y väärtuse. Defineerimine:
Kôrgemat järku determinantide arvutuseeskiri: rittaarendamise meetodiga. 6. Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi môiste kui maatriksi A korral leidub selline maatriks B, et AB=BA=E, siis maatriks B on A pöördmaatriks ja täh B = A-1. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus A on ruutmaatriks ja maatriksi A determinant ei vôrdu nulliga. Pöördmaatriksi leidmise eeskiri: A-1=(1/|A|)*(Aik)T. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarne vôrrandisüsteem Olgu antud n muutujat, x1, x2, x3,...,xn ja arvud a1, a2, a3, ..., an, saame muutujate suhtes lineaarse vôrrandi a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, kui meil on m lineaarset vôrrandit samade muutujate suhtes, saame lineaarse vôrrandisüsteemi.
ainult sel juhul , kui ta koormusega koos mõjudes tagab tarindi puntki nullsiirde eemaldatud sideme sihis. i=0. Siirete sobivusvõrranditele antakse kanooniline kuju. Põhiskeemi tegemisel võib eemaldada nii välissidemeid kui ka sisesidemeid Jõumeetodi kanooniline võrrandisüsteem Selliselt väljendatud sobivusvõrrandite süsteemi nimetatakse jõumeetodi kanooniliseks võrrandisüsteemiks, sest see vastab kindlale tarindi iseloomust sõltumale reeglipärale. Vahel nim jõumeetodiks kan, võrrandisüsteemi arvutusviisi. Põhiskeemi sisejõudude leidmine ja kontroll 1 variant: Asendame põhiskeemis tundmatud nende arvväärtustega ja leiame sisejõud 2 variant: Kasutame ära juba koostatud paindemomendi epüürid Enamasti vajalikke epüüre kasutada ei ole, kuid lõplikku pikijõuepüüri saab koostada paindemomendiepüüri põhjal ja pikijõuepüüri põikjõuepüüri põhjal. Raami kontroll: Võrrandisüsteemi lahendi kontroll, sisejõudude staatiline kontroll, kinemaatiline kontroll
x 1 = -19 või x 2 = 13 Kontroll: 1) kui x 1 = -19, II arv on x +6 = -19 +6 = -13 -13 (-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247 x 1 = -19 sobib 2) kui x 2 = 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19 19 -13 = 6 ja 13 × 19 = 247 Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x - y = 6(1) xy = 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0
x 1 = -19 või x 2 = 13 Kontroll: 1) kui x 1 = -19, II arv on x +6 = -19 +6 = -13 -13 (-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247 x 1 = -19 sobib 2) kui x 2 = 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19 19 -13 = 6 ja 13 19 = 247 Vastus:need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x y 6(1) xy 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16
x 1 = -19 või x 2 = 13 Kontroll: 1) kui x 1 = -19, II arv on x +6 = -19 +6 = -13 -13 (-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247 x 1 = -19 sobib 2) kui x 2 = 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19 19 -13 = 6 ja 13 19 = 247 Vastus:need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x y 6(1) xy 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16
valemi (1) kohaselt a a x= tx = a t = . t x Teisel töölisel kulus detailide valmistamiseks c tundi rohkem kui esimesel, seetõttu saame tema "töökiiruseks" a y = x -b = ( x - b)(t + c) = a t +c Saime mittelineaarse võrrandisüsteemi x ja t suhtes: t = a / x ( x - b)(t + c) = a Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... t = a / x ( x - b)(t + c) = a Lahendamiseks asendame teises võrrandis tundmatu t esimesest võrrandi abil avaldisega a / x: a ( x - b)( + c) = a x Avame vasakul pool sulud:
Tema üldkuju on a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 (3) LLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm Arve aij nimetatakse võrrandisüsteemi (3) kordajateks, arve b1 , b2 , ... , bm aga süsteemi (3) vabaliikmeteks. Def. 3. Arve c1 , c2 , ... , cn , mis rahuldavad süsteemi (3) kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (3) lahendiks. Ka süsteemi (3) lahendit vaadeldakse aritmeetilise vektorina ( c1 ; c2 ; ... ; cn ) , aga teda kirjutatakse ka kujul (2). Def. 4. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit
Järgmisel nädalal hind langes 4 võrra ning läbimüük suurenes 8 kaubaühiku võrra. Leida nõudlusfunktsioon eeldusel, et see on lineaarne. 7 10.02.2014 ARVUTUSNÄITEID Lahendus: Otsitav funktsioon on lineaarne (üldkuju y = ax+ b ), seega saab seda leida kujul q = a p + b Ülesande tingimuste põhjal saame koostada võrrandisüsteemi: 128 = 24 a + b b = 128 - 24 a 136 = 20 a + b 136 = 20 a + 128 - 24 a 4 a = -8 a = -2 b = 128 - 24 ( -2) = 176 a = -2 b = 176 Järelikult q = 176 - 2 p ARVUTUSNÄITEID Lahendus: Sama tulemuse oleksime saanud, kasutades sirge võrrandit kahe punkti abil: x - x1 y - y1 = y 2 - y1 y 2 - y1 Seega, kui on teada kaks punkti sirgelt (q1; p1) ja (q2; p2), saab selle sirge võrrandi esitada kujul q - q1 p - p1
kokku oli 2 poega rohkem, kui kolmandas ja 3 poega vähem, kui teises ja kolmandas. Lahendus: Olgu esimeses pesakonnas olnud poegade arv x, teises y ja kolmandas z. Kuna kokku oli sellel jänesel aasta jooksul 14 poega, siis x + y + z = 14 . Kuna esimeses ja teises pesakonnas oli kokku 2 poega rohkem, kui kolmandas, siis x + y = z + 2 x + y - z = 2 . Kuna esimeses ja teises oli kokku 3 poega vähem, kui teises ja kolmandas, siis x + y + 3 = y + z x - z = -3 . Koostan võrrandisüsteemi: x + y + z = 14 x+ y- z = 2 x- z = -3 Lahendan süsteemi determinantide abil: 1 1 1 1 1 D =1 1 -1 1 1 = -1 -1 + 0 -1 -0 +1 = -2 1 0 -1 1 0 14 1 1 14 1 Dx = 2 1 -1 2 1 = -14 +3 + 0 +3 -0 + 2 = -6 -3 0 -1 -3 0 1 14 1 1 14
Sisseastumiseksamid Linda Blande Koidula Gümnaasium Sisseastumiseksamid: Matemaatika Eesti keel Inglise keel Matemaatika (60 min) 1) Arvuhulgad, nende omadused; 2) Arvutamine kümnend- ja harilike murdudega; 3) Protsendi mõiste tundmine ja selle kasutamine ülesannete lahendamisel; 4) Lineaar-, ruut-, murdvõrrandite lahendamine; 5) Lineaar- ja ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; 6) Tekstülesannete lahendamine (lineaarvõrrandi, ruutvõrrandi, lineaar-võrrandisüsteemi või ruutvõrrandisüsteemi abi; 7) Algebraliste avaldiste lihtsustamine; 8) Ringjoone pikkus ja ringi pindala; 9) Ruudu, ristküliku, rööpküliku, kolmnurga, trapetsi ja rombi ümbermõõt ja pindala; 10) Trigonomeetria kasutamine geomeetriliste ülesannete lahendamisel; 11) Kuubi, risttahuka ja püstprisma ruumala ja pindala leidmine Koidula Gümnaasium Eesti keel (30 min)
jada kirjutada kujul: a, aq, aq2, ... Kuna kolme liikme summa on 42, saame võrrandi a + aq + aq2 = 42. Muutes ülesande tingimuste kohaselt geomeetrilise jada liikmeid, saame arvud, mis moodustavad aritmeetilise jada: a – 2; aq; aq2 – 4. Kuna aritmeetilise jada iga liige, peale esimese, on oma kahe naaberliikme aritmeetiline keskmine, siis saame a 2 aq 2 4 aq ; 2 2aq aq 2 a 6; aq 2 2aq a 6. Koostame võrrandisüsteemi a aq aq 2 42 aq 2 2aq a 6. Lahendame selle. Toome mõlemast võrrandist a sulgude ette ning jagame esimese võrrandi teisega: a 1 q q 2 42 ; a 1 2q q 2 6 a 1 q q2 42 ;
võimalik ainult naturaalarvu n järgi välja arvutada, mitu sõna pikkusega n keeles leidub. Lahendus. Olgu An kõigi n-täheliste sõnade arv. Ülesande tingimuste põh- jal kehtib seos An+1 = 2An + 8An-1 . Algtingimused on A1 = 1, A2 = 1. Karakteristliku võrrandi q 2 - 2q - 8 = 0 lahendid on q1 = 4, q2 = -2. Järelikult rekurrentse võrrandi üldlahend on An = c1 · 4n + c2 · (-2)n . Algtingimuste põhjal saame võrrandisüsteemi 4c1 - 2c2 = 1 16c1 + 4c2 = 1, mille lahendid on c1 = 81 , c2 = - 41 . Kõigi n-täheliste sõnade arv on seega 1 n 1 An = · 4 - · (-2)n . 8 4 Materjal õpikus. Lk 3640 (teist järku rekurrentsete võrrandite lahenda- mine). Ülesanne 3. Teha kindlaks, kas järgmiste naabrusmaatriksitega antud graa- fid on isomorfsed
32 2 q =5 = . 243 3 2 Vastus: Geomeetrilise jada tegur on . 3 3. Geomeetrilise jada esimese ja kolmanda liikme summa on 15, teise ja neljanda liikme summa on 30. Leia jada. Lahendus: Ülesande tingimuste kohaselt: a1 + a3 = 15 ja a2 + a4 = 30. Olgu jada tegur q ja esimene liige a. Avaldades kõik liikmed esimese liikme ja teguri kaudu, saame võrrandisüsteemi: a + aq 2 = 15 3 . aq + aq = 30 Toome esimesest võrrandist sulgude ette a, teisest võrrandist aq ning jagame teise võrrandi esimesega: ( a 1 + q 2 = 15 ) ( aq 1 + q 2 = 30, ) ( a 1 + q 2 15 = , ) ( aq 1 + q 2 30 ) 1 1 = , q 2 q = 2. Asetades saadud q väärtuse esimesse võrrandisse, saame a(1 + 4) = 15, millest 5a = 15;
k - k 1 ( 1 2 ) Nurk kahe sirge vahel tan = 1+ k k . Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed. 2 k 1=k 2 Ristuvate sirgete tõusude korrutis võrdub -1 -ga. k 1 k 2=-1 Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid on võrrandisüsteemi (a x+b d x+e y+f ) x +c=0
Maatriksit AT=(aki) nim maatriksi A=(aik) transponeeritud maatriksiks. See on saadud maatriksi A ridade ja veergude ümbervahetamisel. Olgu Aik maatriksi elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transponeerime selle maatriksi. Sellist maatriksit nim adjengeeritud maatriksiks. Pöördmaatriksiks nim maatriksit 3. Lineaarsed võrrandisüsteemid Tundmatuid x1; x2; x3, ..., xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nim lineaarseteks. Korrastatud süsteem: Võrrandisüsteemi tundmatute kordajatest moodustnud maatriksit nim süsteemimaatriksiks. Maatriks A, millele on lisatud vabaliikmete veerg, nim süsteemi laiendatud maatriksiks. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks
raamatud 224 krooni, saame võrrandi x+y=224. Edasi müües saadi kasumit 40%, 40% 224st on 0,4*224=89,6 krooni, kokku saadi edasi müües seega 224+89,6=313,6 krooni. Esimesest raamatust saadi 15% kasumit ehk 0,15x krooni, seega saadi edasi müües esimesest raamatust kokku x+0,15x=1,15x krooni. Teisest raamatust saadi 50% kasumit ehk 0,5y krooni, kokku saadi edasi müües teisest raamatust seega y+0,5y=1,5y krooni. Saame võrrandi 1,15x+1,5y=313,6. Võrrandisüsteemi { x+y=224 1,15x+1,5y=313,6 lahendamisel selgub, et x=64 ja y=160. Need on raamatute esialgsed hinnad. Küsiti aga edasimüügihinda, seega esimese raamatu müügihind on 64+64*0,15=73,6 krooni ja teise raamatu müügihind on 160+160*0,5=240 krooni. Vastus: esimese raamatu müügihind on 73 krooni ja 60 senti ja teise raamatu müügihind on 240 krooni. 4. Tööline sai palgapäeval kassast 1896 krooni. Tema kuupalgast on maksuvaba 500 krooni
........... x = n Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi n , mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1
annaabi.ee 
